Lista - Funções Limites e Continuidade - 2024-1

Exercicios - Calculo I - Prof Ademir Funcoes, limites e continuidade 1. Considere f : R — R definida por f(x) = |x? — 4x + 3}. (a) Facga um esboco do grafico de f. (b) Determine os valores de x para os quais f(x) > 1. 2. Considere f : R > R definida por f(x) = |x — 1| + |a — 3] + |x — 5]. (a) Facga um esboco do grafico de f. (b) Determine os valores de x para os quais f(x) < 5. 3. Calcule . Ll—cosz (a) im — a . Vit5-—3 (b) lim —————_. rs Sx —? (c) lim (1 + :) ; @— 00 x 4. Um tanque contém 5000 litros de agua pura. Agua salgada contendo 30 gramas de sal por litro de agua é bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 25 litros por minuto. 30t (a) Mostre que a concentracao de sal depois de t minutos (gramas/litro) é C(t) = 200 42° (b) O que acontece com a concentragao de sal quando t + oo? 5. Considere a regiao limitada pela reta de equacao y = 3x +6 e pela parabola definida por y = 2”, indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta regiao. y x 6. Considere f : R — R definida por f(x) = x° + 3x? — 20x — 1. Mostre que f tem trés raizes distintas, sendo duas negativas e uma positiva. Encontre um intervalo com uma unidade de comprimento que contém a raiz positiva de f. 7. Calcule . VLi+t5-—3 (a) lim —————_. wa vr 4 h) — (b) lim flash) = fa onde f(x) = e” ea € R é uma constante. A—0 h 8. Calcule (a) I x+—4r+1 in ————.—___.. oe xu? — 247-242 (b) lim (2 —v1l+ w). xw—->0O0 9. Considere a funcao f, cujo grafico é esbocgado na figura abaixo. (a) Encontre cada limite, ou explique por que ele nao existe. lim f(z) lim f(x) lim f(x) lim f(x) lim f(z) t——0o t——2- xr>—2t r—+—2 x—>2 lim f(z) lim f(x) lim f(z) lim f(x) lim f(z) rw 4- wat x4 rd L—00 (b) Apresente as equacoes das assintotas horizontais e verticais. (c) Em que pontos f é descontinua? 2 | /\ 45 of 10. Calcule (a) lim _ 3t roo 4/1 + x? ‘ x +227 —a2 —2 b) lim ———-—___ (b) rig — 92432 —3 11. Considere f : R > R definida por f(x) = 7° +x+3. Mostre que f tem uma raiz real e encontre um intervalo de comprimento 1/2 que contém esta raiz. 12. Calcule . _ [i (a) lim asin (*). L000 x r—2 b) lim —————., (b) rol x2 +x—-2 3 13. Considere f : R — R definida por f(x) = oe —2. Mostre que f tem uma raiz real e encontre x um intervalo de comprimento 1/2 que contém esta raiz. Derivadas . ~ 1 14. Considere a fungao f : (0,00) > R dada por f(z) = -. x (a) Encontre a equacao da reta tangente ao grafico de f no ponto de abscissa a. (b) Determine os pontos onde a reta tangente corta os eixos coordenados. (c) Calcule a Area do triangulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos. 15. Encontre a equacao da reta tangente ao grafico da funcao f : R > R definida por f(x) = 1—2?, que passa pelo ponto (2, 1). 16. Uma particula se move com velocidade constante, conforme ilustrado na figura da direita. De- termine a velocidade com que o Angulo 6 aumenta quando x = 6. Faca o mesmo para x = 2 e x= 20. NO x — 4m/s 17. Considere f : R > R definida por f(x) = |x? — 4]. (a) Facga um esboco do grafico de f. (b) Determine os valores de x para os quais nao existe f’(x). 18. Calcule (a) lim vi- va toa La h) — (b) lim flash) = fa onde f(x) = e” ea € R é uma constante. h-0 h 19. Considere f : R > R definida por f(x) = 2x — Vx? +3. (a) Calcule f’(x). (b) Verifique que f’(x) 4 0, para todo x ER. 20. Calcule a derivada de f : (-, ) — R definida por f(x) = y = arctg a. d (Sugestao: mostre primeiro que a oY =1+te’y.) y 21. Considere f : R > R definida por f(x) = |x? — 4x + 3]. Calcule quando existir ou justifique a nao existéncia das derivadas f’(2), f’(3) e f’(5). 22. Considere f : R — R definida por f(x) = x? + 3. Existem duas retas tangentes ao grafico de f que passam pelo ponto (—1,0). Determine a equacdéo de cada uma delas e represente geometricamente. 23. Calcule a derivada das funcoes: (a) f(z) =alne. (b) f(x) =asing. (c) f(x) = ala]. (d) f(x) = arccos(z). (e) f(z) =e. 2a, (1 ; x* sin | — se x #0, 24. Calcule f’(0), sendo f : R > R definida por f(x) = x 0 sex =0.