Fundamentos de Matematica Elementar 8 - Limites Derivadas e Nocoes de Integral

GELSON IEZZI CARLOS MURAKAMI NILSON JOSÉ MACHADO 3ª edição FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR 8 LIMITES DERIVADAS NOÇÕES DE INTEGRAL 60 exercícios resolvidos com resposta 266 exercícios propostos com resposta 100 testes de vestibular com resposta ATUAL EDITORA Capa Roberto Franklin Rondino Sylvio Ulhoa Cintra Filho Rua Inhambu 1235 S Paulo Composição e desenhos AM Produções Gráficas Ltda Rua Castro Alves 135 S Paulo Artes Atual Editora Ltda Fotolitos HOP Fotolitos Ltda Rua Delmira Ferreira 325 S Paulo Todos os direitos reservados à ATUAL EDITORA LTDA rua josé antonio coelho 785 Telefone 5751544 04011 São Paulo SP LUYLVVS 24681097531 APRESENTAÇÃO Fundamentos de Matemática Elementar é uma coleção em dez volumes elaborada com a pretensão de dar ao estudante uma visão global da Matemática ao nível da escola de 2º grau Desenvolvendo os programas em geral adotados para o curso colegial os Fundamentos visam aos alunos em preparativos para exames vestibulares aos universitários que necessitam rever a Matemática Elementar e também como é óbvio àqueles alunos de colegial mais interessados na rainha das ciências No desenvolvimento dos inúmeros capítulos dos livros de Fundamentos procuramos seguir uma ordem lógica na apresentação de conceitos e propriedades Salvo algumas exceções bem conhecidas da Matemática Elementar as proposições e teoremas estão sempre acompanhados das respectivas demonstrações Na estruturação das séries de exercícios buscamos sempre uma ordenação crescente de dificuldade Partimos de problemas simples e tentamos chegar a questões que envolvem outros assuntos já vistos obrigando o estudante a uma revisão A sequência do texto sugere uma dosagem para teoria e exercícios Os exercícios resolvidos apresentados em meio aos propostos pretendem sempre dar explicação sobre alguma novidade que aparece No final do volume o aluno pode encontrar a resposta para cada problema proposto e assim ter seu reforço positivo ou partir à procura do erro cometido A última parte de cada volume é constituída por testes de vestibulares até 1977 selecionados e resolvidos o que pode ser usado para uma revisão da matéria estudada Queremos consignar aqui nossos agradecimentos sinceros ao Prof Dr Fernando Furquim de Alme da cujo apoio foi imprescindível para que pudéssemos homenagear nesta coleção alguns dos grandes matemáticos relatando fatos notáveis de suas vidas e suas obras Finalmente como há sempre uma enorme distância entre o anseio dos autores e o valor de sua obra gostaríamos de receber dos colegas professores uma apreciação sobre este trabalho notadamente os comentários críticos os quais agradecemos Os autores ÍNDICE CAPÍTULO I FUNÇÕES I A noção de função 1H II Principais funções elementares 4H III Composição de funções 10H IV Funções inversíveis 14H V Operações com funções 19H CAPÍTULO II LIMITES I Noção de limite de uma função 21H II Definição de limite 25H III Unicidade do limite 26H IV Propriedade do limite de uma função 31H V Limite de uma função polinomial 39H VI Limites laterais 48H CAPÍTULO III O INFINITO I Limites infinitos 54H II Propriedades dos limites infinitos 63H III Limites no infinito 70H IV Propriedades dos limites no infinito 80H CAPÍTULO IV COMPLEMENTOS SOBRE LIMITES I Teoremas adicionais sobre limites 86H II Limites trigonométricos 90H III Limites da função exponencial 94H IV Limites da função logarítmica 99H V Limite exponencial fundamental 103H CAPÍTULO V CONTINUIDADE I Noção de continuidade 111H II Propriedades das funções contínuas 117H III Limite da fx 119H CAPÍTULO VI DERIVADAS I Derivada no ponto x0 122H II Interpretação geométrica 124H III Interpretação cinemática 127H IV Função derivada 129H V Derivadas das funções elementares 130H VI Derivada e continuidade 133H CAPÍTULO VII REGRAS DE DERIVAÇÃO I Derivada da soma 135H II Derivada do produto 136H III Derivada do quociente 139H IV Derivada de uma função composta Regra de Cadeia 143H V Derivada da função inversa 145H VI Derivadas sucessivas 151H CAPÍTULO VIII ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES I Máximos e mínimos 153H II Derivada Crescimento Decréscimo 158H III Determinação dos extremos 169H IV Concavidade 182H V Ponto de inflexão 185H VI Variação das funções 188H CAPÍTULO IX NOÇÕES DE CÁLCULO INTEGRAL I Introdução Área 192H II A integral definida 196H III O cálculo da integral 200H IV Algumas técnicas de integração 211H V Uma aplicação geométrica Cálculo de volumes 214H RESPOSTAS DE EXERCÍCIOS 217H TESTES 228H RESPOSTAS DOS TESTES 244H Karl T W Weierstrass 1815 1897 Boêmio revelase em Matemática Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nasceu na Alemanha de família católica liberal Weierstrass não gostava de música mas saiuse muito bem nos estudos Incentivado por seu pai foi para a Universidade de Bonn estudar Direito Aí se tornou perito em beber e em esgrima em lugar de Direito e Matemática saindo sem graduarse Em Münster preparouse para o ensino secundário onde foi protegido por Gudermann que iniciou Weierstrass em teoria das funções seguindo os passos de Abel Obteve seu diploma de professor aos 26 anos ensinando em várias escolas secundárias e mais tarde na Universidade de Berlim onde em suas conferências dava ênfase à teoria estática da variável sem nenhum recurso de pontos ou retas móveis nenhum abandono de quantidades infinitamente pequenas só ocupandose dos números reais da operação de adição e sua inversa e da relação menor que O simbolismo de Weierstrass e seu aluno Heine expulsou do Cálculo a noção de variabilidade sendo desnecessário usar infinitesimais fixos Estava assim tentando substituir conceitos intuitivos por precisão lógica e demonstrações rigorosas Weierstrass tentou separar o Cálculo da Geometria baseandose apenas no conceito de números Para isso foi necessário definir número irracional independentemente de limite Chegou à conclusão da existência de um limite de uma sequência convergente tomando a própria sequência como o número ou limite e definiu número irracional como sequência ordenada de um agregado de racionais contribuindo não só para a definição de número real mas também para um melhor conceito de limites que é em essência o que temos hoje Weierstrass fez suas primeiras descobertas aos quarenta anos de idade e foi reconhecido como o maior analista do mundo notável exceção da idéia comumente aceita de que um matemático deve revelarse cedo CAPÍTULO I FUNÇÕES Neste capítulo resumiremos aspectos essenciais do estudo das funções feito ao longo dos volumes 1 2 e 3 desta coleção Introduziremos mais algumas noções que serão necessárias ao desenvolvimento deste livro I A NOÇÃO DE FUNÇÃO 1 Definição Dados dois conjuntos A e B não vazios chamase relação de A em B um conjunto formado por pares ordenados x y em que x A e y B Exemplo Se A a b c d e B 0 1 2 então R1 a 0 R2 a 1 b 0 b 1 c 2 d 2 R3 a 0 b 1 c 1 d 2 são três exemplos de relações de A em B 2 Definição Uma relação f de A em B recebe o nome de função definida em A com imagens em B ou aplicação de A em B se e somente se para todo x A existe um só y B tal que x y f No exemplo anterior só a relação R3 é uma função pois em R1 os elementos b c d não participam de nenhum par e em R2 o elemento b participa de dois pares 1H 3 Lei de correspondência Geralmente existe uma sentença aberta y fx que expressa a lei mediante a qual dado um x A determinase o y B de modo que x y f Assim por exemplo dados os conjuntos A 0 1 2 3 e B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e a sentença aberta y x² é possível considerar a função f 0 0 1 1 2 4 3 9 de A em B cujos pares x y verificam a lei y x² Para indicarmos uma função f de A em B que obedece à lei de correspondência y fx vamos usar a seguinte notação f A B x fx Frequentemente encontramos funções em que a lei de correspondência para obter y a partir de x muda dependendo do valor de x Dizemos que essas funções são definidas por várias sentenças Exemplos 1º f IR IR tal que fx 1 se x 0 1 se x 0 é uma função definida por duas sentenças y 1 quando x 0 ou y 1 quando x 0 2º f IR IR tal que fx x se x 0 0 se 0 x 1 x se x 1 é uma função definida por três sentenças y x quando x 0 ou y 0 quando x 0 1 ou y x quando x 1 As funções definidas por várias sentenças têm uma importância especial neste livro 4H 7 4 Domínio e imagem Chamase domínio da função f A B o conjunto A Notação Df Chamase imagem da função f A B o conjunto constituído pelos elementos y B para os quais existe algum x A tal que x y f Notação Imf Chamase contradomínio da função f A B o conjunto B Notação CDf Por exemplo se A 0 1 2 3 B 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 e f A B é definida pela sentença y x² temos f 0 0 1 1 2 4 3 9 Df 0 1 2 3 Imf 0 1 4 9 CDf 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 É evidente que para todo f Imf B Lembremos ainda que feita a representação cartesiana gráfico da função f temos I Domínio Df é o conjunto das abscissas dos pontos do gráfico isto é o conjunto das abscissas dos pontos tais que as retas verticais por eles conduzidas interceptam o gráfico II Imagem Imf é o conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico isto é o conjunto das ordenadas dos pontos tais que as retas horizontais por eles conduzidas interceptam o gráfico Exemplos Df 2 1 Imf 0 4 Df IR Imf IR 3H 8 Uma função está bem definida quando são conhecidos Df CDf e a lei de correspondência y fx É comum entretanto darmos apenas a sentença aberta y fx para nos referirmos a uma função f Neste caso fica subentendido que Df é o conjunto formado pelos números