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Engenharia Química ·
Cálculo 1
· 2024/1
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Exerc´ıcios - C´alculo I - Prof Ademir 25. Se f(x) = 3x^2 - x + 2, ache f(2), F(-2), f(a), f(-a), f(a + 1), 2f(a), f(2a), f(a^2), f(a)^2 e f(a + h). 26. Um balão esférico com raio de r polegadas tem o volume V(r) = 4/3π. Encontre uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio de r polegadas até um raio de r + 1 polegada. 27-30 Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta. 27. f(x) = 4 + 3x - x^2, (f(3) + h) - f(3)/h 28. f(x) = x^3, f(a + h) - f(a)/h 29. f(x) = 1/x, f(x) - f(a)/x-a 30. f(x) = x + 3/x + 1, f(x) - f(1)/x-1 31-37 Encontre o domínio da função. 31. f(x) = x + 4/x^2 - 9 32. f(x) = 2x^3 - 5/x^2 - 6 33. f(x) = √(2t - 1) 34. g(t) = √3 - t - √2 + t 35. h(x) = 1/√x^2 - 5x 36. G(u) = u + 1/1 + 1/u + 1 37. F(p) = √2 - √p 38. Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função h(x) = √4 - x^2. 39-50 Encontre o domínio e esboce o gráfico da função. 39. f(x) = 2 - 0,4x 40. F(x) = x^2 - 2x + 1 41. f(x) = 2t + t^2 42. H(t) = 4 - t^2/2 - t 44. F(x) = |2x + 1| 45. G(x) = 3x + 1/x 46. g(x) = |x| - x 49. f(x) = { x + 2, se x <= -1; x^2, se x > -1 } 50. f(x) = { x + 9, se x < -3; -x, se |x| <= 3; -6, se x > 3 } 51-56 Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada. 51. O segmento de reta unindo os pontos (1, -3) e (5, 7) 52. O segmento de reta unindo os pontos (-5, 10) e (7, -10) 53. A metade inferior da parábola x + (y - 1)^2 = 0 54. A metade superior do círculo x^2 + (y - 2)^2 = 4 57-61 Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio. 57. Um retângulo tem um perímetro de 20 m. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados. 58. Um triângulo tem uma área de 16 m². Expresse o perímetro do triângulo como uma função de um de seus lados. 59. Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado. 60. Expresse a área da superfície de um cubo como uma função de seu volume. 61. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m³ tem uma base quadrada. Expresse a área da superfície da caixa como uma função do comprimento de um lado da base. 62. Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10, expresse a área da janela como uma função de sua largura x. 63. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 12 cm por 20 cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa como uma função de x. 64. Um plano de telefone celular tem uma taxa de US$ 35 mensais. O plano inclui 400 minutos gratuitos e a taxa de 10 centavos para cada minuto adicional utilizado. Expresse o custo mensal C como uma função do número de minutos utilizados e esboce o gráfico de C como uma função de x para 0 <= x <= 600. 65. Em uma certa província a velocidade máxima permitida em estradas é de 100km/h e a velocidade mínima é de 50km/h. A multa por violar esses limites é de US$ 10 para cada quilômetro por hora acima da velocidade máxima ou abaixo da velocidade mínima. Expresse a quantidade de multa F como uma função de velocidade de condução x e esboce o gráfico F(x) para 0 <= x <= 180. 66. Uma empresa de eletricidade cobra de seus clientes uma taxa-base de US$ 10 mensais, mais 6 centavos por quilowatt-hora (kWh) para os primeiros 1 200 kWh e 7 centavos para todo o uso acima de 1 200 kWh. Expresse o custo mensal E como uma função da quantidade utilizada x de eletricidade. Então, faça um gráfico da função E para 0 <= x <= 2000. 