Um Curso de Cálculo Vol 1 Hamilton Luiz Guidorizzi - Livro PDF

Download de livros em pdf httplivrospdfcienciasexatasblogspotcombr UM CURSO DE CÁLCULO Vol 1 abdr ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE DIREITOS REPROGRÁFICOS Respeite o direito autoral O GEN Grupo Editorial Nacional reúne as editoras Guanabara Koogan Santos Roca AC Farmacêutica Forense Método LTC EPU e Forense Universitária que publicam nas áreas científica técnica e profissional Essas empresas respeitadas no mercado editorial construíram catálogos inigualáveis com obras que têm sido decisivas na formação acadêmica e no aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e de estudantes de Administração Direito Enfermagem Engenharia Fisioterapia Medicina Odontologia Educação Física e muitas outras ciências tendo se tornado sinônimo de seriedade e respeito Nossa missão é prover o melhor conteúdo científico e distribuílo de maneira flexível e conveniente a preços justos gerando benefícios e servindo a autores docentes livreiros funcionários colaboradores e acionistas Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade sem comprometer o crescimento contínuo e a rentabilidade do grupo UM CURSO DE CÁLCULO Vol 1 HAMILTON LUIZ GUIDORIZZI Professor do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo 5ª edição LTC O autor e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços do autor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bemvindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 1985 1987 1997 2000 2001 by Hamilton Luiz Guidorizzi LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tels 2135430770 1150800770 Fax 2135430896 ltcgrupogencombr wwwltceditoracombr Capa Dan Palatnik 1ª edição 1985 Reimpressão 1986 2ª edição 1987 Reimpressões 1988 1989 duas 1990 1991 duas 1992 1993 1994 duas e 1995 duas 3ª edição 1997 Reimpressões 1998 e 1999 4ª edição 2000 Reimpressão 2000 5ª edição 2001 Reimpressões 2001 2003 2004 2006 2007 2008 duas 2009 duas 2010 2011 2012 duas e 2013 CIPBRASIL CATALOGAÇÃONAFONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ G972c 5ed v1 Guidorizzi Hamilton Luiz Um curso de cálculo vol 1 Hamilton Luiz Guidorizzi 5ed Reimpr Rio de Janeiro LTC 2013 380p Contém exercícios e respectivas respostas sugestões ou soluções Apêndices Inclui bibliografia ISBN 9788521622444 1 Cálculo I Título 084055 CDD 515 CDU 51723 À Celene PREFÁCIO Este livro baseiase nos cursos de Cálculo ministrados aos alunos da Escola Politécnica da USP do Instituto de Matemática e Estatística da USP e do Instituto de Ensino de Engenharia Paulista IEEP Os assuntos abordados neste volume são os de limite derivada e integral de funções de uma variável real O curso é desenvolvido de forma que os conceitos e teoremas apresentados venham sempre que possível acompanhados de uma motivação ou interpretação geométrica ou física As demonstrações de alguns teoremas ou foram deixadas para o final da seção ou colocadas em apêndice o que significa que o leitor poderá numa primeira leitura omitilas se assim o desejar Muitos problemas que ocorrem muito cedo na Física requerem para suas resoluções o conhecimento de equações diferenciais por esse motivo é importante que o aluno entre em contato com elas o mais rápido possível Neste volume no Cap 14 estudamos as equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem de variáveis separáveis e as lineares de 1ª ordem Deixamos para o início do Vol 2 o estudo das equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes Outros tipos de equações diferenciais serão estudados ao longo dos Vols 2 3 e 4 Para atender ao curso de Física talvez haja necessidade de o professor ter que antecipar o estudo das integrais se este for o caso sugerimos deixar o capítulo sobre o estudo das variações das funções Cap 9 para ser estudado após o Cap 14 Quanto aos exemplos e exercícios pensamos têlos colocado em número suficiente para a compreensão da matéria Procuramos dispor os exercícios em ordem crescente de dificuldade Existem exercícios que apresentam certas sutilezas e que requerem para suas resoluções um maior domínio do assunto deste modo não se aborreça caso não consiga resolver alguns deles tudo que você terá que fazer nestas horas é seguir em frente e retornar a eles quando se sentir mais senhor de si Colocome à disposição para quaisquer esclarecimentos ou troca de ideias tanto pessoalmente quanto por carta aos cuidados da Editora Ficaria ainda muito feliz em receber sugestões ou críticas visando a um aprimoramento do texto Observamos que o 2º Teorema Fundamental do Cálculo bem como as integrais impróprias serão vistos no Vol 2 Na 4ª edição foram incluídos dois capítulos um atual Cap 13 e que antes fazia parte do Vol 2 sobre aplicações das integrais ao cálculo de volumes de sólidos de revolução de áreas de superfícies de revolução de comprimentos de curvas de áreas e comprimentos de curvas em coordenadas polares e de centros de massa e outro novo Cap 17 sobre Arquimedes Pascal Fermat e o cálculo de áreas Três novas seções sobre integração de funções trigonométricas foram acrescentadas ao Cap 12 A Seção 129 exercícios do capítulo da edição anterior foi eliminada e os exercícios distribuídos pelas seções do capítulo A Seção 18 Princípio de Indução Finita da edição anterior foi também eliminada e parte dela deslocada para a Seção 172 Nesta 5ª edição foram feitas uma revisão meticulosa do texto e correções de algumas falhas gráficas relacionadas ao texto e às figuras Não poderíamos deixar de agradecer pela cuidadosa leitura do manuscrito às colegas Élvia Mureb Sallum e Zara Issa Abud É ainda com satisfação que agradeço ao colega Nelson Achcar pelas sugestões e comentários que muito contribuíram para o aprimoramento das apostilas precursoras deste livro Finalmente agradecemos à Editora LTC pelo excelente trabalho gráfico e pela forma cordial com que sempre nos tratou Hamilton Luiz Guidorizzi Material Suplementar Este livro conta com o seguinte material suplementar Manual de Soluções restrito a docentes O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgeniogrupogencombr 1 11 12 13 14 15 16 17 2 21 22 23 24 3 31 32 33 34 35 36 37 38 39 4 41 42 43 44 45 SUMÁRIO Números reais Os números racionais Os números reais Módulo de um número real Intervalos Propriedade dos intervalos encaixantes e propriedade de Arquimedes Existência de raízes Potência com expoente racional Funções Funções de uma variável real a valores reais Funções trigonométricas seno e cosseno As funções tangente cotangente secante e cossecante Operações com funções Limite e continuidade Introdução Definição de função contínua Definição de limite Limites laterais Limite de função composta Teorema do confronto Continuidade das funções trigonométricas O limite fundamental Propriedades operatórias Demonstração do Teorema do Confronto Extensões do conceito de limite Limites no infinito Limites infinitos Sequência e limite de sequência Limite de função e sequências O número e 5 6 61 62 63 7 71 72 73 74 75 76 77 78 79 710 711 712 713 714 715 716 717 8 81 82 9 91 92 93 94 95 96 Teoremas do anulamento do valor intermediário e de Weierstrass Funções exponencial e logarítmica Potência com expoente real Logaritmo O limite Derivadas Introdução Derivada de uma função Derivadas de xn e Derivadas de ex e ln x Derivadas das funções trigonométricas Derivabilidade e continuidade Regras de derivação Função derivada e derivadas de ordem superior Notações para a derivada Regra da cadeia para derivação de função composta Aplicações da regra da cadeia Derivada de f x gx Derivação de função dada implicitamente Interpretação de como um quociente Diferencial Velocidade e aceleração Taxa de variação Problemas envolvendo reta tangente e reta normal ao gráfico de uma função Exercícios do capítulo Funções inversas Função inversa Derivada de função inversa Estudo da variação das funções Teorema do valor médio TVM Intervalos de crescimento e de decrescimento Concavidade e pontos de inflexão Regras de LHospital Gráficos Máximos e mínimos 97 98 10 101 102 11 111 112 113 114 115 116 117 118 12 121 122 123 124 125 126 127 128 129 1210 1211 13 131 132 Condição necessária e condições suficientes para máximos e mínimos locais Máximo e mínimo de função contínua em intervalo fechado Primitivas Relação entre funções com derivadas iguais Primitiva de uma função Integral de Riemann Partição de um intervalo Soma de Riemann Integral de Riemann definição Propriedades da integral 1o teorema fundamental do cálculo Cálculo de áreas Mudança de variável na integral Trabalho Técnicas de primitivação Primitivas imediatas Técnica para cálculo de integral indefinida da forma Integração por partes Mudança de variável Integrais indefinidas do tipo Primitivas de funções racionais com denominadores do tipo x α x β x γ Primitivas de funções racionais cujos denominadores apresentam fatores irredutíveis do 2o grau Integrais de produtos de seno e cosseno Integrais de potências de seno e cosseno Fórmulas de recorrência Integrais de potências de tangente e secante Fórmulas de recorrência A mudança de variável Mais algumas aplicações da integral Coordenadas polares Volume de sólido obtido pela rotação em torno do eixo x de um conjunto A Volume de sólido obtido pela rotação em torno do eixo y de um conjunto A 133 134 135 136 137 138 139 14 141 142 143 144 145 146 15 151 152 153 16 161 162 163 17 171 172 173 Apêndice 1 A11 A12 A13 A14 Apêndice 2 A21 A22 Volume de um sólido qualquer Área de superfície de revolução Comprimento de gráfico de função Comprimento de curva dada em forma paramétrica Área em coordenadas polares Comprimento de curva em coordenadas polares Centro de massa Equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis e lineares Equações diferenciais alguns exemplos Equações diferenciais de 1ª ordem de variáveis separáveis Soluções constantes Soluções não constantes Método prático para determinar as soluções não constantes Equações diferenciais lineares de 1ª ordem Teoremas de Rolle do valor médio e de Cauchy Teorema de Rolle Teorema do valor médio Teorema de Cauchy Fórmula de Taylor Aproximação local de uma função diferenciável por uma função afim Polinômio de Taylor de ordem 2 Polinômio de Taylor de ordem n Arquimedes Pascal Fermat e o cálculo de áreas Quadratura da parábola método de Arquimedes Pascal e o cálculo de áreas Fermat e o cálculo de áreas Propriedade do supremo Máximo mínimo supremo e ínfimo de um conjunto Propriedade do supremo Demonstração da propriedade dos intervalos encaixantes Limite de função crescente ou decrescente Demonstrações dos teoremas do Cap 5 Demonstração do teorema do anulamento Demonstração do teorema do valor intermediário A23 A24 Apêndice 3 A31 A32 Apêndice 4 A41 A42 A43 A44 A45 A46 Apêndice 5 Apêndice 6 A61 A62 A63 A64 A65 A66 A67 A68 Teorema da limitação Demonstração do teorema de Weierstrass Demonstrações do teorema da Seção 61 e da Propriedade 7 da Seção 22 Demonstração do teorema da Seção 61 Demonstração da Propriedade 7 da Seção 22 Funções integráveis segundo Riemann Uma condição necessária para integrabilidade Somas superior e inferior de função contínua Integrabilidade das funções contínuas Integrabilidade de função limitada com número finito de descontinuidades Integrabilidade das funções crescentes ou decrescentes Critério de integrabilidade de Lebesgue Demonstração do teorema da Seção 134 Construção do corpo ordenado dos números reais Definição de número real Relação de ordem em ℝ Adição em ℝ Propriedades da adição Multiplicação em ℝ Propriedades da multiplicação Teorema do supremo Identificação de ℚ com Respostas Sugestões ou Soluções Bibliografia Índice CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 15 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 11 CAPÍTULO 12 CAPÍTULO 13 CAPÍTULO 14 CAPÍTULO 16 CAPÍTULO 17 APÊNDICE 1 APÊNDICE 2 Assuntos abordados nos demais volumes Volume 2 Funções integráveis Função dada por integral Extensões do conceito de integral Aplicações à estatística Equações diferenciais lineares de 1ª e 2ª ordens com coeficientes constantes Os espaços ℝn Função de uma variável real a valores em ℝn Curvas Funções de várias variáveis reais a valores reais Limite e continuidade Derivadas parciais Funções diferenciáveis Regra da cadeia Gradiente e derivada direcional Derivadas parciais de ordens superiores Teorema do valor médio Fórmula de Taylor com resto de Lagrange Máximos e mínimos Mínimos quadrados Funções de uma variável real a valores complexos Uso da HP48G Excel e Mathcad Volume 3 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 11 APÊNDICE 1 APÊNDICE 2 APÊNDICE 3 APÊNDICE 4 APÊNDICE 5 CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 2 CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6 CAPÍTULO 7 Funções de várias variáveis reais a valores vetoriais Integrais duplas Cálculo de integral dupla Teorema de Fubini Mudança de variáveis na integral dupla Integrais triplas Integrais de linha Campos conservativos Teorema de Green Área e integral de superfície Fluxo de um campo vetorial Teorema da divergência ou de Gauss Teorema de Stokes no espaço Teorema de Fubini Existência de integral dupla Equação da continuidade Teoremas da função inversa e da função implícita Brincando no Mathcad Volume 4 Sequências numéricas Séries numéricas Critérios de convergência e divergência para séries de termos positivos Séries absolutamente convergentes Critério da razão para séries de termos quaisquer Critérios de Cauchy e de Dirichlet Sequências de funções Série de funções CAPÍTULO 11 CAPÍTULO 12 CAPÍTULO 13 CAPÍTULO 14 APÊNDICE 1 CAPÍTULO 8 CAPÍTULO 9 CAPÍTULO 10 CAPÍTULO 15 APÊNDICE 2 APÊNDICE 3 Série de potências Introdução às séries de Fourier Equações diferenciais de 1ª ordem Equações diferenciais lineares de ordem n com coeficientes constantes Sistemas de duas e três equações diferenciais lineares de 1ª ordem e com coeficientes constantes Equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes variáveis Teoremas de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais de 1ª e 2ª ordens Tipos especiais de equações Teorema de existência e unicidade para equação diferencial de 1ª ordem do tipo y f x y Sobre séries de Fourier O incrível critério de Kummer 11 1 NÚMEROS REAIS O objetivo deste capítulo é a apresentação das principais propriedades dos números reais Não nos preocuparemos aqui com a definição de número real que é deixada para o Apêndice 6 No que segue admitiremos a familiaridade do leitor com as propriedades dos números naturais inteiros e racionais Mesmo admitindo tal familiaridade gostaríamos de falar rapidamente sobre os números racionais É o que faremos a seguir OS NÚMEROS RACIONAIS Os números racionais são os números da forma sendo a e b inteiros e b 0 o conjunto dos números racionais é indicado por ℚ assim no qual ℤ indica o conjunto dos números inteiros ℤ 3 2 1 0 1 2 3 Indicamos ainda por ℕ o conjunto dos números naturais ℕ 0 1 2 3 Observamos que ℕ é subconjunto de ℤ que por sua vez é subconjunto de ℚ isto é todo número natural é também número inteiro e todo inteiro é também número racional Sejam dois racionais quaisquer A soma e o produto destes racionais são obtidos da seguinte forma A operação que a cada par de números racionais associa a sua soma denomina se adição e a que associa o produto denominase multiplicação O número racional se diz positivo se a b ℕ se a b ℕ e a 0 então se diz estritamente positivo Sejam r e s dois racionais dizemos que r é estritamente menor que s ou que s é estritamente maior que r e escrevemos r s respectivamente s r se existe um racional t estritamente positivo tal que s r t A notação r s leia r menor ou igual a s ou simplesmente r menor que s é usada para indicar a afirmação r s ou r s A notação r s leia r maior ou igual a s ou simplesmente r maior que s é equivalente a s r Observe que r positivo equivale a r 0 Se r 0 dizemos que r é negativo A quádrupla ℚ satisfaz as seguintes propriedades x y z são racionais quaisquer Associativa A1 x y z x y z M1 xy z x yz Comutativa A2 x y y x M2 xy yx Existência de elemento neutro A3 x 0 x M3 x 1 x 1 0 Existência de oposto A4 Para todo racional x existe um único racional y tal que x y 0 Tal y denominase oposto de x e indicase por x Assim x x 0 Existência de inverso M4 Para todo racional x 0 existe um único racional y tal que x y 1 Tal y denominase inverso de x e indicase por x1 ou Assim x x1 1 Distributiva da multiplicação em relação à adição D xy z xy xz Reflexiva O1 x x Antissimétrica O2 x y e y x x y leiase se x y e y x então x y ou x y e y x implica x y Transitiva O3 x y e y z x z Quaisquer que sejam os racionais x e y O4 x y ou y x Compatibilidade da ordem com a adição OA x y x z y z Somandose a ambos os membros de uma desigualdade um mesmo número o sentido da desigualdade se mantém Compatibilidade da ordem com a multiplicação OM x y e 0 z x z y z Multiplicandose ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número positivo o sentido da desigualdade se mantém Observação Seja um conjunto qualquer com pelo menos dois elementos e suponhamos que em estejam definidas duas operações indicadas por e se a terna satisfizer as propriedades A1 a A4 M1 a M4 e D diremos que é um corpo Se além disso em estiver definida uma relação de modo que a quádrupla satisfaça todas as 15 propriedades anteriormente listadas então diremos que é um corpo ordenado Segue que ℚ é um corpo ordenado entretanto ℤ não é corpo ordenado pois M4 não se verifica Os números racionais podem ser representados geometricamente por pontos de uma reta Para isto escolhemse dois pontos distintos da reta um representando o 0 e o outro o 1 Tomandose o segmento de extremidades 0 e 1 como unidade de medida marcamse os representantes dos demais números racionais Se o ponto P for o representante do número racional r diremos que r é a abscissa de P Na figura acima é a abscissa de A 5 é a abscissa de B Todo número racional r é abscissa de um ponto da reta entretanto nem todo ponto da reta tem abscissa racional Antes de construir um ponto da reta que não tem abscissa racional vejamos os seguintes exemplos EXEMPLO 1 Seja a um número inteiro Prove i se a for ímpar então a2 também será ímpar ii se a2 for par então a também será par Solução i Como a é ímpar a é da forma a 2k 1 k inteiro Então a2 2k 12 4k2 4k 1 22k2 2k 1 como 2k2 2k é inteiro resulta a2 ímpar ii Por hipótese a2 é par se a fosse ímpar por i teríamos a2 também ímpar que contraria a hipótese Assim a2 par a par EXEMPLO 2 A equação x2 2 não admite solução em ℚ Solução De fato suponhamos por absurdo que exista uma fração irredutível então 12 sendo a par será da forma a 2p p inteiro Assim b2 é par e portanto b também o é sendo a e b pares a fração é redutível contradição Vejamos agora como construir um ponto da reta que não tenha abscissa racional Pelo teorema de Pitágoras d2 12 12 2 veja figura acima assim a abscissa de P deveria ser d que não é número racional Exemplo 2 Admitiremos que todo ponto da reta tem uma abscissa x se x não for racional diremos que x é irracional O conjunto formado por todos os números racionais e irracionais é o conjunto dos números reais que será indicado por ℝ OS NÚMEROS REAIS Como dissemos na seção anterior o conjunto dos números reais será indicado por ℝ ℝ contém ℚ isto é todo número racional é um número real Os números reais que não são racionais denominamse irracionais Em ℝ estão definidas duas operações adição e multiplicação e uma relação A adição associa a cada par x y de números reais um único número real indicado por x y a multiplicação um único real indicado por x y As operações de adição e multiplicação definidas em ℝ quando restritas a ℚ coincidem com as operações de adição e de multiplicação de ℚ o mesmo acontece com a relação Admitiremos que a quádrupla ℝ é um corpo ordenado isto é satisfaz todas as 15 propriedades listadas na seção anterior A1 a A4 M1 a M4 D O1 a O4 OA e OM Reveja tais propriedades Os exemplos que damos a seguir mostram como obter outras propriedades a partir das já mencionadas EXEMPLO 1 Quaisquer que sejam os reais x y z w Somandose membro a membro desigualdades de mesmo sentido obtémse outra de mesmo sentido Solução Pela OA Pela transitiva O3 Portanto Como observamos anteriormente a adição associa a cada par de números reais um único número real assim se x y e z w então x z y w em particular se x y então x z y z para todo z o que significa que somando a ambos os membros de uma igualdade um mesmo número a igualdade se mantém EXEMPLO 2 Lei do cancelamento Quaisquer que sejam os reais x y z x z y z x y Solução Somandose z a ambos os membros da igualdade x z y z vem a b x z z y z z Pela associativa A1 x z z y z z Daí x 0 y 0 ou seja x y Assim x z y z x y EXEMPLO 3 Quaisquer que sejam os reais x y z w Multiplicandose membro a membro desigualdades de mesmo sentido e de números positivos obtémse desigualdade de mesmo sentido Solução Vamos agora fazer uma lista de outras propriedades dos reais que podem ser obtidas das 15 anteriormente listadas e que nos serão úteis no decorrer do curso Quaisquer que sejam os reais x y z w temse x y x z y z z 0 z1 0 c d e h i a b c a b z 0 z 0 se z 0 x y xz yz se z 0 x y xz yz Multiplicandose ambos os membros de uma desigualdade por um mesmo número negativo o sentido da desigualdade muda Tricotomia Uma e somente uma das condições abaixo se verifica x y ou x y ou x y Anulamento do produto xy 0 x 0 ou y 0 Um produto é nulo se e somente se um dos fatores for nulo EXEMPLO 4 Suponha x 0 e y 0 Prove x y x2 y2 x y x2 y2 x y x2 y2 Solução Veja item f do Exemplo 3 Faça você c Por a x y x2 y2 Suponhamos agora x2 y2 se tivéssemos x y por b teríamos x2 y2 contradição Assim x2 y2 x y Fica provado deste modo que quaisquer que sejam os reais x 0 e y 0 x y x2 y2 EXEMPLO 5 Resolva a inequação 5x 3 2x 7 Solução Assim é o conjunto das soluções da inequação dada EXEMPLO 6 Estude o sinal da expressão x 3 Solução x 3 0 x 3 x 3 0 x 3 x 3 0 x 3 Assim x 3 0 para x 3 x 3 0 para x 3 e x 3 0 para x 3 Esta discussão será representada da seguinte forma EXEMPLO 7 Estude o sinal de Solução não existe Conclusão EXEMPLO 8 Resolva a inequação Solução Inicialmente estudaremos o sinal de Assim é o conjunto das soluções da inequação dada EXEMPLO 9 Resolva a inequação Solução Multiplicando por 1 ambos os membros da última desigualdade resulta 1 a b c d Assim Logo é o conjunto das soluções da inequação dada CUIDADO não é equivalente a 3x 1 5 x 2 A equivalência será verdadeira para x 2 pois x 2 x 2 0 multiplicando então ambos os membros da desigualdade por x 2 o sentido se manterá assim para x 2 Por outro lado para x 2 Exercícios 12 Resolva as inequações 3x 3 x 6 x 3 3x 1 2x 1 5x 3 x 3 6x 2 e f 2 a b c d e f g h i j l m n o p q 3 1 3x 0 2x 1 3x Estude o sinal das expressões 3x 1 3 x 2 3x 5x 1 2x 1x 2 2x 13 2x xx 3 x x 12x 3 x 11 x2 3x xx2 3 2x 1x2 1 ax b em que a e b são reais dados com a 0 ax b em que a 0 e b são dois reais dados Resolva as inequações 4 5 a b c d e 6 Divida x3 a3 por x a e conclua que x3 a3 x a x2 ax a2 Verifique as identidades x2 a2 x ax a x3 a3 x ax2 ax a2 x4 a4 x ax3 ax2 a2x a3 x5 a5 x ax4 ax3 a2x2 a3x a4 xn an x axn 1 axn 2 a2xn 3 an 2x an 1 em que n 0 é um natural Simplifique 7 a b c d e f g h i j Resolva as inequações x2 4 0 x2 1 0 x2 4 x2 1 2x 1x2 4 0 3x2 48 x2 r2 em que r 0 é um real dado x2 r2 em que r 0 é um real dado 8 a b c 9 10 a b c d e f g h i j 11 Considere o polinômio do 2º grau ax2 bx c em que a 0 b e c são reais dados Verifique que Conclua de a que se Δ 0 as raízes de ax2 bx c são dadas pela fórmula Sejam as raízes de ax2 bx c Verifique que Considere o polinômio do 2º grau ax2 bx c e sejam x1 e x2 como no item c do Exercício Verifique que ax2 bx c ax x1x x2 Utilizando o Exercício 9 fatore o polinômio do 2º grau dado x2 3x 2 x2 x 2 x2 2x 1 x2 6x 9 2x2 3x 2x2 3x 1 x2 25 3x2 x 2 4x2 9 2x2 5x Resolva as inequações a b c d e f g h i j 12 a b 13 a b c d e f g h i j 14 15 x2 3x 2 0 x2 5x 6 0 x2 3x 0 x2 9 0 x2 x 2 0 3x2 x 2 0 x2 4x 4 0 3x2 x 0 4x2 4x 1 0 4x2 4x 1 0 Considere o polinômio do 2º grau ax2 bx c e suponha Δ 0 Utilizando o item a do Exercício 8 prove se a 0 então ax2 bx c 0 para todo x se a 0 então ax2 bx c 0 para todo x Resolva as inequações x2 3 0 x2 x 1 0 x2 x 1 0 x2 5 0 x 3x2 5 0 2x 1x2 x 1 0 xx2 1 0 1 xx2 2x 2 0 Prove A afirmação 16 17 a b c d e f 18 19 a b c d e f 20 a b para todo x real é falsa ou verdadeira Justifique Suponha que Px a0xn a1xn 1 an 1 x an seja um polinômio de grau n com coeficientes inteiros isto é a0 0 a1 a2 an são números inteiros Seja α um número inteiro Prove que se α for raiz de Px então α será um divisor do termo independente an Utilizando o Exercício 16 determine caso existam as raízes inteiras da equação x3 2x2 x 4 0 x3 x2 x 14 0 x4 3x3 x2 3x 2 2x3 x2 1 0 x3 x2 x 14 0 x3 3x2 4x 12 0 Seja Px um polinômio de grau n Prove α é raiz de Px Px é divisível por x α Sugestão dividindose Px por x α obtémse um quociente Qx e um resto R R constante tal que Px x α Qx R Fatore o polinômio dado x3 2x2 x 2 x4 3x3 x2 3x 2 x3 2x2 3x x3 3x2 4x 12 x3 6x2 11x 6 x3 1 Resolva as inequações x3 1 0 x3 6x2 11x 6 0 c d 21 22 23 a b c d e f g h 13 a x3 3x2 4x 12 0 x3 2x2 3x 0 A afirmação quaisquer que sejam os reais x e y x y x2 y2 é falsa ou verdadeira Justifique Prove que quaisquer que sejam os reais x e y x y x3 y3 Neste exercício você deverá admitir como conhecidas apenas as propriedades A1 a A4 M1 a M4 D O1 a O4 OA e OM Supondo x y reais quaisquer prove x 0 0 Regra dos sinais x y xy x y xy x y xy x2 0 1 0 x 0 x 1 0 Anulamento do produto xy 0 x 0 ou y 0 x2 y2 x y ou x y Se x 0 e y 0 x2 y2 x y MÓDULO DE UM NÚMERO REAL Seja x um número real definimos o módulo ou valor absoluto de x por De acordo com a definição acima para todo x x 0 isto é o módulo de um número real é sempre positivo EXEMPLO 1 5 5 b 3 3 3 EXEMPLO 2 Mostre que para todo x real x 2 x2 Solução Se x 0 x x e daí x 2 x2 Se x 0 x x e daí x 2 x2 x2 Assim para todo x real x 2 x2 Lembrando que indica a raiz quadrada positiva de a a 0 segue do exemplo anterior que para todo x real EXEMPLO 3 Suponha a 0 Resolva a equação x a Solução Como x 0 e a 0 x a x 2 a2 Mas x 2 x2 assim x a x2 a2 x a x a 0 x a ou x a Portanto x a x a ou x a EXEMPLO 4 Resolva a equação 2x 1 3 Solução Assim 2x 1 3 x 1 ou x 2 Sejam x e y dois números reais quaisquer Definimos a distância de x a y por x y Sendo P e Q os pontos do eixo 0x de abscissas x e y e u o segmento de extremidades 0 e 1 x y é a medida com unidade u do segmento PQ De x x 0 segue que x é a distância de x a 0 Seja r 0 o próximo exemplo nos diz que a distância de x a 0 é menor que r se e somente se x estiver compreendido entre r e r EXEMPLO 5 Suponha r 0 Mostre que x r r x r Solução x r x 2 r2 x2 r2 mas x2 r2 x rx r 0 r x r Portanto x r r x r EXEMPLO 6 Resolva a inequação x 3 Solução Pelo Exercício 5 x 3 3 x 3 EXEMPLO 7 Elimine o módulo em x p r r 0 Solução x p r r x p r p r x p r Assim x p r p r x p r A distância de x a p é estritamente menor que r se e somente se x estiver estritamente compreendido entre p r e p r EXEMPLO 8 Mostre que quaisquer que sejam os reais x e y xy x y O módulo de um produto é igual ao produto dos módulos dos fatores Solução xy 2 xy2 x2y2 x 2 y 2 x y 2 Como xy 0 e x y 0 resulta xy x y Antes de passarmos ao próximo exemplo observamos que para todo x real x x e x x Verifique EXEMPLO 9 Desigualdade triangular Quaisquer que sejam os reais x e y x y x y O módulo de uma soma é menor ou igual à soma dos módulos das parcelas Solução 1 a Se x y 0 x y x y x y Se x y 0 x y x y x y x y Assim quaisquer que sejam os reais x e y x y x y EXEMPLO 10 Elimine o módulo em x 1 x 2 Solução Para x 2 x 1 0 e x 2 0 assim x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 Para 2 x 1 x 1 0 e x 2 0 assim x 1 x 2 x 1 x 2 3 Para x 1 x 1 0 e x 2 0 assim x 1 x 2 x 1 x 2 2x 1 Conclusão Exercícios 13 Elimine o módulo 5 2 b c d e f 2 a b c d e f 3 a b c d e f g h i j l m n o 4 5 8 a a 0 a a 0 a 2a 3a Resolva as equações x 2 x 1 3 2x 1 1 x 2 1 2x 3 0 x 2x 1 Resolva as inequações x 1 2x 1 3 3x 1 2 2x2 1 1 x 3 4 x 3 x 3 1 2x 3 3 2x 1 x x 1 2x 1 x 1 x 2 x x 3 x 1 x 2 x 1 1 Suponha r 0 Prove x r x r ou x r 5 a b c d 6 7 a b c 14 Elimine o módulo x 1 x x 2 x 1 2x 1 x 2 x x 1 x 2 Prove x y x y xy 0 Prove x y x y x y y x x y x y INTERVALOS O objetivo desta seção é destacar certos tipos de subconjuntos de ℝ os intervalos que serão bastante úteis durante todo o curso Sejam a e b dois reais com a b Um intervalo em ℝ é um subconjunto de ℝ que tem uma das seguintes formas a b x ℝ a x b a b x ℝ a x b a b x ℝ a x b a b x ℝ a x b a x ℝ x a menos infinito Observação não é número é apenas um símbolo a x ℝ x a a x ℝ x a a x ℝ x a ℝ Os intervalos a b a a e são denominados intervalos 1 a b c d 2 3 4 a b c d 15 abertos a b denominase intervalo fechado de extremidades a e b EXEMPLO Expresse o conjunto x ℝ 2x 3 x 1 em notação de intervalo Solução 2x 3 x 1 x 4 Assim x ℝ 2x 3 x 1 4 Exercícios 14 Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo x ℝ 4x 3 6x 2 x ℝ x 1 x ℝ 2x 3 1 Determine r 0 de modo que 4 r 4 r 2 5 Lembrese A B A é subconjunto de B Sejam a b dois reais e p a b Determine r 0 de modo que p r p r a b Expresse o conjunto das soluções das inequações dadas em notação de intervalo x2 3x 2 0 x2 x 1 0 x2 9 0 PROPRIEDADE DOS INTERVALOS ENCAIXANTES E PROPRIEDADE DE ARQUIMEDES i ii a b a A seguir destacaremos duas propriedades fundamentais dos números reais e cujas demonstrações serão apresentadas no Apêndice 1 Propriedade dos Intervalos Encaixantes Seja a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn uma sequência de intervalos satisfazendo as condições a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn ou seja cada intervalo da sequência contém o seguinte para todo r 0 existe um natural n tal que bn an r ou seja à medida que n cresce o comprimento do intervalo an bn vai tendendo a zero Nestas condições existe um único real α que pertence a todos os intervalos da sequência isto é existe um único real α tal que para todo natural n an α bn Propriedade de Arquimedes Se x 0 e y são dois reais quaisquer então existe pelo menos um número natural n tal que nx y EXEMPLO Para todo x 0 existe pelo menos um natural n tal que Para todo real x existe pelo menos um natural n tal que n x Solução Como x 0 por Arquimedes existe um natural n tal que nx 1 e portanto Observe nx 1 n 0 b 16 Como 1 0 por Arquimedes existe um natural n tal que n x EXISTÊNCIA DE RAÍZES Inicialmente observamos que se a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn for uma sequência de intervalos satisfazendo as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e se para todo n an 0 e bn 0 então a sequência de intervalos também satisfará aquelas condições verifique Antes de apresentar o próximo exemplo lembramos que por um dígito entendemos um natural pertencente ao conjunto 0 1 2 3 9 EXEMPLO 1 Mostre que a equação x2 2 admite uma única raiz positiva α Solução Seja A0 o maior natural tal que daí A0 12 2 A0 1 2 22 2 Façamos agora a0 A0 e b0 A0 1 Seja A1 o maior dígito tal que Façamos Assim Observe a1 14 e b1 15 Seja A2 o maior dígito tal que Façamos Observe a2 141 e b2 142 Assim Prosseguindo com este raciocínio obteremos uma sequência de intervalos a0 b0 a1 b1 an bn satisfazendo as condições da propriedade dos intervalos encaixantes observe que e quando n cresce bn an tende a zero Assim existe um único real α tal que para todo n an a bn e portanto Mas α2 é o único real tendo esta propriedade pois também satisfaz as condições daquela propriedade Como para todo n seguese que α2 2 Fica provado assim que existe um real α 0 tal que α2 2 Vejamos agora a unicidade Suponhamos que β 0 também satisfaça a equação temos Teorema Sejam a 0 um real e n 2 um natural Então existe um único real α 0 tal que αn a Demonstração É deixada para o leitor sugestão siga o raciocínio utilizado no exemplo anterior Notação Sejam a 0 um real e n 1 um natural O único real positivo α tal que αn a é indicado por Dizemos que α é a raiz nésima ou de ordem n positiva de a Sejam a 0 e b 0 dois reais m 1 e n 1 dois naturais e p um inteiro Admitiremos a familiaridade do leitor com as seguintes propriedades das raízes EXEMPLO 2 Seja a um real qualquer Mostre que se n for ímpar n natural então existe um único real αn a Solução Se a 0 pelo teorema anterior existe um único α 0 tal que αn a Por outro lado para todo β 0 βn 0 pois estamos supondo n ímpar Segue que o α acima é o único real tal que αn a Se a 0 existe um único real β tal que βn a e daí βn a lembrese de que βn βn Assim β é o único real tal que βn a Notação Se n for ímpar e a um real qualquer o único α tal que αn a é indicado por EXEMPLO 3 Calcule Solução Lembrese indica a raiz positiva de ordem 4 de 16 EXEMPLO 4 Verifique que Solução Assim Observação Veja uma forma interessante de fixar a identidade acima a3 b3 a b a2 ab b2 agora extraia a raiz cúbica de todos os termos desta identidade Já vimos que a equação x2 2 não admite solução em ℚ como é raiz de tal equação resulta que não é racional isto é é um número irracional Observe que x2 2 ter solução em ℝ é uma consequência da propriedade dos intervalos encaixantes como esta equação não admite solução em ℚ isto significa que o corpo ordenado dos racionais não satisfaz tal propriedade Esta é a grande falha dos racionais A grande diferença entre o corpo ordenado dos reais e o dos racionais é que o primeiro satisfaz a propriedade dos intervalos encaixantes e o segundo não Os dois próximos exemplos mostramnos que entre dois reais quaisquer sempre existem pelo menos um racional e pelo menos um irracional EXEMPLO 5 Sejam x e y dois reais quaisquer com x y Então existe pelo menos um irracional t tal que x t y Solução x é racional ou irracional suponhamos inicialmente x irracional Temos x y y x 0 Por Arquimedes existe um natural n tal que com t irracional a soma de um racional com um irracional é irracional Suponhamos agora x racional Por Arquimedes existe um natural n tal que tomandose temse x t y com t irracional EXEMPLO 6 Sejam x y dois reais quaisquer com x y Então existe pelo menos um racional r com x r y Solução 1º Caso 0 x y Por Arquimedes existe um natural k com k y ainda por Arquimedes existe um natural n tal que Sejam seja j o maior índice tal que aj x assim aj 1 x e como resulta x aj 1 y tomandose t aj 1 temse x t y com t racional 2º Caso x 0 y Basta tomar t 0 3º Caso x y 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x y 0 0 y x Pelo 1º caso existe um racional s tal que y s x Portanto x s y com s racional 4º Caso x 0 ou y 0 Faça você Exercícios 16 Prove que a soma de um racional com um irracional é um irracional O produto de um racional diferente de zero com um irracional é racional ou irracional Justifique Prove que é irracional é racional ou irracional Justifique Verifique as identidades em que x 0 e y 0 Determine uma aproximação por falta com duas casas decimais exatas de Prove se para todo r 0 r real a b r então a b Sejam x y dois reais quaisquer com x 0 e y 0 Mostre que 9 10 11 12 17 1 Sejam x y dois reais quaisquer com 0 x y Prove Seja 0 um real dado Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y temse Sejam x y dois reais quaisquer com 0 x y Prove A afirmação para todo real x 0 x é falsa ou verdadeira Justifique POTÊNCIA COM EXPOENTE RACIONAL Sejam a 0 um real e um racional Definimos Tendo em vista a propriedade 2 das raízes segue que tal definição não depende da particular fração que tomamos como representante do racional r EXEMPLO Sejam a 0 e b 0 dois reais quaisquer e r s dois racionais quaisquer Das propriedades das potências com expoentes inteiros e das raízes seguem as seguintes propriedades das potências com expoentes racionais e cujas demonstrações são deixadas como exercícios ar as ar s 2 3 4 5 6 ars ars abr arbr Se a 1 e r s então ar as Se 0 a 1 e r s então ar as 21 2 FUNÇÕES FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL A VALORES REAIS Entendemos por uma função f uma terna A B a b em que A e B são dois conjuntos e a b uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B O conjunto A é o domínio de f e indicase por Df assim A Df O conjunto B é o contradomínio de f O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por fa leia f de a diremos que f a é o valor que f assume em a ou que f a é o valor que f associa a a Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f A B leia f de A em B Uma função de uma variável real a valores reais é uma função f A B em que A e B são subconjuntos de ℝ Até menção em contrário só trataremos com funções de uma variável real a valores reais Seja f A B uma função O conjunto Gf x f x x A denominase gráfico de f assim o gráfico de f é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados x y de números reais Munindose o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas o gráfico de f pode então ser pensado como o lugar geométrico descrito pelo ponto x f x quando x percorre o domínio de f a b c d Observação Por simplificação deixaremos muitas vezes de explicitar o domínio e o contradomínio de uma função quando tal ocorrer ficará implícito que o contradomínio é ℝ e o domínio o maior subconjunto de ℝ para o qual faz sentido a regra em questão É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domínio A simplesmente por y f x x A Neste caso diremos que x é a variável independente e y a variável dependente É usual ainda dizer que y é função de x EXEMPLO 1 Seja y f x f x x3 Temse Df ℝ O valor que f assume em x é f x x3 Esta função