reais cujas imagens são reais isto é x Df y fx IR 5 Funções iguais Duas funções f A B e g C D são iguais se e somente se A C B D e fx gx para todo x A Exemplos 1º Se A 1 0 1 e B 0 1 2 4 as funções f A B e g A B dadas por fx x² e gx x⁴ são iguais pois f1 1² 1⁴ g1 f0 0² 0⁴ g0 f1 1² 1⁴ g1 2º Se A IR e B IR as funções f A B e g A B dadas por fx x 2 e gx x² 2x x são iguais pois para todo x IR temos fx x 2 x x x 2 x² 2x x gx II PRINCIPAIS FUNÇÕES ELEMENTARES 6 Funções polinomiais Dada a sequência finita de números reais a₀ a₁ a₂ aₙ chamase função polinomial associada a esta sequência a função f IR IR dada por fx a₀ a₁x a₂x² aₙxⁿ Os reais a₀ a₁ a₂ aₙ são chamados coeficientes e as parcelas a₀ a₁x a₂x² aₙxⁿ são denominadas termos da função polinomial Uma função polinomial que tem todos os coeficientes nulos é chamada função nula Chamase grau de uma função polinomial f não nula o número natural p tal que aₚ 0 e aᵢ 0 para todo i p Exemplos 1º fx 1 2x 5x² 7x³ tem grau 3 2º gx 2 3x² tem grau 2 3º hx 1 4x tem grau 1 4º ix 3 tem grau 0 Uma função polinomial do tipo fx k isto é uma função em que a₀ k e a₁ a₂ 0 é chamada função constante O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo dos x pelo ponto 0 k A imagem é o conjunto Im k Uma função polinomial que apresenta a₀ b a₁ a 0 e a₂ a₃ 0 é chamada função afim portanto afim é uma função polinomial do tipo fx ax b com a 0 O gráfico de uma função afim é uma reta passando pelos pontos 0 b e ba 0 Quando a 0 a função afim é crescente e se a 0 ela é decrescente Sua imagem é R 5H Para x IR e x π2 kπ k Z sabemos que cos x 0 e então existe o quociente sen x cos x denominado tg x Chamase função tangente a função f x IR x π2 kπ IR que associa a cada x o real tg x sen x cos x isto é fx tg x Destacamse as seguintes propriedades da função tangente 1ª sua imagem é IR isto é para todo y IR existe um x IR tal que tg x y 2ª é periódica e seu período é π 3ª seu gráfico é a tangentóide H2 Construir os gráficos das seguintes funções elementares a fx x isto é fx x se x 0 x se x 0 b gx xx se x 0 e g0 0 c hx 1x x 0 d ix 1x² x 0 e jx x³ H3 Construir o gráfico da função f IR IR dada pela lei fx cos x para x 0 2x para x 0 III COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES 9 Definição Dadas as funções f A B e g B C chamase função composta de g com f a função F A C definida pela lei Fx gfx Isto quer dizer que a função F leva cada x A no elemento Fx obtido da seguinte forma sobre x A aplicase f obtendo o elemento fx B e sobre fx aplicase g obtendose o elemento gfx C também chamado Fx A função F composta de g e f também pode ser indicada com o símbolo g o f lêse g círculo f A função F tem também uma lei de correspondência que pode ser encontrada se procurarmos o valor de Fx Fx gfx 2 fx 1 2x² 1 De forma geral para obtermos a lei de correspondência da função composta F g o f devemos trocar x por fx na lei de g 2º Sejam as funções de IR em IR fx sen x e gx x² A composta de g com f é a função F IR IR tal que Fx g o fx gfx fx² sen² x 3º Sejam as funções de IR em IR fx 2x e gx ex A composta de g com f é a função F IR IR tal que Fx g o fx gfx efx e2x 2º A função Fx cos e3x²1 como seria decomposta Olhando o esquema para calcular Fx temos x f 3x² 1 g e3x² 1 h cos e3x² 1 então F é a composta h og o f sendo fx 3x² 1 gx ex e hx cos x 11 Observações 1ª A composta g o f só é definida quando o contradomínio de f é igual ao domínio de g 2ª Quando A C isto é f A B e g B A é possível definir duas compostas g o f F₁ e f o g F₂ Assim por exemplo se f IR IR é dada por fx x e g IR IR é dada por gx x² 1 temos F₁x g o fx gfx fx² 1 x² 1 x 1 F₂x f o gx fgx gx x² 1 sendo F₁ IR IR e F₂ IR IR De maneira geral quando ambas existem g o f e f o g são funções distintas e isto nos obriga a dobrar a atenção quando compomos 12 Para a compreensão de alguns assuntos deste livro é fundamental que saibamos decompor sempre que isto for possível uma função em duas ou mais funções elementares Exemplos 1º A função Fx sen² x deve ser vista como Fx sen x² portanto F é a composta g o f sendo gx x² e fx sen x uma vez que o esquema para calcular Fx a partir de x é o seguinte x f sen x g sen x² EXERCÍCIOS H1 Construir os gráficos das seguintes funções definidas em IR a f₁x 1 se x 0 2 se x 0 b f₂x 1 se x 1 x se x 1 c f₃x x se x 0 1 se x 0 d f₄x x se x 1 0 se 1 x 1 x se x 1 e f₅x x 1 se x 0 x 1² se x 0 f f₆x x² 2x 1 se x 0 x² 1 se x 0 8 Funções exponenciais Dado um número real a com 0 a 1 chamase função exponencial de base a a função f IR IR definida pela lei fx ax Destacamos as seguintes propriedades das funções exponenciais 1ª sua imagem é IR isto é ax 0 para todo x IR 2ª se 0 a 1 a função é decrescente e se a 1 a função é crescente 3ª seu gráfico tem um dos seguintes aspectos e a função arcotangente y arc tg x A função tangente y tg x quando restrita ao domínio π2 π2 e ao contradomínio IR é inversível e sua inversa é a função de IR em π2 π2 dada pela lei y arc tg x Eis o gráfico EXERCÍCIOS H9 Examinar cada uma das funções abaixo e estabelecer quais são inversíveis Para estas definir a inversa a f a b c a b c tal que f a a b b c c b g 1 2 3 4 5 6 7 tal que g1 4 g2 6 e g3 4 c h IR IR tal que hx 1 5x d i IR IR tal que ix x³ 2 e j IR IR tal que jx x² f p IR IR tal que px 1x H10 Determinar a inversa da função f IR IR assim definida fx x quando x 1 x 12 quando 1 x 3 x² 7 quando x 3 H11 Sejam as funções f IR IR tal que fx 2x 3 e g IR IR tal que gx ³x 1 Determinar a função g¹f¹ H12 Determinar a inversa da função f IR IR dada por fx log x H13 Determinar a inversa da função f π π 1 1 dada pela lei fx sen x2 V OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 17 Adição Dadas duas funções f A B e g A B chamase soma f g a função h A B definida pela lei hx f gx fx gx Por exemplo sejam as funções de IR em IR fx eˣ e gx eˣ Sua soma é a função hx eˣ eˣ 18 Subtração Dadas duas funções f A B e g A B chamase diferença f g a função h A B definida pela lei hx f gx fx gx Como exemplo sejam as funções de IR em IR fx sen x e gx log x Sua diferença é a função hx sen x log x 19 Multiplicação Dadas as funções f A B e g A B chamase produto fg a função h A B definida pela lei hx fgx fx gx Assim se fx x² e gx cos x são funções de IR em IR seu produto é a função hx x² cos x 20 Quociente Dadas as funções f A B e g A B chamase quociente fg a função h A B definida pela lei hx fgx fxgx para x A x A gx 0 Assim se fx x² e gx x 1 são funções de IR em IR seu quociente é a função hx x²x 1 definida em IR 1 EXERCÍCIOS H4 Se f A B é dada pela lei fx x 1 g B C é dada por gx 2x 1 A 1 2 3 B 0 1 2 3 4 e C 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 determinar os pares ordenados que constituem g o f H5 Se f e g são funções de IR em IR dadas pelas leis fx x³ e gx x 1 obter as leis que definem as compostas g o f f o g f o f e g o g H6 Sejam as funções reais fx x 2 gx x² e hx 2x Determinar h o g o f e f o g o h H7 Determinar funções elementares f e g de modo que g o f F quando F é uma função real dada por uma das leis abaixo a Fx x² 1 b Fx sen x² 4 c Fx tg x³ d Fx tg² x e Fx 2cos x f Fx sen 3x H8 Determinar as funções elementares f g e h de modo que h o g o f F sendo F uma função real dada por Fx cos 2x 3 IV FUNÇÕES INVERSÍVEIS 13 Dada uma função f A B consideremos a relação inversa de f f¹ yx B A xy f Quase sempre f¹ não é uma função ou porque existe y B para o qual não há x A com yx f¹ ou porque para o mesmo y B existem x₁ x₂ A com x₁ x₂ yx₁ f¹ e yx₂ f¹ Vejamos dois exemplos f é função f¹ não é função É imediato que f¹ é uma função quando todo y B é o correspondente de um único x A 14 Definição Uma função f A B é inversível se e somente se a relação inversa de f também é uma função isto é para cada y B existe um único x A tal que y fx Indicase a função inversa de f com a notação f¹ 15 Observações 1ª Sendo f¹ a função inversa de f temos as seguintes propriedades a Df¹ B Imf b Imf¹ A Df c y x f¹ x y f d o gráfico de f¹ é simétrico do gráfico de f em relação à reta y x 2ª Dada a função inversível f A B definida pela lei y fx para obtermos a lei que define f¹ procedemos assim a transformamos algebricamente a expressão y fx até expressarmos x em função de y x f¹y b na lei x f¹y trocamos os nomes das variáveis x por y e viceversa obtendo a lei y f¹x Assim por exemplo se f IR IR é dada por fx 3x 2 e queremos obter a inversa de f temos fx y 3x 2 x y 23 Permutando as variáveis temos y x 23 portanto f¹ é uma função de IR em IR dada por f¹x x 23 16 Inversas notáveis Há algumas funções inversas de funções elementares cuja importância é grande para o estudo que faremos neste volume a a função y x A função f IR IR dada pela lei de correspondência y x² é inversível Sua inversa é f¹ IR IR dada por y x Seus gráficos simétricos em relação à bissetriz do 1º quadrante são os seguintes b a função logarítmica y logₐx 0 a 1 A função f IR IR dada pela lei y aˣ 0 a 1 chamada exponencial é inversível Sua inversa é f¹ IR IR dada por y logₐx chamada logarítmica Dependendo do valor de a os gráficos da logarítmica e da exponencial tomam um dos aspectos seguintes c a função arcoseno y arc sen x A função seno y sen x quando restrita ao domínio π2 π2 e ao contradomínio 1 1 é inversível e sua inversa é a função de 1 1 em π2 π2 dada pela lei y arc sen x A partir da senóide usando a simetria em relação à bissetriz y x construímos o gráfico ao lado d a função arcocosseno y arc cos x A função cosseno y cos x quando restrita ao domínio 0π e ao contradomínio 1 1 é inversível e sua inversa é a função de 1 1 em 0 π dada pela lei y arc cos x Analogamente a função anterior temos o gráfico abaixo Autoditada cria a Análise Gottfried Weilhelm Leibniz nasceu