67. Em um certo país, o imposto é taxado da maneira a seguir: não existe nenhuma taxa para rendimentos de até US$ 10.000,00. Qualquer renda acima de US$ 10.000,00 e abaixo de US$ 20.000,00 tem uma taxa de 10%. Qualquer renda acima de US$ 20.000,00 é taxada a 15%. (a) Esboce o gráfico da taxa de impostos R como uma função da renda I. (b) Qual o imposto cobrado sobre um rendimento de $ 14.000? E sobre $ 26.000? (c) Esboce o gráfico de imposto total cobrado T como uma função da renda I. 68. As funções no Exemplo 10 e no Exercícios 67 são chamadas funções seccionadas em virtude do aspecto de seus gráficos. Dê dois outros exemplos de funções seccadas que apareçam no dia a dia. 69-70 Os gráficos de f e g são mostrados a seguir. Verifique se cada função é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Explique seu raciocínio. 71. (a) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função par, que outro ponto também deverá estar no gráfico? (b) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função ímpar, que outro ponto também deverá estar no gráfico? 72. Uma função f tem o domínio [-5, 5] e é mostrada uma parte do seu gráfico. (a) Complete o gráfico de f sabendo que é uma função par. (b) Complete o gráfico de f sabendo que é uma função ímpar. 23. Se f(x) = 5^x, mostre que f(x + h) - f(x)/h = 5^x(5^h - 1/h) 21-26 Encontre uma fórmula para a função inversa. 21. f(x) = 1 + √2 + 3x 22. f(x) = 4x - 1/2x + 3 23. f(x) = e^(2x - 1) 24. y = x^2 - x, x >= 1/2 25. y = ln(x + 3) 26. y = e^x/1 + 2e^x 4. Use o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim x -> -2^- f(x) (b) lim x -> -2^+ f(x) (c) lim x -> -2 f(x) (d) f(2) (e) lim x -> 4^- f(x) (f) f(4) Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim (x→2) f(x) (b) lim (x→3⁻) f(x) (c) lim (x→3⁺) f(x) (d) lim (x→3) f(x) (e) f(3) Para a função h cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim (x→−3⁻) h(x) (b) lim (x→−3⁺) h(x) (c) lim (x→−3) h(x) (d) h(−3) (e) lim (x→0⁻) h(x) (f) lim (x→0⁺) h(x) (g) lim (x→0) h(x) (h) h(0) (i) lim (x→2⁻) h(x) (j) h(2) (k) lim (x→5⁻) h(x) (l) lim (x→5⁺) h(x) (m) lim (x→5) h(x) Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o seguinte: (a) lim (x→1) f(x) (b) lim (x→3⁻) f(x) (c) lim (x→0) f(x) (d) lim (x→6⁻) f(x) (e) lim (x→6⁺) f(x) (f) As equações das assíntotas verticais.
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Exerc´ıcios - C´alculo I - Prof Ademir 25. Se f(x) = 3x^2 - x + 2, ache f(2), F(-2), f(a), f(-a), f(a + 1), 2f(a), f(2a), f(a^2), f(a)^2 e f(a + h). 26. Um balão esférico com raio de r polegadas tem o volume V(r) = 4/3π. Encontre uma função que represente a quantidade de ar necessária para inflar o balão de um raio de r polegadas até um raio de r + 1 polegada. 27-30 Calcule o quociente das diferenças para a função dada. Simplifique sua resposta. 27. f(x) = 4 + 3x - x^2, (f(3) + h) - f(3)/h 28. f(x) = x^3, f(a + h) - f(a)/h 29. f(x) = 1/x, f(x) - f(a)/x-a 30. f(x) = x + 3/x + 1, f(x) - f(1)/x-1 31-37 Encontre o domínio da função. 31. f(x) = x + 4/x^2 - 9 32. f(x) = 2x^3 - 5/x^2 - 6 33. f(x) = √(2t - 1) 34. g(t) = √3 - t - √2 + t 35. h(x) = 1/√x^2 - 5x 36. G(u) = u + 1/1 + 1/u + 1 37. F(p) = √2 - √p 38. Encontre o domínio e a imagem e esboce o gráfico da função h(x) = √4 - x^2. 39-50 Encontre o domínio e esboce o gráfico da função. 39. f(x) = 2 - 0,4x 40. F(x) = x^2 - 2x + 1 41. f(x) = 2t + t^2 42. H(t) = 4 - t^2/2 - t 44. F(x) = |2x + 1| 45. G(x) = 3x + 1/x 46. g(x) = |x| - x 49. f(x) = { x + 2, se x <= -1; x^2, se x > -1 } 50. f(x) = { x + 9, se x < -3; -x, se |x| <= 3; -6, se x > 3 } 51-56 Encontre uma expressão para a função cujo gráfico é a curva dada. 51. O segmento de reta unindo os pontos (1, -3) e (5, 7) 52. O segmento de reta unindo os pontos (-5, 10) e (7, -10) 53. A metade inferior da parábola x + (y - 1)^2 = 0 54. A metade superior do círculo x^2 + (y - 2)^2 = 4 57-61 Encontre uma fórmula para a função descrita e obtenha seu domínio. 57. Um retângulo tem um perímetro de 20 m. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um de seus lados. 58. Um triângulo tem uma área de 16 m². Expresse o perímetro do triângulo como uma função de um de seus lados. 59. Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado. 60. Expresse a área da superfície de um cubo como uma função de seu volume. 