associa a cada real x o número real f x x3 f 1 13 1 f 0 03 0 f 1 13 1 Gráfico de f Gf x y y x3 x ℝ Suponhamos x 0 observe que à medida que x cresce y também cresce pois y x3 sendo o crescimento de y mais acentuado que o de x veja 23 8 33 27 etc quando x se aproxima de zero y se aproxima de zero mais rapidamente que x 123 18 133 127 etc Esta análise dános uma ideia da parte do gráfico correspondente a x 0 Para x 0 é só observar que f x f x a b c d e a b EXEMPLO 2 Seja f a função dada por Temse Df x ℝ x 0 o valor que f assume em 4 é 2 Gráfico de f A função f é dada pela regra x y Quando x cresce y também cresce sendo o crescimento de y mais lento que o de quando x se aproxima de zero y também se aproxima de zero só que mais lentamente que EXEMPLO 3 Considere a função g dada por Temse Dg x ℝ x 0 Esta função associa a cada x 0 o real c d Gráfico de g Vamos olhar primeiro para x 0 à medida que x vai aumentando vai se aproximando de zero à medida que x vai se aproximando de zero vai se tornando cada vez maior Você já deve ter uma ideia do que acontece para x 0 EXEMPLO 4 Dada a função f x x2 2x simplifique Solução assim Observe f 1 12 2 1 b a i ii b Primeiro vamos calcular f x h Temos f x h x h2 2x h x2 2xh h2 2x 2h Então ou seja EXEMPLO 5 Função constante Uma função y f x x A dada por f x k k constante denominase função constante f x 2 é uma função constante temse Df ℝ Gráfico de f Gf x f x x ℝ x 2 x ℝ O gráfico de f é uma reta paralela ao eixo x passando pelo ponto 0 2 g 1 ℝ dada por g x 1 é uma função constante e seu gráfico é a b EXEMPLO 6 Seja Temse Df ℝ Gráfico de f Observe que 0 1 pertence ao gráfico de f mas 0 1 não EXEMPLO 7 Função linear Uma função f ℝ ℝ dada por f x ax a constante denominase função linear seu gráfico é a reta que passa pelos pontos 0 0 e 1 a Se a 0 o gráfico de f coincide com o eixo x EXEMPLO 8 Esboce os gráficos a b c a b c f x 2x g x 2x h x 2 x Solução O gráfico de f é a reta que passa pelos pontos 0 0 e 1 2 O gráfico de g é a reta que passa pelos pontos 0 0 e 1 2 Primeiro eliminemos o módulo EXEMPLO 9 Função afim Uma função f ℝ ℝ dada por y ax b a e b constantes denominase função afim Seu gráfico é a reta que passa pelo ponto 0b e é paralela à reta y ax EXEMPLO 10 Esboce o gráfico de f x x 1 2 Solução Primeiro eliminemos o módulo Agora vamos desenhar pontilhadas as retas y x 1 e y x 3 e em seguida marcar com traço firme a parte que interessa de cada uma Sempre que uma função for dada por várias sentenças você poderá proceder desta forma Outro modo de se obter o gráfico de f é o seguinte primeiro desenhe pontilhado o gráfico de y x o gráfico de y x 1 obtémse do anterior transladandoo para a direita de uma unidade o gráfico de f obtémse deste último transladandoo para cima de duas unidades a b c EXEMPLO 11 Função polinomial Uma função f ℝ ℝ dada por f x a0xn a1xn 1 an 1 x an em que a0 0 a1 a2 an são números reais fixos denominase função polinomial de grau n n ℕ f x x2 4 é uma função polinomial de grau 2 e seu gráfico é a parábola O gráfico de uma função polinomial de grau 2 é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y g x x 13 é uma função polinomial do grau 3 seu gráfico é obtido do gráfico de y x3 transladandoo uma unidade para a direita f x x4 1 é uma função polinomial do grau 4 seu gráfico tem o seguinte aspecto a b EXEMPLO 12 Função racional Uma função racional f é uma função dada por em que p e q são duas funções polinomiais o domínio de f é o conjunto x ℝ q x 0 é uma função racional definida para todo x 0 Como segue que o gráfico de f é obtido do gráfico de transladandoo uma unidade para cima veja Exemplo 3 é uma função racional com domínio x ℝ x 0 Observe que À medida que x vai crescendo vai se aproximando de zero e o gráfico de g vai então encostando na reta y x por cima se x 0 por baixo se x 0 À medida que x se aproxima de zero o gráfico de g vai encostando na curva c é uma função racional com domínio x ℝ x 2 O gráfico de h é obtido do gráfico de transladandoo duas unidades para a esquerda EXEMPLO 13 Determine A e B para que a terna A B x y seja função sendo a regra x y dada implicitamente pela equação xy2 x 1 Solução Para se ter função é preciso que a regra x y associe a cada x A um único y B Basta então tomar e B y ℝ y 0 Temos assim a função f A B dada por Observação A escolha de A e B acima não é a única possível Quais as outras possibilidades EXEMPLO 14 O conjunto H x y ℝ2 2x 3y 1 é gráfico de função Em caso afirmativo descreva tal função Solução segue que H é o gráfico da função dada por Notação O símbolo ℝ2 é usado para representar o conjunto de todos os pares ordenados de números reais ℝ2 x y x y ℝ Observação Sejam H um conjunto de pares ordenados e A x ℝ y ℝ com x y H Então H é gráfico de função se e somente se para cada x em A existe um único y com x y H Antes de passarmos ao próximo exemplo lembramos que a distância d entre os pontos x0 y0 e x1 y1 é definida por Veja Pois bem a circunferência de centro a b e raio r r 0 é por definição o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias a a b são iguais a r Assim a equação da circunferência de raio r e centro a b é x a2 y b2 r2 EXEMPLO 15 Esboce o gráfico da função f dada pela regra x y em que x2 y2 1 y 0 Solução Como x2 y2 1 x 02 y 02 12 seguese que x2 y2 1 é a equação da circunferência de centro na origem e raio 1 o gráfico de f é a parte desta circunferência correspondente a y 0 EXEMPLO 16 O conjunto H x y ℝ2 x2 y2 2y 0 é gráfico de função Por quê 1 2 a b c d e f g Solução x2 y2 2y 0 x2 y2 2y 1 1 x2 y 12 1 que é a equação da circunferência de centro 0 1 e raio 1 Temos Assim para cada x 1 1 existe mais de um y com x y H H não é gráfico de função Exercícios 21 Calcule Simplifique sendo dados f x x2 e p 1 f x x2 e p 1 f x x2 e p qualquer f x 2x 1 e p 2 f x 2x 1 e p 1 f x 5 e p 2 f x x3 e p 2 h i j l m n o p q 3 a b c d e f g h i j l m n o p q r s f x x3 e p 2 f x x3 e p qualquer f x x2 3x e p 2 Simplifique sendo f x igual a 2x 1 3x 8 2x 4 x2 x2 3x x2 5 x2 2x x2 2x 3 2x2 3 2x2 x 1 x3 x3 2x x3 x2 x 5 2x3 x 4 a b c d e f 5 a b 6 a b c d 7 a b c Dê o domínio e esboce o gráfico f x 3x g x x h x x 1 f x 2x 1 g x 2x 3 g x 3 Considere a função f x x 1 x 2 Mostre que Esboce o gráfico de f Esboce o gráfico f x x x 2 g x x 1 y x 1 f x x 1 x Olhando para o gráfico de f estude o sinal de f x f x x 3 f x 2x 1 f x 3x 1 d e f g h 8 9 10 f x 3x 2 f x x 3 f x 8x 1 f x ax b a 0 f x ax b a 0 Estude a variação do sinal de f x Determine o domínio Esboce o gráfico a b c d e f g h i j l m n o p q r s 11 a b c 12 a b c d f x x2 y x2 1 y x2 1 y x 12 y x 12 y x 12 1 y x 12 2 y x2 y x 22 y x2 1 y x4 y x 13 y x3 y x 23 y x x y x2 x Considere a função f dada por f x x2 4x 5 Mostre que f x x 22 1 Esboce o gráfico de f Qual o menor valor de f x Em que x este menor valor é atingido Seja f x ax2 bx c a 0 Verifique que em que Δ b2 4ac Mostre que se a 0 então o menor valor de f x acontece para Qual o menor valor de f x Mostre que se a 0 então é o maior valor assumido por f Interprete b e c graficamente 13 a b c d e f g h i j 14 a b c d e f g h i j 15 Com relação à função f dada determine as raízes caso existam o maior ou o menor valor e esboce o gráfico f x x2 3x 2 f x x2 4 f x x2 4x 4 f x x2 2x 2 f x 2x2 3 f x 2x2 3x f x x2 2x f x x2 4 f x 4x2 4x 1 f x x2 4x 5 Olhando para o gráfico estude a variação do sinal de f x f x x2 1 f x x2 5x 6 f x x2 x 1 f x x2 3x f x x2 2x 1 f x x2 6x 9 f x x2 9 f x x2 2x 6 f x 2x2 6x 1 f x x2 2x 3 Dê o domínio e esboce o gráfico 16 b 17 18 19 a b 20 a Verifique que Conclua que à medida que x cresce a diferença se aproxima de zero Esboce o gráfico de Dê o domínio e esboce o gráfico de Sugestão Verifique que à medida que x vai crescendo o gráfico de f vai encostando por baixo no gráfico de y x Dê o domínio e esboce o gráfico Seja f dada por x y y 0 em que x2 y2 4 Determine f x Esboce o gráfico de f Esboce o gráfico da função y f x dada implicitamente pela equação a b c d e f 21 a b 22 a b 23 a b c d e f 24 25 26 x2 y2 1 y 0 x y2 0 y 0 x 12 y2 4 y 0 x2 y2 2y 0 y 1 x2 y2 2x 4y 0 y 2 Considere a função Calcule Dê o domínio e esboce o gráfico Considere a função f x máxn ℤ n x Função maior inteiro Calcule Esboce o gráfico Calcule a distância entre os pontos dados 1 2 e 2 3 0 1 e 1 3 1 2 e 0 1 0 2 e 0 3 2 3 e 1 4 1 1 e 2 2 Seja d a distância de 0 0 a x y expresse d em função de x sabendo que x y é um ponto do gráfico de Um móvel deslocase em movimento retilíneo de 0 0 a x 10 com uma velocidade constante de 1 ms em seguida de x 10 a 30 10 em movimento retilíneo com velocidade constante de 2 ms Expresse o tempo total T x gasto no percurso em função de x Suponha que a unidade adotada no sistema de referência seja o metro x y é um ponto do plano cuja soma das distâncias a 1 0 e 1 0 é igual a b 27 a b 28 29 a b c d e f a 4 Verifique que Supondo y 0 expresse y em função de x e esboce o gráfico da função obtida Sejam F1 e F2 dois pontos fixos e distintos do plano O lugar geométrico dos pontos x y cuja soma das distâncias a F1 e F2 é sempre igual a 2k 2k distância de F1 a F2 denominase elipse de focos F1 e F2 e semieixo maior k Verifique que é a equação da elipse de focos c 0 e c 0 e semieixo maior a em que b2 a2 c2 Verifique que é a equação da elipse de focos 0 c e 0 c e semieixo maior b em que a2 b2 c2 c Desenhe os lugares geométricos descritos nos itens a e b Determine o domínio e esboce o gráfico Você aprendeu em geometria analítica que y y0 m x x0 é a equação da reta que passa pelo ponto x0 y0 e que tem coeficiente angular m Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e tem coeficiente angular m dado 1 2 e m 1 0 3 e m 2 1 2 e m 3 5 2 e m 0 30 31 32 33 34 35 36 a b 37 38 39 40 A reta r intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B Determine a distância entre A e B sabendose que r passa pelos pontos 1 2 e 3 1 A reta r passa pelo ponto 1 2 e intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B Expresse a distância d entre A e B em função do coeficiente angular m Suponha m 0 Na fabricação de uma caixa de forma cilíndrica e volume 1 m3 utilizam se nas laterais e no fundo um material que custa 1000 o metro quadrado e na tampa um outro que custa 2000 o metro quadrado Expresse o custo C do material utilizado em função do raio r da base Expresse a área A de um triângulo equilátero em função do lado l Um retângulo está inscrito numa circunferência de raio r dado Expresse a área A do retângulo em função de um dos lados do retângulo Um cilindro circular reto está inscrito numa esfera de raio r dado Expresse o volume V do cilindro em função da altura h do cilindro Um móvel é lançado verticalmente e sabese que no instante t sua altura é dada por h t 4t t2 0 t 4 Suponha o tempo medido em segundos e a altura em quilômetros Esboce o gráfico de h Qual a altura máxima atingida pelo móvel Em que instante esta altura máxima é atingida Entre os retângulos de perímetro 2p dado qual o de área máxima Divida um segmento de 10 cm de comprimento em duas partes de modo que a soma dos quadrados dos comprimentos seja mínima Um arame de 10 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro a formar uma circunferência De que modo deverá ser cortado para que a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima Um arame de 36 cm de comprimento deve ser cortado em dois pedaços um dos quais será torcido de modo a formar um quadrado e o outro a formar um triângulo equilátero De que modo deverá ser cortado para que 41 a b c d 42 a b c d e f 43 a b c d 44 45 a b c d e f a soma das áreas das regiões limitadas pelas figuras obtidas seja mínima Coloque na forma x a2 y b2 r2 x2 y2 2x 0 x2 y2 x y 0 2x2 2y2 x 1 x2 y2 3x y 2 Determine a para que as retas dadas sejam paralelas y ax e y 3x 1 y a 1 x 1 e y x y x e y 3ax 4 2x y 1 e y ax 2 x ay 0 e y 3x 2 Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e que seja paralela à reta dada y 2x 3 e 1 3 2x 3y 1 e 0 1 x y 2 e 1 2 x 2y 3 e 0 0 Justifique geometricamente y mx n m 0 e y m1x n1 são perpendiculares se e somente se mm1 1 Determine a equação da reta que passa pelo ponto dado e que seja perpendicular à reta dada y x e 1 2 y 3x 2 e 0 0 y 3x 1 e 1 1 2x 3y 1 e 1 1 3x 2y 0 e 0 0 5x y 2 e 0 1 22 1 2 3 4 5 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SENO E COSENO Com os elementos de que dispomos até agora ficaria muito trabalhoso definir e em seguida demonstrar as principais propriedades das funções seno e cosseno Observamos entretanto que apenas cinco propriedades são suficientes para descrever completamente tais funções O teorema que enunciamos a seguir e cuja demonstração será feita após estudarmos as séries de potências resolverá completamente o problema referente a tais funções Teorema Existe um único par de funções definidas em ℝ indicadas por sen e cos satisfazendo as propriedades sen 0 0 cos 0 1 Quaisquer que sejam os reais a e b sen a b sen a cos b sen b cos a Quaisquer que sejam os reais a e b cos a b cos a cos b sen a sen b Existe r 0 tal que para 0 x r Vejamos agora outras propriedades que decorrem das cinco mencionadas no teorema acima Fazendo em 4 a b t obtemos cos 0 cos t cos t sen t sen t ou seja para todo t real Deste modo para todo t o ponto cos t sen t pertence à circunferência x2 y2 a 1 Para efeito de interpretação geométrica você poderá olhar para o t da mesma forma como aprendeu no colégio t é a medida em radianos do arco Lembramos que a medida de um arco é 1 rd rd radiano se o comprimento do arco for igual ao raio da circunferência 1 rd 57º16 A próxima propriedade será demonstrada no Apêndice 2 7 Existe um menor número positivo a tal que cos a 0 Para este a sen a 1 O número a acima pode ser usado para definirmos o número π Definição Definimos o número π por π 2a em que a é o número a que se refere a propriedade 7 Assim é o menor número positivo tal que cos Temos também sen Seja f uma função definida em ℝ Dizemos que f é uma função par se para todo x f x f x Dizemos por outro lado que f é uma função ímpar se para todo x f x f x EXEMPLO 1 Mostre que sen é uma função ímpar b a b cos é uma função par Solução Fazendo em 3 a 0 e b t resulta sen t sen 0 cos t sen t cos 0 ou seja sen t sen t Fazendo em 4 a 0 e b t resulta cos t cos t EXEMPLO 2 Mostre que quaisquer que sejam os reais a e b cos a b cos a cos b sen a sen b e sen a b sen a cos b sen b cos a Solução cos a b cos a b cos a cos b sen a sen b cos a cos b sen a sen b sen a b sen a b sen a cos b sen b cos a sen a cos b sen b cos a EXEMPLO 3 Mostre que para todo x cos 2x cos2 x sen2 x e sen 2x 2 sen x cos x Solução cos 2x cos x x cos x cos x sen x sen x cos2 x sen2 x sen 2x sen x x sen x cos x sen x cos x 2 sen x cos x EXEMPLO 4 Mostre que para todo x Solução cos 2x cos2 x sen2 x cos2 x 1 cos2 x logo Verifique você que EXEMPLO 5 Calcule Solução Provaremos mais adiante que cos x 0 e sen x 0 em 0 daí e como resulta b c d verifique Fazendo em cos 2x 1 2 sen2x obtemos cos π 1 Fazendo em sen 2x 2 sen x cos x resulta sen π 0 Interprete geometricamente os resultados deste exemplo Deixamos a seu cargo verificar que para todo x sen x 2π sen x e cos x 2π cos x As funções sen e cos são periódicas com período 2π Os gráficos das funções sen e cos têm os seguintes aspectos EXEMPLO 6 Esboce o gráfico da função dada por Solução Primeiro vamos estudar o comportamento de y para Assim para À medida que x aumenta vai se aproximando de zero o mesmo acontecendo com sen Para é só observar que sen é ímpar Observe que para Vejamos agora o comportamento de sen para 1 2 Quando x varia em fica oscilando entre 1 e 1 Exercícios 22 Esboce o gráfico Sejam a e b reais quaisquer Verifique que 23 AS FUNÇÕES TANGENTE COTANGENTE SECANTE E COSSECANTE A função tg dada por tg denominase função tangente seu domínio é o conjunto de todos os x tais que cos x 0 O gráfico da tangente tem o seguinte aspecto Geometricamente interpretamos tg x como a medida algébrica do segmento AT no qual T é a interseção da reta OP com o eixo das tangentes e AP o arco de medida x rad Os triângulos 0MP e 0AT são semelhantes Assim isto é As funções sec secante cotg cotangente e cosec cossecante são dadas por 1 a b 2 3 24 a O gráfico da secante tem o seguinte aspecto Exercícios 23 Determine o domínio e esboce o gráfico f x cotg x g x cosec x Verifique que sec2 x 1 tg2 x para todo x tal que cos x 0 Mostre que para todo x com cos temse OPERAÇÕES COM FUNÇÕES Sejam f e g duas funções tais que Df Dg seja diferente do vazio Definimos A função f g dada por f g x f x g x denominase soma de f e g O domínio de f g é Df Dg Observe que f g é uma notação para indicar a função dada por y f x g x b c d a b c A função f g dada por f g x f x g x denominase produto de f e g O domínio de f g é Df Dg A função dada por denominase quociente de f e g O domínio de é x Df Dg g x 0 A função kf k constante dada por kf x kf x é o produto de f pela constante k Dkf Df EXEMPLO 1 Sejam O domínio de f g é 2 7 Df Dg O domínio de fg é 2 7 Df Dg Sendo f uma função definimos a imagem de f por Imf f x x Df Definição de função composta Sejam f e g duas funções tais que Imf Dg A função dada por y g f x x Df denominase função composta de g e f É usual a notação g º f para indicar a composta de g e f Assim g º f x g f x x Df Observe que g º f tem o mesmo domínio que f EXEMPLO 2 Sejam f e g dadas por f x 2x 1 e g x x2 3x Determine g º f e f º g Solução g º f x g f x f x2 3 f x 2x 12 3 2x 1 x ℝ Df f º g x f g x f x2 3x 2x2 3x 1 x Dg ℝ EXEMPLO 3 Sejam f x x2 Determine g º f e f º g Solução Imf ℝ e Dg ℝ assim Imf Dg Notação ℝ x ℝ x 0 Img ℝ e Df ℝ logo Img Df Definição de igualdade de funções Sejam as funções f A ℝ e g A ℝ Dizemos que f é igual a g e escrevemos f g se os domínios de f e g forem iguais A A e se para todo x A f x g x EXEMPLO 4 Sejam f A ℝ e g A ℝ duas funções Prove que f g g f Solução Df g A Dg f Por outro lado para todo x em A f g x f x g x g x f x g f x Assim f g g f 1 2 3 Observe que f x g x g x f x pois f x e g x são números reais e em ℝ vale a propriedade comutativa EXEMPLO 5 As funções f e g dadas por são iguais Solução f g pois Df Dg Df 1 e Dg 0 1 Exercícios 24 Dê os domínios e esboce os gráficos de Verifique que Imf Dg e determine a composta h x g f x Determine o maior conjunto A tal que Imf Dg em seguida construa a composta h x g f x 4 Determine f de modo que g f x x para todo x Df sendo g dada por 31 3 LIMITE E CONTINUIDADE INTRODUÇÃO Neste capítulo vamos introduzir dois dos conceitos delicados do cálculo os conceitos de continuidade e de limite Intuitivamente uma função contínua em um ponto p de seu domínio é uma função cujo gráfico não apresenta salto em p O gráfico de f não apresenta salto em p f é contínua em p Observe que à medida que x se aproxima de p quer pela direita ou pela esquerda os valores f x se aproximam de f p e quanto mais próximo x estiver de p mais próximo estará f x de f p O mesmo não acontece com a função g em p em p o gráfico de g apresenta salto g não é contínua em p Na próxima seção tornaremos rigoroso o conceito de continuidade aqui introduzido de forma intuitiva EXEMPLO 1 Consideremos as funções f e g dadas por Vemos intuitivamente que f é contínua em todo p de seu domínio Por sua vez g não é contínua em p 1 mas é contínua em todo p 1 Intuitivamente dizer que o limite de f x quando x tende a p é igual a L que simbolicamente se escreve significa que quando x tende a p f x tende a L EXEMPLO 2 Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule Solução EXEMPLO 3 Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule Solução Seja x 1 f não está definida em x 1 Para x 1 Intuitivamente é razoável esperar que se f estiver definida em p e for contínua em p então e reciprocamente Veremos que isto realmente acontece isto é se f estiver definida em p Veremos ainda que se e se f não for contínua em p então L será aquele valor que f deveria ter em p para ser contínua neste ponto f não está definida em p L é o valor que f deveria ter em p para ser contínua em p f está definida em p mas L f p L é o valor que f deveria ter em p para ser contínua em p Com toda certeza é o limite mais importante que ocorre na matemática e seu valor quando existe é indicado por fp leia f linha de p e é denominado derivada de f em p Este limite aparece de forma natural quando se procura definir reta tangente ao gráfico de f no ponto p f p O quociente chamado às vezes de razão incremental nada mais é do que o coeficiente angular da reta s que passa pelos pontos M p f p e N p h f p h do gráfico de y f x Observe que a equação da reta s é y f p ms x p em que Quando h tende a zero o ponto N vai se aproximando cada vez mais de M e a reta s vai tendendo para a posição da reta T de equação y f p fp x p A reta T é denominada reta tangente ao gráfico de f no ponto p f p NOTA HISTÓRICA Por volta de 1630 Pierre de Fermat 16011665 estabeleceu dois métodos um para se determinar o coeficiente angular da reta tangente em um ponto qualquer do gráfico de uma função polinomial e o outro para se determinar os candidatos a pontos de máximo ou de mínimo locais de uma tal função Pois bem a ideia que acabamos de utilizar para definir reta tangente é essencialmente a mesma utilizada por Fermat Por outro lado para Fermat os candidatos a pontos de máximo ou de mínimo locais nada mais eram do que as raízes da equação fx 0 Veja História da Matemática p 255 de Carl Benjamin Boyer editoras Edgard Blücher Ltda e Universidade de São Paulo EXEMPLO 4 Seja f x x2 Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule f1 Solução O que queremos aqui é calcular fp com p 1 Temos Segue que EXEMPLO 5 Seja f x x2 Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule fx Solução Temos Segue que Ou seja a derivada em x de f x x2 é fx 2x Como veremos um outro modo de expressar fp é através do limite Observe fazendo x p h recaímos no limite anterior EXEMPLO 6 Seja f x x3 Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule f2 1 a b c d e f 2 Solução Temos Lembrese a3 b3 a b a2 ab b2 Assim A derivada é um limite Então para podermos estudar suas propriedades precisamos antes estudar as propriedades do limite É o que faremos a seguir Antes de passar à próxima seção queremos destacar as funções de uma variável real que vão interessar ao curso tais funções são aquelas que têm por domínio um intervalo ou uma reunião de intervalos Portanto de agora em diante sempre que nos referirmos a uma função de uma variável real e nada mencionarmos sobre seu domínio ficará implícito que o mesmo ou é um intervalo ou uma reunião de intervalos Exercícios 31 Esboce o gráfico da função dada e utilizando a ideia intuitiva de função contínua determine os pontos em que a função deverá ser contínua f x 2 f x x 1 f x x2 f x x2 2 Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule 3 4 32 Esboce o gráfico de Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO CONTÍNUA Sejam f e g funções de gráficos Observe que f e g se comportam de modo diferente em p o gráfico de f não apresenta salto em p ao passo que o de g sim Queremos destacar uma propriedade que nos permita distinguir tais comportamentos Veja as situações apresentadas a seguir A função f satisfaz em p a propriedade para todo 0 dado existe δ 0 δ dependendo de tal que f x permanece entre f p e f p quando x percorre o intervalo p δ p δ com x no domínio de f ou de forma equivalente Entretanto a função g não satisfaz em p tal propriedade para o 0 acima não existe δ 0 que torne verdadeira a afirmação x Df p δ x p δ g p g x g p Qualquer que seja o δ 0 que se tome quando x percorre o intervalo p δ p δ g x não permanece entre g p e g p A propriedade ① distingue os comportamentos de f e de g em p Adotaremos a propriedade ① como definição de função contínua em p Definição Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio Definimos Observação Sabemos que x p δ p δ x p δ e f x f p f p f x f p A definição anterior pode então ser reescrita em notação de módulo na seguinte forma Dizemos que f é contínua em A Df se f for contínua em todo p A Dizemos simplesmente que f é uma função contínua se f for contínua em todo p de seu domínio EXEMPLO 1 Prove que f x 2x 1 é contínua em p 1 Solução Precisamos provar que para cada 0 dado conseguiremos um δ 0 δ dependendo apenas de tal que 1 δ x 1 δ f 1 f x f 1 O 0 é dado queremos achar δ 0 Devemos determinar δ 0 de modo que f x permaneça entre f 1 e f 1 para x entre 1 δ e 1 δ Vamos então resolver a inequação f 1 f x f 1 Temos f 1 f x f 1 3 2x 1 3 Somando 1 aos membros das desigualdades e dividindo por 2 resulta Então dado 0 e tomandose qualquer δ 0 com também serve resulta 1 δ x 1 δ f 1 f x f 1 Logo f é contínua em p 1 O exemplo acima pode também ser resolvido em notação de módulo Neste caso precisamos provar que dado 0 existe δ 0 tal que x 1 δ f x f 1 Temos Assim dado 0 e tomandose x 1 δ f x f 1 Logo f é contínua em p 1 EXEMPLO 2 A função constante f x k é contínua em todo p real Solução f x f p k k 0 para todo x e todo p assim dado 0 e tomandose um δ 0 qualquer x p δ f x f p k k Logo f é contínua em p qualquer que seja p Como f é contínua em todo p de seu domínio resulta que f x k é uma função contínua EXEMPLO 3 A função afim f x ax b a e b constantes é contínua Solução Se a 0 f é constante logo contínua Suponhamos então a 0 Temos f x f p ax b ap b a x p Assim para todo 0 dado Tomandose então x p δ f x f p logo f é contínua em p Como p foi tomado de modo arbitrário resulta que f é contínua em todo p real isto é f é contínua Os dois próximos exemplos poderão facilitar as coisas em muitas ocasiões Antes porém observamos que se p a b a e b reais então existe δ 0 tal que p δ p δ a b basta por exemplo tomarmos δ mín b p p a Veja Em qualquer caso δ mín b p p a resolve o problema EXEMPLO 4 Prove que se para todo 0 dado existir um intervalo aberto I a b com p I tal que para todo x Df x I f p f x f p então f será contínua em p Solução Pela hipótese para todo 0 dado existe um intervalo aberto I a b com p I tal que Tomandose δ mín b p p a p δ p δ a b Assim x p δ p δ x a b Segue de ① que x p δ p δ f p f x f p Logo f é contínua em p EXEMPLO 5 Seja r 0 um real dado Suponha que para todo r 0 existe um intervalo aberto I com p I tal que para todo x Df x I f p f x f p Prove que f é contínua em p Solução Precisamos provar tendo em vista o exemplo anterior que para todo 0 existe um intervalo aberto I com p I tal que para todo x em Df x I f p f x f p Pela hipótese se r existe tal intervalo Suponhamos então r Seja 0 1 r Pela hipótese para o 1 dado existe I tal que x I f p 1 f x f p 1 Para este mesmo I teremos também x I f p f x f p pois f p f p 1 e f p 1 f p Interprete graficamente Assim para f ser contínua em p basta que para cada r 0 em que r 0 é fixado a priori exista um intervalo aberto I com p I tal que para todo x em Df x I f p f x f p EXEMPLO 6 Mostre que f x x3 é contínua em 1 Solução Precisamos mostrar que dado 0 existe um intervalo aberto I contendo 1 tal que x I f 1 f x f 1 Vamos resolver a inequação f 1 f x f 1 Temos Tomandose x I f 1 f x f 1 Logo f x x3 é contínua em 1 Observação Tomandose 1 δ x 1 δ f 1 f x f 1 EXEMPLO 7 Prove que f x x2 é contínua Solução Precisamos provar que f é contínua em todo p real Df ℝ Primeiro vamos provar que f é contínua em 0 Convém aqui usar a definição em notação de módulo Vamos provar então que dado 0 existe δ 0 tal que x 0 δ x2 02 Para se ter x2 basta que se tenha Tomandose x 0 δ x2 02 Logo f x x2 é contínua em 0 Vamos provar agora a continuidade de f em todo p 0 Temos f p f x f p p2 x2 p2 Para p2 0 Se p 0 tomamos assim x I p2 x2 p2 Se p 0 tomamos assim x I p2 x2 p2 Logo f x x2 é contínua em todo p real Interprete graficamente EXEMPLO 8 é contínua em p 1 Justifique Solução Intuitivamente vemos que f não é contínua em p 1 pois o gráfico apresenta salto neste ponto Para provar que f não é contínua em p 1 precisamos achar um 0 para o qual não exista δ 0 que torne verdadeira a afirmação x Df 1 δ x 1 δ f 1 f x f 1 Como f x 1 para x 1 e f 1 2 tomandose ou 0 1 para todo δ 0 1 δ x 1 f x 1 e 1 não está entre Logo não existe δ 0 que torna verdadeira a afirmação Portanto a função dada não é contínua em p 1 Observe que f é contínua em todo p 1 O próximo exemplo destaca uma propriedade importante conservação do sinal das funções contínuas Tal propriedade contanos que se f for contínua em p e f p 0 então existirá um δ 0 tal que f x conservará o sinal de f p para p δ x p δ x Df EXEMPLO 9 Seja f contínua em p e f p 0 Prove que existe δ 0 tal que x Df p δ x p δ f x 0 1 a b c d e 2 3 4 5 f g h Solução Como por hipótese f é contínua em p dado 0 existirá δ 0 tal que x Df Como para todo 0 existe δ 0 tal que ① ocorre tomandose em particular f p por hipótese f p 0 existirá um δ 0 tal que x Df p δ x p δ f p f p f x f p f p e portanto p δ x p δ f x 0 De modo análogo provase que se f for contínua em p e f p 0 então neste caso basta tomar f p existirá δ 0 tal que p δ x p δ f x 0 Exercícios 32 Prove pela definição que a função dada é contínua no ponto dado f x 4x 3 em p 2 f x x 1 em p 2 f x 3x em p 1 f x x3 em p 2 f x x4 em p 1 Prove que é contínua em todo p 0 Seja n 0 um natural Prove que f x xn é contínua Prove que é contínua é contínua em 1 Justifique 6 7 8 9 a 10 11 12 Dê exemplo de uma função definida em ℝ e que seja contínua em todos os pontos exceto em 1 0 1 Dê exemplo de uma função definida em ℝ e que seja contínua em todos os pontos exceto nos inteiros Seja f dada por Mostre que f é descontínua em todo p real Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é contínua Função maior inteiro Dê exemplo de uma função definida em ℝ e que seja contínua apenas em 1 01 Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado Justifique Dê o valor caso exista que a função dada deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto Justifique 13 14 15 16 17 18 19 20 Sabese que f é contínua em 2 e que f 2 8 Mostre que existe δ 0 tal que para todo x Df 2 δ x 2 δ f x 7 Sabese que f é contínua em 1 e que f 1 2 Prove que existe r 0 tal que para todo x Df Seja f uma função definida em ℝ e suponha que existe M 0 tal que f x f p M x p para todo x Prove que f é contínua em p Suponha que f x f 1 x 12 para todo x Prove que f é contínua em 1 Suponha que f x x2 para todo x Prove que f é contínua em 0 Prove que a função é contínua em 0 Sejam f e g definidas em ℝ e suponha que existe M 0 tal que f x f p M g x gp para todo x Prove que se g for contínua em p então f também será contínua em p Suponha f definida e contínua em ℝ e que f x 0 para todo x racional 21 22 23 c 24 a b 25 26 27 a b 33 Prove que f x 0 para todo x real Sejam f e g contínuas em ℝ e tais que f x g x para todo x racional Prove que f x g x para todo x real Suponha que f e g são contínuas em ℝ e que exista a 0 a 1 tal que para todo r racional f r ar e g r ar Prove que f x g x em ℝ Seja Prove f é contínua em p 1 Seja f x x3 x Prove que f x f 2 20 x 2 para 0 x 3 f é contínua em 2 Prove que é contínua em 1 Prove que é contínua em todo p 0 Sejam f x x3 e p 0 Verifique que x3 p3 7 p2 x p para x 2 p Conclua de a que f é contínua em p DEFINIÇÃO DE LIMITE Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f veja o final da Seção 31 Consideremos as situações a seguir Na situação a f não está definida em p mas existe L que satisfaz a propriedade Na situação b f está definida em p mas não é contínua em p entretanto existe L satisfazendo ① observe que neste caso a restrição x p é essencial Na situação c f é contínua em p assim L f p satisfaz ① Finalmente na situação d não existe L satisfazendo ① em p A propriedade ① é equivalente a para todo 0 dado existe δ 0 tal que para todo x Df 0 x p δ f x L Observe que 0 x p δ p δ x p δ x p Vamos provar a seguir que existe no máximo um número L satisfazendo a propriedade acima De fato suponhamos que L1 e L2 satisfaçam em p a propriedade acima então para todo 0 dado existem δ1 0 e δ2 0 tais que 0 x p δ1 f x L1 e 0 x p δ2 f x L2 tomandose δ mín δ1 δ2 0 x p δ f x L1 e f x L2 Das hipóteses sobre p e sobre o domínio de f segue que existe x0 Df com 0 x0 p δ temos L1 L2 L1 f x0 f x0 L2 L1 f x0 f x0 L2 Assim para todo 0 L1 L2 2 Logo L1 L2 De acordo com a definição que daremos a seguir o único número L caso exista satisfazendo ① é o limite de f x para x tendendo a p Definição Sejam f uma função e p um ponto do domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f Dizemos que f tem limite L em p se para todo 0 dado existir um δ 0 tal que para todo x Df 0 x p δ f x L Tal número L que quando existe é único será indicado por Assim Observações 1 Suponhamos f definida em p Comparando as definições de limite e continuidade resulta 2 O limite de f em p não depende do valor caso f esteja definida em p que f assume em p mas sim dos valores que f assume nos pontos próximos de p Quando estivermos interessados no limite de f em p basta olharmos para os valores que f assume num pequeno intervalo aberto contendo p o conceito de limite é um conceito local 3 Sejam f e g duas funções Se existir r 0 tal que f x g x para p r x p r x p e se existir então também existirá e EXEMPLO 1 Calcule k constante Solução O que queremos aqui é no qual f é a função constante f x k Como f é contínua em todo p real isto é O limite de uma constante é a própria constante EXEMPLO 2 Calcule Solução f x 3x 2 é uma função afim logo contínua em todo p real em particular em p 2 assim EXEMPLO 3 Calcule Solução para x 1 g x x 1 é contínua em 1 logo Como segue da observação 3 que 2 é o valor que deveria ter em 1 para ser contínua neste ponto EXEMPLO 4 Calcule Solução Para x 1 assim Observe que f 1 3 Pelo fato de segue que f não é contínua em 1 EXEMPLO 5 As funções dadas por f x xn e n 1 natural são contínuas Verifique Assim e para todo p no domínio de Provaremos na Seção 36 que se então O limite de uma soma é igual à soma dos limites das parcelas O limite de um produto é igual ao produto dos limites dos fatores Por enquanto vamos admitir tais propriedades e usálas EXEMPLO 6 Calcule Solução Assim EXEMPLO 7 Calcule Solução Como a propriedade d não se aplica e seguese que Deixamos a seu cargo verificar por indução finita que se então e para todo natural n 2 EXEMPLO 8 Calcule Solução Como pela propriedade d EXEMPLO 9 Calcule Solução logo a propriedade d não se aplica Como 1 é raiz de x3 1 e de x2 4x 3 estes polinômios são divisíveis por x 1 x3 1 x 1 x2 x 1 e x2 4x 3 x 1 x 3 Assim EXEMPLO 10 Calcule Solução Assim Segue O próximo exemplo mostranos que soma produto e quociente de funções contínuas são contínuas EXEMPLO 11 Sejam f g contínuas em p e k uma constante Então f g k f e f g são contínuas em p também será contínua em p desde que g p 0 Solução Como f e g são contínuas em p Segue das propriedades a b e c dos limites que e logo f g k f e f g são contínuas em p Sendo g p 0 logo é também contínua em p Deixamos a seu cargo verificar que se f1 f2 fn n 2 natural forem contínuas em p então f1 f2 fn e f1 f2 f3 fn também o serão EXEMPLO 12 Toda função polinomial é contínua Solução Sendo f uma função polinomial existem n ℕ e números reais a0 a1an tais que f x a0xn a1xn 1 an 1x an assim f é soma de funções contínuas logo f é contínua EXEMPLO 13 f dada por é contínua pois se trata de uma função polinomial Lembrese dizer que f é uma função contínua equivale a dizer que f é contínua em todos os pontos de seu domínio EXEMPLO 14 Toda função racional é contínua Solução Sendo f uma função racional em que g e h são funções polinomiais Assim f é contínua em todo p que não anula o denominador isto é f é contínua EXEMPLO 15 é contínua em todo Solução f é uma função racional assim f é contínua em todo p de seu domínio isto é f é contínua em todo EXEMPLO 16 Prove que Solução EXEMPLO 17 Prove que Solução Suponhamos assim dado 0 existe δ 0 tal que 0 x p δ f x L daí 0 h δ 0 p h p δ f p h L ou seja 0 h δ f p h L Assim Verifique você a recíproca EXEMPLO 18 Conservação do sinal Suponha que Prove que existe δ 0 tal que x Df 1 p δ x p δ x p f x 0 Solução Sendo para todo 0 dado existe δ 0 tal que x Df p δ x p δ x p L f x L Para L existe δ 0 tal que x Df p δ x p δ x p L L f x L L ou seja p δ x p δ x p f x 0 Exercícios 33 Calcule e justifique 2 3 Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado Justifique é contínua em 1 E em 0 Por quê 4 a b c d e f 5 6 Calcule sendo f dada por f x x2 f x 2x2 x f x 5 f x x3 2x f x 3x 1 Calcule Prove que existe δ 0 tal que 7 8 9 10 11 12 13 14 15 34 Prove que existe δ 0 tal que Sejam f e g definidas em ℝ com g x 0 para todo x Suponha que Prove que existe δ 0 tal que 0 x p δ f x g x Suponha que Prove que existem r 0 α e β tais que para todo x Df 0 x p r α f x β Interprete graficamente Suponha que Prove que existem r 0 e M 0 tais que para todo x Df 0 x p r f x M Prove Prove Prove Suponha que existe r 0 tal que f x 0 para 0 x p r e que Prove que L 0 Sugestão Suponha L 0 e use a conservação do sinal Suponha f contínua em ℝ e f x 0 para todo x racional Prove que f x 0 para todo x LIMITES LATERAIS Sejam f uma função p um número real e suponhamos que existe b tal que p b Df Definimos O número L quando existe denominase limite lateral à direita de f em p Quando x tende a p pela direita f x tende a Suponhamos agora que exista um real a tal que a p Df Definimos O número L quando existe denominase limite lateral à esquerda de f em p Quando x tende a p pela esquerda f x tende a L É uma consequência imediata das definições de limite e de limites laterais que se e se para algum r 0 f x g x em p p r então Se ocorrer f x g x em p r p então 1 2 3 EXEMPLO 1 Calcule Solução EXEMPLO 2 Calcule Solução Teorema Sejam f uma função p um número real e suponhamos que existam