em Leipzig aos quinze anos entrou na Universidade aos dezessete já era bacharel e aos vinte doutorouse em Nuremberg Adquiriu grande conhecimento geral em Teologia Direito Filosofia e Matemática sendo considerado um dos últimos sábios Viajou muito representando o governo como diplomata e numa de suas visitas à Londres em 1643 tornouse membro do Royal Society Leibniz por ser autodidata freqüentemente redescobria teorias e as desenvolvias como é o caso de sua primeira realização em séries infinitas π4 11 13 15 17 expansão da teoria de Gregori Ao estudar um problema proposto por Huygens acabou por fazer uma descoberta o triângulo harmônico análogo ao triângulo de Pascal que fascinava Leibniz Passou então a estudar as obras de Pascal sobre cilóides e séries infinitas generalizando um método importante para soma e diferença de funções tanto racionais como irracionais algébricas ou transcendenttes palavra que ele criou Percebendo a grande importância das notações como auxiliar de pensamento é responsável por muitas delas como dx e dy para diferenciais em x e y ydx para integral e foi o primeiro a empregar as expressões cálculo diferencial cálculo integral e função Usou o ponto para multiplicação e escreveu proporção na forma abcd o que nos sugeriu para indicar divisão Ainda criou a notação para é semelhante a e para é congruente a Leibniz e Newton é que persistiram no uso do sinal criado por Recorde até hoje usado Em 1684 sob o título de Um novo método para máximos e mínimos e também para tangentes que não é obstruído por quantidades irracionais expõe pela primeira vez seu cálculo diferencial dando às fórmulas de derivação dxy xdy ydx dxy ydx xdy y² e dxⁿ n xⁿ¹dx juntamente com aplicações geométricas Sua obra mais famosa é Acta Eruditorum Anotações dos eruditos onde observou uma diferenciação e integração são operações inversas enunciando o teorema fundamental do cálculo e mostrando que as funções transcendenttes são fundamentais em Análise Sua teoria de diferenciação pelas notações que usou foi mais aceita do que a Teoria dos Fluxos de Newton embora os dois tivessem desenvolvido a Análise na mesma época Em 1963 numa carta a LHospital chegou a dar antecipação da teoria dos determinantes Como filósofo pretendia reduzir as discussões lógicas a formas sistemáticas Otimista ao extremo sempre acreditou numa futura universalização da linguagem o que foi muito produtivo para a Matemática Gottfried W Leibniz 1646 1716 CAPÍTULO II LIMITE I NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO 21 Seja a função fx 2x 1x 1x 1 definida para todo x real e x 1 Se x 1 podemos dividir o numerador e o denominador por x 1 obtendo fx 2x 1 Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1 mas diferentes de 1 Atribuindo a x valores próximos de 1 porém menores que 1 temos x 0 05 075 09 099 0999 fx 1 2 25 28 298 2998 Se atribuirmos a x valores próximos de 1 porém maiores que 1 temos x 2 15 125 11 101 1001 fx 5 4 35 32 302 3002 Observemos em ambas as tabelas que quando x se aproxima cada vez mais de 1 fx aproximase cada vez mais de 3 isto é quanto mais próximo de 1 estiver x tanto mais próximo de 3 estará fx Notemos na primeira tabela que x 09 fx 28 isto é x 1 01 fx 3 02 x 099 fx 298 isto é x 1 001 fx 3 002 x 0999 fx 2998 isto é x 1 0001 fx 3 0002 e a segunda tabela nos mostra que x 11 fx 32 isto é x 1 01 fx 3 02 x 101 fx 302 isto é x 1 001 fx 3 002 x 1001 fx 3002 isto é x 1 0001 x 3 0002 portanto pelas duas tabelas vemos que x 1 01 fx 3 02 x 1 001 fx 3 002 x 1 0001 fx 3 0002 Observemos que podemos tornar fx tão próximo de 3 quanto desejarmos bastando para isto tomarmos x suficientemente próximo de 1 Um outro modo de dizermos isto é dizer podemos tornar o módulo da diferença entre fx e 3 tão pequeno quanto desejarmos desde que tomemos o módulo da diferença entre x e 1 suficientemente pequeno É importante perceber que δ depende do ε considerado Nas duas tabelas vemos que 1º x 1 01 fx 3 02 então se for dado ε 02 tomamos δ 01 e afirmamos que 0 x 1 01 fx 3 02 2º x 1 001 fx 3 002 então se for dado ε 002 tomamos δ 001 e temos 0 x 1 001 fx 3 002 3º x 1 0001 fx 3 0002 então se for dado ε 0002 tomamos δ 0001 e temos 0 x 1 0001 fx 3 0002 Notemos que dado ε tomamos δ ε2 Generalizando afirmamos que qualquer que seja o valor positivo ε podemos tomar δ ε2 tal que 0 x 1 δ ε2 fx 3 ε De fato 0 x 1 δ ε2 x 1 ε2 2 x 1 ε 2 x 1 ε 2x 2 ε 2x 1 3 ε fx fx 3 ε Notando que 0 x 1 δ 1 δ x 1 δ e x 1 e fx 3 ε 3 ε fx 3 ε vejamos qual é o significado do ε e δ no gráfico ao lado Para todo x entre 1 δ e 1 δ e x 1 temos os valores de fx entre 3 ε e 3 ε 23 O valor considerado ε2 para δ não é único é simplesmente o maior valor que δ pode assumir Assim se considerarmos δ1 ε3 teremos também 0 x 1 δ1 ε3 fx 3 ε De fato 0 x 1 δ1 ε3 x 1 ε3 2 x 1 2ε3 2x 2 2ε3 2x 1 3 2ε3 fx fx 3 2ε3 mas 2ε3 ε fx 3 ε Considerando δ1 δ percebemos que o intervalo de extremos 1 δ1 e 1 δ1 está contido no intervalo de extremos 1 δ e 1 δ e portanto todo x que satisfaz 1 δ1 x 1 δ1 e x 1 satisfará 1 δ x 1 δ e x 1 e conseqüentemente teremos 3 ε fx 3 ε o que pode ser confirmado no gráfico ao lado Desde que para qualquer valor positivo ε podemos encontrar um valor apropriado para δ tal que 0 x 1 δ fx 3 ε dizemos que o limite de fx para x tendendo a 1 é 3 Em símbolos lim x1 fx 3 II DEFINIÇÃO DE LIMITE 24 Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o número real a Seja f uma função definida para x I a Dizemos que o limite de fx quando x tende a a é L e escrevemos lim xa fx L se para todo ε 0 existir δ 0 tal que se 0 x a δ então fx L ε Em símbolos temos lim xa fx L ε 0 δ 0 0 x a δ fx L ε É importante observarmos nesta definição que nada é mencionado sobre o valor da função quando x a isto é não é necessário que a função esteja definida em a Assim no exemplo anterior vimos que lim x1 2x 1 x 1x 1 lim x1 2x 1 3 mas fx 2x 1 x 1x 1 não está definida para x 1 Pode ocorrer que a função esteja definida em a e lim xa fx fa Por exemplo na função fx 2x 1 se x 1 5 se x 1 temos lim x1 fx lim x1 2x 1 3 f1 É importante ter sempre em mente no cálculo de lim xa fx que interessa o comportamento de fx quando x se aproxima de a e não o que ocorre com f quando x a O próximo teorema afirma que uma função não pode aproximarse de dois números diferentes quando x se aproxima de a É o teorema da unicidade do limite de uma função ele nos garante que se o limite de uma função existe então ele é único III UNICIDADE DO LIMITE 25 Teorema Se lim fx L1 e lim fx L2 então L1 L2 xa xa Demonstração Demonstraremos este teorema por redução ao absurdo Supondo L1 L2 temos lim fx L1 def ε 0 δ1 0 0 x a δ1 fx L1 ε ① xa lim fx L2 def ε 0 δ2 0 0 x a δ2 fx L2 ε ② xa Escrevendo L1 L2 como L1 fx fx L2 e aplicando a desigualdade triangular a b a b a b IR temos L1 L2 L1 fx fx L2 L1 fx fx L2 fx L1 fx L2 Pondo δ min δ1 δ2 temos δ δ1 e δ δ2 e considerando ①e ② temos ε 0 δ min δ1 δ2 0 x a δ fx L1 fx L2 2ε mas L1 L2 fx L1 fx L2 e portanto ε 0 δ min δ1 δ2 0 x a δ L1 L2 2ε Se tomarmos ε L1 L22 vem para ε L1 L22 δ min δ1 δ2 0 x a δ L1 L2 L1 L2 que é uma contradição e portanto a nossa suposição é falsa Logo L1 L2 26 H 27 H EXERCÍCIOS H14 Seja a função f definida por fx 5x 2 para todo x real Se lim fx 8 x2 encontre um δ para ε 001 tal que 0 x 2 δ fx 8 001 Solução fx 8 001 5x 2 8 001 5x 10 001 5 x 2 001 x 2 0002 Se tomarmos δ 0002 teremos 0 x 2 0002 fx 8 001 Notemos que qualquer número positivo menor que 0002 pode ser usado no lugar de 0002 como sendo o δ pedido isto é se 0 δ1 0002 a afirmação 0 x 2 δ1 fx 8 001 é verdadeira porque todo número x que satisfaça a desigualdade 0 x 2 δ1 satisfará também a desigualdade 0 x 2 δ H15 Seja f uma função tal que fx 3x 2 x IR Se lim fx 5 encontre um δ para ε 001 x1 tal que 0 x 1 δ fx 5 001 H16 Dada a função f tal que fx 5 2x x IR determine um número δ para ε 0001 de modo que 0 x 2 δ fx 9 ε sabendo que lim fx 9 x2 H17 Seja a função fx x² 1x 1 definida para todo x real e x 1 Sabendo que lim fx 2 calcular δ de modo que 0 x 1 δ fx 2 001 x1 H18 Supondo conhecido que lim 9x² 43x 2 4 quão próximo de 23 deve estar x para x23 que a fração 9x² 43x 2 esteja próxima de 4 com aproximação inferior a 00001 H19 Usando a definição demonstre que lim 3x 2 5 x1 Solução Devemos mostrar que para qualquer ε 0 existe δ 0 tal que 0 x 1 δ 3x 2 5 ε Notemos que 3x 2 5 ε 3x 3 ε 3 x 1 ε x 1 ε3 Assim se escolhermos δ ε3 teremos ε 0 3 δ ε3 0 0 x 1 δ 3x 2 5 ε De fato se 0 x 1 δ ε3 x 1 ε3 3 x 1 ε 3x 2 5 ε H20 Demonstre usando a definição que a lim 4x 1 7 x2 b lim 4 2x 2 x3 c lim 3x 2 5 x1 H21 Demonstre usando a definição que lim x² 1 x1 Solução Devemos provar ε 0 δ 0 0 x 1 δ x² 1 ε Notemos que x² 1 ε ε x² 1 ε 1 ε x² 1 ε Suponhamos que o valor de δ que queremos encontrar seja menor ou igual a 1 isto é 0 x 1 δ 1 x 1 1 1 x 1 1 0 x 2 e sendo ε 0 tal que se 0 ε 1 então ε ε ou se ε 1 então 0 ε 1 temos 1 ε 1 ε x² 1 ε 1 ε 1 ε x 1 ε 1 ε x 1 ε x 1 1 ε 1 x 1 1 1 ε Notando que 0 1 1 ε 1 ε 1 1 temos para todo ε 0 existe δ 1 1 ε 0 onde ε ε se 0 ε 1 ou 0 ε 1 se ε 1 tal que 0 x 1 δ x² 1 ε De fato 0 x 2 δ x 2 3ε3 ε 3ε3 ε x 2 3ε3 ε x 2 3ε3 ε x 2 3ε3 ε x 2 3ε3 ε x 2 3ε3 ε e x 2 3ε3 ε Notando que 0 3ε3 ε 3ε3 ε temos para todo ε 0 existe δ 3ε3 ε 0 onde ε ε se 0 ε 3 ou 0 ε 3 se ε 3 tal que 0 x 2 δ 9x 1 3 ε IV PROPRIEDADES DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO 26 No parágrafo anterior vimos que para provarmos lim fx L devemos exibir xa um δ 0 para um dado ε 0 Considerando que frequentemente uma função é construída a partir de funções mais simples por exemplo uma função polinomial f é uma soma finita de funções do tipo fix aixi onde ai IR e i IN isto é fx a0 a1x a2x² anxn i0 até n ai xi i0 até n fix