61. Uma caixa retangular aberta com volume de 2 m³ tem uma base quadrada. Expresse a área da superfície da caixa como uma função do comprimento de um lado da base. 62. Uma janela normanda tem o formato de um retângulo em cima do qual se coloca um semicírculo. Se o perímetro da janela for de 10, expresse a área da janela como uma função de sua largura x. 63. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 12 cm por 20 cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa como uma função de x. 64. Um plano de telefone celular tem uma taxa de US$ 35 mensais. O plano inclui 400 minutos gratuitos e a taxa de 10 centavos para cada minuto adicional utilizado. Expresse o custo mensal C como uma função do número de minutos utilizados e esboce o gráfico de C como uma função de x para 0 <= x <= 600. 65. Em uma certa província a velocidade máxima permitida em estradas é de 100km/h e a velocidade mínima é de 50km/h. A multa por violar esses limites é de US$ 10 para cada quilômetro por hora acima da velocidade máxima ou abaixo da velocidade mínima. Expresse a quantidade de multa F como uma função de velocidade de condução x e esboce o gráfico F(x) para 0 <= x <= 180. 66. Uma empresa de eletricidade cobra de seus clientes uma taxa-base de US$ 10 mensais, mais 6 centavos por quilowatt-hora (kWh) para os primeiros 1 200 kWh e 7 centavos para todo o uso acima de 1 200 kWh. Expresse o custo mensal E como uma função da quantidade utilizada x de eletricidade. Então, faça um gráfico da função E para 0 <= x <= 2000. 67. Em um certo país, o imposto é taxado da maneira a seguir: não existe nenhuma taxa para rendimentos de até US$ 10.000,00. Qualquer renda acima de US$ 10.000,00 e abaixo de US$ 20.000,00 tem uma taxa de 10%. Qualquer renda acima de US$ 20.000,00 é taxada a 15%. (a) Esboce o gráfico da taxa de impostos R como uma função da renda I. (b) Qual o imposto cobrado sobre um rendimento de $ 14.000? E sobre $ 26.000? (c) Esboce o gráfico de imposto total cobrado T como uma função da renda I. 68. As funções no Exemplo 10 e no Exercícios 67 são chamadas funções seccionadas em virtude do aspecto de seus gráficos. Dê dois outros exemplos de funções seccadas que apareçam no dia a dia. 69-70 Os gráficos de f e g são mostrados a seguir. Verifique se cada função é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Explique seu raciocínio. 71. (a) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função par, que outro ponto também deverá estar no gráfico? (b) Se o ponto (5, 3) estiver no gráfico de uma função ímpar, que outro ponto também deverá estar no gráfico? 72. Uma função f tem o domínio [-5, 5] e é mostrada uma parte do seu gráfico. (a) Complete o gráfico de f sabendo que é uma função par. (b) Complete o gráfico de f sabendo que é uma função ímpar. 23. Se f(x) = 5^x, mostre que f(x + h) - f(x)/h = 5^x(5^h - 1/h) 21-26 Encontre uma fórmula para a função inversa. 21. f(x) = 1 + √2 + 3x 22. f(x) = 4x - 1/2x + 3 23. f(x) = e^(2x - 1) 24. y = x^2 - x, x >= 1/2 25. y = ln(x + 3) 26. y = e^x/1 + 2e^x 4. Use o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim x -> -2^- f(x) (b) lim x -> -2^+ f(x) (c) lim x -> -2 f(x) (d) f(2) (e) lim x -> 4^- f(x) (f) f(4) Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim (x→2) f(x) (b) lim (x→3⁻) f(x) (c) lim (x→3⁺) f(x) (d) lim (x→3) f(x) (e) f(3) Para a função h cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim (x→−3⁻) h(x) (b) lim (x→−3⁺) h(x) (c) lim (x→−3) h(x) (d) h(−3) (e) lim (x→0⁻) h(x) (f) lim (x→0⁺) h(x) (g) lim (x→0) h(x) (h) h(0) (i) lim (x→2⁻) h(x) (j) h(2) (k) lim (x→5⁻) h(x) (l) lim (x→5⁺) h(x) (m) lim (x→5) h(x) Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o seguinte: (a) lim (x→1) f(x) (b) lim (x→3⁻) f(x) (c) lim (x→0) f(x) (d) lim (x→6⁻) f(x) (e) lim (x→6⁺) f(x) (f) As equações das assíntotas verticais.