a e b tais que a p e p b estejam contidos em Df Então Demonstração Deixamos para o leitor Observações Se existirem e forem diferentes então não existirá Se existirem a e b tais que a p e p b estejam contidos em Df e se em p um dos limites laterais não existir então não existirá Se existirem reais r 0 e b tais que p b Df e p r p Df φ então desde que o limite lateral à direita exista Se ocorrer b p Df e p p r Df φ então desde que o limite lateral à esquerda exista 1 2 EXEMPLO 3 existe Por quê Solução Como segue que não existe Exercícios 34 Calcule caso exista Se não existir justifique em que g é a função do item j A afirmação conínua em p é falsa ou verdadeira Justifique 3 4 5 6 35 Dada a função verifique que Perguntase f é contínua em 1 Por quê Dê exemplo de uma função definida em ℝ que não seja contínua em 2 mas que Suponha que exista r 0 tal que f x 0 para p x p r Prove que desde que o limite exista Sejam f uma função definida num intervalo aberto I e p I Suponha que f x f p para todo x I Prove que desde que o limite exista Sugestão estude os sinais de e de LIMITE DE FUNÇÃO COMPOSTA Sejam f e g duas funções tais que Imf Dg em que Imf é a imagem de f ou seja Imf f x x Df Nosso objetivo é estudar o limite Supondo que é razoável esperar que desde que exista observe u f x u a para x p Veremos que ① se verifica se g for contínua em a ou se g não estiver definida em a Veremos ainda que se g estiver definida em a mas não for contínua em a ① se verificará desde que ocorra f x a para x próximo de p Os casos que interessarão ao curso são aqueles em que g ou é contínua em a ou não está definida em a O quadro que apresentamos a seguir mostra como iremos trabalhar com o limite de função composta no cálculo de limites Suponhamos que existam funções g u e u f x no qual g ou é contínua em a ou não está definida em a tais que e que exista Então Vamos antecipar alguns exemplos e deixar para o final da seção a demonstração da validade de ① EXEMPLO 1 Calcule Solução Assim EXEMPLO 2 Calcule Solução Façamos u 3 x3 assim Para x 1 u 2 Então EXEMPLO 3 Calcule Solução Façamos assim x u3 2 Assim EXEMPLO 4 Se então Solução Como h u u2 é contínua veja Exemplo 732 EXEMPLO 5 Suponha g x 0 para todo x Dg L 0 e Prove que Solução Como é contínua em todo u 0 veja Exercício 232 seguese que Observação Se L 0 pela conservação do sinal existe r 0 tal que g x 0 para 0 x p r x Dg Como o conceito de limite é um conceito local seguese que a hipótese g x 0 que aparece no Exemplo 5 é dispensável Assim Vamos agora demonstrar ① no caso em que g é contínua em a Teorema 1 Sejam f e g duas funções tais que Imf Dg Se contínua em a então Demonstração Sendo g contínua em a Precisamos provar que para todo 0 dado existe δ 0 tal que 0 x p δ g a g f x g a Como g é contínua em a dado 0 existe δ1 0 tal que Como para o δ1 0 acima existe δ 0 tal que De ② e ③ seguese que 0 x p δ g a g f x g a Observação O teorema acima contanos que se g for contínua em a e então o que nos mostra que os símbolos podem ser permutados em O próximo exemplo nos diz que composta de funções contínuas é contínua EXEMPLO 6 Sejam f e g tais que Imf Dg Se f for contínua em p e g contínua em f p então a composta h x g f x será contínua em p Solução logo h x g f x é contínua em p Teorema 2 Sejam f e g duas funções tais que Imf Dg e Nestas condições se existir um r 0 tal que f x a para 0 x p r então existirá e Demonstração Como dado 0 existe δ1 0 tal que Como para o δ1 0 acima existe δ2 0 tal que Tomandose δ mín δ2 r segue de ② e da hipótese De ① e ② resulta 0 x p δ g f x L Assim Observação Se g não estiver definida em a seguese da hipótese Imf Dg que f x a para todo x Df Assim neste caso a condição existe r 0 tal que f x a para 0 x p r é dispensável Entretanto se g estiver definida em a mas não for contínua em a tal condição é indispensável como mostra o próximo exemplo EXEMPLO 7 Sejam f e g definidas em ℝ e dadas por f x 1 e Temos Como g f x 3 para todo x segue que Este fato ocorre em virtude de não estar satisfeita a condição existe r 0 tal que f x 1 para 0 x p r Exercícios 35 1 2 3 36 Calcule Seja f definida ℝ Suponha que Calcule Seja f definida em ℝ e seja p um real dado Suponha que Calcule TEOREMA DO CONFRONTO Teorema do confronto Sejam f g h três funções e suponhamos que exista r 0 tal que f x g x h x para 0 x p r Nestas condições se então a b a b Demonstração Veja Seção 39 EXEMPLO 1 Seja f uma função e suponha que para todo x f x x2 Calcule caso exista f é contínua em 0 Por quê Solução f x x2 x2 f x x2 Como segue do teorema do confronto que Segue de a que f será contínua em 0 se f 0 0 Pela hipótese f x x2 para todo x logo f 0 0 e portanto f 0 0 Assim ou seja f é contínua em 0 O próximo exemplo nos diz que se f tiver limite 0 em p e se g for limitada então o produto f g terá limite 0 em p EXEMPLO 2 Sejam f e g duas funções com mesmo domínio A tais que e g x M para todo x em A em que M 0 é um número real fixo Prove que Solução 1 2 3 4 f x g x I f x g x M f x para todo x em A Daí para todo x em A M f x f x g x M f x De segue que e Pelo teorema do confronto EXEMPLO 3 Calcule em que Solução como não existe verifique não podemos aplicar a propriedade relativa a limite de um produto de funções Entretanto como g é limitada g x 1 para todo x e pelo exemplo anterior Exercícios 36 Seja f uma função definida em ℝ tal que para todo x 1 Calcule e justifique Seja f definida em ℝ e tal que para todo x f x 3 2 x 1 Calcule e justifique Suponha que para todo x g x x4 Calcule a Verifique que não existe b 5 6 7 a b 8 9 10 11 12 37 Calcule caso exista Justifique Calcule caso exista em que f é dada por Sejam f e g duas funções definidas em ℝ e tais que para todo x g x4 f x4 4 Calcule e justifique Seja f definida em ℝ e suponha que existe M 0 tal que para todo x f x f p M x p 2 Mostre que f é contínua em p Calcule caso exista Sejam a b c reais fixos e suponha que para todo x a bx cx2 x 3 Prove que a b c 0 Prove Sugestão verifique que f x L f x L e aplique o teorema do confronto A afirmação é falsa ou verdadeira Por quê Dê exemplo de uma função f tal que existe mas não exista Prove CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Lembrando que sen x sen x segue da propriedade 5 da Seção 22 que existe r 0 tal que para todo x com x r Interprete geometricamente esta desigualdade Vamos agora utilizar ① para mostrar que para x p 2r Temos De segue De ① segue que para x p 2r De ③ e ④ resulta sen x sen p x p para x p 2r Fica a seu cargo mostrar que para x p 2r Teorema As funções sen e cos são contínuas Demonstração Seja p um real qualquer Por ② 38 sen x sen p x p para x p 2r Como segue do teorema do confronto que ou seja Logo sen x é contínua em p Como p foi tomado de modo arbitrário resulta que sen x é contínua em todo p real isto é sen x é uma função contínua Fica a seu cargo a demonstração da continuidade da função cos Deixamos a seu cargo provar como exercício que as funções tg sec cotg e cosec são também contínuas O LIMITE FUNDAMENTAL Pela propriedade 5 da Seção 22 veja justificação geométrica ao final da seção existe r 0 tal que 0 sen x x tg x para 0 x r Dividindo por sen x e portanto para 0 x r Por outro lado Como cos Assim para todo x com 0 x r Como pelo teorema do confronto Observe que para módulo de x suficientemente pequeno ou x sen x Interprete geometricamente EXEMPLO 1 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 2 Calcule Solução pois Justificação geométrica da propriedade 5 da Seção 22 1 área e área Veja figura na página seguinte Por uma regra de três simples calculamos a área α do setor circular OAP 2π rad área π x rad área α Portanto área do setor circular Assim para x é a medida em rad do arco AP ou sen x x tg x Exercícios 38 Calcule 2 a b 39 Prove que existe r 0 tal que para 0 x r Calcule 3 Calcule PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DO CONFRONTO a b Teorema Se k for uma constante então Demonstração f x g x L L1 f x L g x L1 Da hipótese dado 0 existe δ 0 tal que daí 0 x p δ f x g x L L1 Se k 0 kf x 0 para todo x Df logo Se k 0 dado 0 existe δ 0 tal que daí 0 x p δ kf x kL Daí Demonstração Veja Exemplo 5 da Seção 35 Demonstração do Teorema do Confronto Como por hipótese dado 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que 0 x p δ1 L f x L e 0 x p δ2 L h x L Tomandose δ mín δ1 δ2 r vem 0 x p δ L f x g x h x L logo 0 x p δ L g x L ou seja 41 4 EXTENSÕES DO CONCEITO DE LIMITE LIMITES NO INFINITO Nosso objetivo nesta seção é dar um significado para os símbolos leia limite de f x para x tendendo a mais infinito é igual a L e Definição 1 Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que a Df Definimos Definição 2 Seja f uma função e suponhamos que exista a tal que α Df Definimos EXEMPLO 1 Calcule e justifique Solução Quanto maior o valor de x mais próximo de zero estará Justificação Dado 0 e tomandose e portanto Logo Deixamos para o leitor as demonstrações dos seguintes teoremas a b Teorema 1 Sejam f e g duas funções tais que Im f Dg e Se g for contínua em a então Se g não estiver definida em a e se existir então Teorema 2 Seja k uma constante e suponhamos que e Então Observamos que os teoremas acima continuam válidos se substituirmos x por x EXEMPLO 2 Calcule no qual n 0 é um número natural dado Solução EXEMPLO 3 Calcule 1 2 Solução Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre no numerador e proceder da mesma forma no denominador Deste modo irão aparecer no denominador e numerador expressões do tipo que tendem a zero para x o que poderá facilitar o cálculo do limite Exercícios 41 Calcule Sejam f e g definidas em a e tais que 3 b 4 b 5 42 para todo x a Calcule caso exista a Calcule Mostre que existe r 0 tal que a Calcule Mostre que existe r 0 tal que Sejam f e g definidas em a e tais que f x 0 e g x 0 para todo x a Suponha que Prove que existe r 0 r a tal que para todo x r Conclua daí que se então LIMITES INFINITOS Definição 1 Suponhamos que exista a tal que a Df Definimos Definição 2 Sejam f uma função p um número real e suponhamos que exista b tal que p b Df Definimos Deixamos a seu cargo definir EXEMPLO 1 Calcule e justifique Justificação Dado 0 e tomandose Logo EXEMPLO 2 Calcule e justifique Solução Dado 0 e tomandose δ x δ x Logo Teorema Demonstração Para as demonstrações de a e b veja os Exemplos 13 e 14 As demonstrações dos demais itens ficam a cargo do leitor Observamos que o teorema anterior continua válido se substituirmos x por x ou por x p ou por x p ou por x p Observação O teorema anterior sugerenos como operar com os símbolos e L se L 0 L se L 0 L se L 0 L se L 0 L se L ℝ L se L ℝ e Indeterminações EXEMPLO 3 Calcule Solução EXEMPLO 4 Calcule Solução EXEMPLO 5 Calcule Solução O próximo exemplo contanos que se f x tende a zero para x p e se f x 0 então tende a para x p EXEMPLO 6 Suponha que e que existe r 0 tal que f x 0 para p x p r Prove que Solução Pela hipótese dado 0 existe δ 0 com δ r tal que daí Logo EXEMPLO 7 Calcule Solução Interprete graficamente EXEMPLO 8 Calcule Solução x 1 0 para x 1 e logo Interprete graficamente EXEMPLO 9 Sejam f e g duas funções tais que e que existe r 0 tal que g x 0 para p x p r Prove que nestas condições ou não existe Solução Basta provar que não pode ser finito Se tal limite fosse finito teríamos que é uma contradição EXEMPLO 10 Calcule Solução Pelo exemplo anterior o limite proposto ou é ou ou não existe Vejamos o que realmente acontece Inicialmente vamos separar o fator que é responsável pelo anulamento do denominador Como resulta EXEMPLO 11 Calcule a Solução Como 1 é raiz do numerador e denominador vamos primeiro simplificar Então EXEMPLO 12 Calcule Solução EXEMPLO 13 Suponha que Prove Solução Segue da hipótese que dado 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que e b a b Tomandose δ máxδ1 δ2 Logo Segue da hipótese que dado 0 existe δ 0 tal que daí x δ f x g x ou seja EXEMPLO 14 Suponha que L real e Prove Solução Segue da hipótese que dado 0 existem δ1 0 e δ2 0 tais que Tomandose δ máxδ1 δ2 x δ f x g x Pelo item a Então dado 0 existe δ 0 tal que x δ f x g x 1 2 3 4 Logo x δ f x g x Exercícios 42 Calcule Prove que no qual n 0 é um natural Calcule Calcule 5 6 7 8 9 Dê exemplo de funções f e g tais que mas não existe Dê exemplo de funções f e g tais que e Dê exemplo de funções f e g tais que e Seja f x ax3 bx2 cx d em que a 0 b c d são reais dados Prove que existem números reais x1 e x2 tais que f x1 0 e f x2 0 Sejam f e g duas funções definidas em a tais que para todo x a Prove que existe r 0 tal que 43 para todo x r f x g x SEQUÊNCIA E LIMITE DE SEQUÊNCIA Uma sequência ou sucessão de números reais é uma função n an a valores reais cujo domínio é um subconjunto de ℕ As sequências que vão interessar ao curso são aquelas cujo domínio contém um subconjunto do tipo n ℕ n q no qual q é um natural fixo só consideraremos tais sequências A notação an leia a índice n é usada para indicar o valor que a sequência assume no natural n Diremos que an é o termo geral da sequência EXEMPLO 1 Seja a sequência de termo geral an 2n Temos a0 20 a1 21 a2 22 EXEMPLO 2 Seja a sequência de termo geral sn 1 2 3 n Temos s1 1 s2 1 2 s3 1 2 3 etc Sejam m n dois naturais O símbolo leia somatória de ak para k variando de m até n é usado para indicar a soma dos termos am am 1 am 2 an EXEMPLO 3 EXEMPLO 4 Seja a sequência de termo geral Temos EXEMPLO 5 Considere a sequência de termo geral t 0 e t 1 Verifique que Solução Multiplicando ambos os membros por t vem Subtraindo membro a membro ① e ② obtemos sn 1 t 1 tn 1 logo Observe que sn é a soma dos termos da progressão geométrica 1 t t2 t3 tn Definição Consideremos uma sequência de termo geral an e seja a um número real Definimos Se diremos que a sequência de termo geral an converge para a ou simplesmente que an converge para a e escrevemos an a Se diremos que an diverge para e escrevemos an Se diremos que an diverge para Observamos que as definições acima são exatamente as mesmas que demos quando tratamos com limite de uma função f x para x deste modo tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma aplicase aqui EXEMPLO 6 Calcule Solução EXEMPLO 7 Suponha que existe um natural n1 tal que an bn para todo n n1 Prove que se então Solução Como dado 0 existe um natural n2 tal que n n2 bn Tomandose n0 máxn1 n2 resulta n n0 an bn logo EXEMPLO 8 Suponha a 1 Mostre que Solução a 1 h h 0 Pela fórmula do binômio de Newton daí ou seja an 1 nh para n 1 Como h 0 logo EXEMPLO 9 Supondo 0 b 1 calcule Solução Inicialmente observamos que se então verifique De 0 b 1 segue que então pois Exemplo 8 EXEMPLO 10 Calcule Solução EXEMPLO 11 Calcule Solução veja Exemplo 5 1 2 Como resulta A igualdade é usualmente escrita na forma Exercícios 43 Calcule Supondo 0 a 1 mostre que 3 4 a b 5 6 Calcule Sugestão para k 0 Seja f x x x 0 1 Considere a sequência de termo geral Calcule S3 Observe que geometricamente S3 pode ser interpretado como a soma das áreas dos retângulos hachurados Calcule Pensando geometricamente qual o valor esperado para o limite Calcule Sugestão Verifique que Veja Seção 172 Seja f x x2 x 0 1 Considere as sequências e 7 a b 8 9 Calcule Interprete geometricamente tais limites Sugestão Utilize o Exercício 5 Uma partícula deslocase sobre o eixo 0x com aceleração constante a a 0 Suponha que no instante t 0 a velocidade seja zero A velocidade no instante t é então dada por v t at Divida o intervalo de tempo 0 T em n intervalos de amplitudes iguais a No instante a velocidade será no instante será etc Supondo n suficientemente grande o espaço percorrido entre os instantes será aproximadamente por quê entre os instantes o espaço percorrido será aproximadamente etc Calcule Interprete cinematicamente e geometricamente o limite acima Suponha que a sequência de termo geral an n natural seja crescente isto é quaisquer que sejam os naturais n e m n m an am e que exista M real tal que an M para todo natural n Prove que existe e que Veja Seção A14 Considere a sequência de termo geral a b c 44 Prove que an é crescente Prove que para todo natural n 1 Prove que existe e que é menor que 2 Compare com o Exercício 3 Sugestão para b Verifique que LIMITE DE FUNÇÃO E SEQUÊNCIAS Seja f uma função tal que uma sequência que converge a p com an Df e an p para todo natural n É natural esperar que De fato sendo dado 0 existe δ 0 tal que Como an p para o δ 0 acima existe um natural n0 tal que n n0 an p δ e como an p para todo n De ① e ② n n0 f an L logo 1 a b 2 Em particular se f for contínua em p e se an convergir a p com an Df para todo n então Do que vimos acima resulta que se existirem duas sequências an e bn com an p e bn p para todo n que convergem a p e se então não existirá Frequentemente usase este processo para mostrar a não existência de limite de uma função num ponto EXEMPLO Seja Prove que para todo real p não existe Solução Para todo natural n 0 existem an e bn an racional e bn irracional tais que Segue pelo teorema do confronto que Como pois f an 1 para todo n 0 e pois f bn 0 para todo n 0 resulta que não existe Exercícios 44 Seja Calcule Mostre que para todo p 0 não existe Seja a sequência de termo geral an com an 0 para todo natural n Sabese que a real e que para todo n Calcule a 3 4 5 6 45 Sejam f uma função p um número real e suponha que existam duas sequências an e bn convergindo a p com an e bn pertencentes a Df para todo n tais que Podemos então afirmar que Por quê Sabese que a sequência é convergente Calcule Sabese que a sequência é convergente Calcule seu limite Prove que não existe O NÚMERO e Nosso objetivo nesta seção é provar que a sequência de termo geral é convergente Definiremos então o número e como o limite de tal sequência Para provar a convergência de tal sequência é suficiente provar que ela é crescente e que existe M 0 tal que an M para todo n 1 veja Apêndice 1 Primeiro vamos provar que para todo n 1 Temos daí Como 2n n 1 para todo n 1 verifique resulta que para todo n 1 daí e como resulta Vamos provar agora que tal sequência é crescente Sejam n e m naturais 1 tais que n m Temos e De n m resulta e daí Observe Segue que se n m Assim a sequência é crescente 5 TEOREMAS DO ANULAMENTO DO VALOR INTERMEDIÁRIO E DE WEIERSTRASS Os teoremas do anulamento ou de Bolzano do valor intermediário e de Weierstrass são fundamentais para o desenvolvimento do curso Neste capítulo apresentaremos seus enunciados e faremos algumas aplicações as demonstrações são deixadas para o Apêndice 2 Teorema do anulamento ou de Bolzano Se f for contínua no intervalo fechado a b e se f a e f b tiverem sinais contrários então existirá pelo menos um c em a b tal que f c 0 EXEMPLO 1 Mostre que a equação x3 4x 8 0 admite pelo menos uma raiz real Solução Consideremos a função f x x3 4x 8 temos f0 8 f3 7 e f é contínua em 3 0 os números 0 e 3 foram determinados por inspeção segue do teorema do anulamento que existe pelo menos um c em 3 0 tal que fc 0 isto é a equação x3 4x 8 0 admite pelo menos uma raiz real entre 3 e 0 Teorema do valor intermediário Se f for contínua em a b e se γ for um real compreendido entre f a e f b então existirá pelo menos um c em a b tal que f c γ Observe que o teorema do anulamento é um caso particular do teorema do valor intermediário Teorema de Weierstrass Se f for contínua em a b então existirão x1 e x2 em a b tais que f x1 f x f x2 para todo x em a b O teorema de Weierstrass nos conta que se f for contínua em a b então existirão x1 e x2 em a b tais que f x1 é o valor mínimo de f em a b e f x2 o valor máximo de f em a b Ou de outra forma se f for contínua em a b então f assumirá em a b valor máximo e valor mínimo Chamamos sua atenção para o fato de a hipótese de f ser contínua no intervalo fechado a b ser indispensável por exemplo x 0 1 é contínua em 0 1 mas não assume neste intervalo 1 2 3 4 5 valor máximo EXEMPLO 2 Prove que o conjunto admite máximo e mínimo Solução é contínua em segue do teorema de Weierstrass que existem x1 e x2 em tais que f x1 é o valor mínimo de f em e f x2 o valor máximo de f neste intervalo Assim e Veremos mais adiante como determinar x1 e x2 Exercícios Seja f x x5 x 1 Justifique a afirmação f tem pelo menos uma raiz no intervalo 1 0 Prove que a equação x3 4x 2 0 admite três raízes reais distintas Seja α a menor raiz positiva da equação x3 4x 2 0 Determine intervalos de amplitudes que contenham α Prove que a equação admite ao menos uma raiz real Prove que cada um dos conjuntos abaixo admite máximo e mínimo 6 a b 7 a b 8 9 10 11 12 13 14 Seja f 1 1 ℝ dada por Prove que f 1 é o valor máximo de f Prove que existe x1 1 0 tal que f x1 é o valor mínimo de f Prove que todo polinômio do grau 3 admite pelo menos uma raiz real Prove que todo polinômio de grau ímpar admite pelo menos uma raiz real Seja f a b ℝ uma função contínua e suponha que f não seja constante em a b Prove que existem números reais m e M com m M tais que Imf m M Observação Imagem de f Imf f x x a b Seja f I ℝ contínua em que I é um intervalo qualquer Prove que a imagem de f é um intervalo Suponha que f 0 1 ℝ seja contínua f 0 1 e que f x é racional para todo x em 0 1 Prove que f x 1 para todo x em 0 1 Seja f 0 1 ℝ contínua e tal que para todo x em 0 1 0 f x 1 Prove que existe c em 0 1 tal que f c c Seja f contínua em a b e tal que f a f b Suponha que quaisquer que sejam s e t em a b s t fs ft Prove que f é estritamente crescente em a b Observação f estritamente crescente em a b s t em a b s t fs ft Suponha f contínua no intervalo I e que f admita neste intervalo uma única raiz a Suponha ainda que existe x0 em I com x0 a tal que f x0 0 Prove que para todo x em I com x a f x 0 Considere a função f dada por a b c 15 Verifique que f é contínua em 0 Mostre que 1 é a única raiz de f em 0 que f 2 0 e que Conclua que f x 0 em 1 e que f xx 0 em0 1 Suponha f contínua em I e sejam a e b pertencentes a I com a b as únicas raízes de f em I Sejam x0 x1 e x2 em I com x0 a a x1 b e b x2 Estude o sinal de f em I a partir dos sinais de f x0 f x1 e f x2 Justifique 61 6 FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL Na Seção 17 definimos potência com expoente racional e estudamos suas principais propriedades Nesta seção vamos definir potência com expoente real Observamos inicialmente que se f e g são duas funções definidas e contínuas em ℝ tais que fr gr para todo racional r então f x gx para todo real x isto é se duas funções contínuas em ℝ coincidem nos racionais então elas são iguais veja Exercício 21 Seção 32 Seja agora a 0 e a 1 um real qualquer Se existirem funções f e g definidas e contínuas em ℝ e tais que para todo racional r fr ar e gr ar então f x gx para todo x real Isto significa que poderá existir no máximo uma função definida e contínua em ℝ e que coincide com ar em todo racional r O próximo teorema cuja demonstração é deixada para o Apêndice 3 garantenos a existência de uma tal função Teorema Seja a 0 e a 1 um real qualquer Existe uma única função f definida e contínua em ℝ tal que fr ar para todo racional r Damos agora a seguinte Definição Sejam a 0 a 1 e f como no teorema anterior Definimos a potência de base a e expoente real x por ax f x A função f definida em ℝ e dada por f x ax a 0 e a 1 denominase função exponencial de base a Sejam a 0 b 0 x e y reais quaisquer provaremos no Apêndice 2 as seguintes propriedades 1 axay ax y 2 axy axy 3 abx axbx 4 Se a 1 e x y então ax ay 5 Se 0 a 1 e x y então ax ay A propriedade 4 contanos que a função exponencial f x ax a 1 é estritamente crescente em ℝ A 5 contanos que f x ax 0 a 1 é estritamente decrescente em ℝ O gráfico de f x ax tem o seguinte aspecto EXEMPLO 1 Avalie Solução Como f x 2x é contínua em De segue Como resulta que 214142 é uma aproximação por falta de EXEMPLO 2 Esboce o gráfico de a f x 2x Solução A função exponencial de base e e 2718 281 f x ex desempenhará um papel bastante importante em todo o nosso curso Como e 1 o gráfico de f x ex tem o seguinte aspecto 1 EXEMPLO 3 Suponha a 1 Verifique que Solução a Já vimos Exemplo 8 da Seção 43 que Assim dado 0 existe um natural n0 tal que n n0 an Como ax é crescente a 1 resulta x n0 ax logo Exercícios 61 Calcule 2 a b c d e f g h i j 62 Esboce o gráfico f x 3x gx 012x f x ex gx 1 ex f x ex gx 1 ex f x ex ex gx ex sen x f x e1x gx ex2 LOGARITMO Teorema Sejam a 0 a 1 e β 0 dois reais quaisquer Então existe um único γ real tal que aγ β Demonstração Suponhamos primeiro a 1 Como segue que existem reais u e v com u v tais que au β av Como f x ax é contínua no intervalo fechado u v segue do teorema do valor intermediário que existe γ em u v tal que fγ β ou aγ β A unicidade de γ segue do fato de f ser estritamente crescente O caso 0 a 1 deixamos a seu cargo Sejam a 0 a 1 e β 0 dois reais quaisquer O único número real γ tal que aγ β denominase logaritmo de β na base a e indicase por γ loga β Assim γ loga β aγ β Observe loga β somente está definido para β 0 a 0 e a 1 EXEMPLO 1 Calcule a log2 4 c log5 1 Solução a x log2 4 2x 4 x 2 Logo log2 4 2 c log5 1 0 pois 50 1 Observação importante aγ β γ loga β assim aloga β β O logaritmo de β na base a é o expoente que se deve atribuir à base a para reproduzir β O logaritmo na base e é indicado por ln assim ln loge Temos então y ln x ey x Da observação acima segue que para todo x 0 eln x x Sejam a 0 a 1 b 0 b 1 α 0 e β 0 reais quaisquer São válidas as seguintes propriedades 1 loga α β loga α loga β 2 loga αβ β loga α 4 Mudança de base 5 Se a 1 e α β então loga α loga β 6 Se 0 a 1 e α β então loga α loga β Vamos demonstrar 1 e as demais ficam a seu cargo Demonstração de 1 X loga α α aX Y loga β β aY Assim α β aXaY pela propriedade 1 das potências com expoentes reais aXaY aX Y segue que α β aX Y ou X Y loga α β Portanto loga α loga β loga α β Seja a 0 a 1 A função f dada por f x loga x x 0 denominase função logarítmica de base a A propriedade 5 contanos que se a 1 a função logarítmica f x loga x x 0 é estritamente crescente Da propriedade 6 segue que se 0 a 1 a função logarítmica f x loga x x 0 é estritamente decrescente EXEMPLO 2 Esboce o gráfico a f x log2 x Solução a Domínio de f x ℝ x 0 b Df 0 EXEMPLO 3 Suponha a 1 Calcule e justifique Solução Se o limite existir deverá ser igual a 1 Justificação por e δ Dado 0 precisamos encontrar δ 0 tal que x δ loga x Tomandose δ a x δ x a loga x Portanto b Vamos mostrar que De fato pois Deixamos a seu cargo a prova de que f x loga x é contínua Exercícios 62 Calcule a log10 100 2 3 e log10 1 f log5 5 g loga 1 a 0 e a 1 h log3 243 Determine o domínio a f x log2 x 1 b g x ln x2 1 c g x ln x d f x log3 x f g x logx 3 Ache o domínio e esboce o gráfico a f x log3 x b g x ln x d g x ln x 1 e f x ln x f g x ln x 4 63 g f x ln x h g x ln x Calcule O LIMITE Já provamos que a sequência de termo geral converge para o número e veja 45 isto é Vamos provar agora que Sejam n 0 um natural qualquer e x 0 um real qualquer daí ou seja EXEMPLO 1 Verifique que Solução Fazendo x t 1 t 0 vem Para x t assim EXEMPLO 2 Verifique que Solução a Fazendo vem 1 b Faça você Segue do Exemplo 2 que EXEMPLO 3 Mostre que Solução Fazendo u eh 1 ou h ln 1 u vem h 0 u 0 assim Exercícios 63 Calcule 2 3 Seja a 0 a 1 Mostre que Calcule 71 7 DERIVADAS INTRODUÇÃO Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio Limites do tipo ocorrem de modo natural tanto na geometria como na física Consideremos por exemplo o problema de definir reta tangente ao gráfico de f no ponto p f p Evidentemente tal reta deve passar pelo ponto p f p assim a reta tangente fica determinada se dissermos qual deve ser seu coeficiente angular Consideremos então a reta sx que passa pelos pontos p f p e x f x Coeficiente angular de Quando x tende a p o coeficiente angular de sx tende a f p onde Observe que fp leia f linha de p é apenas uma notação para indicar o valor do limite acima Assim à medida que x vai se aproximando de p a reta sx vai Download de livros em pdf httplivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 72 tendendo para a posição da reta T de equação É natural então definir a reta tangente em p f p como a reta de equação ① Suponhamos agora que s f t seja a equação horária do movimento de uma partícula vinculada a uma reta orientada na qual se escolheu uma origem Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a abscissa ocupada pela partícula na reta A velocidade média da partícula entre os instantes t0 e t é definida pelo quociente A velocidade instantânea da partícula no instante t0 é definida como o limite Esses exemplos são suficientes para levarnos a estudar de modo puramente abstrato as propriedades do limite DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Definição Sejam f uma função e p um ponto de seu domínio O limite quando existe e é finito denominase derivada de f em p e indicase por f p leia f linha de p Assim Se f admite derivada em p então diremos que f é derivável ou diferenciável em p Dizemos que f é derivável ou diferenciável em A Df se f for derivável em cada p A Diremos simplesmente que f é uma função derivável ou diferenciável se f for derivável em cada ponto de seu domínio Observação Segue das propriedades dos limites que Assim Conforme vimos na introdução a reta de equação y f p fp x p é por definição a reta tangente ao gráfico de f no ponto p f p Assim a derivada de f em p é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p EXEMPLO 1 Seja f x x2 Calcule a f1 b fx c f3 Solução Assim f1 2 A derivada de f x x2 em p 1 é igual a 2 Como segue que Portanto f x x2 fx 2x Observe que fx 2x é uma fórmula que nos fornece a derivada de f x x2 em todo x real c Segue de b que f3 2 3 6 EXEMPLO 2 Seja f x x2 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto a 1 f 1 b 1 f 1 Solução a A equação da reta tangente em 1 f 1 é substituindo em ① vem y 1 2 x 1 ou y 2x 1 Assim y 2x 1 é a equação da reta tangente ao gráfico de f x x2 no ponto 1 f 1 b A equação da reta tangente em 1 f 1 é y f 1 f1 x 1 ou y f 1 f1 x 1 substituindo estes valores na equação vem y 1 2 x 1 ou y 2x 1 que é a equação da reta tangente pedida EXEMPLO 3 Seja f x k uma função constante Mostre que fx 0 para todo x A derivada de uma constante é zero Solução Como f x k para todo x resulta f x h k para todo x e todo h assim EXEMPLO 4 Seja f x x Prove que fx 1 para todo x Solução Assim f x x fx 1 EXEMPLO 5 Seja Calcule f2 Solução Assim isto é EXEMPLO 6 Seja Calcule caso exista f0 Solução Assim Logo f0 existe e f0 0 EXEMPLO 7 Mostre que f x x não é derivável em p 0 Solução daí logo não existe ou seja f não é derivável em 0 Como f0 não existe o gráfico de f x x não admite reta tangente em 0 f 0 Sejam f uma função e p f p um ponto de seu gráfico Seja sx a reta que passa pelos pontos p f p e x f x Se fp existir então o gráfico de f admitirá reta tangente T em p f p neste caso à medida que x se aproxima de p quer pela direita quer pela esquerda só pela direita se f não estiver definida à esquerda de p só pela esquerda se f não estiver definida à direita de p a reta sx tenderá para a posição da reta T Por outro lado se à medida que x tender a p pela direita sx se aproximar da posição de uma reta T1 e se à medida que x se aproximar de p pela esquerda sx se aproximar da posição de uma outra reta T2 T2 T1 então o gráfico de f não admitirá reta tangente em p f p ou seja fp não existirá O próximo exemplo destaca uma propriedade importante da reta tangente EXEMPLO 8 Suponha f derivável em p e seja ρ x x Df e x p dada por f x f p fp x p ρ x x p Mostre que Solução Daí De segue Observação Se definirmos ρ p 0 a igualdade que aparece no Exemplo 8 será válida em x p e a função ρ x tornarseá contínua em p Façamos no exemplo anterior E x ρ x x p Então E x será o erro que se comete na aproximação de f pela reta tangente em p f p Quando x tende a p evidentemente E x tende a zero O Exemplo 8 nos diz mais nos diz que quando x tende a p o erro E x tende a zero mais rapidamente que x p isto é Fica para o leitor verificar que entre todas as retas que passam por p f p a reta tangente em p f p é a única que aproxima f x de modo que o erro tenda a zero mais rapidamente que x p Sugestão Suponha que E x seja o erro que se comete na aproximação de f pela reta passando por p f p com coeficiente angular m fp e calcule o limite acima 1 a b c 2 3 a b c 4 5 6 Exercícios 72 Seja f x x2 1 Calcule f1 f0 fx Seja f x 2x Pensando geometricamente qual o valor que você espera para fp Calcule fp Seja f x 3x 2 Calcule f 2 f 0 fx Calcule f p pela definição sendo dados Determine a equação da reta tangente em p f p sendo dados Calcule fx pela definição 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a b 16 a b Dê exemplo por meio de um gráfico de uma função f definida e derivável em ℝ tal que f 1 0 Dê exemplo por meio de um gráfico de uma função f definida e derivável em ℝ tal que fx 0 para todo x Dê exemplo por meio de um gráfico de uma função f definida e derivável em ℝ tal que f 0 f 1 Dê exemplo por meio de um gráfico de uma função f definida e contínua em ℝ tal que f 1 não exista Dê exemplo por meio de um gráfico de uma função f definida e derivável em ℝ tal que fx 0 para x 1 e fx 0 para x 1 Dê exemplo por meio de um gráfico de uma função f definida e derivável em ℝ tal que fx 0 para x 0 fx 0 para 0 x 2 e fx 0 para x 2 Dê exemplo por meio de um gráfico de uma função f definida e derivável em ℝ tal que f 0 0 e f 1 0 Mostre que a função não é derivável em p 1 Esboce o gráfico de g Seja Mostre que g é derivável em p 1 e calcule g 1 Esboce o gráfico de g Seja Esboce o gráfico de f f é derivável em p 0 Em caso afirmativo calcule f 0 17 a b 18 19 73 Seja Esboce o gráfico de g g é derivável em p 1 Por quê Construa uma função f ℝ ℝ que seja contínua em ℝ e que seja derivável em todos os pontos exceto em 1 0 e 1 Construa uma função f ℝ ℝ que seja contínua em ℝ e derivável em todos os pontos exceto nos números inteiros DERIVADAS DE Teorema Seja n 0 um natural São válidas as fórmulas de derivação a f x xn fx nxn 1 b f x xn fx nxn 1 x 0 em que x 0 se n for par e x 0 se n for ímpar n 2 Demonstração Fazendo x h t t x quando h 0 vem Assim ou seja fx x n 1 Por a Como resulta Portanto f x xn fx nxn 1 Temos Fazendo resulta Assim para x 0 e x no domínio de f ou seja EXEMPLO 1 Seja f x x4 Calcule a fx Solução a f x x4 fx 4x4 1 ou seja fx 4x3 b Como fx 4x3 segue ou seja EXEMPLO 2 Seja f x x3 a Calcule fx b Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 Solução a Como f x x3 segue fx 3x2 b A equação da reta tangente no ponto de abscissa 1 é y f 1 f1 x 1 Assim y 1 3 x 1 ou y 3x 2 é a equação da reta tangente no ponto 1 f 1 EXEMPLO 3 Calcule fx sendo a f x x3 Solução a f x x3 fx 3x3 1 3x4 assim fx 3x4 EXEMPLO 4 Seja Calcule a fx b f3 Solução EXEMPLO 5 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa 8 Solução A equação da reta tangente no ponto de abscissa 8 é y f 8 f8 x 8 Assim ou é a equação da reta tangente ao 1 a b c 2 a b d g h 3 4 5 a b c 6 gráfico de no ponto 8 2 Exercícios 73 Seja f x x5 Calcule fx f0 f2 Calcule gx sendo g dada por g x x6 g x x100 g x x2 g x x g x x3 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa 2 Esboce os gráficos de f e da reta tangente Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa 1 Esboce os gráficos de f e da reta tangente Seja Calcule fx f1 f32 Calcule gx sendo g dada por 7 8 9 74 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa 1 Esboce os gráficos de f e da reta tangente Seja r a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa p Verifique que r intercepta o eixo x no ponto de abscissa 2p Determine a reta que é tangente ao gráfico de f x x2 e pararela à reta y 4x 2 DERIVADAS DE ex e ln x Teorema São válidas as fórmulas de derivação a f x ex fx ex Demonstração 1 2 3 4 a b c d 5 Exercícios 74 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x ex no ponto de abscissa 0 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x ln x no ponto de abscissa 1 Esboce os gráficos de f e da reta tangente Seja f x ax em que a 0 e a 1 é um real dado Mostre que fx ax ln a Calcule fx f x 2x f x 5x f x πx f x ex Seja g x loga x em que a 0 e a 1 é constante Mostre que 6 a b c d 75 Calcule gx g x log3 x g x log5x g x logπx g x ln x DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Teorema São válidas as fórmulas de derivação a senx cos x b cosx sen x c tgx sec2 x d secx sec x tg x e cotgx cosec2 x f cosecx cosec x cotg x Demonstração Fazendo t x h t x quando h 0 tgx sec2 x d e e f ficam a seu cargo 1 a 2 3 a b 4 a b 5 6 a 7 a 76 Exercícios 75 Seja f x sen x Calcule fx Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x sen x no ponto de abscissa 0 Seja f x cos x Calcule fx f0 Calcule fx sendo f x tg x f x sec x Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x tg x no ponto de abscissa 0 Seja f x cotg x Calcule fx Seja g x cosec x Calcule gx DERIVABILIDADE E CONTINUIDADE A função f x x não é derivável em p 0 Exemplo 772 entretanto esta função é contínua em p 0 o que nos mostra que uma função pode ser contínua em um ponto sem ser derivável neste ponto Deste modo continuidade não implica derivabilidade Entretanto derivabilidade implica continuidade como mostra o seguinte teorema Teorema Se f for derivável em p então f será contínua em p Demonstração Pela hipótese f é derivável em p logo existe e é igual a fp Precisamos provar que f é contínua em p isto é que Temos daí ou seja e portanto a b b Observação Segue do teorema que se f não for contínua em p então f não poderá ser derivável em p EXEMPLO 1 A função é derivável em p 1 Por quê Solução f não é contínua em 1 pois é diferente de Como f não é contínua em 1 segue que f não é derivável em 1 EXEMPLO 2 Seja f é contínua em 1 f é diferenciável em 1 