Se as funções fi têm limites para x tendendo a a então uma combinação conveniente nos fornece o limite de f quando x tenda a a A fim de que não tenhamos que voltar repetidamente à definição de limite para provarmos lim fx L vamos apresentar as propriedades algébricas do limite xa de uma função No que segue estamos supondo que a é elemento de um intervalo aberto I e que em I a estão definidas as funções f g envolvidas na propriedade 27 1ª Propriedade Se f é a função definida por fx c onde c IR para todo x real então lim c c xa Demonstração Devemos provar ε 0 δ 0 0 x a δ fx c ε É sempre verdadeiro pois fx c c c 0 ε 28 2ª Propriedade Se c IR e lim fx L então lim c fx c lim fx c L xa xa xa Demonstração Devemos considerar dois casos 1º caso c 0 Se c 0 então c fx 0 fx 0 e c L 0 L 0 Pela 1ª propriedade temos lim xa c fx lim xa 0 0 c L 2º caso c 0 Devemos provar ε 0 δ 0 0 x a δ c fx c L ε Temos por hipótese lim xa fx L isto é ε 0 δ1 0 0 x a δ1 fx L ε Então ε 0 considerando εc temos δ 0 0 x a δ fx L εc isto é δ 0 0 x a δ c fx L εc c ε ou seja δ 0 0 x a δ c fx c L ε 29 3ª Propriedade Se lim xa fx L e lim xa gx M então lim xa f gx L M 32 H Demonstração Devemos provar ε 0 δ 0 0 x a δ f gx L M ε ε 0 consideremos ε2 Temos δ1 0 0 x a δ1 fx L ε2 δ2 0 0 x a δ2 gx M ε2 Considerando δ minδ1 δ2 e portanto δ δ1 e δ δ2 vem δ minδ1 δ2 0 x a δ fx L gx M ε2 ε2 ε Mas pela desigualdade triangular temos fx L gx M fx gx L M f gx L M então δ minδ1 δ2 0 x a δ f gx L M ε 30 Esta propriedade pode ser estendida para uma soma de um número finito de funções isto é Se lim xa fix Li i N e 1 i n então lim xa i1n fix i1n Li Demonstração Faremos a demonstração por indução finita 1ª PARTE Para n 1 é verdadeira pois lim xa i11 fix lim xa f1x L1 i11 Li 33 H isto é f gx fx L gx L gx M LM Considerando que 1 lim xa fx L lim xa fx L 0 2 lim xa gx M lim xa gx M 0 3 lim xa fx L 0 e lim xa gx M lim xa fx L gx 0 temos lim xa f gx lim xa fx L gx L gx M LM lim xa fx L gx lim xa L gx M lim xa LM 0 L lim xa gx M LM L 0 LM LM 34 Esta propriedade pode ser estendida para um produto de um número finito de funções isto é se lim xa fix Li então lim xa i1n fix i1n Li i N 1 i n A demonstração por indução finita fica como exercício 35 6ª Propriedade Se lim xa fx L então lim xa fn x Ln n N Tratase do caso particular da propriedade vista no parágrafo 34 fazendo f1 f2 fn f 36 Antes da próxima propriedade vejamos mais dois lemas Lema 3 Se lim xa fx L 0 então existem δ e N positivos tais que 0 x a δ fx N O símbolo i1n fi lêse produtória dos fatores fi com i N 1 i n significa i1n fi f1 f2 f3 fn 36 H Considerando ε M N temos ε 0 δ2 0 0 x a δ2 gx M ε M N Sendo δ min δ1 δ2 vem ε 0 δ min δ1 δ2 0 x a δ 1gx 1M gx M gx M gx M 1gx 1M ε M N N M ε 37 7ª Propriedade Se lim xa fx L e lim xa gx M 0 então lim xa fgx LM Demonstração Pelo lema 4 temos lim xa gx M 0 lim xa 1gx 1M então lim xa fgx lim xa fx 1gx L 1M LM Se lim xa fx L e lim xa gx M então L1 lim xa c c L2 lim xa cfx c lim xa fx c L L3 lim xa f gx lim xa fx lim xa gx L M L4 lim xa f gx lim xa fx lim xa gx L M L5 lim xa f gx lim xa fx lim xa gx L M L6 lim xa fn x lim xa fxn Ln L7 lim xa fgx lim xa fx lim xa gx LM M 0 L8 lim xa nfx nlim xa fx nL se n N e L 0 ou se n é ímpar e L 0 V LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL Uma das consequências das propriedades L é a regra para obter o limite de uma função polinomial 39 Teorema O limite de uma função polinomial fx a0 a1 x a2 x2 an xn Σ ai xi ai R para x tendendo para a é igual ao valor numérico de fx para x a Antes de provarmos esta proposição provemos que lim xa x a É trivialmente verdadeira pois dado ε 0 basta tomarmos δ ε e temos 0 x a ε x a ε Provemos agora que lim xa Σ ai xni Σ ai ani De fato por aplicações sucessivas das propriedades temos lim xa Σ ai xni Σ lim ai xni Σ ai lim xa xni Σ ai ani EXERCÍCIOS H27 Calcule os seguintes limites especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado a lim x2 3x2 5x 2 b lim x1 x2 2x 3 4x 3 c lim x1 2x2 x 1 3x 22 d lim x2 x3 2x2 3x 2x2 4x 3 Solução a pelo teorema da função polinomial T vem lim x2 3x2 5x 2 3 22 5 2 2 4 b lim x1 x2 2x 3 4x 3 L7 lim x1 x2 2x 3 lim x1 4x 3 T 47 47 c lim x1 2x2 x 13x 22 L6 lim x1 2x2 x 13x 22 L7 lim x1 2x2 x 1lim x1 3x 22 T 22 4 d lim x2 x3 2x2 3x 2x2 4x 3 lim x2 x3 2x2 3x 2x2 4x 3 8 2 H28 Calcule os seguintes limites especificando em cada passagem a propriedade ou o teorema utilizado a lim x1 4x2 7x 5 b lim x1 x3 2x2 4x 3 c lim x2 3x 2x2 6x 5 d lim x1 3x2 5x 42x 1 e lim x3 x2 2x 35 3x f lim x2 3x2 2x 5x2 3x 43 g lim x4 x3 3x2 2x 52x2 9x 22 h lim x1 2x2 3x 45x 4 i lim x2 3x3 5x2 x 24x 3 j lim x2 2x2 3x 26 4x H29 Calcular lim x2 x2 4x2 2x Solução Temos lim x2 x2 4 0 e lim x2 x2 2x 0 e nada podemos concluir ainda sobre o limite procurado Os polinômios x24 e x22x anulamse para x2 portanto pelo teorema de DAlembert são divisíveis por x2 isto é x2 4x2 2x x2x2 xx2 x 2x Considerando que no cálculo do limite de uma função quando x tende a a interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x a concluímos lim x2 x2 4x2 2x lim x2 x 2x 2 H30 Calcular os limites a lim x1 x2 1x1 b lim x2 4 x22 x 41H c lim x32 4x2 92x 3 d lim x3 x2 4x 3x2 x 6 e lim x12 2x2 5x 32x2 5x 2 f lim x32 6x2 11x 32x2 5x 12 g lim x1 x3 1x2 1 h lim x2 8 x34 x2 i lim x2 x4 168 x3 H31 Seja a função f definida por fx x2 3x 2x 1 se x 1 3 se x 1 Calcular lim x1 fx Solução Como no cálculo do limite de uma função quando x tende a a interessa o comportamento da função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x a temos lim x1 fx lim x1 x2 3x 2x1 lim x1 x 1x 2 x 1 lim x1 x 2 1 H32 Seja a função f definida por fx 2x2 3x 2x 2 se x 2 3 se x 2 Calcular lim x2 fx H33 Seja a função fx 2x2 9x 9x 3 se x 3 3 se x 3 Mostre que lim x3 fx 3 H34 Calcular lim x1 2x3 x2 4x 1x3 3x2 5x 3 Solução Temos lim x1 2x3 x2 4x 1 0 e lim x1 x3 3x2 5x 3 0 Os polinômios 2x3 x2 4x 1 e x3 3x2 5x 3 anulamse para x1 portanto pelo teorema de DAlembert são divisíveis por x1 isto é x1 é um fator comum em 2x3 x2 4x 1 e x3 3x2 5x 3 Efetuando as divisões de 2x3 x2 4x 1 e x3 3x2 5x 3 por x1 obtemos 2x3 x2 4x 1 x3 3x2 5x 3 x12x2 3x 1 x1x2 2x 3 2x2 3x 1 x2 2x 3 Então lim x1 2x3 x2 4x 1x3 3x2 5x 3 lim x1 2x2 3x 1x2 2x 3 2 H35 Calcular os limites a lim x1 x3 3x2 x 3x3 x2 2 b lim x3 x3 6x 9x3 8x 3 c lim x1 x3 3x2 6x 4x3 4x2 8x 5 d lim x2 x4 10x 4x3 2x2 H36 Calcular lim x1 3x3 4x2 x 22x3 3x2 1 Solução Temos lim x1 3x3 4x2 x 2 0 e lim x1 2x3 3x2 1 0 Efetuando as divisões de 3x3 4x2 x 2 e 2x3 3x2 1 por x1 temos 3x3 4x2 x 22x3 3x2 1 x 13x2 x 2x12x2 x 1 3x2 x 2 2x2 x 1 então lim x1 3x3 4x2 x 22x3 3x2 1 lim x1 3x2 x 22x2 x 1 mas lim x1 3x2 x 2 0 e lim x1 2x2 x 1 0 então lim x1 3x2 x 22x2 x 1 lim x1 x 13x 2x 12x 1 lim x1 3x 22x 1 53 43H H37 Calcular os limites a lim x3 3x 2 x4 4x 3 x1 b lim x4 4x3 x2 12x 12 2x3 7x2 4x 4 x2 c lim x4 x3 x2 5x 4 x3 4x2 5x 2 x1 d lim x4 2x3 5x2 12x 4 2x4 7x3 2x2 12x 8 x2 H38 Calcular os limites a lim x2 a2 x a xa b lim a2 x2 a3 x3 xa c lim xn 1 x 1 x1 d lim xm 1 xn 1 x1 e lim xn an x a xa f lim xm am xn an xa H39 Calcular lim 1 x 2 x 3 x3 Solução Como lim 1 x 2 0 e lim x 3 0 não podemos aplicar a propriedade L7 limite do quociente Multiplicando o numerador e o denominador da fração pelo conjugado do numerador temos 1 x 2 x 3 1 x 21 x 2 x 31 x 2 x 3 x 31 x 2 1 1 x 2 e então lim 1 x 2 x 3 lim 1 1 x 2 1 4 x3 x3 x3 H40 Calcular os limites a lim x 1 x 1 x1 b lim 1 1 x x x0 c lim x 3 2 x 1 x1 d lim 1 2x x2 1 x x0 e lim 1 x 1 x x x0 f lim 2x x 1 x 1 x1 H41 Calcular os limites a lim 3 10 x x2 1 x1 b lim 2 x 1 x2 9 x3 c lim x 3 2 x2 3x 2 x1 d lim x2 4 x 2 3x 2 x2 e lim x2 3x 3 x2 3x 3 x2 3x 2 x1 H42 Calcular lim 3x 2 2 4x 1 3 x2 Solução Como lim 3x 2 2 0 e lim 4x 1 3 0 multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador e também pelo conjugado do denominador 3x 2 2 4x 1 3 3x 2 2 3x 2 2 4x 1 3 4x 1 3 3x 24x 1 3 4x 23x 2 2 34x 1 3 43x 2 2 e então lim 3x 2 2 4x 1 3 lim 34x 1 3 43x 2 2 98 x2 x2 H43 Calcular os limites a lim 2x 1 3 x 2 2 x4 b lim 4 10 x 2 10 x x6 c lim 3x 4 x 4 x 1 1 x0 d lim x2 x 2 x2 x 2 x 2 2 x2 H44 Calcular os limites a lim 2x2 3x 2 2 3x2 5x 1 1 x2 b lim 3x2 4x 2 1 x2 3x 6 2 x1 VI LIMITES LATERAIS 40 Lembremos que ao considerarmos lim fx estávamos interessados no comportamento da função nos valores próximos de a isto é nos valores de x pertencentes a um intervalo aberto contendo a mas diferentes de a e portanto nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que a Entretanto o comportamento em algumas funções quando x está próximo de a mas assume valores menores que a é diferente do comportamento da mesma função quando x está próximo de a mas assume valores maiores que a Assim por exemplo na função fx 4 x se x 1 2 se x 1 x 2 se x 1 atribuindo a x valores próximos de 1 porém menores que 1 à esquerda de 1 temos x 0 05 075 09 099 0999 fx 4 35 325 31 301 3001 e atribuindo a x valores próximos de 1 porém maiores que 1 à direita de 1 temos x 2 15 125 11 101 1001 fx 0 05 075 09 099 0999 Observamos que se está próximo de 1 à esquerda de 1 então os valores da função estão próximos de 3 e se x está próximo de 1 à direita então os valores da função estão próximos de 1 Em casos como este onde supomos x assumindo valores próximos de 1 mas somente a esquerda ou somente a direita de 1 consideramos os limites laterais pela esquerda ou pela direita de 1 que definiremos a seguir 41 Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto a b O limite de fx quando x se aproxima de a pela direita será L e escrevemos lim fx L xa se para todo ε 0 existir δ 0 tal que se 0 x a δ então fx L ε Em símbolos temos lim xa fx L ε 0 δ 0 0 x a δ fx L ε 42 Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto