Exercício Resolvido-2023 1

Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 3, calcule o valor aproximado de \frac{1}{1,2}. Avalie o erro e dê a resposta com a maior precisão possível nesse caso. Mini teste 1 Questão 1 Polinômio de Taylor de ordem 3 e avalie o erro: \frac{1}{1,2} f(x) = \frac{1}{x} f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 f(x^4) = x^{-3} (-1) f(x^3) = 1 + 1(x-1) + \frac{2}{2}(x-1)^2 + \frac{6}{6}(x-1)^3 f(x'') = 2x^{-3} 2 f(x'') = -6x^{-4} 6 f(x) = 24x^{-5} 24 x_0 = 1 - x^3 + 4x^2 - 6x + 4 Substituindo x = 1,2 , 0,832 Temos \frac{1}{1,2} \approx 0,833 Erro: |f(x)^{iv} - P(x)| \leq \frac{24}{4!} |1,2-1|^4 |\frac{1}{10} - 0,832| \leq 10^{-2} Dada f(x) = \frac{1}{x}, considere P_3(x) o polinômio de Taylor de f(x) de terceira ordem em torno de x_0 = 1. Determine o valor máximo de x > x_0, para o qual essa aproximação produz um erro menor que 10^{-3}. Calculo 1 1 \ \ Está correto error de ordem de 10^2 g_2 f(x) = \frac{1}{x} , x_0 = 1 f(1) = 1 Usando \sum_{i=0}^{\infty} \frac{f^n(x_0) (x-x_0)^n}{n!} = f(x) f^1(1) = \frac{1}{x_0^2} = -1 f^11(1)=\frac{2}{x_0^3} = 2 f\(111)(1)=\frac{-6}{x^4} f(x) \approx 1 - (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2!} - \frac{(x - 1)^3}{3!} f(x) \approx \frac{1}{x}+ \frac{x^2 - x + 1}{x^3} 3x^2 3x + 1 f(x) \approx 4 - 6x + 4x^2 - x^3 Matonet g^q4(x)=\frac{24}{x_0^5}\rightarrow f^m\n+1<M E<15 - (x-11)^4 \leq 10^3 \ E < \bar{x-!}< 10_{\circ}^{-}\frac{24}{!} \frac{{t+14}{4!=C}} Podemos fazer por tentativa: Note que x > x_0 Ne \bar{x,2}\ \ E\|) E\bar{x,1} \ = \end{bmatrix}(x-1)^{13}^{11}<xqo<1.6 \cdot 10^{-4} \quad Aqui j \, menor}que{{10^3}} podemos f söyle\