Solução logo f é contínua em 1 Como f é contínua em 1 f poderá ser derivável ou não em 1 Temos Assim logo não existe ou seja f não é derivável em 1 1 a b EXEMPLO 3 Seja a f é derivável em 1 b f é contínua em 1 Solução Logo f é derivável em 1 e f1 2 b Como f é derivável em 1 segue que f é contínua em 1 Exercícios 76 Seja f é contínua em 2 Por quê f é derivável em 2 Por quê 2 a b 3 a b 77 Seja f é derivável em 0 Justifique f é contínua em 0 Justifique Seja f é derivável em 3 Justifique f é contínua em 3 Justifique REGRAS DE DERIVAÇÃO Teorema 1 Sejam f e g deriváveis em p e seja k uma constante Então as funções f g kf e f g são deriváveis em p e têmse D1 f gp fp gp D2 kfp kfp D3 f gp fp gp f p gp Demonstração Em palavras a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas das parcelas kf p kfp Em palavras a derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto da constante pela derivada da função Observe que pelo fato de g ser derivável em p g será contínua em p e assim Em palavras a derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira multiplicada pela segunda mais a primeira multiplicada pela derivada da segunda Teorema 2 Regra do quociente Se f e g forem deriváveis em p e se g p 0 então será derivável em p e Em palavras a derivada de um quociente é igual à derivada do numerador multiplicado pelo denominador menos o numerador multiplicado pela derivada do denominador sobre o quadrado do denominador Demonstração Somando e subtraindo fp g p ao numerador resulta e portanto Observação A notação f x é usada com frequência para indicar a derivada de f x em x EXEMPLO 1 Seja f x 4x3 x2 Calcule a fx b f1 Solução Pela D2 4x3 4 x3 4 3x2 12x2 Segue fx 4x3 x2 12x2 2x ou seja fx 12x2 2x b Como fx 12x2 2x segue f1 14 EXEMPLO 2 Calcule gx em que gx 5x4 4 Solução gx 5x4 4 5x4 4 Já vimos que a derivada de uma constante é zero assim 4 0 Como 5x4 20x3 resulta gx 20x3 EXEMPLO 3 Calcule fx em que Solução Pela regra do quociente Como 2x 3 2 e x2 1 2x resulta ou EXEMPLO 4 Seja f x 3x2 1 ex Calcule fx Solução Pela regra do produto fx 3x2 1 ex 3x2 1 ex Como 3x2 1 6x e ex ex resulta fx 6x ex 3x2 1 ex ou seja fx 3x2 6x 1 ex EXEMPLO 5 Seja Calcule hx Solução Pela regra do quociente Assim EXEMPLO 6 Seja f x x3 ln x Calcule fx Solução ou seja EXEMPLO 7 Sejam f1 f2 fn n 2 funções deriváveis em p Prove por indução finita que f1 f2 fn é derivável em p e que 1 Solução i Para n 2 é verdadeira D1 ii Seja k 2 De f1 f2 fk fk 1 f1 f2 fk fk 1 segue que se a afirmação for verdadeira para n k também o será para n k 1 EXEMPLO 8 Calcule a derivada Solução Assim ou seja Exercícios 77 Calcule fx 2 3 a b 4 a b c 5 6 a b c 7 Seja Determine a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto 1 g1 Seja Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente neste ponto seja paralela ao eixo x Esboce o gráfico de f Seja f x x3 3x2 1 Estude o sinal de fx Calcule Utilizando as informações acima faça um esboço do gráfico de f Mesmo exercício que o anterior considerando a função f x x3 x2 5x Seja f x x3 3x Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 Estude o sinal de fx Esboce o gráfico de f Calcule Fx em que f x é igual a 8 a b c d 9 10 Seja Determine os pontos do gráfico de g em que as retas tangentes nestes pontos sejam paralelas ao eixo x Estude o sinal de gx Calcule Utilizando as informações acima faça um esboço do gráfico de g Calcule fx em que f x é igual a Seja f x x2 sen x cos x Calcule a b c d 11 a b 12 13 14 a b c 78 fx f0 f3a fx2 Seja f x sen x cos x 0 x 2π Estude o sinal de fx Faça um esboço do gráfico de f Calcule fx Sejam f g e h funções deriváveis Verifique que f x gx h x fx gx h x f x gx h x f x gx hx Calcule Fx sendo f x igual a x ex cos x b x2 cos x 1 ln x ex sen x cos x FUNÇÃO DERIVADA E DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Sejam f uma função e A o conjunto dos x para os quais fx existe A função f A ℝ dada por x fx denominase função derivada ou simplesmente derivada de f diremos ainda que f é a derivada de 1ª ordem de f A derivada de 1ª ordem de f é também indicada por f1 A derivada de f denominase derivada de 2ª ordem de f e é indicada por f ou por f2 assim f f De modo análogo definese as derivadas de ordens superiores a 2 de f EXEMPLO 1 Seja f x 3x3 6x 1 Determine f f e f Solução fx 9x2 6 para todo x assim Df ℝ fx 18x para todo x Df ℝ fx 18 para todo x Df ℝ EXEMPLO 2 Seja Esboce os gráficos de f e f Solução Para x 1 f x x2 daí fx 2x Para x 1 f x 1 daí fx 0 Em 1 devemos aplicar a definição se você já desenhou o gráfico de f deve estar prevendo que f1 não existe daí 1 2 3 a b c d 79 Logo f não é derivável em 1 isto é f1 não existe Portanto Exercícios 78 Determine f f e f Esboce os gráficos de f f e f Determine a derivada de ordem n f x ex f x sen x f x cos x f x ln x NOTAÇÕES PARA A DERIVADA Frequentemente usamos expressões do tipo y f x s ft u fv etc para indicar uma função Em y f x y é a variável dependente e x a variável independente em s ft s é a variável dependente e t a variável independente Se a função vem dada por y f x a notação devida a Leibniz leia derivada de y em relação a x é usada para indicar a derivada de f em De acordo com a definição de derivada Observe que o símbolo Δx leia delta x desempenha aqui o mesmo papel que o h em Fazendo Δy f x Δx f x resulta A notação é usada para indicar a derivada de y f x em Usaremos ainda a notação para indicar a função derivada de A derivada de y f x em x será então indicada por Se a função f for dada por s ft as notações serão usadas para indicar ft Pela definição de derivada EXEMPLO 1 Seja y 5x3 x2 Calcule a derivada Solução Assim Observe que o símbolo aplicado a 5x3 x2 indica a derivada de 5x3 x2 em relação a x Da mesma forma a notação 5x3 x2 indica a derivada de 5x3 x2 em relação a x EXEMPLO 2 Calcule sendo Solução ou seja Aqui as notações indicam a derivada de em relação a t EXEMPLO 3 Seja y u2 Calcule pela definição Solução Façamos fu u2 Assim Assim EXEMPLO 4 Calcule Solução EXEMPLO 5 Seja x t2 sen t Calcule Solução Assim É muito comum a notação y y x para indicar uma função observe que nesta notação a letra y está sendo usada para indicar a função e ao mesmo tempo a variável dependente EXEMPLO 6 Sejam u u x e v v x funções deriváveis num mesmo conjunto A Segue das regras de derivação que para todo x em A temse EXEMPLO 7 Seja y u2 em que u u x é uma função derivável Verifique que Solução Assim EXEMPLO 8 Calcule em que y x2 3x2 Solução Façamos u x2 3x Assim y u2 em que u x2 3x Pelo exemplo anterior Como segue que Observação Vimos no Exemplo 7 que sendo y u2 com u u x derivável resulta Por outro lado Assim em que deve ser calculado em u u x Provaremos mais adiante que esta regra ① conhecida como regra da cadeia é válida sempre que y y u e u u x forem deriváveis A seguir provaremos ① num caso particular EXEMPLO 9 Regra da cadeia um caso particular Sejam y fu e u gx funções deriváveis e tais que para todo x no domínio de g gx pertença ao domínio de f Suponhamos ainda que Δu gx Δx gx 0 para todo x e x Δx no domínio de g com Δx 0 Nestas condições a composta y fgx é derivável e vale a regra da cadeia em que deve ser calculada em u gx Solução Temos Fazendo Δu gx Δx gx resulta em que deve ser calculada em u gx Assim Observação De temos também ou seja fgx fgx gx Seja y f x A notação será usada para indicar a derivada de segunda ordem de f em x isto é A derivada de 3ª ordem será também indicada por e assim por diante EXEMPLO 10 Seja y 3x3 6x 2 Calcule Solução Assim que é o valor da derivada segunda em x 0 EXEMPLO 11 Seja y t3x em que x x t é uma função derivável até a 2ª ordem Verifique que Solução a Observe que x é uma função derivável de t Pela regra do produto 1 ou seja b Temos ou seja Exercícios 79 Calcule a derivada 2 3 4 5 6 7 8 a b d e 9 10 11 Seja Calcule Seja y t2x em que x x t é uma função derivável Calcule 2 e x 3 para t 1 isto é x 1 3 Considere a função y xt3 na qual x xt é uma função derivável Calcule sabendo que e que x 2 1 isto é x 1 para t 2 Considere a função na qual t t x é uma função derivável Calcule sabendo que e que t 2 para x 1 Observe que t está sendo olhado como função de x Seja Verifique que Seja k constante Verifique que Calcule a derivada segunda y x3 2x 3 x t sen t y t ln t x et cos t Seja y x2 3x Verifique que Seja Verifique que Seja x cos t Verifique que 12 13 14 15 16 710 Seja y ex cos x Verifique que Seja y tet Verifique que Suponha que y y r seja derivável até a 2ª ordem Verifique que Seja y x2 em que x x t é uma função derivável até a 2ª ordem Verifique que Suponha que x x t seja derivável até a 2ª ordem Verifique que REGRA DA CADEIA PARA DERIVAÇÃO DE FUNÇÃO COMPOSTA Sejam y f x e x g t duas funções deriváveis com Img Df Nosso objetivo a seguir é provar que a composta h t fgt é derivável e que vale a regra da cadeia Antes de passarmos à demonstração de ① vejamos como fica a regra da cadeia na notação de Leibniz Temos Sendo a composta dada por y fgt segue de ① que ou Assim em que deve ser calculado em x gt Suponhamos y f x derivável em p x gt derivável em t0 com p gt0 e Img Df Seja h t fgt Vamos provar que ht0 fgt0 gt0 Para isto consideremos a função T dada por Tx fp fp x p Observe que o gráfico de T é a reta tangente ao gráfico de f em p fp Temos f x T x Ex 711 ou em que E x é o erro que se comete ao aproximar f x por T x Conforme vimos no Exemplo 8 da Seção 72 E x ρ x x p x Df onde Fazendo em ② x gt e p gt0e em seguida dividindo ambos os membros por t t0 t t0 obtemos Temos Por outro lado de E x ρ x x p segue E gt ρgt gt gt0 Temos Daí Portanto APLICAÇÕES DA REGRA DA CADEIA Pelo que vimos na seção anterior sendo y fu e u gx deriváveis com Img Df então a derivada da composta y fgx é dada por ou ou em que deve ser calculada em u gx EXEMPLO 1 Calcule a derivada a y e3x b y sen t2 Solução a y eu em que u 3x Pela regra da cadeia Como resulta b y sen x em que x t2 Pela regra da cadeia Como resulta ou seja Poderíamos também ter obtido aplicando diretamente a fórmula fgt f gt gt Veja EXEMPLO 2 Calcule fx sendo a f x 3x2 13 b f x cos 3x Solução a f x u3 em que u 3x2 1 Temos ou seja fx 18x 3x2 12 b fx cos 3x cos 3x 3x 3 sen 3x EXEMPLO 3 Calcule sendo y ln x2 3 Solução y ln u u x2 3 ou seja EXEMPLO 4 Seja f ℝ ℝ uma função derivável e seja gx fcos x Calcule supondo Solução Pela regra da cadeia gx fcos x cos x ou seja gx sen x fcos x Então EXEMPLO 5 Suponha g derivável Verifique que Solução a y eu u gx Assim ou seja eg x eg x gx b y ln u u gx c e d ficam a seu cargo EXEMPLO 6 Seja y x2 e3x Calcule a derivada Solução Pela regra do produto Como x2 2x e e3x e3x 3x 3e3x resulta ou seja EXEMPLO 7 Seja y xe2x Verifique que Solução Então EXEMPLO 8 Calcule sendo y cos 5x Solução EXEMPLO 9 Calcule Solução Como resulta Assim EXEMPLO 10 Seja g derivável e n 0 inteiro Verifique que Solução a y un u gx ou seja b Fica a seu cargo EXEMPLO 11 Seja f ℝ ℝ uma função derivável até a 2ª ordem e seja g dada por gx f x2 Calcule g 2 supondo f4 2 e f 4 3 Solução gx fx2 x2 2x fx2 gx 2x f x2 2x fx2 2x fx2 Como fx2 fx2 x2 fx2 2x resulta gx 2 fx2 4x2 fx2 Então g2 2 f4 16 f4 ou seja g2 52 EXEMPLO 12 A função diferenciável y f x é tal que para todo x Df xfx sen f x 4 Mostre que para todo x Df com x cos f x 0 Solução xf x senf x 4 xf x senf x 0 f x xf x cosf x fx 0 daí fx x cos f x f x ou seja em todo x Df com x cos f x 0 EXEMPLO 13 Seja y x3 em que x xt é uma função derivável até a 2ª ordem Verifique que Solução ou seja Como resulta 1 2 3 4 ou seja Exercícios 711 Determine a derivada Seja f ℝ ℝ derivável e seja gt ft2 1 Supondo f2 5 calcule g 1 Seja f ℝ ℝ derivável e seja g dada por gx fe2x Supondo f1 2 calcule g0 Derive 5 6 Calcule a derivada segunda Seja g ℝ ℝ uma função diferenciável e seja f dada por f x x g x2 Verifique que fx gx2 2x2 gx2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a b c d 16 a b c d Seja g ℝ ℝ uma função diferenciável e seja f dada por f x x g x2 Calcule f1 supondo g1 4 e g1 2 Seja g ℝ ℝ diferenciável tal que g1 2 e g1 3 Calcule f0 sendo f dada por f x ex g 3x 1 Seja f ℝ ℝ derivável até a 2ª ordem e seja g dada por gx fe2x Verifique que gx 4e2x fe2x e2xfe2x Seja y e2x Verifique que Seja y xe2x Verifique que Determine α de modo que y eαx verifique a equação Determine α de modo que y eαx verifique a equação Seja y eαx em que α é uma raiz da equação λ2 aλ b 0 com a e b constantes Verifique que Seja g uma função derivável Verifique que tg gx sec2 gx gx sec gx sec gx tg gx gx cotg gx cosec2 gx gx cosec gx cosec gx cotg gx gx Derive y tg 3x y sec 4x y cotg x2 y sec tg x e f g h i j l m 17 18 19 20 21 22 y sec x3 y etg x2 y cosec 2x y x3 tg 4x y ln sec 3x tg 3x y ex sec x2 y x2 cotg x23 y x2 tg 2x Seja y cos ωt ω constante Verifique que Seja y et cos 2t Verifique que Seja Verifique que Seja y f x derivável até a 2ª ordem Verifique que Seja Verifique que Seja y y x definida no intervalo aberto I e tal que para todo x em I Verifique que para todo x em I 23 a b c 24 25 26 27 28 29 a b Seja y f x uma função derivável num intervalo aberto I com 1 I Suponha f1 1 e que para todo x em I fx x f x3 Mostre que fx existe para todo x em I Calcule f1 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 Seja y y r derivável até a 2ª ordem Verifique que Seja em que x x t é uma função definida e derivável em ℝ Verifique que para todo t real Seja em que x x t é uma função derivável num intervalo aberto I Suponha que para todo t em I β constante Verifique que Seja f uma função diferenciável e suponha que para todo x Df 3x2 x sen f x 2 Mostre que para todo x Df com x cos f x 0 A função diferenciável y f x é tal que para todo x Df o ponto x f x é solução da equação xy3 2xy2 x 4 Sabese que f1 1 Calcule f1 Seja f r r ℝ uma função derivável Prove Se f for uma função ímpar então f será par Se f for função par então f será ímpar 30 712 Seja g ℝ ℝ uma função diferenciável tal que g2 2 e g2 2 Calcule H2 sendo H dada por H x gggx DERIVADA DE f xgx Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto A com f x 0 para todo x A Consideremos a função definida em A e dada por y f xgx Aplicando ln aos dois membros obtemos ln y gx ln f x e assim y eg x ln f x ou seja f xgx eg x ln f x Então e portanto EXEMPLO 1 Calcule a derivada a y xx b y 3x Solução a xx ex ln x xx ex ln x x ln x xx ln x 1 ou seja xx xx 1 ln x b 3x ex ln 3 3x ex ln 3 x ln 3 Como ln 3 é constante x ln 3 x ln 3 ln 3 Assim 3x 3x ln 3 EXEMPLO 2 Seja a 0 a 1 constante Mostre que para todo x ax ax ln a Solução ax ex ln a ax ex ln a x ln a Como x ln a x ln a ln a resulta ax ax ln a EXEMPLO 3 Seja α uma constante real qualquer Mostre que para todo x 0 xα α xα 1 Solução xα eα ln x 1 2 xα eα ln x α ln x Sendo α constante Assim EXEMPLO 4 Calcule a derivada b y 8x log2 x Solução b Pela fórmula de mudança de base Então Exercícios 712 Calcule a derivada Sejam f e g deriváveis em A com f x 0 em A Verifique que para todo x 3 713 em A Observe ① é a derivada de f xgx supondo f constante ② é a derivada de f xgx supondo g constante Utilizando o resultado obtido no Exercício 2 calcule a derivada DERIVAÇÃO DE FUNÇÃO DADA IMPLICITAMENTE Consideremos uma equação nas variáveis x e y Dizemos que uma função y f x é dada implicitamente por tal equação se para todo x no domínio de f o ponto x f x for solução da equação EXEMPLO 1 Seja a equação x2 y2 1 A função é dada implicitamente pela equação pois para todo x em 1 1 Observe que a função é também dada implicitamente por tal equação EXEMPLO 2 Determine uma função que seja dada implicitamente pela equação y2 xy 1 0 Solução A função é dada implicitamente pela equação É claro que é outra função dada implicitamente por tal equação EXEMPLO 3 Mostre que existe uma única função y f x definida em ℝ e dada implicitamente pela equação y3 y x Calcule f0 f10 e f2 Solução A função gy y3 y é estritamente crescente em ℝ verifique contínua com Segue do teorema do valor intermediário que para cada x real existe ao menos um número tal que Como g é estritamente crescente tal é o único número real satisfazendo ① A função f definida em ℝ e que a cada x associa f x em que f x é o único real tal que f x3 f x x é a única função definida em ℝ e dada implicitamente pela equação Cálculo de f0 f03 f0 0 f0 f02 1 0 assim f0 0 Cálculo de f 10 f103 f10 10 deste modo f10 é raiz da equação y3 y 10 Como y 2 é a única raiz resulta f10 2 Cálculo de f 2 f2 é a única raiz da equação y3 y 2 Assim f2 1 EXEMPLO 4 Seja y f x x ℝ a função dada implicitamente pela equação y3 y x Suponha que f seja derivável a Mostre que b Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto 10 f10 Solução a Como y f x é dada implicitamente pela equação y3 y x segue que para todo x f x3 f x x daí Assim 3 f x2 fx fx 1 e portanto Poderíamos também ter chegado a este resultado trabalhando diretamente com a equação y3 y x ou Como vem e portanto b A equação da reta tangente ao gráfico de f em 10 f10 é y f10 f10 x 10 Substituindo na equação acima obtemos EXEMPLO 5 A função y f x y 0 é dada implicitamente pela equação x2 y2 4 a Determine f x b Mostre que para todo x no domínio de f c Calcule Solução Como y 0 resulta b Para todo x no domínio de f Como vem ou seja c De obtemos Assim Consideremos a equação sen y x No intervalo a função sen y é estritamente crescente e contínua Assim para cada x 1 1 existe um único tal que sen y x Pois bem a função y y x definida implicitamente por essa equação e que a cada x 1 1 associa é denominada função arcoseno e é indicada por y arcsen x Assim para sen y x y arcsen x Observe que o domínio da função arcsen é o intervalo 1 1 e a imagem o intervalo No próximo exemplo vamos calcular a derivada de y arcsen x supondo que tal derivada exista Veremos mais adiante que y arcsen x é de fato derivável em 1 1 EXEMPLO 6 Supondo que y arcsen x seja derivável em 1 1 calcule Solução y arcsen x sen y x Temos daí e portanto De segue Lembrando que sen y x resulta Assim Consideremos agora a equação tg y x No intervalo a função tg y é estritamente crescente e contínua Além disto Segue que para cada x ℝ existe um único tal que tg y x A função y y x definida implicitamente por essa equação e que a cada x associa é denominada função arco tangente e é indicada por y arctg x Assim para tg y x y arctg x a a No próximo exemplo vamos calcular a derivada de y arctg x supondo que tal derivada exista Veremos mais adiante que y arctg x é derivável em ℝ EXEMPLO 7 Supondo y arctg x derivável em ℝ calcule Solução y arctg x tg y x Temos daí e portanto Lembrando que sec2y 1 tg2 y e tg y x resulta Assim EXEMPLO 8 Calcule a derivada y xx3 Solução Você aprendeu na seção anterior como derivar tal função Vejamos agora outro processo para derivála b 1 y xx3 ln y x3 ln x x 0 o que significa que y xx3 é dada implicitamente por ln y x3 ln x Temos daí ou seja y y 3x2 ln x x2 Portanto Assim a função é dada implicitamente por y3 arcsen x Temos daí ou seja Exercícios 713 Suponha que y f x seja uma função derivável e dada implicitamente pela 2 3 4 a b c d e f g h i j l m 5 6 7 equação xy2 y x 1 Mostre que em todo x Df com 2x fx 1 0 Determine uma função y f x que seja dada implicitamente pela equação xy2 y x 1 A função y f x é dada implicitamente pela equação xy 3 2x Mostre que Calcule Expresse em termos de x e de y em que y f x é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação x2 y2 4 y3 x2y x 4 xy2 2y 3 y5 y x x2 4y2 3 xy y3 x x2 y2 2y 0 x2y3 xy 2 xey xy 3 y ln x2 y2 4 5y cos y xy 2y sen y x A função y f x y 0 é dada implicitamente por x2 4y2 2 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 Determine a equação da reta tangente à elipse no ponto x0 y0 y0 0 Verifique que y0x x0y 2 é a equação da reta tangente à curva xy 1 no 8 a b 9 10 11 714 ponto x0 y0 x0 0 Conclua que x0 y0 é o ponto médio do segmento AB em que A e B são as interseções da reta tangente em x0 y0 com os eixos coordenados Suponha que y f x seja uma função derivável dada implicitamente pela equação y3 2xy2 x 4 Suponha ainda que 1 Df Calcule f1 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 A reta tangente à curva no ponto x0 y0 x0 0 e y0 0 intercepta os eixos x e y nos pontos A e B respectivamente Mostre que a distância de A e B não depende de x0 y0 A reta tangente à curva xy x2 1 no ponto x0 y0 x0 0 intercepta o eixo y no ponto B Mostre que a área do triângulo de vértices 0 0 x0 y0 e B não depende de x0 y0 A função y f x é dada implicitamente pela equação 3y2 2xy x2 3 Sabese que para todo x Df f x 0 e que f admite uma reta tangente T paralela à reta 5y x 2 Determine T INTERPRETAÇÃO DE COMO UM QUOCIENTE DIFERENCIAL Até aqui tem sido visto como uma simples notação para a derivada de y f x O que faremos a seguir é interpretar como um quociente entre dois acréscimos Inicialmente vamos olhar para dx como um acréscimo em x e em seguida procuraremos uma interpretação para o acréscimo dy Sabemos que fx é o coeficiente angular da reta tangente T no ponto x f x e que Se olharmos então para dy como o acréscimo na ordenada da reta tangente T correspondente ao acréscimo dx em x teremos ou dy fx dx Observe que Δy f x dx f x é o acréscimo que a função sofre quando se passa de x a x dx O acréscimo dy pode então ser olhado como um valor aproximado para Δy evidentemente o erro Δy dy que se comete na aproximação de Δy por dy será tanto menor quanto menor for dx Fixado x podemos olhar para a função linear que a cada dx ℝ associa dy ℝ em que dy fxdx Tal função denominase diferencial de f em x ou simplesmente diferencial de y f x EXEMPLO 1 Seja y x2 Relacione Δy com dy Solução Assim a diferencial de y x2 é dada por dy 2x dx Por outro lado Δy x dx2 x2 ou seja Δy 2x dx dx2 e portanto Δy dy dx2 Observe que quanto menor for dx mais próximo estará dy de Δy EXEMPLO 2 Seja A πr2 Calcule a diferencial de A A r Interprete Solução A diferencial de A πr2 é dada por dA 2πr dr Interpretação A πr2 é a fórmula que nos fornece a área de um círculo em função do raio r dA 2πr dr é então um valor aproximado para o acréscimo ΔA na área A correspondente ao acréscimo dr em r Observe que ΔA é a área da região hachurada e que dA 2πr dr é a área de um retângulo de comprimento 2πr 2πr é o comprimento da circunferência de raio r e altura dr Vamos calcular o erro que se comete na aproximação Temos ΔA πr dr2 πr2 2πr dr π dr2 daí ΔA dA π dr2 Deste modo o erro que se comete na aproximação ① é igual a π dr2 que é a área de um círculo de raio dr EXEMPLO 3 Utilizando a diferencial calcule um valor aproximado para o acréscimo Δy que a função y x2 sofre quando se passa de x 1 a 1 dx 1001 Calcule o erro Solução A diferencial de y x2 em x é dy 2x dx Em x 1 dy 2dx Como dx 0001 resulta que dy 0002 é um valor aproximado para o acréscimo Δy 10012 12 O erro que se comete na aproximação Δy dy é igual a 0000001 Observe que 1 dy 1002 é um valor aproximado para 10012 com erro igual a 106 EXEMPLO 4 Utilizando a diferencial calcule um valor aproximado para Avalie o erro Solução Consideremos a função Primeiro vamos calcular dy para x 1 e dx 001 1 a b c 2 a b 3 a b 4 d Temos Em x 1 Portanto para dx 001 Assim 1 dy 1005 é um valor aproximado por excesso de Como 1004 é um valor aproximado por falta 10042 101 segue que com erro em módulo inferior a 0001 Exercícios 714 Calcule a diferencial y x3 y x2 2x Seja A l2 l 0 Calcule a diferencial Interprete geometricamente o erro que se comete na aproximação de ΔA por dA Olhe para A l2 como a fórmula para o cálculo da área do quadrado de lado l Seja Calcule a diferencial Interprete geometricamente dV Lembrese de que V é o volume da esfera de raio r e que 4πr2 é a área da superfície esférica de raio r Seja y x2 3x a b 715 a Calcule a diferencial Calcule o erro que se comete na aproximação de Δy por dy Interprete graficamente VELOCIDADE E ACELERAÇÃO TAXA DE VARIAÇÃO Suponhamos que uma partícula se desloca sobre o eixo x com função de posição x ft Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a posição ocupada pela partícula na reta A velocidade média da partícula entre os instantes t e t Δt é definida pelo quociente em que Δx ft Δt ft é o deslocamento da partícula entre os instantes t e t Δt A velocidade da partícula no instante t é definida como em que a derivada caso exista de f em t isto é Assim pela definição de derivada A aceleração no instante t é definida como em que a derivada em t da função v v t Pela definição de derivada O quociente é a aceleração média entre os instantes t e t Δt EXEMPLO 1 Uma partícula movese sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por x t2 t 0 em que x é dado em metros e t em segundos Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes t 0 t 1 e t 2 b c d b c a b Qual a velocidade no instante t Qual a aceleração no instante t Esboce o gráfico da função de posição Solução A velocidade no instante t é v t 2t ms A aceleração no instante t é a t 2 ms2 A aceleração é constante e igual a 2 EXEMPLO 2 Uma partícula movese sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por x cos 3t t 0 Suponha x dado em metros e t em segundos Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes t 0 Qual a velocidade no instante t c d b c Qual a aceleração no instante t Esboce o gráfico da função de posição Solução A partícula executa um movimento de vaivém entre as posições 1 e 1 sen 3t ou v t 3 sen 3t ms cos 3t ou a t 9 cos 3t ms2 Observe que a aceleração é proporcional à posição com coeficiente de proporcionalidade 9 isto é EXEMPLO 3 Um ponto movese ao longo do gráfico de y x2 1 de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3 cms Qual é quando x 4 cm a velocidade da ordenada y Solução Façamos por um momento x gt e seja t0 o instante em que x 4 isto é gt0 4 O que se quer então é a velocidade da abscissa y no instante t0 ou seja Como y x2 1 pela regra da cadeia Como Como x 4 para t t0 resulta Deste modo para x 4 a velocidade da ordenada y será 24 cms Seja a função y f x A razão é a taxa média de variação de f entre x e x Δx A derivada de f em x é também denominada taxa de variação de f em x Referirnosemos a como a taxa de variação de y em relação a x Seja Δy f x Δx f x para Δx suficientemente pequeno Δy fx Δx Assim para Δx suficientemente pequeno a variação Δy em y é aproximadamente f x vezes a variação Δx em x EXEMPLO 4 O raio r de uma esfera está variando com o tempo a uma taxa constante de 5 ms Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que r 2 m Solução Seja t0 o instante em que r 2 Queremos calcular Sabemos que Pela regra da cadeia Como resulta Para t t0 r 2 logo No instante em que r 2 o volume estará variando a uma taxa de 80π m3s EXEMPLO 5 Um ponto P movese sobre a elipse 4x2 y2 1 Sabese que as coordenadas x t e yt de P são funções definidas e deriváveis num intervalo I Verifique que em todo t I com y t 0 Solução Como resulta e portanto em todo t I com y t 0 EXEMPLO 6 A função x ft t I é derivável até a 2ª ordem no intervalo aberto I e seu gráfico tem o seguinte aspecto 1 a b c d 2 a O que é mais razoável esperar que ocorra ft 0 em I ou ft 0 em I Solução Vamos pensar cinematicamente À medida que o tempo aumenta a partícula em intervalos de tempos iguais percorre espaços cada vez maiores o que significa que a velocidade está aumentando logo é razoável esperar que a aceleração seja positiva em I ou seja ft 0 em I Exercícios 715 Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição x 3 2t t2 t 0 Qual a velocidade no instante t Qual a aceleração no instante t Estude a variação do sinal de v t Esboce o gráfico da função de posição Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição Determine a velocidade no instante t b c 3 a b c d 4 5 6 7 a b c Qual a aceleração no instante t Esboce o gráfico da função de posição A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x depende do tempo de acordo com a equação x t3 3t2 t 0 Estude o sinal de v t Estude o sinal de a t Calcule Esboce o gráfico da função x t3 3t2 t 0 Seja x ft t 0 tal que f0 1 para t 0 Como você acha que deve ser o gráfico de f Por quê A função x ft t I é derivável até a 2ª ordem no intervalo aberto I e seu gráfico tem o seguinte aspecto O que é mais razoável esperar que ocorra ft 0 ou ft 0 em I Por quê Seja x ft t 0 tal que f0 1 e f1 2 Suponha ainda que para t 0 Como você acha que deve ser o gráfico de f Por quê Seja ft t3 3t2 Estude o sinal de ft Estude o sinal de ft Calcule d 8 a b c d 9 a b c d e f 10 a b c d 11 12 Utilizando as informações acima esboce o gráfico de f Seja Estude o sinal de ft Estude o sinal de ft Calcule Utilizando as informações acima esboce o gráfico de f A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo segundo a equação em que v0 e k são constantes estritamente positivas Qual a velocidade no instante t Com argumentos físicos justifique a afirmação a função é estritamente crescente Qual a aceleração no instante t Com argumentos físicos justifique a afirmação o gráfico da função tem a concavidade voltada para baixo Calcule Esboce o gráfico da função A equação do movimento de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x é x et sen t t 0 Determine a velocidade e a aceleração no instante t Calcule Esboce o gráfico da função Interprete tal movimento Um ponto P movese sobre a parábola y 3x2 2x Suponha que as coordenadas x t e y t de P são deriváveis e que Perguntase em que ponto da parábola a velocidade da ordenada y de P é o triplo da velocidade da abscissa x de P Um ponto P movese ao longo do gráfico de de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 5 ms Qual a velocidade de y no instante em que x 10 m 13 14 15 16 17 18 Um ponto deslocase sobre a hipérbole xy 4 de tal modo que a velocidade de y é β constante Mostre que a aceleração da abscissa x é Um ponto movese ao longo da elipse x2 4y2 1 A abscissa x está variando a uma velocidade Mostre que Um ponto movese sobre a semicircunferência x2 y2 5 y 0 Suponha Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x Uma escada de 8 m está encostada em uma parede Se a extremidade inferior da escada for afastada do pé da parede a uma velocidade constante de 2 ms com que velocidade a extremidade superior estará descendo no instante em que a inferior estiver a 3 m da parede Suponha que os comprimentos dos segmentos AB e 0B sejam respectivamente 5 cm e 3 cm Suponha ainda que θ esteja variando a uma taxa constante de Determine a velocidade de A quando Enchese um reservatório cuja forma é a de um cone circular reto de água a uma taxa de 01 m3s O vértice está a 15 m do topo e o raio do topo é de 10 m Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h 5 m 19 20 21 O ponto P x y está fixo à roda de raio 1 m que rola sem escorregamento sobre o eixo x O ângulo θ está variando a uma taxa constante de 1 rads Expresse as velocidades da abscissa e da ordenada de P em função de θ Um ponto P movese sobre a parábola y2 x x 0 e y 0 A abscissa x está variando com uma aceleração que em cada instante é o dobro do quadrado da velocidade da ordenada y Mostre que a ordenada está variando com aceleração nula Dois pontos P e Q deslocamse respectivamente nos eixos x e y de modo que a soma das distâncias de P a R e de R a Q mantémse constante e igual a e durante o movimento em que R 0 h é um ponto fixo Veja a figura a seguir 716 Relacione a velocidade de Q com a velocidade de P PROBLEMAS ENVOLVENDO RETA TANGENTE E RETA NORMAL AO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função derivável em p Já vimos que por definição fp é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p e que y fp fp x p é a equação da reta tangente em p fp A reta que passa por p fp e que é perpendicular à reta tangente acima denominase reta normal ao gráfico de f em p fp Se fp 0 a equação da reta normal no ponto de abscissa p será Lembrete Você aprendeu na geometria analítica que se y mx n e y m1x n1 são retas perpendiculares então os seus coeficientes angulares satisfazem a relação Assim como fp é o coeficiente angular da reta tangente em p fp a reta normal neste ponto terá coeficiente angular desde que fp 0 Se fp 0 a equação da reta normal em p fp será x p EXEMPLO 1 Seja f x x2 x Determine as equações das retas tangente e normal no ponto de abscissa 0 Solução Reta tangente no ponto de abscissa 0 y f0 f0 x 0 Substituindo na equação acima vem y 0 1 x 0 ou y x Assim y x é a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 0 Reta normal no ponto de abscissa 0 Como f0 0 e f0 1 resulta y x que é a equação da reta normal no ponto de abscissa 0 EXEMPLO 2 Seja f x 2x 1 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa 3 Solução A equação da reta tangente em 3 f3 é y f3 f 3 x 3 Assim y 7 2 x 3 ou y 2x 1 é a equação da reta tangente em 3 f3 Observe que a reta tangente ao gráfico de f em 3 f3 coincide com o gráfico de f Observação A nossa definição de reta tangente não exige que a reta tangente toque a curva num único ponto EXEMPLO 3 r é uma reta que passa por 1 1 e é tangente ao gráfico de f x x3 x Determine r Solução Supondo que r seja tangente ao gráfico de f em p fp a equação de r será y fp fp x p e portanto y p3 p 3p2 1 x p O problema agora consiste em achar p Como r passa por 1 1 observe x 1 y 1 1 p3 p 3p2 1 1 p ou 2p3 3p2 0 e assim p 0 ou Portanto a equação de r será ou seja Download de livros em pdf httplivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Pelo ponto 1 1 passam duas retas que são tangentes ao gráfico de f EXEMPLO 4 Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f x x2 3x e paralela à reta y 2x 3 Solução Supondo que a reta procurada seja tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p sua equação será y fp fp x p Pela condição de paralelismo devemos ter fp 2 ou 2p 3 2 e portanto A equação da reta pedida será então ou ou seja 1 2 3 4 5 6 a b 7 8 9 Exercícios 716 Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função dada no ponto dado Seja f x x2 Determine a equação da reta que é tangente ao gráfico de f e paralela à reta Sabese que r é uma reta tangente ao gráfico de f x x3 3x e paralela à reta y 6x 1 Determine r Determine a equação da reta que é perpendicular à reta 2y x 3 e tangente ao gráfico de f x x2 3x Sabese que r é uma reta perpendicular à reta 3x y 3 e tangente ao gráfico de f x x3 Determine r A reta s passa pelo ponto 3 0 e é normal ao gráfico de f x x2 no ponto a b Determine a b Determine a equação de s Sabese que r é uma reta que passa pela origem e que é tangente ao gráfico de f x x3 2x2 3x Determine r Determine todos os pontos a b sobre a curva y x4 2x3 2x2 8x 12 tais que a reta tangente em a b seja paralela à reta 8x y π 0 Determine todos os pontos a b sobre o gráfico da função dada por y 4x3 x2 4x 1 tais que a reta tangente em a b seja paralela ao eixo x 10 11 12 13 14 15 717 1 2 Sabese que r é uma reta que passa pelo ponto 0 2 e que é tangente ao gráfico de f x x3 Determine r Determine a equação de uma reta não vertical que passa pelo ponto e que seja normal ao gráfico de y x3 Determine todos os pontos a b de ℝ2 tais que por a b passem duas retas tangentes ao gráfico de f x x2 Sejam A e B os pontos em que o gráfico de f x x2 αx α real intercepta o eixo x Determine α para que as retas tangentes ao gráfico de f em A e em B sejam perpendiculares Determine β para que y βx 2 seja tangente ao gráfico de f x x3 4x Sabese que r é uma reta tangente aos gráficos de f x x2 e de Determine r EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO Calcule pela definição a derivada da função dada no ponto dado Calcule a derivada 3 a b c d 4 5 Expresse em termos de x e de y em que y y x é uma função derivável dada implicitamente pela equação dada y3 sen xy 1 ey xy x yx x y2 x cos y y cos x 2 Seja y f x definida e derivável num intervalo contendo 1 e suponha que f seja dada implicitamente pela equação y3 x2y 130 Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de f no ponto de abscissa 1 Determine uma reta que seja paralela a x y 1 e que seja tangente à curva 6 7 8 9 10 11 12 13 14 x2 xy y2 3 Determine uma reta que seja tangente à elipse x2 2y2 9 e que intercepta o eixo y no ponto de ordenada Mostre que a reta é tangente à curva no ponto x0 y0 Determine uma reta paralela a x y 1 e tangente à curva y3 xy x3 0 em um ponto x0 y0 com x0 0 e y0 0 Os lados x e y de um retângulo estão variando a taxas constantes de 02 ms e 01 ms respectivamente A que taxa estará variando a área do retângulo no instante em que x 1 m e y 2 m A altura h e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas constantes de 01 ms e 03 ms respectivamente A que taxa estará variando o volume do cone no instante em que h 05 m e r 02 m O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas constantes de 01 π m3s e 02 ms respectivamente Expresse em termos de r e h em que h é a altura do cone Num determinado instante as arestas de um paralelepípedo medem a b c m e neste instante estão variando com velocidades va vb e vc ms respectivamente Mostre que neste instante o volume do paralelepípedo estará variando a uma taxa de va bc avbc abvc m3s O raio r e a altura h de um cilindro circular reto estão variando de modo a manter constante o volume V Num determinado instante h 3 cm e r 1 cm e neste instante a altura está variando a uma taxa de 02 cms A que taxa estará variando o raio neste instante Uma piscina tem 10 m de largura 20 m de comprimento 1 m de profundidade nas extremidades e 3 m no meio de modo que o fundo seja formado por dois planos inclinados Despejase água na piscina a uma taxa de 03 m3min Seja h a altura da água em relação à parte mais profunda Com que velocidade h estará variando no instante em que h 1 m 15 16 17 18 19 20 a b 21 a Num determinado instante e está variando neste instante a uma taxa de 001 radiano por segundo