b a O limite de fx quando x se aproxima de a pela esquerda será L e escrevemos lim fx L xa se para todo ε 0 existir δ 0 tal que se δ x a 0 então fx L ε Em símbolos temos lim xa fx L ε 0 δ 0 δ x a 0 fx L ε 43 As propriedades de limites propriedades L e o teorema do limite da função polinomial são válidos se substituirmos x a por x a ou por x a Exemplos Na função f definida por fx x2 4 se x 1 1 se x 1 3 x se x 1 Temos lim x1 fx lim x1 3 x 2 e lim x1 fx lim x1 x² 4 3 Como os limites laterais são diferentes dizemos que lim x1 fx não existe A justificação da não existência de um limite devido ao fato de os limites laterais serem diferentes é dada no teorema que segue 44 Teorema Seja I um intervalo aberto contendo a e seja f uma função definida para x I a Temos lim xa fx L se e somente se existirem lim xa fx e forem ambos iguais a L Demonstração Notando que 0 x a δ δ x a 0 ou 0 x a δ temos lim xa fx L ε 0 δ 0 0 x a δ fx L ε ε 0 δ 0 δ x a 0 ou 0 x a δ fx L ε ε 0 δ 0 δ x a 0 fx L ε e ε 0 δ 0 0 x a δ fx L ε lim xa fx L e lim xa fx L EXERCÍCIOS Nos exercícios H52 a H57 é dada uma função f Calcule os limites indicados se existirem se os limites não existirem especificar a razão H52 fx 3x 2 se x 1 2 se x 1 4x 1 se x 1 a lim x1 fx b lim x1 fx c lim x1 fx H53 fx 3 2x se x 1 4 x se x 1 a lim x1 fx b lim x1 fx c lim x1 fx H54 fx 2x 5 se x 3 4 5x se x 3 a lim x3 fx b lim x3 fx c lim x3 fx H55 fx 1 x² se x 2 0 se x 2 x 1 se x 2 a lim x2 fx b lim x2 fx c lim x2 fx H56 fx x² 3x 2 se x 3 8 2x se x 3 a lim x3 fx b lim x3 fx c lim x3 fx H57 fx 2x² 3x 1 se x 2 1 se x 2 x² 6x 7 se x 2 a lim x2 fx b lim x2 fx c lim x2 fx H58 Dada a função f definida por fx xx para todo x IR calcule lim x0 fx e lim x0 fx Existe lim x0 fx 48 Definição Seja I um intervalo aberto que contém a Seja f uma função definida em I a Dizemos que quando x se aproxima de a fx decresce ilimitadamente e escrevemos lim xa fx se para qualquer número M 0 existir δ 0 tal que se 0 x a δ então fx M Em símbolos temos lim xa fx M 0 δ 0 0 x a δ fx M Insistimos novamente em observar que o símbolo não representa nenhum número real mas indica o que ocorre com a função quando x se aproxima de a 49 Consideremos agora a função h definida por hx 1 x 1 para todo x real e x 1 Atribuindo a x valores próximos de 1 porém menores que 1 temos x 0 05 075 09 099 0999 fx 1 2 4 10 100 1000 e atribuindo a x valores próximos de 1 porém maiores que 1 temos x 2 15 125 11 101 1001 fx 1 2 4 10 100 1000 Observemos que se x assume valores próximos de 1 à esquerda de 1 os valores da função decrescem ilimitadamente e se x assume valores próximos de 1 à direita de 1 então os valores da função crescem ilimitadamente Estamos considerando os limites laterais que são infinitos e escrevemos lim x1 1 x 1 e lim x1 1 x 1 50 Definição Seja I um intervalo aberto que contém a e seja f uma função definida em I a Dizemos que quando x se aproxima de a por valores maiores que a fx cresce ilimitadamente e escrevemos lim xa fx se qualquer que seja o número M 0 existir δ 0 tal que se 0 x a δ então fx M Em símbolos lim xa fx M 0 δ 0 0 x a δ fx M Coloquemos com símbolos as definições de lim xa fx lim xa fx e lim xa fx lim xa fx M 0 δ 0 0 x a δ fx M lim xa fx M 0 δ 0 δ x a 0 fx M lim xa fx M 0 δ 0 δ x a 0 fx M Solução Lembrando que x x se x 0 x se x 0 Temos lim x0 fx lim x0 x x lim x0 x x lim x0 1 1 e lim x0 fx lim x0 x x lim x0 x x lim x0 1 1 Considerando que lim x0 fx lim x0 fx concluímos que não existe lim x0 fx Nos exercícios H59 a H64 é dada uma função f Calcule os limites indicados se existirem H59 fx x 1 x 1 definida em IR 1 a lim x1 fx b lim x1 fx c lim x1 fx H60 fx 3x 2 2 3x definida em IR 23 a lim x23 fx b lim x23 fx c lim x23 fx H61 fx x² 5x 4 x 1 definida em IR 1 a lim x1 fx b lim x1 fx c lim x1 fx H62 fx 3x² 5x 2 x 2 definida em IR 2 a lim x2 fx b lim x2 fx c lim x2 fx H63 fx x³ 6x² 11x 6 x 2 definida em IR 2 a lim x2 fx b lim x2 fx c lim x2 fx H64 fx x³ 4x² x 6 2x² 9x 10 definida em IR 2 52 a lim x2 fx b lim x2 fx c lim x2 fx H65 Dada a função máximo inteiro denotada por fx x para todo x IR calcule se existir a lim x1 x b lim x1 x c lim x1 x d lim x1 x x e lim x1 x x f lim x1 x x g lim x1 x x h lim x1 x x i lim x1 x x H66 Dada a função f definida por fx 3x 2 se x 1 3 se x 1 5 ax se x 1 Determine a IR para que exista lim x1 fx H67 Dada a função f definida por fx 4x 3 se x 2 3x a se x 2 determine a IR para que exista lim x2 fx H68 Dada a função f definida por fx 3x² 5x 2 x 2 se x 2 3 ax x² se x 2 determine a IR para que exista lim x2 fx A função máximo inteiro é a função f IR Z tal que fx x n tal que n x n 1 mas hxjx fxgx fxgx então lim xa fxgx Observação este teorema continua válido se x a for substituido por x a ou x a EXERCÍCIOS H69 Calcule a lim x1 3x 2x 12 b lim x2 1 xx 22 Solução a Como lim x1 3x 2 5 e lim x2 x 12 0 estudemos o sinal de fxgx 3x 2x 12 quando x está próximo de 1 sinal de fx 3x 2 0 sinal de gx x 12 0 sinal de fxgx 3x 2x 12 0 Notemos que fxgx 3x 2x 12 0 quando x está próximo de 1 então lim x1 3x 2x 12 b Como lim x2 1 x 1 e lim x2 x 22 0 estudemos o sinal de fxgx 1 xx 22 quando x está próximo de 2 60H 35 sinal de fx 1 x 0 sinal de gx x 22 0 sinal de fxgx 1 xx 22 0 Notemos que fxgx 1 xx 22 0 quando x está próximo de 2 então lim x2 1 xx 22 H70 Calcule a lim x2 3x 4x 22 b lim x3 2x 3x 12 c lim x1 1 3xx 12 d lim x0 3x2 5x 2x2 e lim x1 5x 2x 1 f lim x2 2x2 5x 3x 2 H71 Calcule a lim x1 2x 1x 1 b lim x1 2x 1x 1 Solução Como lim x1 2x 1 lim x1 2x 1 3 e lim x1 x 1 lim x1 x 1 0 estudemos o sinal de fxgx 2x 1x 1 quando x está próximo de 1 sinal de fx 2x 1 0 sinal de gx x 1 0 sinal de fxgx 2x 1x 1 0 61H 33 Notemos que fxgx 2x 1x 1 0 quando x está próximo de 1 à esquerda então lim x1 2x 1x 1 e fxgx 2x 1x 1 0 quando x está próximo de 1 à direita então lim x1 2x 1x 1 Observemos que não tem significado falarmos em lim x1 2x 1x 1 pois lim x1 2x 1x 1 e lim x1 2x 1x 1 H72 Determine a lim x2 x 4x 2 b lim x2 x 4x 2 c lim x3 1 2xx 3 d lim x3 1 2xx 3 e lim x52 3x 25 2x f lim x52 3x 25 2x g lim x1 2x 3x 13 h lim x1 2x 3x 13 i lim x2 2x2 3x 52 x3 j lim x2 2x2 3x 52 x3 H73 Mostre pela definição que lim x0 1x2 H74 Mostre pela definição que a lim x0 1x3 b lim x0 1x3 62H II PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS Veremos a seguir dez teoremas cujos enunciados serão apresentados com o símbolo x a mas que serão válidos se trocarmos esse símbolo por x a ou x a 52 Teorema Se lim xa fx e lim xa gx então lim xa f gx Demonstração Para provarmos que lim xa f gx devemos provar M 0 δ 0 0 x a δ f gx M mas lim xa fx isto é se tomarmos M2 0 temos M2 0 δ1 0 0 x a δ1 fx M2 e lim xa gx isto é se tomarmos M2 0 temos M2 0 δ2 0 0 x a δ2 gx M2 então considerando δ min δ1 δ2 temos M 0 δ 0 0 x a δ fx gx M2 M2 M 53 Teorema Se lim xa fx e lim xa gx então lim xa f gx A demonstração deste teorema é feita de modo análogo ao teorema anterior deixaremos a cargo do leitor 54 Observação Se lim xa fx lim xa gx lim xa hx e lim xa ix não podemos estabelecer uma lei geral para os seguintes limites 62H Para concluirmos que os valores de uma função cresciam infinitamente ou decresciam infinitamente quando x se aproximava de a pela esquerda ou pela direita de a construímos uma tabela de valores da função quando x estava próximo de a Vejamos como chegar à mesma conclusão sem construirmos essa tabela 51 Teorema Sejam f e g funções tais que lim xa fx c 0 e lim xa gx 0 então I lim xa fxgx se fxgx 0 quando x está próximo de a II lim xa fxgx se fxgx 0 quando x está próximo de a Demonstração Faremos a demonstração de I e deixaremos a prova de II que é feita de modo análogo a cargo do leitor Para demonstrar que lim xa fxgx devemos mostrar M 0 δ 0 0 x a δ fx M Vamos considerar dois casos 1º caso Supondo c 0 Por hipótese temos lim xa fx c 0 isto é ε 0 δ 0 0 x a δ fx c ε Tomemos ε c2 então existe δ1 0 tal que 0 x a δ1 fx c c2 ou seja 0 x a δ1 c2 fx c c2 ou ainda 0 x a δ1 c2 fx 3c2 Assim existe δ1 0 tal que 0 x a δ1 fx c2 0 1 isto é fx 0 quando x está próximo de a Mas por hipótese fxgx 0 quando x está próximo de a então gx 0 quando x está próximo de a Pela definição de lim xa gx 0 temos ε 0 δ2 0 0 x a δ2 gx ε mas gx gx já que gx 0 quando x está próximo de a então ε 0 δ2 0 0 x a δ2 gx ε 2 Com base nas afirmações 1 e 2 podemos concluir que para qualquer ε 0 existe δ min δ1 δ2 tal que 0 x a δ fxgx c2ε Assim dado M 0 seja ε c2M e δ min δ1 δ2 0 onde δ1 e δ2 são números positivos que satisfazem 1 e 2 respectivamente então dado M 0 δ min δ1 δ2 0 tal que 0 x a δ fxgx c2ε c2c2M M o que prova que lim xa fxgx 2º caso Supondo c 0 Se lim xa fx c 0 então lim xa fx c 0 e se fxgx 0 quando x está próximo de a então fxgx 0 quando x está próximo de a Considerando as funções h e j tais que hx fx para todo x do domínio de f e jx gx para todo x do domínio de g temos pelo primeiro caso já demonstrado lim xa hxjx 58H 59H Assim existe δ1 0 tal que 0 x a δ1 fx c2 0 1 isto é fx 0 quando x está próximo de a Mas por hipótese fxgx 0 quando x está próximo de a então gx 0 quando x está próximo de a Pela definição de lim xa gx 0 temos ε 0 δ2 0 0 x a δ2 gx ε mas gx gx já que gx 0 quando x está próximo de a então ε 0 δ2 0 0 x a δ2 gx ε 2 Com base nas afirmações 1 e 2 podemos concluir que para qualquer ε 0 existe δ min δ1 δ2 tal que 0 x a δ fxgx c2ε Assim dado M 0 seja ε c2M e δ min δ1 δ2 0 onde δ1 e δ2 são números positivos que satisfazem 1 e 2 respectivamente então dado M 0 δ min δ1 δ2 0 tal que 0 x a δ fxgx c2ε c2c2M M o que prova que lim xa fxgx 2º caso Supondo c 0 Se lim xa fx c 0 então lim xa fx c 0 e se fxgx 0 quando x está próximo de a então fxgx 0 quando x está próximo de a Considerando as funções h e j tais que hx fx para todo x do domínio de f e jx gx para todo x do domínio de g temos pelo primeiro caso já demonstrado lim xa hxjx lim xa f gx lim xa h ix e lim xa f hx Por exemplo consideremos as funções fx 1x4 e gx 1x2 definidas para todo x real e x 0 Observemos que lim x0 1x4 e lim x0 1x2 e calculemos lim x0 f gx lim x0 fx gx lim x0 1x4 1x2 lim x0 x2 1x4 Se considerarmos as funções fx 1x 1 e gx 3x3 1 definidas em IR 1 teríamos lim x1 1x 1 e lim x1 3x3 1 Mas lim x1 f gx lim x1 fx gx lim x1 1x 1 3x3 1 lim x1 x2 x 2x 1x2 x 1 lim x1 x 1x 2x 1x2 x 1 lim x1 x 2x2 x 1 1 55 Teorema Se lim xa fx e lim xa gx b 0 então I se b 0 lim xa f gx II se b 0 lim xa f gx Demonstração Faremos apenas a demonstração de I Se lim xa gx b 0 então existem α 0 e δ1 0 tais que se 0 x a δ1 então gx α Se lim xa fx então existem Mα 0 e δ2 0 tais que se 0 x a δ2 então fx Mα Considerando δ minδ1 δ2 temos que para todo M 0 existe δ 0 tal que se 0 x a δ então f gx fx gx Mα α M 56 Teorema Se lim xa fx e lim xa gx b 0 então I se b 0 então lim xa f gx II se b 0 então lim xa f gx A demonstração deste teorema ficará como exercício 57 Observação Se lim xa fx ou e lim xa gx 0 onde g não é a função nula não podemos formular uma lei geral para lim xa f gx Por exemplo consideremos as funções f1x 1x2 e f2x 1x4 definidas em R e as funções g1x x4 e g2x x2 definidas em IR Observemos que lim x0 f1x lim x0 1x2 lim x0 f2x lim x0 1x4 lim x0 g1x lim x0 x4 0 e lim x0 g2x lim x0 x2 0 Mas lim x0 f1 g1x lim x0 1x2 x4 lim x0 x2 0 e lim x0 f2 g2x lim x0 1x4 x2 lim x0 1x2 58 Teorema Se lim xa fx e lim xa gx então lim xa f gx Demonstração Se lim xa fx então existem M 0 e δ1 0 tais que se 0 x a δ1 então fx M e se lim xa gx então existem M 0 e δ2 0 tais que se 0 x a δ2 então gx M Considerando δ min δ1 δ2 temos para todo M 0 existe δ 0 tal que se 0 x a δ então fx gx M M M 59 Teorema Se lim xa fx e lim xa gx então lim xa f gx A demonstração deste teorema é feita de modo análogo à do teorema anterior portanto ficará como exercício 60 Teorema Se lim xa fx e lim xa gx então lim xa f gx Demonstrar este teorema a título de exercício 61 Observação Se lim xa fx ou e lim xa gx ou então não podemos estabelecer uma lei geral para lim xa fgx Por exemplo consideremos as funções fx 1x2 gx 1x4 e hx 1x2 definidas em IR Observemos que lim x0 fx lim x0 1x2 lim x0 gx lim x0 1x4 e lim x0 hx lim x0 1x2 Mas lim x0 fgx lim x0 1x2 1x4 lim x0 x2 0 lim x0 ghx lim x0 1x4 1x2 lim x0 1x2 lim x0 hfx lim x0 1x2 1x2 lim x0 1 1 62 Teorema Se lim xa fx então lim xa 1fx 0 Demonstração Se lim xa fx então existem M 0 e δ 0 tal que se 0 x a δ então fx M Mas fx M 0 fx M 1fx 1M Tomando ε 1M temos para todo ε 0 existe δ 0 tal que se 0 x a δ então 1fx 0 ε e portanto lim xa 1fx 0 63 Teorema Se lim xa fx então lim xa 1fx 0 A demonstração ficará a cargo do leitor 64 Teorema Se lim xa fx 0 então lim xa 1fx Demonstração Se lim xa fx 0 então existem ε 0 e δ 0 tais que se 0 x a δ então fx ε Mas fx ε 1fx 1ε Tomando M 1ε temos para todo M 0 existe δ 0 tal que se 0 x a δ então 1fx M e portanto lim xa 1fx 65 Observação Se existir δ tal que para todo x que satisfaça 0 x a δ tenhamos fx 0 então lim xa 1fx lim xa 1fx Se existir δ tal que para todo x que satisfaça 0 x a δ tenhamos fx 0 então lim xa 1fx lim xa 1fx 66 Antes de prosseguirmos façamos um resumo dos teoremas apresentados lembrando que as proposições permanecerão válidas se substituirmos o símbolo x a por x a ou x a Dados Conclusão lim xa fx lim xa gx lim xa f gx lim xa fx lim xa gx lim xa f gx lim xa fx lim xa gx b 0 lim xa f gx se b 0 se b 0 lim xa fx lim xa gx b 0 lim xa f gx se b 0 se b 0 lim xa fx lim xa gx lim xa f gx lim xa fx lim xa gx lim xa f gx lim xa fx lim xa gx lim xa f gx lim xa fx lim xa lim xa 1fx 0 lim xa fx lim xa lim xa 1fx 0 lim xa fx 0 lim xa 1fx Não poderemos estabelecer uma lei para os seguintes casos lim fx xa lim gx xa lim f gx xa lim fx xa lim gx xa lim f gx xa lim fx xa lim gx xa lim f gx xa lim fx ou xa lim gx 0 xa lim f gx xa lim fx ou xa lim gx ou xa lim fg x xa III LIMITES NO INFINITO 67 Seja a função f definida por fx x 2x para todo x real e x 0 Atribuindo a x os valores 1 5 10 100 1000 10000 e assim por diante de tal forma que x cresça ilimitadamente temos x 1 5 10 100 1000 10000 fx 3 14 12 102 1002 10002 Observamos que à medida que x cresce através de valores positivos os valores da função f se aproximam cada vez mais de 1 isto é podemos tornar fx tão próximo de 1 quanto desejarmos se atribuirmos para x valores cada vez maiores Escrevemos então lim x x 2x 1 68 Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto a Dizemos que quando x cresce ilimitadamente fx se aproxima de L e escrevemos lim x fx L se para qualquer número ε 0 existir N 0 tal que se x N então fx L ε Em símbolos temos lim x fx L ε 0 N 0 x N fx L ε 69 Consideremos novamente a função fx x 2x Atribuindo a x os valores 1 5 10 100 1000 10000 e assim por diante de tal forma que x decresça ilimitadamente temos x 1 5 10 100 1000 10000 fx 1 06 08 098 0998 09998 Observamos que à medida que x decresce através de valores negativos os valores da função se aproximam cada vez mais de 1 isto é podemos tornar fx tão próximo de 1 quanto desejarmos se atribuirmos a x valores cada vez menores Escrevemos então lim x x 2x 1 70 Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto a Dizemos que quando x decresce ilimitadamente fx aproximase de L e escrevemos lim x fx L se para qualquer número ε 0 existir N 0 tal que se x N então fx L ε Em símbolos temos lim x fx L ε 0 N 0 x N fx L ε 71 Seja a função fx x² definida para todo x real Atribuindo a x os valores 1 5 10 100 1000 e assim sucessivamente de tal forma que x cresça ilimitadamente temos x 1 5 10 100 1000 fx 1 25 100 10000 1000000 Observamos que à medida que x cresce através de valores positivos os valores da função também crescem e ilimitadamente Em outras palavras dizemos que podemos tornar fx tão grande quanto desejarmos isto é maior que qualquer número positivo tomando para x valores suficientemente grandes e escrevemos lim x fx 72 Se agora atribuirmos a x os valores 1 5 10 100 1000 e assim sucessivamente de tal forma que x decresça ilimitadamente temos x 1 5 10 100 1000 fx 1 25 100 10000 1000000 Observamos que a medida que x decresce através de valores negativos os valores da função crescem e ilimitadamente Em outras palavras dizemos que podemos tornar fx tão grande quanto desejarmos isto é maior que qualquer número positivo tomando para x valores negativos cujos módulos sejam suficientemente grandes e escrevemos lim x fx 73 Definições Seja f uma função definida em um intervalo aberto a Dizemos que quando x cresce ilimitadamente fx cresce também ilimitadamente e escrevemos lim x fx se para qualquer número M 0 existir N 0 tal que se x N então fx M Em símbolos temos lim x fx M 0 N 0 x N fx M Coloquemos com símbolos as definições de lim x fx lim x fx e lim x fx lim x fx M 0 N 0 x N fx M lim x fx M 0 N 0 x N fx M lim x fx M 0 N 0 x N fx M Para concluirmos algo com relação ao comportamento dos valores da função quando x crescia ou decrescia ilimitadamente construímos uma tabela de valores de x e fx Vejamos como chegar à mesma conclusão sem construirmos essa tabela 78 Teorema Se fx a0 a1x a2x2 anxn an 0 e gx b0 b1x b2x2 bmxm bm 0 são funções polinomiais então lim x fxgx lim x anbm xnm e lim x fxgx lim x anbm xnm Demonstração lim x fxgx lim x a0 a1x a2x2 anxnb0 b1x b2x2 bmxm lim x anxna0anxn a1anxn1 a2anxn2 1bmxmb0bmxm b1bmxm1 b2bmxm2 1 lim x anxnbmxm lim x a0anxn a1anxn1 a2anxn2 1b0bmxm b1bmxm1 b2bmxm2 1 lim x anbm xnm 1 lim x anbm xnm EXERCÍCIOS H75 Encontre a lim x 4x2 7x 3 b lim x 3x3 2x2 5x 3 c lim x 5x3 4x2 3x 2 d lim x 3x4 7x3 2x2 5x 4 Solução a lim x 4x2 7x 3 lim x 4x2 b lim x 3x3 2x2 5x 3 lim x 3x3 c lim x 5x3 4x2 3x 2 lim x 5x3 d lim x 3x4 7x3 2x2 5x 4 lim x 3x4 g lim x x2 x 1x 13 x3 h lim x 2x 33xx 1x 2 i lim x 3x 232x3x 14x 1 j lim x 2x 333x 22x5 k lim x x 24 x 142x 33 H81 Encontre a lim x x2 2x 2x 1 b lim x x2 2x 2x 1 Solução Observemos que lim x x2 2x 2 lim x x2 2x 2 lim x x 1 lim x x 1 e não têm significado os símbolos e Notemos que x2 2x 2x 1 x2 1 2x 2x2x 1 x1 2x 2x2x1 1x portanto lim x x2 2x 2x 1 lim x x1 2x 2x2x1 1x lim x 1 2x 2x21 1x 1 e lim x x2 2x 2x 1 lim x x1 2x 2x2x1 1x lim x 1 2x 2x21 1x 1 H82 Encontre a lim x x2 x 1x 1 b lim x x2 x 1x 1 c lim x 2x2 3x 5x4 1 d lim x 2x2 3x 5x4 1 e lim x x21 xx f lim x x xx2 1 g lim x x3x3 1000 h lim x x2 1x 1 H83 Encontre lim x x2 3x 2 x Solução Observemos que lim x x2 3x 2 e lim x x mas carece de significado o símbolo Para obtermos o limite procurado multiplicamos e dividimos x2 3x 2 x por x2 3x 2 x Assim temos x2 3x 2 xx2 3x 2 xx2 3x 2 x x2 3x 2 x2x2 3x 2 x 3x 2x2 3x 2 x Notemos que lim x 3x 2 lim x x2 3x 2 x e o símbolo não tem significado Fazemos então x2 2x 3 x x3 2xx1 3x 2x2 1 3 2x1 3x 2x2 1 portanto lim x x2 2x 3 x lim x 3 2x1 3x 2x2 1 32 H84 Encontre a lim x x2 3x 4 x b lim x x2 3x 4 x c lim x x 4 x 2 d lim x x2 x 1 x e lim x x2 1 x2 1 f lim x x2 4x 5 x2 3x 4 g lim x x x2 4 h lim x x2 ax b x H85 Encontre a lim x x 3x3 5x2 23x3 1 c lim x x2 2x 4 xx x2 x 1 b lim x x x 1x 2 x 3 H86 Encontre a lim x x x x x b lim x x x xx c lim x x 3x 4x4x 1 H87 Mostre pela definição que a lim x x2 b lim x x2 H88 Mostre pela definição que a lim x x3 b lim x x3 IV PROPRIEDADES DOS LIMITES NO INFINITO Veremos em seguida dez teoremas cujos enunciados serão apresentados com o símbolo x e não perdem a validade se esse símbolo for trocado por x Estes teoremas são basicamente os apresentados nas propriedades dos limites infinitos com adaptações para aplicações de limites no infinito 79 Teorema Se lim x fx e lim x gx então lim x f gx