veja figura A que taxa estará variando o ângulo α neste instante Com relação ao exercício anterior supondo expresse em termos de θ e Considere as funções dadas por y ax2 e y x2 1 Determine a para que os gráficos se interceptem ortogonalmente Os gráficos se interceptam ortogonalmente em x0 y0 se as retas tangentes aos gráficos neste ponto forem perpendiculares Determine α para que as circunferências x2 y2 1 e x a2 y2 1 se interceptem ortogonalmente Mostre que para todo a as curvas y ax2 e x2 2y2 1 se interceptam ortogonalmente Suponha f ℝ ℝ derivável e considere a função dada por y x2 f x2 1 Verifique que Expresse em termos de f2 e f2 Seja ϕ a função dada por ϕ x x2 1 Calcule ϕϕx b 22 a c 23 24 25 a b 26 a b 27 a 28 a ϕ ϕ x Calcule ϕϕ x sendo ϕ dada por ϕ x sen x ϕ x ln x2 1 Para cada ϕ do exercício anterior calcule ϕ ϕ x Dê exemplos de funções ϕ que satisfazem a condição ϕ ϕ x ϕ ϕ x para todo x no domínio de ϕ Considere uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de posição x cos 3t Verifique que a aceleração é proporcional à posição Calcule a aceleração no instante em que a partícula se encontra na posição Considere uma partícula que se desloca sobre o eixo x com função de posição Verifique que a aceleração é proporcional ao cubo da posição Qual a aceleração no instante em que a partícula se encontra na posição Seja f ℝ ℝ derivável até a 2ª ordem e seja h dada por h t fcos 3t Expresse ht em termos de t fcos 3t e de fcos 3t Suponha que y y t seja uma função derivável tal que para todo t no seu domínio Expresse em termos de t e de y b 29 a b 30 31 32 33 a b Calcule supondo que y 1 1 Seja y y x definida e derivável num intervalo I e tal que para todo x em I Expresse em termos de x e de y Calcule admitindo que Seja f ℝ ℝ derivável até a 2ª ordem e tal que para todo x f x 4 f x 0 Mostre que para todo x Sejam f ℝ ℝ derivável até a 2ª ordem e h dada por h x ff x Verifique que para todo x hx ff x fx2 ff x fx Considere o polinômio P x A0 A1 x x0 A2 x x02 A3 x x03 em que A0 A1 A2 A3 e x0 são números reais fixos Mostre que Considere o polinômio P x a0 a1x a2x2 a3x3 em que a0 a1 a2 e a3 são reais fixos Seja x0 um real dado Mostre que existem constantes A0 A1 A2 e A3 tais que P x A0 A1 x x0 A2 x x02 A3 x x03 Sugestão Faça x x x0 x0 Conclua que 34 35 36 a b 37 38 39 40 Dizemos que ① é o desenvolvimento de Taylor do polinômio P x em potências de x x0 Determine o desenvolvimento de Taylor de P x x3 2x 3 em potências de x 1 Generalize o resultado do Exercício 33 Determine o desenvolvimento de Taylor de P x x4 3x2 x 1 em potências de x 2 x 1 Sejam P x e Q x polinômios tais que P x0 0 Q x0 0 e Qx0 0 Mostre que Sugestão Desenvolva P x e Q x em potências de x x0 e simplifique Sejam P x e Q x polinômios tais que P x0 P x0 0 Q x0 Q x0 0 e Q x0 0 Mostre que Generalize Utilizando os Exercícios 37 e 38 calcule Sejam f e g deriváveis em p e tais que fp gp 0 Supondo gp 0 mostre que 41 42 43 44 45 46 47 Utilizando o Exercício 40 calcule Seja f definida em ℝ e derivável em p Suponha fp 0 Prove que existe r 0 tal que f x f p em p p r e f x f p em p r p Sugestão Lembrese da definição de derivada e utilize a conservação do sinal Seja f definida e derivável em ℝ e sejam a e b raízes consecutivas de f Mostre que fa fb 0 Suponha f derivável no intervalo I Prove que se f for estritamente crescente em I então fx 0 em I Suponha f derivável em a b e tal que fa fb 0 Prove que existe p em a b tal que f x fp para todo x em a b ou f x fp para todo x em a b Interprete geometricamente Suponha f derivável em a b tal que fa fb 0 e fa fb Prove que existem x1 x2 a b tais que para todo x em a b f x1 f x f x2 Interprete geometricamente Seja f ℝ ℝ uma função tal que quaisquer que sejam x e t f x ft x t 2 Calcule fx 48 49 Sejam f e g definidas em ℝ com g contínua em 0 e tais que para todo x f x x gx Mostre que f é derivável em 0 Suponha f definida em ℝ derivável em 0 e f0 0 Prove que existe g definida em ℝ contínua em 0 tal que f x x gx para todo x 81 8 FUNÇÕES INVERSAS FUNÇÃO INVERSA Dizemos que uma função f é injetora se quaisquer que sejam s e t no seu domínio s t f s f t Observamos que se f for estritamente crescente ou estritamente decrescente então f será injetora Suponhamos agora que f seja injetora e que B Im f Assim para cada x B existe um único y Df tal que fy x Podemos então considerar a função g definida em B e dada por g x y f y x Tal função g denominase função inversa de f Observe que a função inversa y g x é dada implicitamente pela equação f y x Se f for uma função que admite função inversa então diremos que f é uma função inversível Observe que se f for uma função inversível com inversa g então g também será inversível e sua inversa será f EXEMPLO 1 A função f x x2 x 0 é estritamente crescente em 0 logo f é inversível A sua inversa é a função g definida em 0 Im f e dada por g x y f y x Para expressar y em função de x procedemos assim A inversa de f x x2 x 0 é a função Os gráficos de f e de g são simétricos em relação à reta y x Observação Suponhamos que f admita inversa g Temos a b Gf b f a a g b b a Gg ou seja a b Gf b a Gg Quando a b descreve o gráfico de f b a descreve o gráfico de g Como a b e b a são simétricos em relação à reta y x resulta que os gráficos de f e de g são simétricos em relação à reta y x EXEMPLO 2 A função f x ex x ℝ é estritamente crescente logo inversível Sua inversa é a função g x ln x x 0 pois ln x y ey x x e y reais com x 0 EXEMPLO 3 Função arcoseno A função f x sen x é estritamente crescente portanto inversível e sua imagem é o intervalo fechado 1 1 A inversa de f é a função g x arc sen x leia arcoseno x x 1 1 dada por arc sen x y sen y x EXEMPLO 4 Função arcotangente A função f x tg x é estritamente crescente portanto inversível e sua imagem é ℝ Sua inversa é a função g x arc tg x x ℝ dada por arc tg x y tg y x 1 2 3 4 a b 5 Exercícios 81 Calcule Verifique que Calcule Seja f uma função inversível com inversa g Mostre que f g x x para todo x Dg g f x x para todo x Df Prove que a função f x arc sen x x 1 1 é contínua Veja Exercício 12 6 7 a b 8 9 10 a b 11 12 13 a b c 14 82 Prove que a função f x arc tg x x ℝ é contínua Veja Exercício 12 Seja f dada por f x x3 Mostre que f é inversível e determine sua inversa g Esboce os gráficos de f e de g Qual a função inversa de Qual a função inversa de Seja Mostre que f é inversível e determine sua inversa g Esboce os gráficos de f e de g Seja f x x ex Mostre que f é inversível e esboce os gráficos de f e de sua inversa Seja f uma função cujo domínio e imagem são intervalos Prove que se f for estritamente crescente ou estritamente decrescente então f será contínua Seja f x x ex e seja g sua inversa Prove que o domínio e a imagem de g são intervalos Prove que g é estritamente crescente Prove que g é contínua Sugestão Utilize o Exercício 12 Prove que se f for definida contínua e injetora no intervalo I então f será estritamente crescente ou estritamente decrescente DERIVADA DE FUNÇÃO INVERSA Seja f uma função inversível com inversa g assim f g x x para todo x Dg Segue que para todo x Dg f g x x ou f g x 1 Se supusermos f e g diferenciáveis podemos aplicar a regra da cadeia ao 1º membro da equação acima f g x g x 1 ou que é a fórmula que nos permite calcular a derivada de g conhecendose a derivada de f Observação Observe atentamente as notações f g x e f g x f g x é o valor que a derivada de f assume em g x enquanto f g x f g x g x O próximo teorema contanos que se f for inversível e derivável e se sua inversa g for contínua então g será derivável em todo p de seu domínio em que f g p 0 Teorema Seja f uma função inversível com função inversa g Se f for derivável em q g p com f q 0 e se g for contínua em p então g será derivável em p Demonstração Fazendo u g x pela continuidade de g em p u q para x p Então Como resulta Portanto g é derivável em EXEMPLO 1 Derivada do arcoseno A função arc sen é contínua e é a inversa de Temos segue cos arc sen x 2 1 x2 e portanto uma vez que arc sen Substituindo em ① resulta Outro processo para se obter a derivada de y arc sen x Esta função como sabemos é dada implicitamente pela equação sen Temos então Daí e portanto ou seja Veja Exemplo 6 da Seção 713 Vejamos como fica a fórmula de derivação de função inversa na notação de Leibniz Seja y g x a inversa da função dada por x f y observe que sendo g a inversa de f temos y g x x f y Então ou em que deve ser calculado em y g x Como exemplo calculemos a derivada de arc tg na notação de Leibniz y arc tg x x tg y com Então EXEMPLO 2 Determine a derivada a y arc sen x2 b f x x arc tg 3x Solução Poderíamos também ter calculado da seguinte forma y arc sen u no qual u x2 ou seja b 1 a b c d e f g Como f x x arc tg 3x vem fx 1 arc tg 3x x arc tg 3x Assim Observação A derivada de arc tg 3x poderia também ter sido calculada da seguinte forma assim Exercícios 82 Determine a derivada y x arc tg x f x arc sen 3x g x arc sen x3 y arc tg x2 y 3 arc tg 2x 3 y arc sen ex y e3x arc sen 2x i l 2 3 4 a b c 5 a b c 6 a b 7 8 y x2 earc tg 2x y e3x ln arc tg x Seja f x x ex e seja g a inversa de f Mostre que g é derivável e que Sugestão Veja Exercício 1381 Seja f x x ex e seja g a função inversa de f Calcule g 1 e g1 Seja f x x ln x x 0 Mostre que f admite função inversa g que g é derivável e que Esboce os gráficos de f e de g Calcule g 1 g 1 e g 1 Seja f x x x3 Mostre que f admite função inversa g Expresse g x em termos de g x Calcule g 0 Função arcocosseno A função f x cos x 0 x π é inversível e sua inversa é a função g x arc cos x 1 x 1 Calcule arc cos x Esboce o gráfico de g Função arcosecante A função f x sec x é inversível e sua inversa é a função g x arc sec x x 1 Calcule arc sec x Verifique que a ddx x arc tg x 12 ln 1 x2 arc tg x b ddx x33 arc sen x x2 29 sqrt1 x2 x2 arc sen x c ddx x 1 arc tg sqrtx sqrtx arc tg sqrtx d ddx 12 arc sen 2 x x sqrt2 1x sqrtx2 4x 4 e ddx sqrt27x2 6x 1x 3 arc sen 13x6x 1x2 sqrt27x2 6x 1 f ddx sqrt23 arc tg sqrt23x3x2 1x sqrt5x 6 x2 g ddx 136 x 9x2 2 sqrt4 9x2 227 arc sen 3x2 x2 sqrt4 9x2 91 9 ESTUDO DA VARIAÇÃO DAS FUNÇÕES TEOREMA DO VALOR MÉDIO TVM O objetivo desta seção é apresentar o enunciado de um dos teoremas mais importantes do cálculo o teorema do valor médio TVM A demonstração é deixada para o Cap 15 Teorema do valor médio TVM Se f for contínua em a b e derivável em a b então existirá pelo menos um c em a b tal que Geometricamente este teorema contanos que se s é uma reta passando pelos pontos a f a e b f b então existirá pelo menos um ponto c f c com a c b tal que a reta tangente ao gráfico de f neste ponto é paralela à reta s Como é o coeficiente angular de s e f c o de T 92 Vejamos agora uma interpretação cinemática para o TVM Suponhamos que x f t seja a função de posição do movimento de uma partícula sobre o eixo 0x Assim será a velocidade média entre os instantes t a e t b Pois bem o TVM contanos que se f for contínua em a b e derivável em a b então tal velocidade média será igual à velocidade instantânea da partícula em algum instante c entre a e b As situações que apresentamos a seguir mostramnos que as hipóteses f contínua em a b e f derivável em a b são indispensáveis Antes de passarmos à próxima seção vamos relembrar as seguintes definições Sejam f uma função e A um subconjunto do domínio de f Dizemos que f é estritamente crescente estritamente decrescente em A se quaisquer que sejam s e t em A s t f s f t f s f t Por outro lado dizemos que f é crescente decrescente em A se quaisquer que sejam s e t em A s t f s f t f s f t INTERVALOS DE CRESCIMENTO E DE DECRESCIMENTO Como consequência do TVM temos o seguinte teorema Teorema Seja f contínua no intervalo I a Se fx 0 para todo x interior a I então f será estritamente crescente em I b Se fx 0 para todo x interior a I então f será estritamente decrescente em I Demonstração a Precisamos provar que quaisquer que sejam s e t em I s t f s f t Sejam então s e t em I com s t Da hipótese segue que f é contínua em s t e derivável em s t pelo TVM existe t tal que De pois está no interior de I e de t s 0 segue f t f s 0 ou f s f t Portanto s t I s t fs ft b Fica como exercício Observação x interior a I significa que x I mas x não é extremidade de I EXEMPLO 1 Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f x x3 2x2 x 2 Esboce o gráfico Solução fx 3x2 4x 1 Então Como f é contínua segue do teorema anterior que Antes de esboçar o gráfico de f vamos calcular os limites de f para x e x EXEMPLO 2 Seja Estude f com relação a crescimento e decrescimento Esboce o gráfico Solução Como 1 3x22 0 para todo x o sinal de f é o mesmo que o do numerador f é estritamente crescente em 1 e em f é estritamente decrescente em Temos EXEMPLO 3 Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de Esboce o gráfico Solução Df x ℝ x 1 ℝ 1 1 Então Segue que Cuidado f não é estritamente crescente em 0 Temos Os limites laterais de f em 1 e 1 fornecemnos informações sobre o comportamento de f nas proximidades de 1 e 1 Vamos então calculálos EXEMPLO 4 Suponha f x 0 em a b e que existe c em a b tal que f c 0 Prove que f é estritamente decrescente em a c e estritamente crescente em c b Solução f é estritamente crescente em a b pois f x 0 em a b Assim Segue que EXEMPLO 5 Prove que g x 8x3 30x2 24x 10 admite uma única raiz real a com 3 a 2 Solução Vamos estudar g com relação a crescimento e decrescimento g x 24x2 60x 24 Como g estritamente decrescente em e estritamente crescente em segue que g x 0 para todo x 2 Por outro lado como estritamente crescente em 2 resulta que g admite uma única raiz neste intervalo Tendo em vista que g 3 8 e g 2 0 segue que a única raiz está contida no intervalo 3 2 a b c a b c EXEMPLO 6 Mostre que para todo x 0 ex x Mostre que para todo x 0 Conclua de b que Solução Consideremos a função f x ex x Temos f 0 1 Se provarmos que f é estritamente crescente em 0 seguirá que para x 0 ex x 1 0 ou ex x Como fx ex 1 para x 0 fx 0 e portanto f é estritamente crescente em 0 Seja Temos g x ex x Pelo item a g x 0 para todo x 0 Assim g x é estritamente crescente em 0 como g 0 1 segue que para todo x 0 Pelo item b para todo x 0 Como resulta Para x ex tende a mais rapidamente que x Vamos mostrar a seguir que para x ex tende a mais rapidamente que qualquer potência de x Seja α 0 um real dado Observamos que Temos agora Assim Para x ex tende a mais rapidamente que qualquer potência de x EXEMPLO 7 Suponha g derivável no intervalo aberto I p q com g x 0 em I e tal que Nestas condições prove que para todo x em I temse g x 0 Solução Consideremos a função G definida em p q e dada por Como g é derivável no intervalo aberto I g é contínua neste intervalo Logo G é também contínua em I Por outro lado ou seja G é contínua em p 0 Logo G é contínua em p q Para x I Gx gx 0 De G p 0 segue G x 0 para todo x I ou seja g x 0 para todo x I Na Seção 94 vamos estabelecer as regras de LHospital que são ferramentas poderosas e que se aplicam ao cálculo de limites que apresentam indeterminações dos tipos Para demonstrar tais regras vamos precisar dos dois exemplos que apresentaremos a seguir EXEMPLO 8 Sejam f e g duas funções deriváveis no intervalo aberto I p q com gx 0 em I e tais que Suponha ainda que existam constantes α e β tais que para todo x I Nestas condições mostre que para todo x em I temse também Solução Pelo exemplo anterior temos para todo x I g x 0 Por outro lado para todo x em I Segue que para todo x em I e De e de ① e ② segue α g x f x 0 e β g x f x 0 para todo x em I Logo para todo x em I EXEMPLO 9 Sejam f e g deriváveis no intervalo aberto I m p com g x 0 em I e tais que Suponha ainda que existam constantes α e β tais que para todo x em I Nestas condições mostre que existem constantes M N e s com s m p tais que para todo x s p Solução De segue que existe s m p tal que para todo x s p temse g x 0 Por outro lado para todo x I temse α g x fx 0 e 1 β g x fx 0 Segue que para todo x s p temse α g x f x α g s f s e β g x f x β g s f s Fazendo M f s α g s N f s β g s e lembrando que g x 0 em I resulta para todo x s p Exercícios 92 Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico calcule para isto todos os limites necessários 2 3 4 5 6 b d 7 Prove que a equação x3 3x2 6 0 admite uma única raiz real Determine um intervalo de amplitude 1 que contenha tal raiz Prove que a equação x3 x2 5x 1 0 admite três raízes reais distintas Localize tais raízes Determine a para que a equação x3 3x2 9x a 0 admita uma única raiz real Calcule Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico para isto calcule todos os limites necessários f x x ln x gx xx x 0 Seja a b c 8 9 a 10 11 12 b Calcule f 0 pela definição Determine f Esboce o gráfico calculando para isto todos os limites necessários Seja n 2 um natural dado Prove que xn 1 n x 1 para todo x 1 Sugestão Verifique que f x xn 1 n x 1 é estritamente crescente em 1 Prove que para todo x 0 temse ex x 1 Mostre que para todo x 0 temse Mostre que para todo x 0 temse Sugestão Utilize o item b do Exercício 10 e o item a acima a Mostre que para todo x 0 Mostre que para todo x 0 13 14 a b c 15 16 17 18 19 93 Generalize tal resultado Suponha que f tenha derivada contínua no intervalo I e que f nunca se anula em I Prove que f é estritamente crescente em I ou estritamente decrescente em I Seja x ℝ Verifique que f é contínua em ℝ Verifique que fx 0 em ℝ Tendo em vista que f 0 0 conclua que f é estritamente crescente Sugestão Veja Exercício 13 Seja f uma função tal que f x 0 para todo x em a b Suponha que existe c em a b tal que f c f c 0 Prove que f é estritamente crescente em a b Suponha f derivável no intervalo aberto I Prove que se f for estritamente crescente em I então fx 0 para todo x em I Suponha f derivável no intervalo I A afirmação f é estritamente crescente em I se e somente se fx 0 em I é falsa ou verdadeira Justifique Suponha f derivável no intervalo I Prove f crescente em I fx 0 em I Lembrete f se diz crescente em I se quaisquer que sejam s e t em I s t f s f t Sejam f g duas funções deriváveis em a b tais que fx g x x em a b Suponha que exista c em a b com f c g c Prove que f x g x para x c e f x g x para x c CONCAVIDADE E PONTOS DE INFLEXÃO Seja f derivável no intervalo aberto I e seja p um ponto de I A reta tangente em p f p ao gráfico de f é y f p f p x p ou y f p f p x p Deste modo a reta tangente em p f p é o gráfico da função T dada por T x f p f p x p Definição 1 Dizemos que f tem a concavidade para cima no intervalo aberto I se f x T x quaisquer que sejam x e p em I com x p Definição 2 Dizemos que f tem a concavidade para baixo no intervalo aberto I se f x T x quaisquer que sejam x e p em I com x p Definição 3 Sejam f uma função e p Df com f contínua em p Dizemos que p a b a é ponto de inflexão de f se existirem números reais a e b com p a b Df tal que f tenha concavidades de nomes contrários em a p e em p b Teorema Seja f uma função que admite derivada até a 2ª ordem no intervalo aberto I Se f x 0 em I então f terá a concavidade para cima em I Se f x 0 em I então f terá a concavidade para baixo em I Demonstração Seja p um real qualquer em I Precisamos provar que para todo x em I x p f x T x em que T x f p f p x p Consideremos a função g x f x T x x I vamos provar que g x 0 para todo x em I x p Temos b daí g x fx f p x I Como f x 0 em I segue que f é estritamente crescente em I Então Segue que g é estritamente decrescente em x I x p e estritamente crescente em x I x p Como g p 0 resultado g x 0 para todo x em I x p Fica a seu cargo EXEMPLO 1 Seja Estude f com relação à concavidade e determine os pontos de inflexão Solução Come para todo x o sinal de f x é o mesmo que o de x2 1 então Pontos de inflexão 1 e 1 EXEMPLO 2 Esboce o gráfico de Solução Pontos de inflexão 1 e 1 EXEMPLO 3 Seja f derivável até a 3ª ordem no intervalo aberto I e seja p I Suponha que f p 0 f p 0 e que f seja contínua em p Prove que p é ponto de inflexão Solução Para fixar o raciocínio suponhamos f p 0 Como f é contínua em p pela conservação do sinal existe r 0 que pode ser tomado de modo que p r p r esteja contido em I tal que f x 0 em p r p r Segue que f é estritamente crescente em p r p r Então implica logo p é ponto de inflexão 1 EXEMPLO 4 Seja f derivável até a 2ª ordem no intervalo aberto I e seja p I Suponha f contínua em p Prove que f p 0 é condição necessária mas não suficiente para p ser ponto de inflexão de f Solução Se f p 0 pela conservação do sinal existe r 0 tal que f x tem o mesmo sinal que f p em p r p r logo p não poderá ser ponto de inflexão Fica provado assim que se p for ponto de inflexão deveremos ter necessariamente f p 0 Para verificar que a condição não é suficiente basta olhar para a função f x x4 f 0 0 mas 0 não é ponto de inflexão Exercícios 93 Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão 2 3 4 5 6 7 a b Esboce o gráfico de cada uma das funções do exercício anterior Seja f x ax3 bx2 cx d a 0 Prove que f admite um único ponto de inflexão Se p for ponto de inflexão de f e se f p 0 então diremos que p é ponto de inflexão horizontal de f Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão horizontal de f Se p for ponto de inflexão de f e se f p 0 então diremos que p é ponto de inflexão oblíquo de f Cite uma condição suficiente para que p seja ponto de inflexão oblíquo de f Sejam f uma função derivável até a 5ª ordem no intervalo aberto I e p I Suponha f5 contínua em p Prove que f p f p f4 p 0 e f5 p 0 é uma condição suficiente para p ser ponto de inflexão de f Generalize tal resultado Seja f derivável até a 2ª ordem em ℝ e tal que para todo x x f x fx 4 Mostre que f é contínua em todo x 0 Mostre que f não admite ponto de inflexão horizontal 8 a b 9 10 a b c 11 a b c d e 94 Seja f x x5 bx4 cx3 2x 1 Que condições b e c devem satisfazer para que 1 seja ponto de inflexão de f Justifique Existem b e c que tornam 1 ponto de inflexão horizontal Em caso afirmativo determineos Suponha que f x 0 em a e que existe x0 a tal que fx0 0 Prove que Seja f definida e derivável no intervalo aberto I com 1 I tal que Mostre que para todo x em I f x existe e que f é contínua em I Mostre que existe r 0 tal que fx 0 e f x 0 em 1 r 1 r Esboce o gráfico de y f x x 1 r 1 r Seja f definida e derivável no intervalo r r r 0 Suponha que Mostre que 0 é ponto de inflexão horizontal Mostre que fx 0 para x 0 Estude f com relação à concavidade Mostre que para 0 x r Faça um esboço do gráfico de f REGRAS DE LHOSPITAL As regras de LHospital que vamos enunciar a seguir e cujas demonstrações são deixadas para o final da seção aplicamse a cálculos de limites que apresentam indeterminações dos tipos 1ª REGRA DE LHOSPITAL Sejam f e g deriváveis em p r p e em p p rr 0 com g x 0 para 0 x p r Nestas condições se e se existir finito ou infinito então existirá e Observamos que a 1ª regra de LHospital continua válida se substituirmos x p por x p ou por x p ou por x 2ª REGRA DE LHOSPITAL Sejam f e g deriváveis em m p com g x 0 em m p Nestas condições se e se existir finito ou infinito então existirá e Observamos que a 2ª regra continua válida se substituirmos x p por x p ou por x p ou por x A regra permanece válida se substituirmos um dos símbolos ou ambos por EXEMPLO 1 Calcule Solução Pela 1ª regra de LHospital ou seja Pela 2ª regra de LHospital Assim c que é uma indeterminação que poderá ser colocada na forma ou É mais interessante aqui passála para a forma que nos permitirá eliminar o ln x Ou seja Como vimos as regras de LHospital aplicamse às indeterminações da forma e Os próximos exemplos mostram como as outras formas de indeterminação 0 00 0 e 1 podem ser reduzidas a estas Observamos que 00 0 e 1 são indeterminações do tipo 0 Veja 00 e0 ln 0 e0 0 e0 ln e0 e 1 e ln 1 e 0 EXEMPLO 2 Calcule Solução Fazendo somos levados a uma indeterminação da forma Então e o último limite é igual a Bonito Em vez de simplificar complicou Vamos então mudar a nossa estratégia Façamos a mudança de variável está pedindo a mudança de variável Temos então Pela 2ª regra de LHospital desde que o último limite exista Ainda pela 2ª regra de LHospital Segue que e portanto Assim Observação Se e existir finito ou infinito então Verifique e generalize Temos e Segue que ou seja Observação Se proceda como acima no cálculo de c Temos Pela 1ª regra de LHospital Portanto EXEMPLO 3 Calcule Solução regra de LHospital resulta Para facilitar as coisas observamos como basta então calcular Este último limite é igual a De segue pois como já sabemos Ou por LHospital Portanto EXEMPLO 4 Calcule Solução Então O último limite é igual a Logo Observação Outro modo para calcular este limite é EXEMPLO 5 Calcule Solução O último limite é igual a Assim Este limite poderia também ter sido calculado da seguinte forma fazendo a mudança de variável resulta Assim EXEMPLO 6 Calcule Solução que não é indeterminação Veja e Assim Vimos anteriormente Exemplo 8 da Seção 72 que se f for derivável em p então ou seja o erro E x f x T x em que T x f p f p x p tende a zero mais rapidamente do que x p quando x tende a p o que significa com Assim T x é um valor aproximado para f x e o erro que se comete nesta aproximação tende a zero mais rapidamente do que x p quando x tende a p A seguir estamos interessados em determinar a de modo que P2 x f p f p x p a x p2 seja um valor aproximado para f x com erro tendendo a zero mais rapidamente que x p2 quando x tende a p EXEMPLO 7 Suponha f derivável no intervalo p r p r r 0 e que a derivada de 2ª ordem de f exista em p Mostre que se então Solução Vamos então calcular o limite Pela 1ª regra de LHospital tal limite é igual a pois Segue da hipótese que Observação Seja Do que vimos acima resulta com Ou seja o polinômio P2 x é um valor aproximado de f x com erro E x φ x x p2 tendendo a zero mais rapidamente do que x p2 quando x tende a p O polinômio P2 x é denominado polinômio de Taylor de ordem 2 de f em x p EXEMPLO 8 Suponha f derivável até a 2ª ordem no intervalo p r p r r 0 e que a derivada de 3ª ordem de f exista em p Mostre que se então Solução Pela 1ª regra de LHospital o limite acima é igual a Da hipótese segue O polinômio denominase polinômio de Taylor de ordem 3 de f em x p Segue do que vimos acima que P3 x é um valor aproximado de f x com erro E x f x P3 x tendendo a zero mais rapidamente do que x p3 para x tendendo a p Generalize O polinômio de Taylor de uma função é uma das ferramentas poderosas do cálculo numérico No Cap 15 voltaremos ao polinômio de Taylor Para encerrar a seção vamos provar as regras de LHospital Para provar tais regras vamos substituir a hipótese g x 0 em p p r na 1ª regra e g x 0 em m p na 2ª regra por g x 0 nestes intervalos Este fato não restringe em nada as nossas regras pois o teorema de Darboux veja Exercício 8 da Seção 97 nos diz exatamente o seguinte g x 0 no intervalo aberto I gx mantém o mesmo sinal neste intervalo Demonstração da 1ª regra de LHospital Suponhamos Segue que dado 0 existe δ 0 δ r tal que para p x p δ temse Do Exemplo 8 da Seção 92 segue que para p x p δ temse também Logo Fica para o aluno provar como exercício a 1ª regra nos casos De modo análogo demonstrase que Demonstração da 2ª regra de LHospital Suponhamos Pela definição de limite dado 0 existe δ1 0 com p δ1 m tal que para p δ1 x p Do Exemplo 9 da Seção 92 segue que existem constantes M N e s com s p δ1 p tal que para s x p Por outro lado de existe δ 0 com p δ s tal que para p δ x p Daí e de ① resulta para p δ x p Ou seja Fica para o aluno provar como exercício a 2ª regra no caso De modo análogo demonstrase que 1 2 Observação As regras de LHospital contamnos que se ou existir então também existirá e Entretanto poderá existir sem que exista veja Exercício 4 Exercícios 94 Calcule Sejam f e g deriváveis até a 2ª ordem em p b com g x 0 em p b 3 4 95 a b c d i Suponha que ou Prove que se existir finito ou infinito então existirá e Generalize tal resultado Calcule Sejam Verifique que e que não existe Há alguma contradição com a 1ª regra de LHospital GRÁFICOS Para o esboço do gráfico de uma função f sugerimos o roteiro explicitar o domínio determinar os intervalos de crescimento e de decrescimento estudar a concavidade e destacar os pontos de inflexão calcular os limites laterais de f em p nos casos p Df mas p é extremo de um dos intervalos que compõem Df e f a b c ii p Df mas f não é contínua em p calcular os limites para x e x determinar ou localizar as raízes de f EXEMPLO 1 Esboce o gráfico de f x x3 x2 x 1 Solução Df ℝ Intervalos de crescimento e de decrescimento fx 3x2 2x 1 Concavidade e pontos de inflexão f x 6x 2 d e a b Ponto de inflexão Como f é contínua em ℝ precisamos apenas calcular os limites para x e x As raízes de f são 1 e 1 1 é raiz dupla EXEMPLO 2 Esboce o gráfico de Solução Df ℝ 0 Intervalos de crescimento e de decrescimento c Para calcular fx é conveniente escrever f na forma Observação O sinal de fx é o mesmo que o de já que Concavidade e pontos de inflexão f x 2 6x4 d e f a b Não há ponto de inflexão Limites laterais de f em 0 Limites para x e x f não admite raiz Observe que quando x tende a ou o gráfico de f vai encostando por cima no gráfico de y x2 EXEMPLO 3 Esboce o gráfico de Solução Df x ℝ x 1 Intervalos de crescimento e de decrescimento c Concavidade e pontos de inflexão Vimos no Exemplo 592 que g x 8x3 30x2 24x 10 admite uma única raiz real a com 3 a 2 e que g x 0 para x a e g x 0 para x a Combinando o sinal de g x com o de x2 1 resulta Ponto de inflexão a é o único ponto de inflexão d f Limites laterais em 1 e 1 A única raiz de f é Seja f uma função Se existir uma reta y mx n tal que então diremos que y mx n é uma assíntota para f se m 0 teremos uma assíntota horizontal e se m 0 uma assíntota oblíqua a b O que dissemos para x vale para x Se f for da forma com p e q polinômios f admitirá assíntota se grau de p grau de q for menor ou igual a 1 Se grau de p grau de q for 1 ou 0 para determinar a assíntota basta extrair os inteiros Se grau de p grau de q for estritamente menor que zero ou seja se grau de q for estritamente maior que grau de p então y 0 é uma assíntota EXEMPLO 4 Determine a assíntota e esboce o gráfico de Solução f é uma função racional e a diferença entre o grau do numerador e do denominador é 1 logo f admite assíntota Temos Como quando x tende a ou o gráfico de f vai encostando na assíntota y x Temos agora Df ℝ Intervalos de crescimento e de decrescimento c e f f é contínua em ℝ e fx 0 para x 0 logo f é estritamente crescente em ℝ Concavidade e pontos de inflexão 0 é a única raiz de f y x é assíntota Observação Como f 0 0 y 0 é a reta tangente ao gráfico de f em 0 0 Muitas vezes por inspeção é possível prever a existência ou não de assíntota Um bom indicador para a existência de assíntota oblíqua é o seguinte se para x suficientemente grande f x mx para algum m então será razoável esperar a existência de assíntota Por exemplo para x suficientemente grande temos Então é razoável esperar que tais funções admitam assíntotas Observe Para determinar assíntota procedemos assim primeiro determinamos m caso exista para que seja finito em seguida tomamos para n o valor deste limite Observamos que se for finito então ou seja Cuidado poderá ser finito sem que o seja Verifique De modo análogo se for finito deveremos ter obrigatoriamente A seguir sugerimos um processo para se determinar assíntota Primeiro determine m caso exista através do limite Em seguida calcule Se n for finito y mx n será assíntota para x Proceda de modo análogo para x Observação Se e se existe pela 2ª regra de LHospital Interprete EXEMPLO 5 Determine as assíntotas de Solução Temos Segue que e Assim m 1 para x e m 1 para x Vamos agora deteminar n Para x Assim para x y x é assíntota Para x temos Logo para x y x é assíntota EXEMPLO 6 Determine as assíntotas e esboce o gráfico de Solução Temos Daí e Assim para x m 2 e para x m 2 Vamos agora determinar n Para x temos Para x 0 Segue que Logo para x é assíntota Para x a b Assim para x é assíntota Temos então as assíntotas e Temos agora Df ℝ pois 4x2 x 1 0 para todo x Intervalos de crescimento e de decrescimento c Concavidade e pontos de inflexão f x 0 para todo x logo concavidade para cima em ℝ EXEMPLO 7 Determine as assíntotas e esboce o gráfico de Solução Temos Segue que e a b Assim m 1 Vamos agora determinar n Para x Pela 1ª regra de LHospital Para x Logo é assíntota para x e para x Temos agora Df ℝ Intervalos de crescimento e de decrescimento c e Concavidade e pontos de inflexão Ponto de inflexão 1 é o único ponto de inflexão Em 0 e 1 a função é contínua mas não é derivável Vamos então estudar o comportamento do gráfico de f nos pontos de abscissas 0 e 1 0 f 0 Seja sx a reta secante ao gráfico de f passando pelos pontos 0 f 0 e x f x O coeficiente angular de sx é 1 f1 O coeficiente angular da reta secante sx que passa pelos pontos 1 f 1 e x f x é No ponto 1 f 1 o gráfico de f admite uma reta tangente vertical Gráfico de f Interprete graficamente os limites 96 Exercícios 95 Esboce o gráfico MÁXIMOS E MÍNIMOS Definição 1 Sejam f uma função A Df e p A Dizemos que f p é o valor máximo de f em A ou que p um ponto de máximo de f em A se f x f p para todo x em A Se f x f p para todo x em A dizemos então que f p é o valor mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A Definição 2 Sejam f uma função e p Df Dizemos que f p é o valor máximo global de f ou que p é um ponto de máximo global de f se para todo x em Df f x f p Se para todo x em Df f x f p diremos então que f p é o valor mínimo global de f ou que p é um ponto de mínimo global de f Definição 3 Sejam f uma função e p Df Dizemos que p é ponto de máximo local de f se existir r 0 tal que f x f p para todo x em p r p r Df Por outro lado dizemos que p é ponto de mínimo local de f se existir r 0 tal que f x f p para todo x em p r p r Df Uma boa maneira de se determinar os pontos de máximo e de mínimo de uma função f é estudála com relação a crescimento e decrescimento Sejam a c b se f for crescente em a c e decrescente em c b então c será um ponto de máximo local de f se f for decrescente em a c e crescente em c b então c será um ponto de mínimo local de f EXEMPLO 1 Seja f x x3 3x2 3 a Estude f com relação a máximos e mínimos b Determine os valores máximo e mínimo de f em 2 3 Em que pontos estes valores são atingidos Solução ponto de máximo local 0 ponto de mínimo local 2 Como segue que f não assume nem valor máximo global nem valor mínimo global f2 17 é o valor mínimo de f em 2 3 f0 f3 3 é o valor máximo de f em 2 3 EXEMPLO 2 Determine dois números positivos cuja soma seja 4 e tal que a soma do cubo do menor com o quadrado do maior seja mínima Solução Indiquemos por x o número menor 0 x 2 assim o maior é 4 x Seja S x x3 4 x2 0 x 2 Devemos determinar x que torna mínimo o valor de S Temos S x 3x2 2x 8 Assim torna mínimo o valor de S Conclusão Os números procurados são EXEMPLO 3 Pedese construir um cilindro circular reto de área total S dada e cujo volume seja máximo Solução Precisamos determinar r raio da base e h altura Temos Assim S 2πr2 2πrh daí Podemos então exprimir o volume V em função de r 1 a b c d e f g ou Devemos determinar r que torna V máximo Assim torna V máximo Conclusão são respectivamente o raio e a altura do cilindro de volume máximo Exercícios 96 Estude a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais f x x e2x f x ex e3x f x 2x3 9x2 12x 3 f x x2 3x 2 x t t et f x x4 4x3 4x2 2 h 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 f x sen x cos x x 0 π Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro 2p é dado Determine o número real positivo cuja diferença entre ele e seu quadrado seja máxima Determine o número real positivo cuja soma com o inverso de seu quadrado seja mínima Determine a altura do cilindro circular reto de volume máximo inscrito na esfera de raio R dado Determine a altura do cone circular reto de volume máximo inscrito na esfera de raio R dado Determine a altura do cone circular reto de volume máximo e com geratriz a dada Considere a curva y 1 x2 0 x 1 Traçar uma tangente à curva tal que a área do triângulo que ela forma com os eixos coordenados seja mínima Determine o retângulo de área máxima e lados paralelos aos eixos coordenados inscrito na elipse 4x2 y2 1 Desejase construir uma caixa de forma cilíndrica de 1 m3 de volume Nas laterais e no fundo será utilizado material que custa R 10 o metro quadrado e na tampa material de R 20 o metro quadrado Determine as dimensões da caixa que minimizem o custo do material empregado r é uma reta que passa pelo ponto 1 2 e intercepta os eixos nos pontos A a 0 e B 0 b com a 0 e b 0 Determine r de modo que a distância de A a B seja a menor possível Certa pessoa que se encontra em A para atingir C utilizará na travessia do rio de 100 m de largura um barco com velocidade máxima de 10 kmh 13 14 15 16 17 18 de B a C utilizará uma bicicleta com velocidade máxima de 15 kmh Determine B para que o tempo gasto no percurso seja o menor possível Qual o ponto P da curva y x2 que se encontra mais próximo de 3 0 Seja P a b tal ponto mostre que a reta que passa por 3 0 e a b é normal à curva em a b Encontre o ponto da curva x 0 que está mais próximo da origem Duas partículas P e Q movemse respectivamente sobre os eixos 0x e 0y A função de posição de P é e a de Q t 0 Determine o instante em que a distância entre P e Q seja a menor possível Seja g definida e positiva no intervalo I Seja p I Prove p será ponto de máximo ou de mínimo de em I se e somente se p for ponto de máximo ou de mínimo de g em I Um sólido será construído acoplandose a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma semiesfera