Demonstração Para provarmos que lim x f gx devemos provar M 0 N 0 x N f gx M Temos por hipótese lim x fx isto é se tomarmos M2 0 temos M2 0 N1 0 x N1 fx M2 e lim x gx isto é se tomarmos M2 0 temos M2 0 N2 0 x N2 gx M2 então considerando N max N1 N2 temos M 0 N 0 x N fx gx M2 M2 M Faremos a apresentação dos enunciados dos demais teoremas e deixaremos a cargo do aluno as demonstrações 80 Teorema Se lim x fx e lim x gx então lim x f g Observação Se lim x fx lim x gx lim x hx e lim x ix não podemos estabelecer uma lei geral para os seguintes limites lim x f g lim x h ix e lim x f hx Por exemplo consideremos as funções fx 3x 2 e gx 3x 5 definidas para todo x real Observemos que lim x 3x 2 e lim x 3x 5 e calculemos lim x f gx lim x fx gx lim x 3x 2 3x 5 lim x 7 7 Se considerarmos as funções fx 3x2 7x 1 e gx 2x2 2x 3 definidas para todo x real teríamos lim x 3x2 7x 1 e lim x 2x2 2x 3 mas lim x f gx lim x fx gx lim x 3x2 7x 1 2x2 2x 3 lim x x2 9x 4 CAPÍTULO IV COMPLEMENTOS SOBRE LIMITES I TEOREMAS ADICIONAIS SOBRE LIMITES 90 Função limitada Definição Dizemos que uma função f definida em A é limitada em B A se existir um número M 0 tal que para todo x pertencente a B temos fx M isto é M fx M Em símbolos f é limitada em B M 0 x B fx M Decorre da definição que se f é limitada em B então existem a e b reais tais que para todo x B vale a fx b Exemplos 1º A função fx cos x é limitada em IR pois 1 cos x 1 x IR 2º A função fx x³ 1 não é limitada em IR mas é limitada no intervalo 1 1 pois 2 x³ 1 2 para todo x 1 1 91 Teorema Se lim xa fx b então existe um intervalo aberto I contendo a tal que f é limitada em I a Demonstração Devemos provar que se lim xa fx b então existem M 0 e δ 0 tais que se 0 x a δ então fx M De fato se lim xa fx b tomando ε 1 na definição de limite temos ε 1 δ 0 0 x a δ fx b 1 mas fx b fx b portanto fx b 1 fx b 1 fx b 1 pondo M b 1 temos M 0 δ 0 0 x a δ fx M 45 81 Teorema Se lim x fx e lim x gx b 0 então l se b 0 então lim x f gx ll se b 0 então lim x f gx 82 Teorema Se lim x fx e lim x gx b 0 então l se b 0 então lim x f gx ll se b 0 então lim x f gx Observação Se lim x fx ou e lim x gx 0 onde g não é a função nula então não podemos formular uma lei geral para lim x fgx Por exemplo consideremos as funções fx 2x 1 e hx x² 4 definidas em IR e a função gx 1x 1 definida em IR 1 Observemos que lim x fx lim x 2x 1 lim x hx lim x x² 4 lim x gx lim x 1x 1 0 mas lim x f gx lim x fx gx lim x 2x 1x 1 2 lim x h gx lim x hx gx lim x x² 4x 1 83 Teorema Se lim x fx e lim x gx então lim x f gx 84 Teorema Se lim x fx e lim x gx então lim x f gx 85 Teorema Se lim x fx e lim x gx então lim x f gx Observação Se lim x fx ou e lim x gx ou não podemos estabelecer uma lei geral para lim x fgx Por exemplo consideremos as funções fx 2x 3 gx 3x 4 e hx x² 4x 3 definidas em IR Notemos que lim x fx lim x 2x 3 lim x gx lim x 3x 4 lim x hx lim x x² 4x 3 mas lim x fgx lim x fxgx lim x 2x 33x 4 23 lim x hgx lim x hxgx lim x x² 4x 33x 4 46 86 Teorema Se lim x fx então lim x 1fx 0 87 Teorema Se lim x fx então lim x 1fx 0 88 Teorema Se lim x fx 0 então lim x 1fx Observação Se existir N 0 tal que para todo x N tenhamos fx 0 então lim x 1fx lim x 1fx ou se existir N 0 tal que para todo x N tenhamos fx 0 então lim x 1fx lim x 1fx 89 Resumo Faremos agora um resumo dos teoremas apresentados lembrando que as proposições continuam verdadeiras se trocarmos o símbolo x por x Dados Conclusão lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx lim x gx b 0 lim x f gx se b 0 se b 0 lim x fx lim x gx b 0 lim x f gx se b 0 se b 0 lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx lim x 1fx 0 lim x fx lim x 1fx 0 lim x fx 0 lim x 1fx Não podemos estabelecer uma lei para os seguintes casos lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx lim x gx lim x f gx lim x fx ou lim x gx 0 lim x f gx lim x fx ou lim x gx ou lim x fgx 92 Teorema da conservação do sinal Se lim xa fx b 0 então existe um intervalo aberto I contendo a tal que f conserva o mesmo sinal de b em I a Demonstração Sendo lim xa fx b tomando ε b2 na definição de limites temos ε b2 δ 0 0 x a δ fx b b2 b b2 fx b b2 Se b 0 então para todo x tal que 0 x a δ temos fx b b2 b b2 b2 0 f tem o mesmo sinal de b Se b 0 então para todo x tal que 0 x a δ temos fx b b2 b b2 b2 0 f tem o mesmo sinal de b 93 Teorema do confronto Se lim xa gx lim xa hx b e se f é tal que gx fx hx para todo x I a onde I é intervalo aberto que contém a então lim xa fx b Demonstração Sendo lim xa gx lim xa hx b então para todo ε 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que 0 x a δ1 gx b ε b ε gx b ε 0 x a δ2 hx b ε b ε hx b ε Sendo δ min δ1 δ2 temos para todo ε 0 existe δ 0 tal que 0 x a δ b ε gx fx hx b ε b ε fx b ε fx b ε isto é lim xa fx b Se lim x gx lim x hx b e se f é tal que gx fx hx para todo x a então lim x fx b Demonstração Sendo lim x gx lim x hx b então para todo ε 0 existem N1 0 e N2 0 tais que x N1 gx b ε b ε gx b ε x N2 hx b ε b ε hx b ε Sendo N max N1 N2 temos para todo ε 0 existe N 0 tal que x N b ε gx fx hx b ε b ε fx b ε fx b ε isto é lim x fx b Obs O teorema continua válido se substituirmos x por x e a por a 94 Teorema Se lim xa fx b e lim xa gx c com b c então existe um intervalo aberto I contendo a tal que fx gx em I a Demonstração Sendo lim xa fx b e lim xa gx c e tomando ε c b2 na definição de limites temos que existem δ1 0 e δ2 0 tais que 0 x a δ1 fx b c b2 3b c2 fx b c2 0 x a δ2 gx c c b2 b c2 gx 3c b2 Tomando δ min δ1 δ2 temos δ 0 0 x a δ fx b c2 gx fx gx II LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 95 Teorema lim xa sen x sen a a ℝ Demonstração Para demonstrarmos que lim xa sen x sen a demonstremos que lim xa sen x sen a 0 já que lim xa sen x sen a lim xa sen x sen a 0 Temos da trigonometria 0 sen x sen a 2 sen x a2 cos x a2 2 cos x a2 sen x a2 mas sen x a2 x a2 e 2 cos x a2 2 então 0 sen x sen a 2 x a2 0 sen x sen a x a Considerando as funções gx 0 fx sen x sen a e hx x a e notando que lim xa gx lim xa 0 0 lim xa hx lim xa x a 0 Seguese pelo teorema do confronto que lim xa sen x sen a 0 e portanto lim xa sen x sen a 0 ou seja lim xa sen x sen a 49 Tomando δ min δ1 δ2 temos δ 0 0 x a δ fx b c2 gx fx gx 96 Teorema lim xa cos x cos a a ℝ A demonstração deste teorema que é feita de modo análogo à do anterior ficará como exercício 97 Teorema lim xa tg x tg a a π2 kπ k ℤ Demonstração lim xa tg x lim xa sen x cos x lim xa sen x lim xa cos x sen a cos a tg a 98 Teorema limite trigonométrico fundamental lim x0 sen x x 1 Demonstração Da trigonometria temos a 0 x π2 sen x x tg x 1sen x 1x 1tg x I b π2 x 0 sen x x tg x 1sen x 1x 1tg x II 50 Multiplicando as desigualdades I e II por sen x resulta a 0 x π2 sen x 0 sen x sen x sen x x sen x tg x 1 sen x x cos x b π2 x 0 sen x 0 sen x sen x sen x x sen x tg x 1 sen x x cos x Temos portanto para π2 x π2 e x 0 cos x sen x x 1 Considerando gx cos x fx sen x x e hx 1 e notando que lim x0 gx lim x0 cos x cos 0 1 lim x0 hx lim x0 1 1 pelo teorema do confronto temos lim x0 sen x x 1 EXERCÍCIOS H89 Encontre a lim x0 sen 2x x b lim x0 sen 3x sen 5x c lim x0 1 cos x x² Solução a lim x0 sen 2x x lim x0 2 sen 2x 2x 2 1 2 b lim x0 sen 3x sen 5x lim x0 35 sen 3x 3x 5x sen 5x 35 1 1 35 c lim x0 1 cos x x² lim x0 1 cos x1 cos x x² 1 cos x lim x0 sen x² x² 1 1 cos x 12 H90 Encontre a lim x0 sen 3x 2x b lim x0 sen 2x sen x c lim x0 sen ax bx d lim x0 sen ax sen bx e lim x0 tg 2x 3x f lim x0 tg ax bx g lim x0 1 cos x x h lim x0 1 sec x x² i lim x0 tg x sen x x j lim x0 1 cos x x sen x H91 Encontre lim xa sen x sen a x a Solução Da trigonometria temos sen x sen a 2 sen x a2 cos x a2 então lim xa sen x sen a x a lim xa 2 sen x a2 cos x a2 x a lim xa sen x a2 x a2 cos x a2 1 cos a cos a H92 Encontre a lim xa cos x cos a x a b lim xa tg x tg a x a c lim xa sec x sec a x a d lim xπ2 sen x cos x 1 tg x e lim tg x sen x sen2 x x0 f lim sen 3x sen 2x sen x x0 g lim cos 2x cos 3x x2 x0 h lim senx a sen a x x0 i lim cosx a cos a x x0 j lim 1 sen x2 π x xπ k lim 1 2 cos x π 3x xπ3 l lim 1 x2 sen πx x1 m lim cos 2x cos x sen x xπ4 n lim 1 cos3 x sen2 x x0 o lim sen ax sen bx x x0 p lim cos ax cos bx x x0 q lim x sen 2x x sen 3x x0 r lim 1 cos x x2 x0 s lim cos πx2 1 x x1 t lim 1 sen x 1 sen x x x0 H93 Encontre a lim x sen 1x x0 b lim x sen 1x x c lim 1 x tg πx2 x1 d lim cotg 2x cotg π2 x x0 III LIMITES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 99 Teorema Se a ℝ e 0 a 1 então lim ax 1 x0 Demonstração Para provarmos que lim ax 1 devemos provar x0 ε 0 δ 0 0 x δ ax 1 ε 101 Teorema Se a ℝ e a 1 então lim ax e lim ax 0 x x Demonstração Para provarmos que lim ax devemos provar x M 0 N 0 x N ax M Notemos que para todo M 0 temos ax M x loga M Se M 1 tomamos N loga M 0 e temos que para todo M 1 existe N loga M 0 tal que x N ax M Se 0 M 1 tomamos M 1 M determinamos N loga M 0 e temos que para todo M 1 existe N loga M 0 tal que x N ax M Para provarmos que lim ax 0 devemos provar x ε 0 N 0 x N ax ε Notemos que ax ε ax ε x loga ε Se 0 ε 1 tomamos N loga ε 0 tal que x N ax ε Se ε 1 tomamos ε 1 ε determinamos N loga ε 0 e temos que para todo ε 1 existe N loga ε 0 tal que x N ax ε 2 Dado 0 ε2 1 existe δ2 0 tal que 0 x b δ2 fx loga 1 ε2 loga 1 ε2 fx loga 1 ε2 Notemos que para ε1 0 e 0 ε2 1 temos loga 1 ε2 0 loga 1 ε1 Então para todo ε 0 temos 1 Se 0 ε 1 então existe δ min δ1 δ2 tal que 0 x b δ loga 1 ε fx loga 1 ε 1 ε afx 1 ε ε afx 1 ε afx 1 ε 2 Se ε 1 então tomamos 0 ε 1 ε e existe δ 0 tal que 0 x b δ afx 1 ε ε Assim provamos que lim afx 1 para a 1 deixamos a cargo do leitor a demonstração para 0 a 1 que é feita de modo análogo 104 Teorema Se a ℝ 0 a 1 e lim fx c então xb lim afx ac xb Demonstração Por hipótese temos lim fx c isto é lim fx c 0 xb xb Pelo teorema anterior lim fx c 0 lim afx c 1 xb xb Para provarmos que lim afx ac provemos que lim afx ac 0 xb xb Então lim afx ac lim ac afx c 1 xb xb ac lim afx c 1 ac lim afx c 1 xb xb ac 1 1 ac 0 0 EXERCÍCIOS H94 Complete a lim 3x x2 c lim ex x2 b lim 12x x1 d lim 1ex x3 H95 Complete a lim 2x x d lim 13x x b lim 2x x e lim ex x c lim 13x x f lim ex x H96 Complete a lim 22x2 3x 1 x3 c lim e3x 2 x1 x0 b lim 3x2 6x 2 x2 d lim 104x2 6x 2 3x 4 x2 H97 Complete a lim 3x2 4 x 2 x2 d lim 13x3 6x2 11x 6 x2 3x 2 x2 b lim 121 x2 x 1 x1 e lim ex 1 x 1 x1 c lim 2x3 3x 2 x2 x 2 x1 f lim 1ex2 5x 4 x 2 x4 IV LIMITES DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 105 Teorema Se a ℝ e 0 a 1 então lim loga x 0 x1 Demonstração Para provarmos que lim loga x 0 devemos provar x1 ε 0 δ 0 0 x 1 δ loga x ε Supondo a 1 e ε 0 temos que loga x ε ε loga x ε aε x aε aε 1 x 1 aε 1 mas aε 1 0 e aε 1 0 portanto aε 1 x 1 aε 1 x 1 aε 1 e 1 x 1 aε x 1 aε 1 e x 1 1 aε Assim para todo ε 0 existe δ min aε 1 1 aε tal que 0 x 1 δ loga x ε Supondo 0 a 1 e ε 0 temos que loga x ε ε loga x ε aε 1 x aε aε 1 x 1 aε 1 mas aε 1 0 e aε 1 0 portanto aε 1 x 1 aε 1 x 1 aε 1 e 1 x 1 aε x 1 aε 1 e x 1 1 aε Assim para todo ε 0 existe δ min aε 1 1 aε tal que 0 x 1 δ loga x ε 106 Teorema Se a ℝ e 0 a 1 então lim loga x loga b onde b 0 xb Demonstração Para provarmos que lim loga x loga b provemos que lim loga x loga b xb xb 0 Provemos inicialmente que lim loga x b 0 isto é xb ε 0 δ 0 0 x b δ loga x b ε Fazendo xb w isto é x bw e notando que x b bw b b w 1 temos ε 0 δ 0 0 w 1 δb δ loga w ε que é verdadeira pelo teorema anterior Mostremos agora que lim xb loga x loga b 0 De fato lim xb loga x loga b lim xb loga xb 0 107 Teorema Se a ℝ e a 1 então lim x loga x e lim x0 loga x Demonstração Para provarmos que lim x loga x devemos provar M 0 N 0 x N loga x M Notemos que para todo M 0 temos loga x M x aM Assim tomando N aM temos que para todo M 0 existe N aM 0 tal que x N loga x M Para provarmos que lim x0 loga x devemos provar M 0 δ 0 0 x δ loga x M Notemos que loga x M x aM Assim tomando δ aM temos que para todo M 0 existe δ aM 0 tal que 0 x δ loga x M 108 Teorema Se a ℝ e 0 a 1 então lim x loga x e e lim x0 loga x A demonstração deste teorema que é feita de modo análogo à do anterior ficará a cargo do leitor 109 Teorema Se a ℝ 0 a 1 e lim xb fx 1 então lim xb loga fx 0 Demonstração Considerando que lim xb fx 1 e a 1 temos 1 Dado ε₁ 0 existe δ₁ 0 tal que 0 x b δ₁ fx 1 aε₁ 1 1 aε₁ fx 1 aε₁ 1 2 aε₁ fx aε₁ 2 Dado ε₂ 0 existe δ₂ 0 tal que 0 x b δ₂ fx 1 1 aε₂ aε₂ 1 fx 1 2 aε₂ aε₂ fx 2 aε₂ Notemos que para ε₁ 0 e ε₂ 0 temos 0 aε₂ 1 aε₁ então para todo ε 0 existe δ min δ₁ δ₂ tal que 0 x b δ aε fx aε ε loga fx ε loga fx ε Com isso provamos que lim xb loga fx 0 para a 1 Deixamos a cargo do leitor a demonstração para 0 a 1 110 Teorema Se a ℝ 0 a 1 e lim xb fx c 0 então lim xb loga fx loga lim xb fx loga c Demonstração Por hipótese temos lim xb fx c isto é lim xb fxc 1 Pelo teorema anterior lim xb fxc 1 lim xb loga fxc 0 Para provarmos que lim xb loga fx loga c provemos lim xb loga fx loga c 0 Temos lim xb loga fx loga c lim xb loga fxc 0 EXERCÍCIOS H98 Complete a lim x2 log3 x b lim x4 log12 x c lim xe² ln x d lim x1000 log x H99 Complete a lim x log2 x b lim x log12 x c lim x ln x d lim x log01 x e lim x0 ln x f lim x0 log12 x H100 Complete a lim x1 log2 4x² 7x 5 b lim x3 ln 3x² 4x 21 c lim x3 6x 24x 3 d lim x4 log12 3x² 5x 22x² x 2 H101 Complete a lim x1 log3 x² 3x 2x² 5x 4 b lim x0 log x x³x² x c lim x3 ln x 3x 1 2 d lim x2 log 3 1 4x6 x 2 102H Desenvolvendo de modo análogo fn1 1 1n1n1 encontramos fn1 2 Σi1n 1i1 Πj1i 1 jn1 Para provarmos que fn1 fn devemos provar a Σi1n1 11i Πj1i 1 jn1 Σi1n 11i Πj1i 1 jn b 1n1 Πj1i 1 jn1 0 Prova de a Notemos que para todo jℕ e 1 j n1 temos jn1 jn jn1 jn 1 jn1 1 jn Πj1n1 1 jn1 Πj1n1 1 jn 11i Πj1i 1 jn1 11i Πj1i 1 jn Σi1n1 11i Πj1i 1 jn1 Σi1n1 11i Πj1i 1 jn Prova de b 1n1 Πj1n 1 jn1 1n1 Πj1n n1 jn1 1n1 1n1n Πj1n n1 j 1n1 1n1n n 1n1n1 0 pois n ℕ Demonstração de 2 Considerando que em 1 provamos que f é crescente em ℕ seguese que f assumirá o menor valor para n 1 então f1 1 111 2 portanto fn 2 para todo n ℕ Provemos agora que fn 3 para todo n ℕ Notemos que para todo j ℕ 1 j n1 temos 1 jn 1 Πj1n1 1 jn 1 e para todo i ℕ 1 i n1 temos 1i 2i 11i 12i portanto para todo i ℕ j ℕ 1 i n1 e 1 j n1 temos 11i Πj1i 1 jn 12i Mas Σi1n 12i é a soma dos termos de uma progressão geométrica portanto Σi1n1 12i 12 12² 12³ 12n1 1 12n1 1 logo Σi1n1 11i Πj1i 1 jn Σi1n1 12i 1 fn 2 Σi1n1 11i Πj1i 1 jn 3 Demonstração de 3 Considerando que f é crescente e limitada em ℕ seja L 2 L 3 tal que 1º fn L para todo n ℕ 2º se fn K para todo n ℕ então K L Fica como exercício provar por indução finita que 1 i 2i i ℕ Mostremos que lim n fn L De fato para todo ε 0 existe n₁ N tal que fn₁ L ε Tomando M n₁ temos para todo ε 0 e n M L ε fn₁ fn L L ε isto é para todo ε 0 existe M 0 tal que n M fn L ε 112 Definição do número e Chamamos de e o limite da função fn 1 1nⁿ definida em N quando n tende a e lim n 1 1nⁿ O número e é um número irracional Um valor aproximado de e é 27182818284 113 Teorema Seja a função fx 1 1xˣ definida em x IR x 1 ou x 0 então lim x 1 1xˣ e Demonstração Sejam n e n 1 dois números inteiros positivos e consecutivos Para todo x tal que n x n 1 temos n x n 1 1n 1x 1n 1 1 1n 1 1x 1 1n 1 Considerando que n x n 1 resulta 1 1n 1ⁿ 1 1xˣ 1 1nⁿ¹ Mas lim n 1 1n 1ⁿ lim n 1 1n 1ⁿ¹ 1 1n 1 lim n 1 1n 1ⁿ¹ lim n 1 1n 1 e1 e 2 lim n 1 1nⁿ¹ lim n 1 1nⁿ 1 1n lim n 1 1nⁿ lim n 1 1n e 1 e então pelo Teorema do Confronto temos lim x 1 1xˣ e 114 Teorema Seja f a função definida em x IR x 1 ou x 0 por fx 1 1xˣ então lim x 1 1xˣ e Demonstração Fazendo x w 1 e notando que se x tende a então w tende a temos lim x 1 1xˣ lim w 1 1w 1w1 lim w w w 1w1 lim w w 1w ʷ¹ lim w 1 1wʷ¹ lim w 1 1wʷ 1 1w lim w 1 1wʷ lim w 1 1w e 1 e 115 Teorema Seja a função definida em x IR 1 x 0 por fx 1 x¹ˣ então lim x0 1 x¹ˣ e Demonstração Fazendo x 1y obtemos 1 x¹ˣ 1 1yʸ e notando que x 0 y x 0 y temos lim x0 1 x¹ˣ lim y 1 1yʸ e lim x0 1 x¹ˣ lim y 1 1yʸ e portanto lim x0 1 x¹ˣ e 116 Teorema Se a 0 então lim x0 aˣ 1 x ln a Demonstração Para a 1 temos lim x0 aˣ 1 x lim x0 1ˣ 1 x lim x0 0 0 ln 1 Supondo 0 a 1 e fazendo aˣ 1 w temos aˣ 1 w aˣ 1 w ln aˣ ln1 w x ln a ln1 w x ln1 w ln a Notemos que aˣ 1 x aˣ 1 1x w ln a ln1 w Notando que se x tende a zero então w também tende a zero temos lim x0 aˣ 1 x lim w0 w ln a ln1 w ln a lim w0 w ln1 w ln a lim w0 1 1w ln1 w ln a ln e ln a EXERCÍCIOS H102 Calcular a lim x 1 1x²ˣ b lim x 1 3xˣ Solução a lim x 1 1x²ˣ lim x 1 1xˣ² lim x 1 1xˣ² e² b Fazendo w x3 temos lim x 1 3xˣ lim w 1 1w³ʷ lim w 1 1wʷ³ e³ H103 Calcular a lim x 1 1x³ˣ b lim x 1 1xˣ² c lim x 1 4xˣ d lim x 1 2x³ˣ e lim x 1 3xˣ⁴ f lim x 1 axˣ g lim x 1 axʙˣ h lim x xx 1ˣ H104 Calcular a lim x 1 1xˣ b lim x 1 2xˣ c lim x 1 1x³ˣ d lim x 1 3x²ˣ H105 Calcular lim x x 1x 1ˣ Solução lim x x 1x 1ˣ lim x x 1x x 1x ˣ lim x 1 1x 1 1x ˣ lim x 1 1xˣ lim x 1 1xˣ e 1e e² H106 Calcular a lim x x 4x 3ˣ b lim x x 2x 1ˣ c lim x x 3x 2ˣ d lim x x 4x 1ˣ³ e lim x x² 1x² 3ˣ² H107 Calcular a lim x 2x 32x 1ˣ b lim x 2x 12x 1ˣ c lim x 3x 23x 1²ˣ H108 Calcular a lim x0 e²ˣ 1 x b lim x0 2³ˣ 1 x c lim x0 e²ˣ 1 e³ˣ 1 d lim x0 3²ˣ 1 2⁵ˣ 1 e lim x2 eˣ e² x 2 f lim xa eˣ eª x a g lim xa 2ˣ 2ª x a H109 Calcular a lim x0 ln1 x x b lim x0 log1 x x c lim x0 ln1 2x x d lim x0 log1 3x x H110 Calcular lim x0 X1 2x CAPÍTULO V CONTINUIDADE I NOÇÃO DE CONTINUIDADE 117 Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I Dizemos que f é contínua em a se lim xa fx fa Notemos que para falarmos em continuidade de uma função em um ponto é necessário que este ponto pertença ao domínio da função Da definição decorre que se f é contínua em a então as três condições deverão estar satisfeitas 1º existe fa 2º existe lim xa fx 3º lim xa fx fa 118 Definição Seja f uma função definida em um intervalo aberto I e a um elemento de I Dizemos que f é descontínua em a se f não for contínua em a Observemos também que para falarmos em descontinuidade de uma função em um ponto é necessário que esse ponto pertença ao domínio da função Da definição decorre que se f é descontínua em a então as duas condições abaixo deverão estar satisfeitas 1º existe fa 2º não existe lim xa fx ou lim xa fx fa 74 Teorema Se c IR então lim x c lim x c c Demonstração A demonstração é bastante simples já que ε 0 N 0 x N 0 c c ε é trivialmente verdadeira e portanto lim x c c 75 Teorema Se n é um número inteiro e positivo então I lim x xⁿ II lim x xⁿ se n é par se n é ímpar Demonstração Faremos a demonstração de II por indução sobre n 1º caso n é ímpar A proposição é verdadeira para n 1 pois M 0 M 0 x M x M lim x x Supondo que a proposição seja verdadeira para n p mostremos que é verdadeira para n p 2 isto é se lim x xᵖ então lim x xᵖ ² De fato por aplicações sucessivas dos teoremas já vistos temos lim x xᵖ ² lim x xᵖ x² lim x xᵖ lim x x² Mas lim x x² lim x x lim x x e lim x xᵖ portanto lim x xᵖ ² As demonstrações para o caso em que n é par e da parte I ficam como exercícios 76 Teorema Se n é um número inteiro positivo então I lim x 1xⁿ 0 II lim x 1xⁿ 0 Demonstração Fica como exercício 77 Teorema Se fx a₀ a₁x a₂x² aₙxⁿ aₙ 0 é uma função polinomial então lim x fx lim x aₙxⁿ e lim x fx lim x aₙxⁿ Demonstração Por aplicações sucessivas das propriedades e teoremas temos lim x fx lim x a₀ a₁x a₂x² aₙxⁿ lim x aₙxⁿ a₀aₙxⁿ a₁aₙxⁿ ¹ a₂aₙxⁿ ² 1 lim x aₙxⁿ lim x a₀aₙxⁿ a₁aₙxⁿ ¹ a₂aₙxⁿ ² 1 lim x aₙxⁿ pois lim x a₀aₙxⁿ a₁aₙxⁿ ¹ a₂aₙxⁿ ² 1 lim x a₀aₙ lim x 1xⁿ lim x a₁aₙ lim x 1xⁿ ¹ lim x a₂aₙ lim x 1xⁿ ² lim x 1 1