de raio r Desejase que a área da superfície do sólido seja 5π Determine r e h para que o volume seja máximo A Cia α Ltda produz determinado produto e vendeo a um preço unitário 19 20 21 de R 13 Estimase que o custo total c para produzir e vender q unidades é dado por c q3 3q2 4q 2 Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor que quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo Determinado produto é produzido e vendido a um preço unitário p O preço de venda não é constante mas varia em função da quantidade q demandada pelo mercado de acordo com a equação 0 q 20 Admita que para produzir e vender uma unidade do produto a empresa gasta em média R 350 Que quantidade deverá ser produzida para que o lucro seja máximo Do ponto A situado numa das margens de um rio de 100 m de largura devese levar energia elétrica ao ponto C situado na outra margem do rio O fio a ser utilizado na água custa R 5 o metro e o que será utilizado fora R 3 o metro Como deverá ser feita a ligação para que o gasto com os fios seja o menor possível Suponha as margens retilíneas e paralelas Sejam P 0 a e Q b c em que a b e c são números reais dados e estritamente positivos Seja M x 0 com 0 x b a b 22 23 24 25 26 a b 27 28 29 Determine x para que o perímetro do triângulo PMQ seja mínimo Conclua que o perímetro será mínimo para α β Determine M no gráfico de y x3 0 x 1 de modo que a área do triângulo de vértices 0 0 1 1 e M seja máxima A Cia γ Ltda produz um determinado produto e vendeo com um lucro total dado por L q q3 12q2 60q 4 em que q representa a quantidade produzida Determine o lucro máximo e a produção que maximiza o lucro Esboce o gráfico desta função Determine uma reta tangente ao gráfico de y 1 x2 de modo que a distância da origem a ela seja a menor possível Determine o ponto da parábola y 1 x2 que se encontra mais próximo da origem Seja x0 y0 x0 0 e y0 0 um ponto da elipse x2 4y2 1 Seja T a reta tangente à elipse no ponto x0 y0 Verifique que T tem por equação x0 x 4 y0 y 1 Determine x0 de modo que a área do triângulo determinado por T e pelos eixos coordenados seja mínima Uma partícula P deslocase sobre o eixo x com velocidade constante e igual a 1 Outra partícula Q deslocase sobre a parábola y 1 x2 de modo que sua projeção sobre o eixo x descreve um movimento com velocidade constante e igual a 2 No instante t 0 as partículas P e Q encontramse respectivamente nas posições 0 0 e 0 1 Determine o instante em que as partículas encontramse mais próximas Dado o triângulo retângulo de catetos 3 e 4 determine o retângulo de maior área nele inscrito de modo que um dos lados esteja contido na hipotenusa Determine o ponto da parábola y x2 que se encontra mais próximo da reta y x 2 30 31 32 33 Dois vértices de um retângulo R estão sobre o eixo x e os outros dois sobre o gráfico de Considere o cilindro que se obtém girando o retângulo R em torno do eixo x Determine o retângulo R de modo que o volume do cilindro seja o maior possível Considere duas retas paralelas r e s Sejam A e C dois pontos distintos de r e B um ponto de s Determine Q na reta s de modo que a soma das áreas dos triângulos APC e QPB seja mínima Considere o triângulo isósceles ABC com AB BC Seja H o ponto médio de AC Determine P no segmento HB de modo que a soma das distâncias de P aos pontos A B e C seja a menor possível Lei de refração de Snellius Considere uma reta r e dois pontos P e Q localizados em semiplanos opostos Uma partícula vai de P a M com velocidade constante u e movimento retilíneo em seguida vai de M a Q com velocidade constante v também 97 com movimento retilíneo Mostre que o tempo de percurso será mínimo se CONDIÇÃO NECESSÁRIA E CONDIÇÕES SUFICIENTES PARA MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS Sejam f uma função e p um ponto interior a Df p interior a Df existe um intervalo aberto I com I Dfe p I Suponhamos f derivável em p O nosso próximo teorema contanos que uma condição necessária mas não suficiente para que p seja ponto de máximo ou de mínimo local é que f p 0 A figura abaixo dá nos uma ideia geométrica do que falamos acima Teorema 1 Seja f uma função derivável em p em que p é um ponto interior a Df Uma condição necessária para que p seja ponto de máximo ou de mínimo local é que f p 0 Demonstração Suponhamos que p seja ponto de máximo local a demonstração será análoga se p for ponto de mínimo local Assim existe r 0 tal que f x f p em p r p r Df Como por hipótese p é interior a Df podemos escolher r de modo que p r p r Df Assim f x f p para todo x em p r p r Como f é derivável em p os limites laterais existem e são iguais a f p Para p x p r pela conservação do sinal logo f p 0 Para p r x p daí logo f p 0 Como f p 0 e f p 0 resulta f p 0 Um ponto p Df se diz ponto crítico ou ponto estacionário de f se f p 0 O teorema anterior contanos então que se p for interior a Df e f derivável em p então uma condição necessária para que p seja ponto de máximo ou de mínimo a b b local de f é que p seja ponto crítico de f Vamos agora estabelecer uma condição suficiente para que um ponto p seja ponto de máximo ou de mínimo local Teorema 2 Sejam f uma função que admite derivada de 2ª ordem contínua no intervalo aberto I e p I f p 0 e f p 0 p é ponto de mínimo local f p 0 e f p 0 p é ponto de máximo local Demonstração a Como f é contínua em I e f p 0 pelo teorema da conservação do sinal existe r 0 tal r pode ser tomado de modo que p r p r esteja contido em I pois estamos supondo I intervalo aberto e p I tal que f x 0 em p r p r Segue que f é estritamente crescente neste intervalo como f p 0 resulta Logo f é estritamente decrescente em p r p e estritamente crescente em p p r Portanto p é ponto de mínimo local Faça você Exercícios 97 1 a b c d e f 2 3 4 5 a b 6 a b Determine os pontos críticos da função dada e classifiqueos a classificação referese a ponto de máximo local ponto de mínimo local ou ponto de inflexão hx x3 3x2 3x 1 f x x4 4x3 6x2 4x 1 gx x2 e5x Suponha que f admite derivada de 3ª ordem contínua no intervalo aberto I e seja p I Prove que se f p f p 0 e f p 0 então p é ponto de inflexão horizontal Suponha que f admite derivada até a 4ª ordem contínua no intervalo aberto I e seja p I Prove que se f p f p f p 0 e f4 p 0 então p será ponto de máximo local se f4 p 0 e será ponto de mínimo local se f4 p 0 Generalize os resultados obtidos nos Exercícios 2 e 3 Seja f derivável em ℝ e seja g dada por x 0 Suponha que p é ponto de máximo local de g Prove que p f p f p 0 Prove que a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa p passa pela origem Suponha que f seja derivável até a 2ª ordem em ℝ e tal que para todo x f x x f x 1 Prove que f não admite ponto de máximo local Prove que se f admitir um ponto crítico x0 então x0 será ponto de mínimo local c 7 a b c 8 9 10 11 a b Prove que f poderá admitir no máximo um ponto crítico Suponha que f seja derivável até a 2ª ordem em ℝ e tal que para todo x x f x fx 2 Prove que se x0 for ponto de máximo local então x0 0 Prove que se x0 for ponto de mínimo local então x0 0 Prove que fx 0 para todo x Sugestão Observe que f 0 2 Teorema de Darboux Suponha g derivável em a b com g a 0 e g b 0 Prove que existe c em a b tal que g c 0 Interprete geometricamente Sugestão Verifique que o valor mínimo g c de g em a b é tal que g c g a e g c g b Suponha g derivável no intervalo I e tal que g x 0 em todo x de I Prove que g x 0 em todo x I ou g x 0 em todo x I Suponha g derivável em a b e seja m tal que g a m g b Prove que existe c em a b tal g c m Sugestão Aplique o Exercício 8 à função f x g x mx Seja y f x uma função derivável até a 2ª ordem no intervalo aberto I tal que para todo x I f x x f x f x 2 0 f x 0 Verifique que f é contínua em I Prove que f não admite ponto de máximo local em I 12 a b c 98 Seja y f x derivável até a 2ª ordem em r r r 0 tal que para todo x r r f x fx x f x2 0 Suponha ainda que f 0 0 e f 0 1 Prove que f não admite ponto de máximo local em 0 r Prove que f não admite ponto de mínimo local em r 0 Prove que f é estritamente crescente em r r MÁXIMO E MÍNIMO DE FUNÇÃO CONTÍNUA EM INTERVALO FECHADO Seja f uma função contínua no intervalo fechado a b O teorema de Weierstrass veja Cap 5 garantenos que f assume em a b valor máximo e valor mínimo Vamos descrever a seguir um processo bastante interessante para determinar os valores máximos e mínimos de f em a b Suponhamos f derivável em a b Seja f p o valor máximo de f em a b deste modo p ou é extremidade de a b ou p a b se p a b pelo teorema 1 da seção anterior f p 0 Segue que para se obter o valor máximo de f em a b é suficiente comparar os valores que f assume nas extremidades de a b com os assumidos nos pontos críticos que pertencem a a b O valor máximo de f em a b será então o maior desses valores Evidentemente o valor mínimo de f em a b será o menor daqueles valores Deixamos a seu cargo descrever um processo para se determinar os valores máximos e mínimos de f em a b no caso em que f é contínua no intervalo fechado a b e não derivável em apenas um número finito de pontos de a b Exercícios 98 Determine os valores máximos e mínimos caso existam da função dada no intervalo dado 1 fx x44 x3 2x2 3 em 2 3 2 gx x3 3x2 3x 1 em 2 1 3 fx x55 x42 x3 4x2 4x 1 em 3 3 4 fx sen x cos x em 0 π 5 fx 3x3 2x2 em 1 2 6 fx 1x3 2x2 em 0 2 101 10 PRIMITIVAS RELAÇÃO ENTRE FUNÇÕES COM DERIVADAS IGUAIS Já sabemos que a derivada de uma função constante é zero Entretanto uma função pode ter derivada zero em todos os pontos de seu domínio e não ser constante por exemplo é tal que fx 0 em todo x no seu domínio mas f não é constante O próximo teorema que é uma consequência do TVM contanos que se f tiver derivada zero em todos os pontos de um intervalo então f será constante neste intervalo Teorema Seja f contínua no intervalo I Se fx 0 em todo x interior a I então existirá uma constante k tal que f x k para todo x em I Demonstração Seja x0 um ponto fixo em I Vamos provar que para todo x em I f x f x0 o que significará que f é constante em I Para todo x em I x x0 existe pelo TVM um pertencente ao intervalo aberto de extremos x e x0 tal que f x f x0 f x x0 Observe que de acordo com a hipótese f é contínua no intervalo fechado de extremos x e x0 e derivável no intervalo aberto de mesmos extremos Como é interior a I pela hipótese f 0 logo f x f x0 0 ou f x f x0 para todo x em I Tomandose k f x0 resulta o teorema Como consequência deste teorema provaremos que se duas funções tiverem derivadas iguais num intervalo então neste intervalo elas diferirão por uma constante Corolário Sejam f e g contínuas no intervalo I Se fx g x em todo x interior a I então existirá uma constante k tal que g x f x k para todo x em I Demonstração A função h x g x f x é contínua em I e para todo x interior a I h x g x fx 0 Pelo teorema anterior existe uma constante k tal que g x f x k ou g x f x k para todo x em I Observamos que se f e g satisfizerem as hipóteses do corolário e se f x0 g x0 para algum x0 I então f x g x para todo x I De fato pelo corolário existe k tal que g x f x k para todo x em I Em particular g x0 f x0 k logo k 0 Portanto g x f x em I Já vimos que se f x ex x ℝ então fx ex ou seja a função f x ex goza da seguinte propriedade a sua derivada é ela própria O próximo exemplo nos mostra que as únicas funções que gozam desta propriedade são as funções da forma f x kex em que k é uma constante EXEMPLO 1 Seja f definida e derivável em e tal que para todo x fx f x Prove que existe uma constante k tal que para todo x temse f x k ex Solução A ideia para a prova é considerar o quociente e mostrar que a sua derivada é zero Temos Da hipótese fx f x segue para todo x em ℝ Pelo teorema 1 existe uma constante k tal que para todo x ou seja f x kex O exemplo acima nos diz que as soluções da equação diferencial são as funções da forma y k ex k constante isto é k constante Observe y f x é solução da equação diferencial se e somente se a derivada de f for ela própria EXEMPLO 2 Determine y f x x ℝ tal que Solução Assim a f procurada é da forma f x k ex com k constante A condição f 0 2 nos permite determinar a constante k De fato de f x kex segue f 0 k e portanto k 2 A função que satisfaz o problema dado é então f x 2 ex Ou seja y 2 ex Consideremos agora a função f x eαx α constante Temos fx α eαx ou seja fx α f x Raciocinando como no Exemplo 1 provase veja Exercício 1 que as únicas funções que satisfazem a equação fx α f x x ℝ e α constante são as funções da forma f x k eαx k constante Ou seja sendo α constante temse ou fx α f x f x k eαx k constante EXEMPLO 3 Determine a função y y x x ℝ que satisfaz as condições Solução Da condição y 0 1 resulta k 1 A função procurada é y e3x x ℝ EXEMPLO 4 Determine uma função y f x definida num intervalo aberto I com 1 I tal que f 1 1 e para todo x em I Solução Devemos ter para todo x em I fx x f x Como a função f deve ser derivável em I resulta que f deve ser também contínua em I Então a condição f 1 1 e o teorema da conservação do sinal garantemnos que para x próximo de 1 devemos ter f x 0 Vamos então procurar f definida num intervalo aberto I e que neste intervalo satisfaça a condição f x 0 Temos então Lembrando que resulta para todo x em I Como as derivadas das funções ln f x e são iguais em I do corolário acima resulta que existe uma constante k tal que para todo x em I Da condição f 1 1 segue e portanto Assim a função satisfaz as condições dadas Observe que esta é uma função satisfazendo as condições dadas Será que existe outra Como veremos no Cap 13 esta é a única função definida em ℝ e satisfazendo as condições dadas EXEMPLO 5 Determine uma função y f x definida num intervalo aberto I com 1 I tal que f 1 1 e para todo x em I Solução Devemos ter para todo x em I fx 2 f x2 A condição f 1 1 permitenos supor f x 0 em I Temos então f x2 fx 2 x I Lembrando que f x1 f x2 fx e que 2x 2 resulta f x1 2x x I Pelo corolário existe uma constante k tal que para todo x I f x1 2x k Da condição f 1 1 segue k 1 A função 1 2 3 4 5 6 7 a satisfaz as condições dadas A condição é para garantir que 1 pertença ao domínio de f Exercícios 101 Seja f ℝ ℝ derivável e tal que para todo x fx α f x α constante não nula Prove que existe uma constante k tal que para todo x f x k eαx Determine y f x x ℝ tal que fx 2 f x e f 0 1 Sugestão Utilize o Exercício 1 Uma partícula deslocase sobre o eixo 0x de modo que em cada instante t a velocidade é o dobro da posição x x t Sabese que x 0 1 Determine a posição da partícula no instante t A função y f x x ℝ é tal que f 0 1 e fx 2 f x para todo x Esboce o gráfico de f Seja y f x x ℝ derivável até a 2ª ordem e tal que para todo x f x f x 0 Seja g dada por g x fx sen x f x cos x Prove que g é constante Seja f ℝ ℝ derivável até a 2ª ordem e tal que para todo x f x f x 0 Prove que existe uma constante A tal que para todo x em 0 π Conclua que exista outra constante B tal que para todo x em 0 π f x A cos x B sen x Sugestão Utilize o Exercício 6 Seja f ℝ ℝ derivável até a 2ª ordem e tal que para todo x f x f x 0 Prove que g x ex fx f x x ℝ é constante b c 8 a b 9 10 11 12 Prove que existe uma constante A tal que para todo x Conclua de b que existe uma outra constante B tal que f x A ex B ex para todo x Sejam f e g duas funções definidas e deriváveis em ℝ Suponha que f 0 0 g 0 1 e que para todo x fx g x e g x f x Mostre que para todo x f x sen x2 g x cos x2 0 Conclua de a que f x sen x e g x cos x Utilizando o Exercício 1 determine a única função y y x x ℝ que satisfaça as condições dadas Determine a função cujo gráfico passe pelo ponto 0 1 e tal que a reta tangente no ponto de abscissa x intercepte o eixo 0x no ponto de abscissa x 1 Determine uma função y f x definida num intervalo aberto satisfazendo as condições dadas Seja f ℝ ℝ derivável até a 2ª ordem e tal que para todo x a b 13 14 102 f x f x Mostre que para todo x Conclua que existe uma constante E tal que para todo x fx2 f x2 E Sejam f t g t e h t funções deriváveis em ℝ e tais que para todo t Suponha que f 0 g 0 h 0 1 Prove que para todo t f t2 g t2 h t2 3 Sejam f t e g t funções deriváveis em ℝ e tais que para todo t Suponha ainda que f 0 0 e g 0 1 Prove que para todo t o ponto f t g t pertence à elipse PRIMITIVA DE UMA FUNÇÃO Seja f uma função definida num intervalo I Uma primitiva de f em I é uma função F definida em I tal que fx f x para todo x em I EXEMPLO 1 é uma primitiva de f x x2 em ℝ pois para todo x em ℝ Observe que para toda constante k também primitiva de f x x2 EXEMPLO 2 Para toda constante k F x 2x k é primitiva em ℝ de f x 2 pois fx 2x k 2 para todo x Sendo F uma primitiva de f em I então para toda constante k F x k é também primitiva de f Por outro lado como vimos na seção anterior se duas funções têm derivadas iguais num intervalo elas diferem neste intervalo por uma constante Segue que as primitivas de f em I são as funções da forma f x k com k constante Diremos então que y f x k k constante é a família das primitivas de f em I A notação será usada para representar a família das primitivas de f f x k Na notação a função f denominase integrando Uma primitiva de f será também denominada uma integral indefinida de f É comum referirse a como a integral indefinida de f Observação O domínio da função f que ocorre em deverá ser sempre um intervalo nos casos em que o domínio não for mencionado ficará implícito que se trata de um intervalo b EXEMPLO 3 Calcule Solução O integrando é a função constante f x 1 Então dx 1 dx x k pois x 1 EXEMPLO 4 Calcule xα dx em que α 1 é um real fixo Solução EXEMPLO 5 Calcule Solução ou seja e portanto EXEMPLO 6 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 7 Calcule Solução ou seja e portanto EXEMPLO 8 Calcule Solução pois Seja α um real fixo Dos Exemplos 4 e 8 resulta EXEMPLO 9 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 10 Seja α um real fixo α 0 Calcule Solução EXEMPLO 11 Calcule Solução EXEMPLO 12 Determine y y x x ℝ tal que Solução Assim Vimos ao final da seção anterior que se fx G x para todo x no intervalo I e se para algum x0 em I F x0 G x0 então f x G x em I Segue deste resultado que se f admitir uma primitiva em I e se x0 y0 forem dois reais quaisquer com x0 I então existirá uma única função y y x x I tal que EXEMPLO 13 Determine a única função y y x definida em ℝ tal que Solução A condição y 0 2 significa que para x 0 devemos ter y 2 Vamos determinar k para que esta condição esteja satisfeita Substituindo então em x por 0 e y por 2 resulta k 2 Assim EXEMPLO 14 Determine a função y y x x ℝ tal que Solução Assim Para se ter é preciso que k1 0 Assim daí Para k2 1 a condição inicial y 0 1 se verifica Assim 1 EXEMPLO 15 Uma partícula deslocase sobre o eixo x e sabese que no instante t t 0 a velocidade é v t 2t 1 Sabese ainda que no instante t 0 a partícula encontrase na posição x 1 Determine a posição x x t da partícula no instante t Solução Temos Para k 1 teremos x 1 para t 0 Assim x t t2 t 1 Exercícios 102 Calcule 2 3 Seja α 0 um real fixo Verifique que Calcule 4 5 Verifique que Determine a função y y x x ℝ tal que 6 7 a b c 8 9 10 Determine a função y y x x 0 tal que Uma partícula deslocase sobre o eixo x com velocidade v t t 3 t 0 Sabese que no instante t 0 a partícula encontrase na posição x 2 Qual a posição da partícula no instante t Determine a posição da partícula no instante t 2 Determine a aceleração Uma partícula deslocase sobre o eixo x com velocidade v t 2t 3 t 0 Sabese que no instante t 0 a partícula encontrase na posição x 5 Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem Uma partícula deslocase sobre o eixo x com velocidade v t at v0 t 0 a e v0 constantes Sabese que no instante t 0 a partícula encontrase na posição x x0 Determine a posição x x t da partícula no instante t Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição x x t t 0 Determine x x t sabendo que 11 Esboce o gráfico da função y y x x ℝ sabendo que 111 112 11 INTEGRAL DE RIEMANN Neste capítulo introduziremos o conceito de integral de Riemann e estudaremos algumas de suas propriedades A integral tem muitas aplicações tanto na geometria cálculo de áreas comprimento de arco etc como na física cálculo de trabalho de massa etc como veremos PARTIÇÃO DE UM INTERVALO Uma partição P de um intervalo a b é um conjunto finito P x0 x1 x2 xn em que a x0 x1 x2 xn b Uma partição P de a b divide a b em n intervalos xi 1 xi i 1 2 n A amplitude do intervalo xi 1 xi será indicada por Δxi xi xi 1 Assim Δx1 x1 x0 Δx2 x2 x1 etc Os números Δx1 Δx2 Δxn não são necessariamente iguais o maior deles denominase amplitude da partição P e indicase por máx Δxi Uma partição P x0 x1 x2 xn de a b será indicada simplesmente por P a x0 x1 x2 xn b SOMA DE RIEMANN Sejam f uma função definida em a b e P a x0 x1 x2 xn b uma partição de a b Para cada índice i i 1 2 3 n seja ci um número em xi 1 xi escolhido arbitrariamente Pois bem o número denominase soma de Riemann de f relativa à partição P e aos números ci Observe que se f ci 0 f ci Δxi será então a área do retângulo Ri determinado pelas retas x xi 1 x xi y 0 e y f ci se f ci 0 a área de tal retângulo será f ci Δxi Geometricamente podemos então interpretar a soma de Riemann como a diferença entre a soma das áreas dos retângulos Ri que estão acima do eixo x e a soma das áreas dos que estão abaixo do eixo x Seja F uma função definida em a b e seja P a x0 x1 x2 x3 x4 b uma partição de a b O acréscimo F b F a que a F sofre quando se passa de x a para x b é igual à soma dos acréscimos F xi F xi 1 para i variando de 1 a 4 F b F a F x4 F x0 F x4 F x3 F x3 F x2 F x2 F x1 F x1 F x0 Isto é De modo geral se P a x0 x1 x2 xn b for uma partição de a b então EXEMPLO Sejam F e f definidas em a b e tais que F f em a b assim F é uma primitiva de f em a b Seja a partição P a x0 x1 x2 xn b de a b Prove que escolhendo convenientemente em xi 1 xi temse Solução Pelo que vimos acima Pelo TVM existe em xi 1 xi tal que e como F f em a b e Δxi xi xi 1 resulta Suponhamos no exemplo anterior que f seja contínua em a b e que os Δxi sejam suficientemente pequenos assim para qualquer escolha de ci em xi 1 xi f ci deve diferir muito pouco de f É razoável então que nestas condições seja uma boa avaliação para o acréscimo F b F a isto é É razoável ainda esperar que a aproximação acima será tanto melhor quanto menores forem os Δxi Veremos mais adiante que no caso de f ser contínua em a b em que máx Δxi indica o maior número do conjunto Δxi i 1 2 n O sentido em que tal limite deve ser considerado será esclarecido na próxima seção Observe que máx Δxi 0 implica que todos os Δxi tendem também a zero Vejamos uma versão cinemática do que dissemos anteriormente Consideremos uma partícula deslocandose sobre o eixo 0x com função de posição x x t e com velocidade v v t contínua em a b Observe que x x t é uma primitiva de v v t Seja a t0 t1 t2 tn b uma partição de a b e suponhamos máx Δti suficientemente pequeno o que implica que todos os Δti são suficientemente pequenos Sendo ci um instante qualquer entre ti 1 e ti a velocidade v ci é um 113 valor aproximado para a velocidade média entre os instantes ti 1 e ti observe que pelo TVM existe um instante entre ti 1 e ti tal que Δxi v Δti onde Δxi é o deslocamento da partícula entre os instantes ti 1 e ti Como a soma dos deslocamentos Δxi para i variando de 1 a n é igual ao deslocamento x b x a resulta É razoável esperar que à medida que as amplitudes Δti tendam a zero a soma tenda a x b x a INTEGRAL DE RIEMANN DEFINIÇÃO Sejam f uma função definida em a b e L um número real Dizemos que tende a L quando máx Δxi 0 e escrevemos se para todo 0 dado existir um δ 0 que só dependa de mas não da particular escolha dos ci tal que para toda partição P de a b com máx Δxi δ Tal número L que quando existe é único verifique denominase integral de 114 a b c d a Riemann de f em a b e indicase por Então por definição Se existe então diremos que f é integrável segundo Riemann em a b É comum referirmonos a como integral definida de f em a b Observação Pomos ainda por definição PROPRIEDADES DA INTEGRAL Teorema Sejam f g integráveis em a b e k uma constante Então f g é integrável em a b e kf é integrável em a b e Se f x 0 em a b então Se c a b e f é integrável em a c e em c b então Demonstração Para toda partição P de a b e qualquer que seja a escolha de ci em xi 1 xi Da integrabilidade de f e g segue que dado 0 existe δ 0 tal que e para toda partição P de a b com máx Δxi δ Logo para toda partição P de a b com máx Δxi δ Assim ou seja f g é integrável e b Fica como exercício c Como f x 0 em a b para toda partição P de a b e qualquer que seja a escolha dos ci Se tivéssemos tomandose 0 tal que existiria um δ 0 tal que para toda partição P de a b com máx Δxi δ Assim para alguma partição P teríamos que é uma contradição d Para toda partição P de a b com c P temos Como por hipótese f é integrável em a c e em c b dado 0 existe δ 0 tal que para toda partição P de a b com c P e máx Δxi δ 115 e e portanto Segue então da integrabilidade de f em a b que Por quê 1º TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO De acordo com a definição de integral se f for integrável em a b o valor do limite será sempre o mesmo independentemente da escolha dos ci e igual a Assim se para uma particular escolha dos ci tivermos então teremos Suponhamos agora que f seja integrável em a b e que admita uma primitiva f x em a b isto é Fx f x em a b Seja P a x0 x1 x2 xn b uma partição qualquer de a b Já vimos que veja exemplo da Seção 112 Segue então do TVM que para uma conveniente escolha de em xi 1 xi teremos ou Se para cada partição P de a b os forem escolhidos como em ① teremos e portanto Fica provado assim o 1º teorema fundamental do cálculo Se f for integrável em a b e se F for uma primitiva de f em a b então Provaremos mais adiante veja Apêndice 4 que toda função contínua em a b é integrável em a b por ora vamos admitir e utilizar tal resultado Segue então do 1º teorema fundamental do cálculo que se f for contínua em a b e F uma primitiva de f em a b então A diferença F b F a será indicada por assim EXEMPLO 1 Calcule Solução é uma primitiva de f x x2 e f é contínua em 1 2 assim ou seja EXEMPLO 2 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 3 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 4 Calcule Solução Assim EXEMPLO 5 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 6 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 7 Calcule Solução Exercícios 115 Calcule 13 1 to 2 1x² x dx 14 0 to 4 x 15 1 to 4 1x dx 16 0 to 8 ³x dx 17 0 to 1 x³ 2x 3 dx 18 0 to 1 ⁸x dx 19 1 to 2 x³ x 1x³ dx 20 0 to 1 x ⁴x dx 21 1 to 3 5 1x² dx 22 3 to 3 x³ dx 23 1 to 1 x⁷ x³ x dx 24 12 to 1 x 3 dx 25 1 to 4 5x x dx 26 1 to 0 x⁷ x 3 dx 27 1 to 2 1 xx³ dx 28 0 to 1 x 1² dx 29 1 to 4 1 xx dx 30 0 to 1 x 3² dx 31 0 to 2 t² 3t 1 dt 32 1 to 2 1 t²t⁴ dt 33 12 to 1 s 2 ds 34 0 to 3 u² 2u 3 du 35 1 to 2 s² 3s 1 ds 36 1 to 1 ³t dt 37 1 to 3 1 1x dx 38 1 to 2 1 3x²x dx 39 π2 to π3 cos 2x dx 40 0 to π sen 3x dx 41 1 to 1 e²ˣ dx 42 0 to 1 11 t² dt 43 π4 to 0 sen x dx 44 0 to 1 e²ˣ dx 116 CÁLCULO DE ÁREAS Seja f contínua em a b com f x 0 em a b Estamos interessados em definir a área do conjunto A do plano limitado pelas retas x a x b y 0 e pelo gráfico de y f x Seja então P a x0 x1 x2 xn b uma partição de a b e sejam e em xi 1 xi tais que f é o valor mínimo e f o valor máximo de f em xi 1 xi Uma boa definição para área de A deverá implicar que a soma de Riemann seja uma aproximação por falta da área de A e que seja uma aproximação por excesso isto é Como as somas de Riemann mencionadas tendem a quando máx Δxi 0 nada mais natural do que definir a área de A por Da mesma forma definese área de A no caso em que f é uma função integrável qualquer com f x 0 em a b EXEMPLO 1 Calcule a área do conjunto do plano limitado pelas retas x 0 x 1 y 0 e pelo gráfico de f x x2 Solução área EXEMPLO 2 Calcule a área do conjunto Solução A é o conjunto do plano limitado pelas retas x 1 x 2 y 0 e pelo gráfico de As situações que apresentamos a seguir sugerem como estender o conceito de área para uma classe mais ampla de subconjuntos do ℝ2 Seja A o conjunto hachurado Observe soma das áreas dos conjuntos acima do eixo 0x menos soma das áreas dos conjuntos abaixo do eixo 0x a b a f ci g ci Δxi área retângulo hachurado em que A é o conjunto limitado pelas retas x a x b e pelos gráficos de y f x e y g x com f x g x em a b EXEMPLO 3 Calcule a área da região limitada pelo gráfico de f x x3 pelo eixo x e pelas retas x 1 e x 1 Calcule Solução EXEMPLO 4 Calcule a área da região limitada pelas retas x 0 x 1 y 2 e pelo gráfico de y x2 Solução EXEMPLO 5 Calcule a área do conjunto de todos os pontos x y tais que Solução Download de livros em pdf httplivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Observe para cada x em 0 1 x y pertence ao conjunto se e somente se EXEMPLO 6 Calcule a área da região compreendida entre os gráficos de y x e y x2 com 0 x 2 Solução As curvas y x e y x2 interceptamse nos pontos de abscissas 0 e 1 Então Observação Os pontos em que as curvas y x e y x2 se interceptam são as soluções do sistema Consideremos agora uma partícula que se desloca sobre o eixo x com equação x x t e com velocidade v v t contínua em a b A diferença x b x a é o deslocamento da partícula entre os instantes a e b Como x t é uma primitiva de v t segue do 1º teorema fundamental do cálculo que Por outro lado definimos o espaço percorrido pela partícula entre os instantes a e b por Se v t 0 em a b o deslocamento entre os instantes a e b será igual ao espaço percorrido entre estes instantes que por sua vez será numericamente igual à área do conjunto A limitado pelas retas t a t b pelo eixo 0t e pelo gráfico de v v t a b Suponhamos agora por exemplo que v t 0 em a c e v t 0 em c b Neste caso o deslocamento entre os instantes a e b será enquanto o espaço percorrido entre estes instantes será EXEMPLO 7 Uma partícula deslocase sobre o eixo x com velocidade v t 2 t Calcule o deslocamento entre os instantes t 1 e t 3 Discuta o resultado encontrado Calcule o espaço percorrido entre os instantes 1 e 3 Solução b Em 1 2 v t 0 o que significa que no intervalo de tempo 1 2 a partícula avança no sentido positivo em 2 3 v t 0 o que significa que neste intervalo de tempo a partícula recua de tal modo que no instante t 3 ela volta a ocupar a mesma posição por ela ocupada no instante t 1 O espaço percorrido entre os instantes t 1 e t 3 é Observe que o espaço percorrido entre os instantes 1 e 2 é e que o espaço percorrido entre os instantes 2 e 3 é Exercícios 116 Nos Exercícios de 1 a 22 desenhe o conjunto A dado e calcule a área 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 16 17 14 A é o conjunto do plano limitado pelas retas x 1 x 3 pelo eixo 0x e pelo gráfico de y x3 A é o conjunto do plano limitado pelas retas x 1 x 4 y 0 e pelo gráfico de A é o conjunto de todos x y tais que x2 1 y 0 A é o conjunto de todos x y tais que 0 y 4 x2 A é o conjunto de todos x y tais que 0 y sen x com 0 x 2π A é a região do plano compreendida entre o eixo 0x e o gráfico de y x2 x com 0 x 2 A é o conjunto do plano limitado pela reta y 0 e pelo gráfico de y 3 2x x2 com 1 x 2 A é o conjunto do plano limitado pelas retas x 1 x 2 y 0 e pelo gráfico de y x2 2x 5 A é o conjunto do plano limitado pelo eixo 0x pelo gráfico de y x3 x 1 x 1 A é o conjunto do plano limitado pela reta y 0 e pelo gráfico de y x3 x com 0 x 2 A é o conjunto do plano limitado pelas retas x 0 x π y 0 e pelo gráfico de y cos x A é o conjunto de todos x y tais que x 0 e x3 y x A é o conjunto do plano limitado pela reta y x pelo gráfico de y x3 com 1 x 1 A é o conjunto do plano limitado pelas retas x 0 e pelos gráficos de y sen x e y cos x A é o conjunto de todos os pontos x y tais que x2 1 y x 1 A é o conjunto de todos os pontos x y tais que x2 1 y x 1 18 19 20 21 22 23 a b c 24 25 26 117 A é o conjunto do plano limitado pelas retas x 0 e pelos gráficos de y cos x e y 1 cos x A x y ℝ2 x 0 e x3 x y x2 5x A é o conjunto do plano limitado pelos gráficos de y x3 x y sen πx com 1 x 1 A é o conjunto de todos os pontos x y tais que x 0 e x y x x2 A é o conjunto de todos x y tais que x 0 e Uma partícula deslocase sobre o eixo x com velocidade v t 2t 3 t 0 Calcule o deslocamento entre os instantes t 1 e t 3 Qual o espaço percorrido entre os instantes t 1 e t 3 Descreva o movimento realizado pela partícula entre os instantes t 1 e t 3 Uma partícula deslocase sobre o eixo 0x com velocidade v t sen 2t t 0 Calcule o espaço percorrido entre os instantes t 0 e t π Uma partícula deslocase sobre o eixo 0x com velocidade v t t2 t t 0 Calcule o espaço percorrido entre os instantes t 0 e t 2 Uma partícula deslocase sobre o eixo 0x com velocidade v t t2 2t 3 t 0 Calcule o espaço percorrido entre os instantes t 0 e t 4 MUDANÇA DE VARIÁVEL NA INTEGRAL Veremos no Vol 2 que toda função contínua num intervalo I admite neste intervalo uma primitiva Por ora vamos admitir tal resultado e usálo na demonstração do próximo teorema Teorema Seja f contínua num intervalo I e sejam a e b dois reais quaisquer em I Seja g c d I com g contínua em c d tal que g c a e g d b Nestas condições Demonstração Como f é contínua em I segue que f admite uma primitiva F em I Assim A função H u F g u u c d é uma primitiva de f g u g u de fato Hu F g u F g u gu ou seja Hu f g u gu pois F f Segue que Por hipótese g d b e g c a Tendo em vista ① resulta EXEMPLO 1 Calcule Download de livros em pdf httplivrospdfcienciasexatasblogspotcombr Solução Façamos x 1 u ou seja x u 1 EXEMPLO 2 Calcule Solução Façamos u 2x 1 ou Assim Observação Poderíamos também ter feito a mudança de variável 2x 1 u2 ou Como u está variando em 0 1 u u daí Se em vez de u 1 tivéssemos tomado u 1 teríamos Como u está variando agora no intervalo 1 0 u u assim Observe que tanto u 0 1 quanto u 1 0 satisfazem as condições do teorema de mudança de variável Às vezes com pequenos ajustes a integral a ser calculada pode ser colocada na forma Neste caso a mudança de variável u g x x c d transforma a integral du na anterior EXEMPLO 3 Calcule Solução Multiplicando o integrando por 3 e dividindo a integral por 3 nada muda EXEMPLO 4 Calcule Solução Fazendo u x2 1 du 2x dx Vamos então multiplicar o integrando por 2 e dividir a integral por 2 ou seja EXEMPLO 5 Calcule Solução Antes de passarmos ao próximo exemplo observamos que o valor da integral de f em a b não depende do símbolo que se usa para representar a variável independente EXEMPLO 6 Seja f uma função ímpar e contínua em r r r 0 Mostre que Solução f ímpar f x f x em r r Façamos a mudança de variável u x Como f u f u resulta mas veja observação acima logo ou seja e portanto EXEMPLO 7 Calcule Solução é uma função ímpar pois Pelo exemplo anterior EXEMPLO 8 Calcule Solução Aqui é conveniente a mudança u x 1 De u x 1 segue x u 1 Então Assim 1 to 0 x² x 1 dx u7272 2 u5252 u323201 16105 Exercícios 117 1 Calcule a 1 to 2 x 2⁵ dx b 0 to 1 3x 1⁴ dx c 0 to 1 3x 1 dx d 1 to 0 2x 5³ dx e 3 to 4 ³5 x dx f 1 to 2 23x 2³ dx g 0 to 1 1x 1⁵ dx h 2 to 1 34 x dx i 0 to 2 e²ˣ dx j 0 to 1 x eˣ² dx l 1 to 0 x x 1 dx m 0 to π3 cos 2x dx n 0 to 1 x²1 x³ dx o 0 to 1 x²1 x³² dx p 1 to 0 x² 1 x³ dx q 1 to 3 25 3x dx r 1 to 1 ³x 1 dx s 0 to 1 xx 1⁵ dx t 1 to 0 xx 1¹⁰ dx u 1 to 2 x² x 2¹⁰ dx 2 3 4 5 6 7 Suponha f contínua em 2 0 Calcule sabendo que Suponha f contínua em 1 1 Calcule sabendo que Suponha f contínua em 0 4 Calcule Calcule Calcule a área do conjunto dado c A é o conjunto do plano limitado pela reta x 1 e pelos gráficos de y e 2x e y ex com x 0 Calcule 8 9 a b 10 Um aluno precipitado ao calcular a integral raciocinou da seguinte forma fazendo a mudança de variável u 1 x2 os novos extremos de integração seriam iguais a 2 x 1 u 2 x 1 u 2 e assim a integral obtida após a mudança de variável seria igual a zero e portanto Onde está o erro Seja f uma função par e contínua em r r r 0 Lembrese f par f x f x Mostre que Conclua de a que Interprete graficamente Suponha f contínua em a b Seja g c d ℝ com g contínua em c d g c a e g d b Suponha ainda que g u 0 em c d Seja c u0 u1 u2 un d uma partição de c d e seja a x0 x1 x2 xn b partição de a b em que xi g ui para i variando de 0 a n a b c d 118 Mostre que para todo i i 1 2 n existe em ui 1 ui tal que Conclua de a que em que Mostre que existe M 0 tal que Δxi M Δui para i variando de 0 a n Conclua que ou seja TRABALHO Nesta seção admitiremos que o leitor já saiba o que é um vetor Consideremos então um eixo 0s e indiquemos por o vetor de comprimento unitário determinado pelo segmento orientado de origem 0 e extremidade 1 Seja α um número real α é um vetor paralelo a O número a é a componente de na direção Se α 0 α tem o mesmo sentido que se α 0 α tem sentido contrário ao de Suponhamos agora que uma força constante α atua sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0s entre as posições s s1 e s s2 com s1 e s2 quaisquer Definimos o trabalho τ realizado por de s1 a s2 por τ α s2 s1 Assim o trabalho realizado pela força constante α de s1 a s2 é por definição o produto da componente de na direção do deslocamento isto é na direção pelo deslocamento Temos os seguintes casos 1 α 0 e s2 s1 τ 0 2 α 0 e s2 s1 τ 0 Neste caso atua contra o movimento é uma força de resistência ao movimento 3 α 0 e s2 s1 τ 0 realiza um trabalho de resistência ao movimento τ 0 4 α 0 e s2 s1 τ 0 atua a favor do movimento τ 0 Suponhamos agora que sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0s atua uma força constante de intensidade F mas não paralela ao deslocamento em que θ é contado no sentido antihorário de 0s para O trabalho τ realizado por de s1 a s2 é então por definição τ F cos θ s2 s1 em que F cos θ é a componente de na direção do deslocamento Observação No Sistema Internacional de Unidades SI a unidade de comprimento é o metro m a de tempo o segundo s a de massa o quilograma kg a de força o Newton N e a de trabalho o Joule J Sempre que deixarmos de mencionar as unidades adotadas ficará implícito que se trata do sistema SI EXEMPLO 1 Sobre um bloco em movimento atua uma força constante paralela ao deslocamento e a favor do movimento Supondo que a força tenha intensidade de 10 N calcule o trabalho por ela realizado quando o bloco se desloca de x 2 m a x 10 m Solução O trabalho τ realizado por é τ 10 10 2 80 J EXEMPLO 2 Um bloco de massa 10 kg desliza sobre um plano inclinado da altura de 5 m até o solo O plano inclinado forma com o solo um ângulo de 30º Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional Suponha a aceleração gravitacional constante e igual a 10 ms2 Solução Pela lei de Newton a intensidade de é Mg em que M é a massa do bloco e g a aceleração gravitacional A componente de na direção do deslocamento é Mg cos 60º O trabalho τ realizado por é τ Mg cos 60º s2 s1 s2 é o comprimento da hipotenusa do triângulo retângulo ABC s2 sen 30º 5 ou s2 10 Como cos M 10 e g 10 resulta τ 500 J EXEMPLO 3 Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x agem duas forças e Calcule os trabalhos realizados por elas no deslocamento de x 1 a x 5 Supondo que e são as únicas forças agindo sobre a partícula calcule o trabalho realizado no deslocamento mencionado pela resultante Solução As forças são paralelas ao deslocamento Trabalho realizado por τ1 10 5 1 40 J Trabalho realizado por τ2 3 5 1 12 J Trabalho realizado pela resultante ou seja τ 7 5 1 28 J EXEMPLO 4 Uma partícula de massa 5 kg é lançada verticalmente Calcule o trabalho realizado pela força gravitacional quando a partícula se desloca da altura y 1 m a y 5 m Solução Pela lei de Newton a força gravitacional é dada por em que M é a massa da partícula e g a aceleração da gravidade que suporemos constante e igual a 10 ms2 Observe que é paralela ao deslocamento O trabalho τ realizado por é então τ Mg 5 1 ou τ 200 J Nosso objetivo a seguir é definir trabalho realizado por uma força variável com a posição Suponhamos então que sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x atua uma força paralela ao deslocamento e variável com a posição x Observe que f x é a componente de na direção do deslocamento Vejamos então como definir o trabalho realizado por no deslocamento de x a a x b Suponhamos por um momento a b e f x contínua em a b Seja P a x0 x1 x2 xn b uma partição de a b Supondo máx Δxi suficientemente pequeno e tendo em conta a continuidade de f o trabalho realizado de xi 1 a xi i 1 2 n deverá ser aproximadamente por outro lado é razoável esperar que a soma de Riemann deva ser um valor aproximado para o trabalho realizado por no deslocamento de x a a x b e que esta aproximação seja tanto melhor quanto menor for máx Δxi Nada mais natural então do que definir o trabalho τ realizado por no deslocamento de x a a x b por Na definição acima a e b podem ser quaisquer e f x integrável no intervalo fechado de extremidades a e b Observe que se a b e f x 0 em a b o trabalho realizado por de x a a x b é numericamente igual à área do conjunto do plano limitado pelas retas x a x b y 0 e pelo gráfico de y f x EXEMPLO 5 Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0x atua uma força paralela ao deslocamento e de componente Calcule o trabalho realizado pela força no deslocamento de x 1 a x 2 Solução O trabalho realizado por de x 1 a x 2 é EXEMPLO 6 Considere uma mola com uma das extremidades fixa a b e suponha que a origem x 0 coincida com a extremidade livre da mola quando esta se encontra em seu estado normal não distendida Se a mola for distendida ou comprimida até que sua extremidade livre se desloque à posição x a mola exercerá sobre o agente que a deforme uma força cujo valor em boa aproximação será no qual k é uma constante denominada constante elástica da mola Suponha agora que a mola seja distendida e presa na sua extremidade livre uma partícula Supondo k 5 calcule o trabalho realizado pela mola quando a partícula se desloca da posição x 02 a x 0 x 02 a x 02 Solução EXEMPLO 7 Relação entre trabalho e energia cinética Uma partícula de massa m deslocase sobre o eixo x com função de posição x x t em que x t é suposta derivável até a 2ª ordem em t0 t1 Suponha que a componente na direção do deslocamento da força resultante que atua sobre a partícula seja f x com f contínua em x0 x1 em que x0 x t0 e x1 x t1 Verifique que o trabalho realizado pela resultante de x0 a x1 é igual à variação na energia cinética isto é 1 em que v0 e v1 são respectivamente as velocidades nos instantes t0 e t1 Solução Pela Lei de Newton força massa aceleração f x t ma t em que a t é a aceleração no instante t Assim Fazendo na última integral a mudança de variável v v t Observação Se v é a velocidade no instante é por definição a energia cinética da partícula no instante t Exercícios 118 Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x atua uma força cuja componente na direção do deslocamento é f x Calcule o trabalho realizado pela força quando a partícula se desloca de x a a x b sendo dados a b c d 2 a b c d e 3 a b c d 4 f x 3 a 0 e b 2 f x x a 1 e b 3 f x 3x a 1 e b 1 Uma partícula de massa m 2 deslocase sobre o eixo 0x sob a ação da força resultante Sabese que x 0 1 e v 0 0 Verifique que para todo t 0 em que x x t e v v t Calcule o módulo da velocidade da partícula quando esta se encontrar na posição x 0 Qual o máximo valor de x Qual o mínimo valor de x Em que posição v é mínimo Como você acha que deve ser o movimento descrito pela partícula Uma partícula de massa m 1 deslocase sobre o eixo x sob a ação da força resultante Sabese que no instante t 0 a partícula encontrase na posição x 1 e que neste instante a velocidade é v 2 Verifique que para todo t 0 x2 v2 5 em que x x t e v v t Qual o máximo valor de x Qual o mínimo valor de x Em que posição v é máximo Em que posição v é mínimo Uma partícula de massa m 5 deslocase sobre o eixo 0x sob a ação da força resultante Sabese que no instante t 2 a posição é x 0 e a velocidade v 4 a b c d 5 6 7 a b 8 a b 9 Expresse o módulo de v em função de x Qual o máximo valor de v Qual o máximo valor de x Em que posições a velocidade é zero Uma partícula de massa m 2 deslocase sobre o eixo 0x sob a ação da força resultante Sabese que x 0 1 e v 0 0 Expresse v em função de x Uma partícula de massa m deslocase sobre o eixo 0x com aceleração constante a de sorte que a força resultante sobre a partícula é pela Lei de Newton ma Sejam x0 e v0 a posição e a velocidade no instante t 0 Mostre que para todo t 0 em que x x t e v v t Um corpo de massa m é lançado verticalmente Seja y y t a altura no instante t considere o eixo vertical 0y orientado do solo para cima Suponha y 0 0 e v 0 v0 Suponha ainda que a única força agindo sobre o corpo seja a gravitacional mg em que g é a aceleração gravitacional suposta constante Verifique que Qual a altura máxima atingida pelo corpo Uma partícula de massa m 2 deslocase sobre o eixo 0x sob a ação da força resultante Suponha x0 1 e v 0 v0 0 Relacione v com x Determine o menor valor de v0 para que a partícula não retorne à posição inicial x 1 De acordo com a lei da gravitação de Newton a Terra massa M atrai uma partícula de massa m com uma força de intensidade G é a constante gravitacional 10 11 a b 12 em que r é a distância da partícula ao centro da Terra Suponha agora que a partícula seja lançada da superfície da Terra com uma velocidade inicial v0 0 e que a única força atuando sobre ela seja a gravitacional Mostre que o menor valor de v0 para que a partícula não retorne à Terra é em que M e R são respectivamente a massa e o raio da Terra Despreze a rotação da Terra Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0x atua uma força de intensidade 3x e que forma com o eixo 0x um ângulo constante de 30º Calcule o trabalho realizado por quando a partícula se desloca de x 0 a x 3 Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo x atua uma força de intensidade constante e igual a 3 N e que forma com o eixo 0x um ângulo de x radianos Calcule o trabalho realizado por quando a partícula se desloca de x 0 a de x 0 a x π Interprete o resultado Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo 0x atua uma força sempre dirigida para o ponto P veja figura e cuja intensidade é igual ao inverso do quadrado da distância da partícula a P 13 Calcule o trabalho realizado por quando a partícula se desloca de x 2 a x 1 Uma mola AB de constante k está presa ao suporte A e a um corpo B de massa m O comprimento normal da mola é l Desprezando o atrito entre o corpo B e a barra horizontal mostre que a aceleração a do corpo B é dada por em todo instante t em que v 0 121 12 TÉCNICAS DE PRIMITIVAÇÃO PRIMITIVAS IMEDIATAS Sejam α 0 e c constantes reais Das fórmulas de derivação já vistas seguem as seguintes de primitivação EXEMPLO 1 Calcule Solução d Antes de passarmos ao próximo exemplo lembramos que o domínio da função que ocorre no integrando de f x dx deve ser sempre um intervalo quando nada for mencionado a respeito do domínio de f ficará implícito que se trata de um intervalo EXEMPLO 2 Calcule Solução Para x 0 Para x 0 Portanto para todo x 0 Aqui o domínio não foi explicitado tanto pode ser um intervalo contido em 0 como em 0 Em qualquer caso EXEMPLO 3 Seja α 0 uma constante Calcule Solução Se α 1 Se α 1 Assim EXEMPLO 4 Calcule Solução ou seja EXEMPLO 5 Calcule Solução EXEMPLO 6 Verifique que Solução Pela observação que fizemos anteriormente o domínio de f x tg x deve ser um intervalo I pois neste problema tg x aparece como um integrando Neste intervalo temos cos x 0 para todo x em I ou cos x 0 para todo x I por quê Se cos x 0 Se cos x 0 Em qualquer caso EXEMPLO 7 Seja α 0 uma constante Verifique que Solução Assim EXEMPLO 8 Calcule Solução EXEMPLO 9 Calcule 1 Solução cos 2x cos2 x sen2 x 2 cos2 x 1 Então ou seja Exercícios 121 Calcule e verifique sua resposta por derivação 2 3 Calcule Calcule e verifique sua resposta por derivação 4 5 b 6 7 8 9 b Calcule a Verifique que sen2 Calcule Calcule Calcule Calcule a Verifique que Mostre que 10 11 b 12 13 b 14 Calcule a Determine α e β de modo que Calcule Calcule a Determine α e β de modo que Calcule Calcule 15 16 17 122 Calcule Calcule Sejam m e n naturais Calcule TÉCNICA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL INDEFINIDA DA FORMA Sejam f e g tais que Im g Df com g derivável Suponhamos que F seja uma primitiva de f isto é F f Segue que F g x é uma primitiva de f g x gx de fato F g x Fg x gx f g x gx Deste modo de segue Antes de passarmos aos exemplos observamos que tendo em vista resulta para α 0 o que significa que multiplicando o integrando por uma constante α e em seguida dividindo tudo por α nada muda EXEMPLO 1 Calcule Solução Fazendo u x2 du 2x dx Então Como resulta EXEMPLO 2 Calcule Solução u 3x du 3dx ou seja EXEMPLO 3 Calcule Solução u 2x 1 du 2dx Como resulta EXEMPLO 4 Calcule Solução u 1 x2 du 2x dx Como resulta EXEMPLO 5 Calcule Solução Fazendo u 3x 2 du 3dx Assim Segue que EXEMPLO 6 Calcule Solução Se fizermos u 1 x4 teremos du 4x3 dx Como 4x2 não é constante Isto nos mostra que a mudança u 1 x4 não resolve o problema Entretanto se fizermos u x2 teremos du 2x dx assim Como resulta Observação Note que x dx dentro da integral já nos sugere u x2 EXEMPLO 7 Calcule Solução Fazendo u 1 x2 du 2x dx Assim ou seja EXEMPLO 8 Calcule Solução Fazendo u 1 x2 teremos du 2x dx e x2 u 1 Assim Como resulta EXEMPLO 9 Calcule Solução A mudança u sen x implica du cos x dx ou seja EXEMPLO 10 Calcule Solução u cos x du sen x dx ou seja EXEMPLO 11 Calcule Solução sen4 x cos3 x sen4 x cos2 x cos x sen4 x 1 sen2 x cos x Fazendo u sen x du cos x dx Então Assim EXEMPLO 12 Calcule Solução Fazendo u 1 x3 du 3x2 dx assim ou seja Fazendo u 1 x3 du 3x2 dx assim ou seja EXEMPLO 13 Calcule Solução Fazendo Assim Como resulta Assim Fazendo Assim logo ou seja 1 EXEMPLO 14 Verifique que Solução u sec x tg x du sec x tg x sec2 x dx Assim ou seja Exercícios 122 Calcule 2 3 Calcule veja a Seção 117 Calcule 4 5 6 Calcule Suponha α β m e n constantes com a β Mostre que existem constantes A e B tais que Utilizando o Exercício 5 calcule 7 8 9 10 Seja a 0 uma constante Verifique que Calcule Sejam α 0 e β constantes Verifique que Calcule 123 INTEGRAÇÃO POR PARTES Suponhamos f e g definidas e deriváveis num mesmo intervalo I Temos f x g x fx g x f x gx ou f x gx f x g x fx g x Supondo então que fx g x admita primitiva em I e observando que f x g x é uma primitiva de f x g x então f x gx também admitirá primitiva em I e que é a regra de integração por partes Fazendo u f x e v g x teremos du fx dx e dv gx dx o que nos permite escrever a regra ① na seguinte forma usual Suponha agora que se tenha que calcular α x β x dx Se você perceber que multiplicando a derivada de uma das funções do integrando por uma primitiva da outra chegase a uma função que possui primitiva imediata então aplique a regra de integração por partes EXEMPLO 1 Calcule Solução A derivada de x é 1 sen x é uma primitiva de cos x Como 1 sen x tem primitiva imediata a regra de integração por partes resolve o problema Assim ou seja EXEMPLO 2 Calcule Solução O truque aqui é acabar com arc tg x vamos então derivar arc tg x e achar uma primitiva de 1 Assim ou seja EXEMPLO 3 Calcule Solução Assim Calculemos novamente por partes ou seja Substituindo ③ em ② vem EXEMPLO 4 Calcule Solução Fazendo f x ex e gx cos x obtemos cujo cálculo apresenta as mesmas dificuldades que ex cos x dx Se fizermos f x cos x e gx ex o problema é o mesmo Aparentemente não vale a pena aplicar a regra de integração por partes Mas veja Por outro lado ou Substituindo ⑤ em ④ e portanto ou seja O truque foi ter percebido que aplicando novamente a regra de integração por partes a Muito bem EXEMPLO 5 Calcule Solução Assim ou e portanto Como sen x cos resulta EXEMPLO 6 Calcule Solução Assim Como tg2 x sec2 x 1 resulta ou e portanto e como resulta Vejamos agora como fica a regra de integração por partes na integral definida integral de Riemann Sejam então f e g duas funções com derivadas contínuas em a b vamos provar que De fato de f x g x f x g x fx g x em a b segue ou seja EXEMPLO 7 Calcule Solução Assim ou seja EXEMPLO 8 Calcule Solução Assim ou seja 1 2 b 3 4 Exercícios 123 Calcule a Verifique que em que n 1 é um natural Calcule Verifique que para todo natural n 0 temse Utilizando o item a do Exercício 3 calcule 5 6 7 8 9 10 11 Calcule constante Verifique que para todo natural n 1 e todo real s 0 Calcule Sejam m e n dois naturais diferentes de zero Verifique que Verifique que para todo natural n 2 Verifique que para todo natural n 1 temse Suponha que g tenha derivada contínua em 0 e que g 0 0 Verifique que 12 13 124 Suponha f contínua em a b Verifique que Suponha f contínua em a b Conclua do Exercício 12 que MUDANÇA DE VARIÁVEL Seja f definida num intervalo I Suponhamos que x φ u seja inversível com inversa u θ x x I sendo φ e θ deriváveis então De fato de ① Fu f φ u φu então pois φ θ x x e φθ x θ x φ θ x 1 x φ u dx φ u du observando que após calcular a integral indefinida do 2º membro devese voltar à variável x através da inversa de φ EXEMPLO 1 Calcule Solução ou seja Observação A mudança x 1 u2 u 0 também é interessante veja que esta mudança elimina a raiz do integrando Faça os cálculos adotando esta mudança EXEMPLO 2 Calcule Solução Como 1 sen2 u cos2 u a mudança x sen u elimina a raiz do integrando Então Assim De x sen u segue u arc sen x e logo Antes de passarmos ao próximo exemplo faremos a seguinte observação supondo f integrável em a b e F f em a b pelo 1º Teorema Fundamental do Cálculo Observamos que continua válida se supusermos f integrável em a b F contínua em a b e F f em a b verifique EXEMPLO 3 Calcule Solução Pelo exemplo anterior arc é uma primitiva de em 0 1 Como F é contínua em 0 1 e integrável neste intervalo segue da observação acima que Observação arc é uma primitiva de 1 verifique Cuidado arc sen x e não são deriváveis em 1 e 1 No próximo exemplo vamos calcular novamente utilizando a fórmula de mudança de variável na integral definida EXEMPLO 4 Calcule Solução Observe que x g u sen u tem derivada contínua em g 0 sen 0 0 e Pelo teorema de mudança de variável na integral de Riemann logo Como cos u 0 daí cos u cos u Assim ou seja Observe que não houve necessidade de se retornar à variável x Observação importante Na mudança da variável na integral definida a mudança x g u u c d não precisa ser inversível o que precisa é g ser contínua g c a e g d b A ocorrência de raiz no integrando é algo muito desagradável se perceber uma mudança de variável que a elimine não vacile EXEMPLO 5 Indique em cada caso qual a mudança de variável que elimina a raiz do integrando Solução Como 1 tg2 θ sec2 θ a mudança x tg θ elimina a raiz do integrando A mudança 2x sen t ou sen t elimina a raiz do integrando ou elimina a raiz do integrando Então e portanto nenhuma mudança de variável é necessária x 1 sen u ou x 1 sen u resolve o problema Primeiro vamos expressar o radicando como uma soma de quadrados 2x x2 x2 2x x2 2x 1 1 ou seja 2x x2 1 x 12 Assim A mudança x 1 sen u resolve o problema x2 4x 3 x2 4x 3 x2 4x 4 1 ou seja x2 4x 3 1 x 22 A mudança de variável x 2 sen u resolve o problema x 1 tg u resolve o problema resolve o problema EXEMPLO 6 Calcule Solução assim Pelo Exemplo 6 da seção anterior Voltemos à variável x x tg u 1 x2 sec2 u como sec u 0 sec Então EXEMPLO 7 Calcule Solução assim EXEMPLO 8 Calcule a área do círculo de raio r Solução Temos ou seja Portanto 1 2 3 4 Exercícios 124 Calcule Calcule a área do conjunto de todos os x y tais que 4x2 y2 1 Calcule a área do conjunto de todos os x y tais que a 0 e b 0 Calcule 5 6 7 8 9 Sejam m e n constantes não nulas dadas Verifique que Com uma conveniente mudança de variável transforme a integral dada numa do tipo m e n constantes e calcule Calcule a área do conjunto de todos x y tais que x2 2y2 3 e y x2 Calcule a área do conjunto de todos x y tais que Indique uma mudança de variável que elimine a raiz do integrando 125 INTEGRAIS INDEFINIDAS DO TIPO Para calcular vamos precisar do seguinte teorema Teorema Sejam α β m e n reais dados com α β Então existem constantes A Demonstração Basta então mostrar que existem A e B tais que Este sistema admite solução única dada por Tomandose então A m e B mα n Observe que em cada fração que ocorre no teorema acima o grau do numerador é estritamente menor que o grau do denominador Vejamos agora como calcular em que P x é um polinômio Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador grau de P 2 pelo item a do teorema e assim Se o grau de P for maior ou igual ao do denominador precisamos antes extrair os inteiros em que Q x e R x são respectivamente o quociente e o resto da divisão de P x por x α x β Observe que o grau de R é estritamente menor que o grau do denominador Não se esqueça você só pode aplicar os resultados do teorema anterior quando o grau do numerador for estritamente menor que o do denominador Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador primeiro extraia os inteiros EXEMPLO 1 Calcule Solução x2 3x 2 x 1 x 2 O grau do numerador é menor que o do denominador Pelo item a do teorema existem constantes A e B tais que Já sabemos que A e B existem o problema é calculálos Para todo x devemos ter x 3 A x 2 B x 1 Fazendo x 1 4 A 1 2 ou A 4 Fazendo x 2 5 B 2 1 ou B 5 Assim ou seja EXEMPLO 2 Calcule Solução O grau do numerador é igual ao do denominador Primeiro precisamos extrair os inteiros assim Vamos agora determinar A e B tais que 3x A x 2 B x 1 Fazendo x 1 obtemos A 3 Fazendo x 2 obtemos B 6 Assim Portanto Para calcular é mais interessante fazer a mudança de variável u x α do que utilizar o item b do teorema EXEMPLO 3 Calcule Solução u x 1 x u 1 dx du Assim ou EXEMPLO 4 Calcule Solução u sen x du cos x dx Então De resulta e portanto Por outro lado então Ou seja Exercícios 125 Calcule 126 PRIMITIVAS DE FUNÇÕES RACIONAIS COM DENOMINADORES DO TIPO x α x β x γ A demonstração do próximo teorema é deixada para o final da seção Teorema Sejam α β γ m n p reais dados com α β γ distintos entre si Então existem constantes A B C tais que Observe que em cada fração que ocorre no teorema acima o grau do numerador é estritamente menor que o do denominador EXEMPLO 1 Calcule Solução O grau do numerador é maior que o do denominador Primeiro devemos extrair os inteiros assim Temos x3 x2 2x x x2 x 2 x x 1 x 2 3x2 4x 1 A x 1 x 2 Bxx 2 Cxx 1 Fazendo x 0 x 1 e x 2 obtemos B 0 e Assim ou seja EXEMPLO 2 Calcule Solução 1 é raiz de x3 x2 x 1 Então x3 x2 x 1 x 1 x2 1 x 12 x 1 2x 1 A x 12 B x 1 x 1 C x 1 Fazendo x 1 3 2C ou Fazendo x 1 1 4A ou Fazendo x 0 Assim ou seja Antes de provar o teorema enunciado no início da seção vamos mostrar que se m n p e α são reais dados então existem reais m1 n1 e p1 tais que a mx2 nx p m1 x α2 n1 x α p1 De fato fazendo x x α α vem em que m1 m n1 2αm n e p1 mα1 nα p A seguir faremos a demonstração do teorema mencionado acima Pelo que vimos na seção anterior existem constantes A1 e B1 tais que Segue que existem constantes A2 B2 A3 B3 tais que Assim em que A4 A2 B4 A3 e C4 B2 B3 Temos agora 1 2 b 3 Segue que existem constantes A B C por quê tais que Assim existem constantes A2 B2 C2 tais que Deixamos a seu cargo terminar a demonstração deste item Exercícios 126 Calcule a Determine A B C D tais que Calcule Calcule 127 PRIMITIVAS DE FUNÇÕES RACIONAIS CUJOS DENOMINADORES APRESENTAM FATORES IRREDUTÍVEIS DO 2º GRAU Vamos mostrar através de exemplos como calcular quando Δ b2 4ac 0 EXEMPLO 1 Calcule Solução Primeiro vamos escrever o denominador como soma de quadrados x2 2x 2 x2 2x 1 1 x 12 1 Assim Façamos agora a mudança de variável u x 1 du dx Então ou seja EXEMPLO 2 Calcule Solução Como o grau do numerador é igual ao do denominador primeiro vamos extrair os inteiros assim ou De x2 4x 13 x2 4x 4 9 x 22 32 segue Fazendo x 2 3u dx 3du ou seja Assim Vejamos agora como calcular integrais indefinidas do tipo em que P é um polinômio Δ b2 4ac 0 Para tal vamos precisar do Teorema Sejam m n p a b c e α números reais dados tais que Δ b2 4ac 0 Então existem constantes A B D tais que Demonstração Basta então mostrar que existem A B D tais que O determinante do sistema é ax2 bx c não admite raiz real O sistema acima admite então uma única solução EXEMPLO 3 Calcule Solução O grau do numerador é maior que o do denominador vamos então extrair os inteiros Assim Pelo teorema existem A B C tais que 8x2 x 1 A x2 2x 4 Bx C x 2 Fazendo x 2 35 12A ou Fazendo x 0 1 4A 2C ou Fazendo x 1 10 7A B C ou Assim Precisamos agora calcular Temos Conclusão Exercícios 127 Calcule 128 INTEGRAIS DE PRODUTOS DE SENO E COSSENO Nesta seção serão utilizadas as fórmulas a seguir cuja verificação deixamos a seu cargo sen a cos sena b sena b cos a cos cosa b cosa b sen a sen cosa b cosa b EXEMPLO 1 Calcule Solução Pela primeira fórmula acima a 3x e b 2x Daí EXEMPLO 2 Calcule Solução cos2 x cos x cos x Pela segunda fórmula acima a x e b x Daí EXEMPLO 3 Calcule Solução Como cos2x cos 2x pois o cosseno é função par resulta EXEMPLO 4 Calcule Solução De segue 1 Como o seno é função ímpar senx sen x e portanto Logo EXEMPLO 5 Calcule cos nx cos mxdx sendo m e n naturais não nulos Solução 1º CASO n m 2º CASOn m Conclusão Exercícios 128 Calcule 2 3 129 Calcule sendo m e n naturais não nulos Calcule sendo m e n naturais não nulos INTEGRAIS DE POTÊNCIAS DE SENO E COSSENO FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA Inicialmente vamos recordar as fórmulas EXEMPLO 1 Calcule Solução Fazendo u sen x e portanto du cos xdx resulta Logo EXEMPLO 2 Calcule Solução A mudança de variável u cos 3x implica du 3 sen 3xdx Temos então EXEMPLO 3 Calcule De cos2 resulta Portanto Para o cálculo das integrais recomendamos utilizar as fórmulas de recorrência que serão estabelecidas no próximo exemplo EXEMPLO 4 Seja n um número natural com n 2 Mostre que Solução a Vamos integrar por partes ou seja Passando para o primeiro membro o último termo e somando obtemos e portanto b Deixamos a cargo do leitor EXEMPLO 5 Calcule Solução Pela fórmula de recorrência temos Como resulta Vejamos agora como calcular integrais de produtos de potências de seno e cosseno Sejam m e n números naturais Se n for ímpar faça u cos x Se m for ímpar faça u sen x Se m e n forem pares não nulos faça sen2 x 1 cos2 x ou cos2 x 1 sen2 x e utilize as fórmulas de recorrência acima Ou então faça EXEMPLO 6 Calcule Solução Inicialmente vamos fazer a mudança de variável z 3x e portanto Segue que Vamos então ao cálculo de Como ambos os expoentes são ímpares podemos escolher a mudança de variável u cos z ou u sen z Vamos escolher a segunda Escolhendo u sen z du cos zdz Lembrando que cos2 z 1 sen2 z vem Portanto EXEMPLO 7 Calcule Solução 1º PROCESSO daí e portanto 2º PROCESSO Lembrando que sen 2x 2 sen x cos x e portanto temos 1 3º PROCESSO Fazendo sen2 x 1 cos2 x vem Pela fórmula de recorrência Subtraindo membro a membro as duas últimas igualdades resulta EXEMPLO 8 Calcule Solução Aqui a melhor alternativa é proceder como na seção anterior Temos De sen x cos segue Exercícios 129 Calcule 2 a b 3 1210 Seja f x uma função contínua Mostre que a mudança de variável u sen x transforma a integral Mostre que a mudança de variável u cos x transforma Utilizando o Exercício 2 calcule INTEGRAIS DE POTÊNCIAS DE TANGENTE E SECANTE FÓRMULAS DE RECORRÊNCIA Inicialmente vamos relembrar as seguintes fórmulas Para o cálculo de integrais de potências de tangente e de secante com expoente natural n n 2 utilizamse as seguintes fórmulas de recorrência EXEMPLO 1 Calcule Solução 1º PROCESSO portanto 2º PROCESSO Fazendo u cos x e portanto du sen xdx vem Portanto Observe que difere de por uma constante EXEMPLO 2 Calcule Solução Segue do formulário acima No próximo exemplo estabeleceremos a fórmula de recorrência para o cálculo de integrais de potências de tangente EXEMPLO 3 Sendo n um número natural n 2 mostre que Solução Portanto EXEMPLO 4 Calcule Solução Pela fórmula de recorrência Portanto EXEMPLO 5 Calcule Solução 1º PROCESSO Vamos utilizar a fórmula 6 do formulário dado no início da seção Temos Daí e portanto pela fórmula mencionada resulta 2º PROCESSO Expressando o integrando em termos de sen x e cos x Fazendo u cos x e portanto du sen xdx resulta e portanto EXEMPLO 6 Calcule Solução Para o cálculo de vamos utilizar integração por partes Temos Segue que Temos então e portanto Conclusão No próximo exemplo será estabelecida a fórmula de recorrência para o cálculo de integrais de potências de secantes EXEMPLO 7 Sendo n um número natural n 2 mostre que Solução Vamos proceder exatamente como no cálculo da integral de sec3 x efetuado no Exemplo 6 Temos daí e portanto Segue que Logo 1 2 Para finalizar a seção sugerimos a seguir como proceder no cálculo de produto de potências de tangente e secante Se m for ímpar proceda como no Exemplo 5 Se m for par expresse o integrando em potências de sec x como no Exemplo 6 e utilize a fórmula de recorrência para o cálculo de integrais de potências de sec x Exercícios 1210 Calcule Verifique que 3 1211 Calcule A MUDANÇA DE VARIÁVEL A mudança de variável é recomendável sempre que o integrando for da forma Q sen x cos x em que Q u v é um quociente entre dois polinômios nas variáveis u e v Se o integrando for da forma Q sen αx cos αx α constante sugerese a mudança Antes de passarmos aos exemplos vamos relembrar duas identidades trigonométricas importantes Assim Por outro lado ou seja Observe que EXEMPLO 1 Calcule Solução Assim Como resulta Assim Por outro lado Portanto EXEMPLO 2 Calcule Solução Fazendo a mudança de variável Como resulta ou seja Como resulta Exercícios 1211 Calcule 1 cos x4 sen² x dx 2 1sen x cos x dx 3 sen 2x1 cos x dx 4 2 tg x2 3 cos x dx 5 13 cos x sen x dx 6 12 sen x dx 131 13 MAIS ALGUMAS APLICAÇÕES DA INTEGRAL COORDENADAS POLARES VOLUME DE SÓLIDO OBTIDO PELA ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO x DE UM CONJUNTO A Seja f contínua em a b com f x 0 em a b seja B o conjunto obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A do plano limitado pelas retas x a e x b pelo eixo x e pelo gráfico de y f x Estamos interessados em definir o volume V de B Seja Pa x0 x1 x2 xi 1 xi xn b uma partição de a b e respectivamente pontos de mínimo e de máximo de f em xi 1 xi Na figura da página anterior Temos volume do cilindro de altura Δxi e base de raio cilindro de dentro volume do cilindro de altura Δxi e base de raio cilindro de fora Uma boa definição para o volume de V deverá implicar para toda partição P de a b Para máx Δxi 0 as somas de Riemann que comparecem nas desigualdades tendem a nada mais natural então do que definir o volume V de B por ou EXEMPLO 1 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de todos os pares x y tais que x2 y2 r2 y 0 r 0 Solução x2 y2 r2 y 0 é um semicírculo de raio r Pela rotação deste semicírculo em torno do eixo x obtemos uma esfera de raio r Temos Segue que o volume pedido é EXEMPLO 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de todos os pares x y tais que 1 x 2 Solução O que queremos é o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto hachurado O volume V pedido é igual a V2 V1 em que V2 e V1 são respectivamente os volumes obtidos pela rotação em torno do eixo x dos conjuntos A2 e A1 hachurados Deste modo o volume V pedido é O próximo exemplo é um caso particular do teorema de Papus Papus de Alexandria IV século dC para volume de sólido obtido pela rotação em torno de um eixo de uma figura plana que não intercepta o eixo Tal teorema nos diz que sob determinadas condições o volume do sólido obtido pela rotação em torno de um eixo de uma figura plana que não intercepta tal eixo é igual ao produto da área da figura pelo comprimento da circunferência gerada na rotação pelo baricentro ou centro de massa da figura Veja Exercício 3 Seção 139 EXEMPLO 3 Considere um retângulo situado no semiplano y 0 e com um lado paralelo ao eixo x Seja P a interseção das diagonais Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x é igual ao produto da área do retângulo pelo comprimento da circunferência gerada na rotação pelo ponto P Solução Consideremos o retângulo a x b e 0 c y d O volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x deste retângulo é ou seja V π d2 c2b a e portanto em que é o comprimento da circunferência gerada pelo ponto P e d cb a é a área do retângulo Observe que o resultado expresso neste exemplo continua válido se as expressões semiplano y 0 e em torno do eixo x forem substituídas respectivamente por semiplano x 0 e em torno do eixo y Antes de prosseguirmos vamos destacar o 2º Teorema Fundamental do Cálculo ou simplesmente Teorema Fundamental do Cálculo cuja prova é deixada para o Vol 2 Seja g uma função contínua em um intervalo I e a um ponto de I a fixo Assim para cada x em I existe Podemos então considerar a função que a cada x em I associa o número Pois bem o 2º Teorema Fundamental do Cálculo nos diz que é uma primitiva de gx em I Vejamos como podemos nos convencer desse fato Conforme veremos no Vol 2 sendo g contínua em I existirá G tal que para todo x em I Gx gx Pelo 1º Teorema Fundamental do Cálculo daí e lembrando que Ga é constante resulta para todo x em I e portanto Agora podemos prosseguir Seja f x 0 e contínua em a b para cada x em a b é o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto hachurado Sendo f contínua em a b π f x2 também será contínua neste intervalo Daí pelo 2º Teorema Fundamental do Cálculo 1 a b d e g h i j l m 2 c f Assim dV π f x2 dx ou seja π f x2 dx nada mais é do que a diferencial do volume Vx Observe que a diferencial dV πf x2 dx é o volume do cilindro gerado na rotação em torno do eixo x pelo retângulo de base dx e altura f x dV é um valor aproximado para a variação ΔV em V correspondente à variação dx em x Então o volume do sólido de revolução em torno do eixo x do conjunto x ya x b 0 y f x é obtido calculandose a integral da diferencial do volume para x variando de a a b Exercícios 131 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto de todos os pares x y tais que 1 x 3 e 0 y x 2x2 y2 1 e y 0 y 0 1 x 2 e x2 y2 1 x2 y x 0 y x e x2 y2 2 y x2 e x2 y2 2 1 x2 y2 4 e y 0 x2 y 22 1 Teorema de Papus para a elipse Considere o conjunto A de todos os 3 132 pontos x y tais que e situado no semiplano y 0 Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A é igual ao produto da área da elipse pelo comprimento da circunferência gerada na rotação pelo centro α β desta elipse Considere um triângulo isósceles situado no semiplano y 0 e com base paralela ao eixo x Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação deste triângulo em torno do eixo x é igual ao produto da área deste triângulo pelo comprimento da circunferência gerada na rotação pelo baricentro do triângulo VOLUME DE SÓLIDO OBTIDO PELA ROTAÇÃO EM TORNO DO EIXO y DE UM CONJUNTO A Suponha f x 0 e contínua em a b com a 0 Seja A o conjunto do plano de todos os pares x y tais que a x b e 0 y f x Seja B o conjunto obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto A Nosso objetivo a seguir é mostrar que é razoável tomar para volume de B o número ou Seja P a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b uma partição de a b e seja ci o ponto médio de xi 1 xi Seja Ri o retângulo xi 1 x xi e 0 y fci Pelo teorema de Papus para retângulo o volume do sólido gerado pela rotação do retângulo Ri em torno do eixo y é Deste modo a soma de Riemann é um valor aproximado para o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto A Por outro lado pelo fato de f ser contínua temse Logo é razoável tomar ① para volume de B Veremos no Vol 3 que esta nossa atitude é correta Para uma prova de ① num caso particular veja Exercício 3 desta seção EXEMPLO 1 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos x y tais que 0 x 1 e 0 y x x3 Solução Já sabemos que dV 2π xfxdx é a diferencial de Agora observe que f xdx é a área do retângulo de altura f x e base dx e para dx suficientemente pequeno 2πx é aproximadamente o comprimento da circunferência gerada pelo baricentro do retângulo mencionado e daí pelo teorema de Papus para retângulos 2π xfxdx é aproximadamente o volume do invólucro cilíndrico obtido pela rotação em torno do eixo y de tal retângulo O volume obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto A é então a integral dessa diferencial para x variando de a até b ou seja Este método de determinar volume é às vezes denominado método dos invólucros cilíndricos ou método das cascas Vejamos agora uma outra fórmula que é do mesmo tipo daquela da seção anterior para calcular volume de sólido obtido pela rotação em torno do eixo y de um conjunto que não intercepta tal eixo Seja então B o conjunto B x y 0 x b c y d e y f x em que f é suposta contínua e estritamente crescente ou estritamente decrescente em a b com a 0 fa c e fb d Como y f x é contínua e estritamente crescente em a b então é inversível com inversa x gy contínua em c d em que c fa d f b e y f x x g y Raciocinando como na seção anterior o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto B é Observe que π x2dy é o volume do cilindro obtido pela rotação em torno do eixo y do retângulo de base x e altura dy Veja figura acima EXEMPLO 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos os pares x y tais que x2 y 4 x 0 Solução Temos Segue que Volume E portanto Volume Observação Este volume poderia também ter sido calculado utilizandose a fórmula anterior Neste caso o volume pedido seria a diferença entre o volume gerado pela rotação em torno do eixo y do retângulo 0 x 2 0 y 4 e o volume gerado pela rotação em torno do eixo y do conjunto 0 x 2 e 0 y f x em que f x x2 Ou seja EXEMPLO 3 Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos os pares x y tais que 0 x 2 0 y Solução I 1º PROCESSO Utilizando a primeira fórmula E portanto 2º PROCESSO Utilizando a segunda fórmula Então Para encerrar a seção vamos resumir num quadro o que aprendemos nesta seção e na anterior A x ya x b 0 y f x e B x y0 x b c y d y f x volume gerado por A na rotação em torno do eixo xy f x II III IV 1 a c d e g h 2 a c d e 3 a b f b volume gerado por B na rotação em torno do eixo yx gy volume gerado por A na rotação em torno do eixo yy f x volume gerado por B na rotação em torno do eixo xx gy Exercícios 132 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos os x y tais que 1 x e e 0 y ln x 1 x 2 e 0 y x2 1 0 x π e 0 y sen x 0 x 1 e 0 y arc tg x y2 2x x2 y 0 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto de todos os x y tais que 0 x e 0 y 2 e y ln x 0 x 1 x y x2 1 Volume de sólido de revolução em torno do eixo y Suponha f estritamente crescente e com derivada contínua em a b a 0 e fa 0 Seja g0 fb a b a função inversa de f Verifique que o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y do conjunto b c 133 Mostre que Sugestão Faça a mudança de variável y f x e depois integre por partes Conclua que o volume mencionado em a é VOLUME DE UM SÓLIDO QUALQUER Vimos no parágrafo anterior que dx é a fórmula que nos fornece o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A x y ℝ2 a x b 0 y f x Observe que Ax πf x2 é a área da interseção do sólido com o plano perpendicular ao eixo x e passando pelo ponto de abscissa x Assim o volume mencionado anteriormente pode ser colocado na forma Seja agora B um sólido qualquer não necessariamente de revolução e seja x um eixo escolhido arbitrariamente Suponhamos que o sólido esteja compreendido entre dois planos perpendiculares a x que interceptam o eixo x em x a e em x b Seja A x a área da interseção do sólido com o plano perpendicular a x no ponto de abscissa x Suponhamos que a função A x seja integrável em a b Definimos então o volume do sólido por EXEMPLO Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x2 y2 r2 y 0 e cujas secções perpendiculares ao eixo x são quadrados Solução ou seja 1 2 3 4 134 Exercícios 133 Calcule o volume do sólido cuja base é o semicírculo x2 y2 r2 y 0 e cujas secções perpendiculares ao eixo x são triângulos equiláteros Calcule o volume do sólido cuja base é a região 4x2 y2 1 e cujas secções perpendiculares ao eixo x são semicírculos Calcule o volume do sólido cuja base é o quadrado de vértices 0 0 1 1 0 1 e 1 0 e cujas secções perpendiculares ao eixo x são triângulos isósceles de altura x x2 Calcule o volume do sólido cuja base é um triângulo equilátero de lado l e cujas secções perpendiculares a um dos lados são quadrados ÁREA DE SUPERFÍCIE DE REVOLUÇÃO Sabese da geometria que a área lateral de um tronco de cone circular reto de geratriz g raio da base maior R e raio da base menor r é igual à área do trapézio de altura g base maior 2πR e base menor 2πr área lateral do tronco π R r g Sendo S o ponto médio do segmento PQ área lateral do tronco de cone 2πsg Observe que a área da superfície gerada pela rotação da geratriz em torno do eixo PQ é igual ao produto do comprimento g desta geratriz pelo comprimento 2πs da circunferência gerada pelo ponto médio da geratriz Este resultado é um caso particular do Teorema de Papus para superfícies de revolução Veja Exercício 9 Seção 139 Vamos agora estender o conceito de área para superfície obtida pela rotação em torno do eixo x do gráfico de uma função f com derivada contínua e f x 0 em a b Seja então P a x0 x1 x2 xn b uma partição de a b e o ponto médio do intervalo xi1 xi Na figura f ci tg αi o segmento Mi 1 Mi é tangente ao gráfico de f no ponto ci fci Então A área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x do segmento Mi 1Mi observe que tal superfície nada mais é do que a superfície lateral de um tronco de cone de geratriz é e se Δxi for suficientemente pequeno esta área será uma boa aproximação para a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x do trecho do gráfico entre as retas x xi 1 e x xi Observe que trocando fci por ci na igualdade acima será uma boa aproximação para a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo y do trecho do gráfico acima mencionado Como a função é contínua em a b teremos Definimos a área Ax da superfície obtida pela rotação do gráfico de f em torno do eixo x por De forma análoga a área Ay da superfície obtida pela rotação em torno do eixo y do gráfico de f será EXEMPLO 1 Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x do gráfico de f x sen x 0 x π Solução u cos x du sen x dx x 0 u 1 x π u 1 u tg θ du sec2 θ dθ Integrando por partes Daí ou seja Portanto área EXEMPLO 2 Determine a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo y do gráfico de 0 x 1 Solução De vem 1 135 Exercício 134 Calcule a área da superfície gerada pela rotação em torno do eixo x do gráfico da função dada COMPRIMENTO DE GRÁFICO DE FUNÇÃO Seja y f x com derivada contínua em a b e seja P a x0 x1 x2 xn b uma partição de a b Indicando por LP o comprimento da poligonal de vértices Pi xi f xi i 1 2 n temos em que é o comprimento do lado de vértices Pi 1 e Pi Pelo teorema do valor médio para cada i i 1 2 n existe ci xi 1 ci xi tal que fxi f xi 1 fciΔxi em que Δxi xi xi 1 Segue que Daí para máx Δxi tendendo a zero LP tenderá para Nada mais natural então do que definir o comprimento do gráfico de f ou da curva y f x por Nosso objetivo a seguir é interpretar geometricamente a diferencial Seja então s sx x a b o comprimento do trecho do gráfico de extremidades a fa e x f x Sejam Δs e Δy as variações em s e y correspondentes à variação dx em x com dx 0 Para dx suficientemente pequeno Δy dy e Δ2s d2x Δ2y ou seja 1 2 EXEMPLO Calcule o comprimento da curva 0 x 1 Solução De segue que o comprimento é Fazendo a mudança de variável x tg u vem De verifique resulta Exercícios 135 Calcule o comprimento do gráfico da função dada Quantos metros de chapa de ferro são necessários para construir um arco 136 AB de forma parabólica sendo A e B simétricos com relação ao eixo de simetria da parábola e com as seguintes dimensões 2 m a distância de A a B e 1 m a do vértice ao segmento AB COMPRIMENTO DE CURVA DADA EM FORMA PARAMÉTRICA Por uma curva em ℝ2 entendemos uma função que a cada t pertencente a um intervalo I associa um ponto xt yt em ℝ2 em que xt e yt são funções definidas em I Dizemos que são as equações paramétricas da curva Por abuso de linguagem vamos nos referir ao lugar geométrico descrito pelo ponto xt yt quando t percorre o intervalo I como a curva de equações paramétricas x xt e y yt EXEMPLO 1 Desenhe a curva dada em forma paramétrica por x t y 3t t ℝ Solução x t y 3t y 3x Quando t percorre ℝ o ponto t 3t descreve a reta y 3x EXEMPLO 2 Seja a curva de equações paramétricas x t y t2 t em ℝ Quando t varia em ℝ o ponto t t2 descreve a parábola y x2 EXEMPLO 3 Seja a curva de equações paramétricas x cos t y sen t t 0 2π Quando t varia em 0 2π o ponto cos t sen t descreve a circunferência x2 y2 1 EXEMPLO 4 Desenhe a curva dada em forma paramétrica por x 2 cos t e y sen t com t 0 2π Solução Assim para cada t 0 2π o ponto 2 cos t sen t pertence à elipse Por outro lado para cada x y na elipse existe t 0 2π tal que Assim quando t percorre o intervalo 02 π o ponto 2 cos t sen t descreve a elipse Nosso objetivo a seguir é estabelecer a fórmula para o cálculo do comprimento de uma curva dada em forma paramétrica A fórmula será estabelecida a partir de considerações geométricas e deixamos o tratamento rigoroso do assunto para o Vol 2 Suponhamos que s st t a b seja o comprimento do trecho da curva de extremidades A xa ya e Pt xt yt em que x xt e y yt são supostas de classe C1 Sejam Δx Δy e Δs as variações em x y e s correspondentes à variação Δt em t com Δt 0 Para Δt suficientemente pequeno vemos pela figura que Δ2s Δ2x Δ2y e portanto É razoável então esperar que a diferencial da função s st seja Definimos então o comprimento da curva x xt y yt t a b com x xt e y yt de classe C1 em a b por Observação O gráfico da função y f x x a b pode ser dado em forma paramétrica por x t y f t t a b Segue que a fórmula para o comprimento do gráfico de uma função é um caso particular desta EXEMPLO 5 Calcule o comprimento da circunferência de raio R 0 Solução Uma parametrização para a circunferência de raio R e com centro na origem é x R cos t e y R sen t com t 0 2π De segue a b c a b c Portanto comprimento EXEMPLO 6 As equações paramétricas do movimento de uma partícula no plano são Quais as posições da partícula nos instantes t 0 Qual a trajetória descrita pela partícula Qual a distância percorrida pela partícula entre os instantes t 0 e t π Solução No instante t 0 a partícula encontrase na posição 0 0 em na posição 1 1 e no instante t π novamente na posição 0 0 x sen t e y sen2 t y x2 Segue que a partícula de t 0 a descreve o arco da parábola de extremidades 0 0 e 1 1 e no sentido de 0 0 para 1 1 De a t π descreve o mesmo arco só que em sentido contrário A distância d percorrida entre os instantes t 0 e t π é dada por ou seja Observe que as distâncias percorridas entre os instantes t 0 e é a mesma que de a t π Observe ainda que cos t cos t para Fazendo a 1 a b c d e 2 137 mudança de variável u 2 sen t teremos du 2 cos t dt u 0 para t 0 u 2 para Assim Fazendo agora u tg θ teremos Como θ arc tg 2 tg θ 2 e resulta que a distância percorrida pela partícula é Exercícios 136 Calcule o comprimento da curva dada em forma paramétrica x 2t 1 e y t 1 1 t 2 x 1 cos t e y t sen t 0 t π x et cos t e y et sen t 0 t π Uma partícula desloca no plano com equações paramétricas x xt e y yt Sabese que para todo Sabese ainda que no instante t 0 a partícula encontrase na posição 0 0 Determine a distância percorrida pela partícula entre os instantes t 0 e t T em que T é o instante em que a partícula volta a tocar o eixo x Como é a trajetória descrita pela partícula ÁREA EM COORDENADAS POLARES Fixado no plano um semieixo Ox tal semieixo denominase eixo polar e o ponto O polo cada ponto P do plano fica determinado por suas coordenadas polares θ ρ em que θ é a medida em radianos do ângulo entre o segmento OP e o eixo polar tal ângulo sendo contado a partir do eixo polar e no sentido antihorário e ρ o comprimento de OP assim ρ 0 Se considerarmos no plano um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas o habitual em que a origem coincide com o polo e o semieixo Ox com o eixo polar e se θ ρ forem as coordenadas polares de P então as suas coordenadas cartesianas serão dadas por Observe que se P não coincide com o polo Até agora destacamos ρ como um número positivo Entretanto para as aplicações é importante que ρ possa assumir também valores negativos Vejamos como interpretar θ ρ no caso ρ 0 a b c d Se ρ 0 θ ρ é o simétrico em relação ao polo do ponto θ ρ Para podermos trabalhar com ρ 0 será melhor olharmos para o eixo polar como uma reta com um sistema de abscissas sobre tal reta marcamse dois pontos um o polo 0 representando o zero e outro representando o 1 O sentido positivo será o de 0 para 1 e a unidade de comprimento será o segmento de extremidades 0 e 1 Para representar no plano um ponto de coordenadas polares θ ρ proceda da seguinte forma primeiro gire o eixo polar no sentido antihorário de um ângulo θ em seguida sobre este novo eixo marque o ponto que tenha abscissa ρ EXEMPLO 1 Represente no plano o ponto θ ρ em que θ 0 e ρ 1 θ 0 e ρ 1 Solução EXEMPLO 2 Um ponto P deslocase no plano de modo que a relação entre suas coordenadas polares é dada por ρ θ 0 θ 2π Desenhe o lugar geométrico descrito por P Sempre que formos esboçar o gráfico de uma curva dada em coordenadas polares é bom antes fazer um esboço da curva supondo θ e ρ coordenadas cartesianas e olhar por meio deste gráfico a variação de ρ em função de θ EXEMPLO 3 Desenhe a curva cuja equação em coordenadas polares é ρ sen θ 0 θ π Observe que para ρ 0 ρ sen θ ρ2 ρ sen θ x2 y2 y x2 y2 y 0 é a equação de uma circunferência de centro Deste modo ρ sen θ 0 θ π é em coordenadas polares a equação de tal circunferência EXEMPLO 4 Desenhe o lugar geométrico da equação em coordenadas polares ρ 1 cos θ Esta curva denominase cardioide EXEMPLO 5 Desenhe a curva cuja equação em coordenadas polares é ρ cos 2θ Veja como fica o trecho da curva acima para θ variando de 0 a Quando θ varia de ρ permanece negativo EXEMPLO 6 Desenhe o lugar geométrico descrito por um ponto P que se desloca no plano sabendo que a relação entre suas coordenadas polares é ρ tg θ Solução Vejamos primeiro o que acontece para θ variando de 0 a Quando ρ A projeção de P sobre o eixo polar tem abscissa x ρ cos θ tg θ cos θ sen θ Assim quando a projeção de P sobre o eixo polar tende para o ponto de abscissa 1 O trecho da curva correspondente a θ em é simétrico em relação ao eixo polar ao trecho correspondente a θ em Nosso objetivo a seguir é estabelecer uma fórmula para o cálculo de área de região limitada por curvas dadas em coordenadas polares Inicialmente observamos que a área de um setor circular de raio R e abertura Esta área se determina por uma regra de três simples 2π rd área πR2 Δθ rd Consideremos agora a função ρ ρ θ contínua e 0 em θi 1 θi Seja Ai o conjunto de todos os pontos θ ρ com θi 1 θ 0i e 0 ρ ρ θ Seja o maior valor de ρ em θi 1 θi e o menor valor A área do conjunto Ai está então compreendida entre as áreas dos setores circulares de abertura Δθi e raios Suponhamos agora ρ ρ θ contínua e 0 em α β com β α 2π Seja A o conjunto de todos os pontos do plano de coordenadas polares θ ρ satisfazendo as condições α θ β e 0 ρ ρ θ Seja P α θ0 θ1 θi 1 θi θn β uma partição de α β Sejam os valores mínimo e máximo de ρ em θi 1 θi Pelo que vimos anteriormente a área da parte do conjunto A compreendida entre as retas θ θi 1 e θ θi está compreendida entre as áreas dos setores circulares de abertura Δθi e raios Uma definição razoável para a área de A deverá implicar para partição P de α β Para máx Δθi 0 as somas de Riemann acima tendem para a integral Nada mais natural então do que definir a área de A por EXEMPLO 7 Calcule a área da região limitada pelo cardioide ρ 1 cos θ Solução Para cobrir todo o conjunto θ deverá variar de 0 a 2π Temos Assim a área do conjunto é EXEMPLO 8 Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas coordenadas polares ρ 3 cos θ e ρ 1 cos θ Solução Primeiro devemos determinar as interseções das curvas 3 cos θ 1 cos θ ou seja Assim resolvem o problema Seja A1 o conjunto de todos θ ρ com e seja A2 o conjunto de todos θ ρ com e 0 ρ 3 cos θ Temos então área pedida 2 área A1 área A2 Conclusão área pedida Veja figuras a seguir EXEMPLO 9 Calcule a área da região limitada pela curva dada em coordenadas polares por ρ tg θ pela reta x 1 coordenadas cartesianas e pelo eixo polar Solução Indiquemos por A θ a área da região hachurada A área que queremos é Temos Vamos calcular Temos Assim Portanto 1 2 a b c d 3 a b c Observação No triângulo OPM temos Assim área Exercícios 137 Desenhe a curva dada coordenadas polares Passe a curva dada para coordenadas polares e desenhea x4 y4 2xy x2 y22 x2 y2 Calcule a área da região limitada pela curva dada coordenadas polares ρ 2 cos θ ρ2 cos θ ρ 0 ρ cos 2θ d 4 a b c d e f 5 6 7 b 8 a b 138 ρ cos 3θ Calcule a área da interseção das regiões limitadas pelas curvas dadas em coordenadas polares ρ 2 cos θ e ρ 1 cos θ ρ sen θ e ρ 1 cos θ ρ 3 e ρ 2 1 cos θ ρ2 cos θ e ρ2 sen θ ρ 0 ρ cos θ e ρ sen θ ρ 1 e ρ 2 1 cos θ Calcule a área do conjunto de todos os pontos θ ρ tais que θ2 ρ θ coordenadas polares Calcule a área da região situada no 1º quadrante limitada acima pela curva x4 y4 2xy coordenadas cartesianas e abaixo por p2 2 sen 2θ coordenadas polares com ρ 0 a Escreva em coordenadas polares a equação da elipse tomando como polo a origem e como eixo polar o semieixo Ox Escreva em coordenadas polares a equação da elipse tomando como polo o foco F c 0 c 0 e como eixo polar a semirreta FA onde A a 0 a 0 Faça Sejam F1 e F2 dois pontos distintos do plano e seja k a metade da distância de F1 a F2 O lugar geométrico dos ponto P do plano tais que denominase lemniscata de focos F1 e F2 Tomandose F1 k 0 e F2 k 0 determine a equação em coordenadas cartesianas da lemniscata Passe para coordenadas polares a equação obtida no item a tomando para polo a origem e x como eixo polar Desenhe a curva COMPRIMENTO DE CURVA EM COORDENADAS POLARES Consideremos a curva dada em coordenadas polares por ρ ρ θ α θ β sendo a função suposta de classe C1 no intervalo α β Em coordenadas paramétricas esta curva se escreve da seguinte forma x ρ θ cos θ e y ρ θ sen θ α θ β Utilizando a fórmula de comprimento de curva em forma paramétrica observe que aqui o parâmetro t está sendo substituído pelo parâmetro θ temos De resulta onde ρ ρθ Verifique Assim o comprimento da curva ρ ρθ α θ β em coordenadas polares é Nosso objetivo a seguir é interpretar geometricamente a diferencial Seja então s sθ θ α β o comprimento do trecho da curva de extremidades α ρ α e P θ ρ θ Sejam Δs e Δρ as variações em s e ρ correspondentes à variação dθ em θ com dθ 0 O comprimento do arco de circunferência PM de abertura dθ e raio ρ ρθ é ρ dθ por outro lado o comprimento do segmento MN é Δρ Para dθ suficientemente pequeno Δρ dρ PMN é quase um triângulo retângulo e Δ2s ρ dθ2 Δρ2 1 2 3 4 5 ou seja EXEMPLO Calcule o comprimento da curva ρ sen θ 0 θ π em coordenadas polares Solução De ρ sen θ segue Daí O comprimento da curva é π unidades de comprimento Observe que ρ sen θ é a equação de uma circunferência de centro Confira Exercícios 138 Calcule o comprimento da curva dada em coordenadas polares ρ θ 0 θ π ρ eθ 0 θ 2π ρ 1 cos θ 0 θ π 6 139 ρ θ2 0 θ 1 CENTRO DE MASSA Consideremos um sistema de massas pontuais m1 m2 mn localizadas nos pontos x1 y1 x2 y2 xn yn O centro de massa do sistema é por definição o ponto xc yc onde EXEMPLO 1 Determine o centro de massa do sistema constituído pelas massas m1 m2 localizadas nos pontos x1 y1 e x2 y2 supondo m m1 m2 Solução Deste modo xc yc é o ponto médio do segmento de extremidades x1 y1 e x2 y2 EXEMPLO 2 Considere o sistema de massas m1 m2 m3 localizadas em x1 y1 x2 y2 e x3 y3 Seja M1 m1 m2 e considere o sistema M1 e m3 com M1 localizada no centro de massa de m1 m2 Verifique que o centro de massa de M1 m3 é o mesmo que o de m1 m2 m3 Solução Seja o centro de massa de m1 e m2 Seja o centro de massa de M1 m3 Assim Deixamos a seu cargo generalizar o resultado do Exemplo 2 Vejamos agora como determinar o centro de massa de uma região A do plano que será imaginada como uma lâmina delgada homogênea de modo que a densidade superficial ρ é constante ρ é massa por unidade de área Suponhamos inicialmente que A possa ser decomposta em n retângulos R1 R2 Rn Seja mi a massa do retângulo Ri mi é o produto de ρ pela área de Ri Neste caso definimos o centro de massa de A como o centro de massa do sistema m1 m2 mn com mi localizada no centro de Ri Suponhamos agora A da forma A x y ℝ2 a x b f x y g x em que f e g são supostas contínuas em a b e f x g x em a b Seja P a x0 x1 x2 xn b uma partição qualquer de a b e seja ci o ponto médio de xi 1 xi i 1 2 n A massa mi de Ri é mi ρ g ci f ci Δxi O centro de massa da figura formada pelos retângulos R1 R2 Rn é Nada mais natural então do que tomar como centro de massa de A o ponto xc yc onde e Ou seja Suponha finalmente que A possa ser decomposta em n regiões A1 A2 An onde Ai x y ℝ2 ai x bi fi x y gi x com fi gi contínuas em ai bi e fi x gi x em ai bi Como você calcularia o centro de massa de A EXEMPLO 3 Determine o centro de massa da figura A limitada pela reta y 1 e pela parábola y x2 Solução O centro de massa de A é o ponto EXEMPLO 4 Calcule o centro de massa do conjunto A x y ℝ2 1 x2 y2 4 x 0 e y 0 Solução Vamos imaginar A como uma lâmina delgada homogênea com densidade superficial ρ 1 Sendo m1 e m2 as massas de A1 e A2 respectivamente teremos por ser ρ 1 m1 área A1 e m2 área A2 Sejam x1 y1 e x2 y2 os centros de massas de A1 e A2 respectivamente O centro de massa de A será então o centro de massa do sistema m1 m2 com as massas localizadas respectivamente em x1 y1 e x2 y2 Sendo então xc yc o centro de massa de A teremos Como x1 integral01 x sqrt4x2 sqrt1x2 dx área A1 x2 integral12 x sqrt4x2 dx área A2 y1 12 integral01 sqrt4x22 sqrt1x22 dx área A1 e y2 12 integral12 sqrt4x22 dx área A2 resulta xc integral01 x sqrt4x2 sqrt1x2 dx integral12 x sqrt4x2 dx área A integral02 x sqrt4x2 dx integral01 x sqrt1x2 dx área A e yc 12 integral01 3 dx 12 integral12 4x2 dx área A 72 12 integral12 x2 dx área A Temos área de A 3π4 integral02 x sqrt4x2 dx 12 integral40 sqrtu du 83 integral01 x sqrt1x2 dx 12 integral10 sqrtu du 13 Segue que xc 28 9π e yc 28 9π Vejamos a seguir como determinar o centro de massa do gráfico de uma função que será imaginado como fio fino homogêneo de modo que a densidade linear ρ é constante densidade linear é massa por unidade de comprimento Seja f uma função definida e com derivada contínua em a b Seja P a x0 x1 x2 xn b uma partição de a b e seja ci i 1 2 n o ponto médio de xi 1 xi O segmento Pi 1Pi é tangente em ci f ci ao gráfico de f o comprimento deste segmento é Δxi veja Seção 34 logo sua massa mi é Δxi O centro de massa do sistema formado pelos segmentos Pi 1 Pi i 1 2 n é o ponto Nada mais natural então do que tomar para centro de massa do gráfico de f o ponto xc yc em que 1 a b c d 2 3 Observe que é o comprimento do gráfico de f Observação importante O centro de massa de um conjunto do plano não tem obrigação alguma de pertencer a este conjunto Exercícios 139 Determine o centro de massa da região A dada A x y ℝ2 0 x 1 0 y x3 A x y ℝ2 x2 4y2 1 x 0 e y 0 A x y ℝ2 x2 4y2 1 y 0 A x y ℝ2 x2 y x Determine o centro de massa do gráfico da função dada Teorema de Papus Considere o conjunto A x y ℝ2 a x b f x y g x em que f e g são supostas contínuas em a b e 0 f x g x em a b 4 5 a b 6 7 a b 8 9 10 Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A Sejam f e g contínuas em a b com α f x g x em a b em que α é um real dado Seja o conjunto A x y ℝ2 a x b f x y g x Mostre que o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y α do conjunto A é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa de A Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x2 y 22 1 em torno do eixo x da reta y 1 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região x2 4y2 1 em torno da reta y 1 Seja A x y ℝ2 x4 y 1 Calcule o centro de massa de A Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno da reta y 2 Calcule o volume do sólido obtido pela rotação do círculo x2 y2 1 em torno da reta x y 2 Teorema de Papus para área de superfície de revolução Suponha f x 0 e com derivada contínua em a b Mostre que a área da superfície obtida pela rotação em torno do eixo x do gráfico de f é igual ao produto do comprimento do gráfico de f pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de massa do gráfico de f Seja A o conjunto do plano de todos os x y tais que 0 a x b 0 f x y gx em que f e g são supostas contínuas em a b Imagine A como uma lâmina delgada homogênea de modo que a densidade superficial ρ é constante ρ é massa por unidade de área Seja xc yc o centro de massa de 11 12 13 14 15 16 A Sejam Vx o volume do sólido obtido pela rotação de A em torno do eixo x e Vy o volume obtido pela rotação de A em torno do eixo y Pelo teorema de Papus Exercício 3 acima Vx é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência gerada na rotação em torno do eixo x pelo centro de massa de A Do mesmo modo Vy é igual ao produto da área de A pelo comprimento da circunferência gerada na rotação em torno do eixo y pelo centro de massa de A Pois bem destas informações conclua que Determine o centro de massa da região A dada por 1 x2 y2 4 x 0 e y 0 Sugestão Com as funções f e g dadas por 0 x 2 e se 0 x 1 ou gx 0 se 1 x 2 o teorema de Papus se aplica Calcule então Vy Vx e a área de A e utilize o Exercício 10 Compare a sua solução com a do Exemplo 4 Determine o centro de massa da região A dada por 4x2 y2 4 y 0 Sugestão Para o cálculo de xc aproveite a simetria da figura Calcule o centro de massa do setor circular A dado por x2 y2 R2 0 y α x e 0 x R com R 0 e 0 α Suponha que a região A do plano situada no semiplano y 0 possa ser dividida em duas partes A1 e A2 às quais se aplica em relação ao eixo x o teorema de Papus Suponha ainda que a área de A seja igual à soma das áreas de A1 e A2 e Vx V1x V2x em que V1x V2x e Vx são os volumes respectivos dos sólidos obtidos pela rotação em torno do eixo x de A1 A2 e A Mostre que em relação ao eixo x o teorema de Papus aplicase também a A Estabeleça resultado análogo em relação ao eixo y supondo A situada no semiplano x 0 Sejam A1 x y 1 x 3 1 y 2 A2 x y 2 x 4 2 y 3 e A a reunião de A1 e A2 Determine o centro de massa de A Determine o centro de massa do conjunto 1 x 3 e 0 y x 12 Sugestão Resolva o problema no plano u y com u x 1 17 Utilizando o Exercício 9 estabeleça para gráfico de função resultado análogo ao do Exercício 10 141 14 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1a ORDEM DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS E LINEARES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ALGUNS EXEMPLOS As soluções de muitos problemas que ocorrem tanto na física como na geometria dependem de resoluções de equações diferenciais Vejamos alguns exemplos EXEMPLO 1 Uma partícula deslocase sobre o eixo x de modo que em cada instante t a velocidade é o dobro da posição Qual a equação diferencial que rege o movimento Solução Neste problema o que nos interessa determinar é a função de posição x x t De acordo com o enunciado do problema o movimento é regido pela equação diferencial de 1ª ordem Conforme o Exercício 2 da Seção 101 as funções que satisfazem tal equação são da forma x ke2t k constante Assim a função de posição do movimento é da forma x ke2t EXEMPLO 2 Uma partícula de massa m 1 deslocase sobre o eixo x sob a ação de uma única força paralela ao deslocamento com componente f x x Qual a equação diferencial que rege o movimento Solução Pela lei de Newton Assim o movimento é regido pela equação diferencial de 2ª ordem Uma solução desta equação é uma função que é igual à oposta de sua derivada segunda Por exemplo sen t sen t assim x sen t é uma solução da equação Veja sendo x sen t para todo t A função x cos t é também solução verifique Veremos posteriormente que as funções que a satisfazem são da forma x A cos t B sen t com A e B constantes EXEMPLO 3 Determine uma função y f x que satisfaça a propriedade o coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x é igual ao produto das coordenadas do ponto de tangência Solução Se f é uma tal função para todo x no seu domínio fx x f x Assim a função y f x procurada é solução da equação diferencial de 1ª ordem Veremos mais adiante como determinar as funções que satisfazem tal equação 142 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE 1ª ORDEM DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS Por uma equação diferencial de 1ª ordem de variáveis separáveis entendemos uma equação da forma em que g e h são funções definidas em intervalos abertos I1 e I2 respectivamente Uma solução de ① é uma função x x t definida num intervalo aberto I I I1 tal que para todo t em I xt g t h x t EXEMPLO 1 é uma equação diferencial de 1ª ordem de variáveis separáveis Aqui g t t e h x x2 EXEMPLO 2 é uma equação diferencial de 1ª ordem mas não de variáveis separáveis EXEMPLO 3 Verifique que 1 t 1 é solução da equação Solução Precisamos mostrar que para todo t em 1 1 x t t x t2 Temos 1 2 e Logo para todo t em 1 1 x t t x t2 ou seja 1 t 1 é solução da equação Na equação ① x está sendo olhado como variável dependente e t como variável independente A equação ① pode também ser escrita na forma em que agora y é a variável dependente e x a independente Exercícios 142 Assinale as equações diferenciais de variáveis separáveis Verifique que a função dada é solução da equação dada 3 143 Determine as funções constantes caso existam que sejam soluções da equação dada SOLUÇÕES CONSTANTES Consideremos a equação de variáveis separáveis com g e h definidas em intervalos abertos I1 e I2 respectivamente e g não identicamente nula em I1 Consideremos a função constante Se h a 0 então x t a t I1 será solução de ① por quê Reciprocamente se ② for solução de ① devemos ter para todo t em I1 0 g t h a e como g t não é identicamente nula em I1 resulta h a 0 Assim x t a t I1 a constante é solução de ① se e somente se a for raiz da equação h x 0 EXEMPLO 1 Determine as soluções constantes de Solução h x 1 x2 h x 0 1 x2 0 Como 1 x2 0 x 1 ou x 1 resulta que x t 1 e x t 1 são as soluções constantes da equação EXEMPLO 2 A equação não admite solução constante pois h x 4 x2 não admite raiz real Exercícios 143 Determine caso existam as soluções constantes 144 SOLUÇÕES NÃO CONSTANTES O teorema que enunciamos a seguir e cuja demonstração é deixada para o Apêndice 4 nos será útil na determinação das soluções não constantes Teorema Seja a equação em que g e h são definidas em intervalos abertos I1 e I2 respectivamente com g contínua em I1 e h contínua em I2 Nestas condições se x x t t I for solução não constante de ① então para todo t em I h x t 0 Vejamos então como determinar as soluções não constantes de ① supondo que g e h satisfaçam as condições do teorema anterior Suponhamos que x x t t I seja uma solução não constante de ① assim para todo t em I xt g t h x t ou Seja J x t t I J é um intervalo pois x x t é contínua Observe que para todo x em J h x 0 A função sendo contínua em J admite uma primitiva H x neste intervalo x J Segue que para todo t em I Resulta de ② e ③ que para todo t em I 145 Sendo G t uma primitiva de g em I segue de ① que existe uma constante k tal que para todo t em I Como h x 0 em J e pelo fato de h ser contínua segue que mantém o mesmo sinal em J logo H é estritamente crescente ou estritamente decrescente em J e portanto inversível Sendo ℋ a função inversa de H em J resulta de ⑤ que x t ℋ G t k t I Por outro lado deixamos a seu cargo verificar que toda função do tipo x t ℋ G t k é solução de ① onde ℋ é a inversa de uma primitiva de num intervalo em que h x 0 G t uma primitiva de g t num intervalo I I1 e k uma constante MÉTODO PRÁTICO PARA DETERMINAR AS SOLUÇÕES NÃO CONSTANTES Seja a equação com g e h nas condições do teorema da seção anterior O quadro que apresentamos a seguir fornecenos um roteiro prático para determinar as soluções não constantes de ① EXEMPLO 1 Resolva a equação Solução Inicialmente vamos determinar as soluções constantes h x x2 x2 0 x 0 Assim x t 0 é a única solução constante Vamos agora determinar as soluções não constantes a b c a Como g t t e h x 2x são contínuas resulta xt 0 e é a família das soluções da equação EXEMPLO 2 Com relação à equação do exemplo anterior determine a solução que satisfaça a condição inicial dada x 1 0 x 0 1 x 0 1 Solução A solução constante x t 0 satisfaz a condição inicial x 1 0 b Assim Segue que satisfaz a condição inicial dada Lembrese o domínio de uma solução é sempre um intervalo no caso em questão tomamos pois o domínio deve conter t 0 Segue que satisfaz a condição inicial dada EXEMPLO 3 Resolva Solução x t 0 é a única solução constante Determinemos agora as soluções não constantes daí ou Se x 0 segue que k 0 real qualquer Para k 0 temos a solução constante x t 0 Assim é a família das soluções da equação EXEMPLO 4 Determine a função y f x tal que f 1 1 e que goza da propriedade o coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x é igual ao produto das coordenadas do ponto de tangência Solução Para todo x no domínio de f devemos ter fx x f x Assim a função procurada é solução da equação Temos Para a condição y 1 para x 1 estará satisfeita Assim a função procurada é EXEMPLO 5 Determine o tempo necessário para se esvaziar um tanque cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m cheio de água admitindo que a água se escoe através de um orifício situado na base do tanque de raio 01 m com uma velocidade sendo h a altura da água no tanque e g 10 ms2 a aceleração gravitacional Solução Seja h h t a altura da água no instante t O volume V V t de água no tanque no instante t será V t 4π h t e assim Por outro lado supondo Δt suficientemente pequeno o volume de água que passa pelo orifício entre os instantes t e t Δt é aproximadamente igual ao volume de um cilindro de base πr2 r raio do orifício e altura υ t Δt observe que a água que no instante t está saindo pelo orifício no instante t Δt se encontrará aproximadamente a uma distância υ t Δt do orifício onde υ t é a velocidade no instante t com que a água está deixando o tanque Então na variação de tempo Δt a variação ΔV no volume de água será ΔV υ t πr2 Δt É razoável então admitir que a diferencial de V V t seja dada por dV υ t πr2 dt ou que De ① e ② resulta Sendo resulta que a altura h h t da água no tanque é regida pela equação Temos De h 0 5 resulta k 400 Assim O tempo necessário para esvaziar o tanque será então de 400 segundos ou 6 min 40 s EXEMPLO 6 Uma partícula movese sobre o eixo x com aceleração proporcional ao quadrado da velocidade Sabese que no instante t 0 a velocidade é de 2 ms e a b a no instante t 1 1 ms Determine υ υ t t 0 Determine a função de posição supondo x 0 0 Solução O movimento é regido pela equação em que α é a constante de proporcionalidade ou Para t 0 υ 2 assim Para t 1 υ 1 assim Portanto 1 2 x 2 ln 1 t k Tomandose k 0 a condição inicial x 0 0 estará satisfeita Assim x t 2 ln 1 t Exercícios 145 Resolva Determine y y x que satisfaça as condições dadas 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Suponha que V V p p 0 satisfaça a equação γ constante Admitindo que V V1 V1 0 para p p1 mostre que Vγp V1 γp1 para todo p 0 O coeficiente angular da reta tangente no ponto de abscissa x ao gráfico de y f x é proporcional ao cubo da ordenada do ponto de tangência Sabendo que f0 1 e determine f Um corpo de massa 10 kg é abandonado a uma certa altura Sabese que as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional à velocidade Admitindose que 1 segundo após ter sido abandonado a sua velocidade é de 8 ms determine a velocidade no instante t suponha a aceleração da gravidade igual a 10 ms2 A reta tangente ao gráfico de y f x no ponto x y intercepta o eixo y no ponto de ordenada xy Determine f sabendo que f 1 1 Determine a curva que passa por 1 2 e cuja reta tangente em x y intercepta o eixo x no ponto de abscissa Um corpo de massa 70 kg cai do repouso e as únicas forças atuando sobre ele são o seu peso e uma força de resistência proporcional ao quadrado da velocidade Admitindose que 1 segundo após o início da queda a sua velocidade é de 8 ms determine a velocidade no instante t Suponha a aceleração da gravidade igual a 10 ms2 Para todo a 0 o gráfico de y f x intercepta ortogonalmente a curva x2 2y2 a Determine f sabendo que f 1 2 Para todo a 0 o gráfico de y f x intercepta ortogonalmente a curva xy a x 0 Determine f supondo f 2 3 Determine uma curva que passa pelo ponto 0 2 e que goza da propriedade a reta tangente no ponto x y encontra o eixo x no ponto A de abscissa 0 de tal modo que a distância de x y a A é sempre 2 12 13 14 146 Verifique que a mudança de variável transforma a equação na de variáveis separáveis Determine então soluções na forma implícita da equação Determine soluções da equação Sugestão Olhe para o Exercício 12 Verifique que a mudança de variável u y x transforma a equação na de variáveis separáveis Determine então soluções da primeira equação EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE 1ª ORDEM Por uma equação diferencial linear de 1ª ordem entendemos uma equação do tipo em que g e f são funções dadas contínuas e definidas num mesmo intervalo I EXEMPLO 1 é linear de 1ª ordem aqui g t t e f t 1 EXEMPLO 2 é linear de 1ª ordem é também de variáveis separáveis aqui g t t2 e f t 0 EXEMPLO 3 não é linear também não é de variáveis separáveis Observe que na equação linear tanto a variável dependente como sua derivada ocorrem com grau 1 Se f t 0 em I a equação ① é de variáveis separáveis e a solução geral será x keGt k ℝ em que G é uma primitiva de g em I Por simplicidade escreveremos em que estará representando então uma particular primitiva de g EXEMPLO 4 Resolva a equação Solução Tratase de uma equação de 1ª ordem linear e de variáveis separáveis A solução geral é ou Vamos agora resolver ① no caso em que f t não é identicamente nula em I Observamos inicialmente que Isto é A igualdade acima nos indica um caminho para obtermos a solução geral de ① no caso em que f t não é identicamente nula em I Temos que ① é equivalente a Multiplicando os dois membros pelo fator integrante obtemos ou Daí ou que é a família das soluções da equação ① Na fórmula acima indicam particulares primitivas de respectivamente EXEMPLO 5 Resolva a equação Solução Aqui g t 3 e f t 4 O fator integrante é Então 1 2 3 ou É claro que você poderia ter aplicado diretamente a fórmula obtida anteriormente Exercícios 146 Resolva Suponha E R e C constantes não nulas Resolva a equação Suponha E R e L constantes não nulas Determine a solução i i t do problema 4 5 a b 6 7 8 Um objeto aquecido a 100ºC é colocado em um quarto a uma temperatura ambiente de 20ºC um minuto após a temperatura do objeto passa a 90ºC Admitindo lei de resfriamento de Newton que a temperatura T T t do objeto esteja variando a uma taxa proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a do quarto isto é determine a temperatura do objeto no instante t Suponha t dado em minutos Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que remunera o capital investido de acordo com a equação Supondo que o capital investido no instante t 0 seja C0 determine o valor do capital aplicado no instante t Qual o rendimento mensal que o investidor está auferindo Suponha t dado em meses Um capital C C t está crescendo a uma taxa proporcional a C Sabe se que o valor do capital no instante t 0 era de R 20000 e 1 ano após R 60000 Determine o valor do capital no instante t Suponha t dado em anos Um material radioativo se desintegra a uma taxa proporcional a m em que m m t é a quantidade de matéria no instante t Supondo que a quantidade inicial em t 0 de matéria seja m0 e que 10 anos após já tenha se desintegrado da quantidade inicial pedese o tempo necessário para que metade da quantidade inicial se desintegre Uma partícula deslocase sobre o eixo x com aceleração proporcional à velocidade Admitindose que υ 0 3 υ 1 2 e x 0 0 determine a posição da partícula no instante t 9 Determine a função y f x x 0 cujo gráfico passa pelo ponto 1 2 e que goza da propriedade a área do triângulo de vértices 0 0 x y e 0 m m 0 é igual a 1 para todo x y no gráfico de f em que 0 m é a interseção da reta tangente em x y com o eixo y 151 15 TEOREMAS DE ROLLE DO VALOR MÉDIO E DE CAUCHY TEOREMA DE ROLLE Teorema de Rolle Se f for contínua em a b derivável em a b e f a f b então existirá pelo menos um c em a b tal que f c 0 Demonstração Se f for constante em a b então fx 0 em a b logo existirá c em a b tal que f c 0 Suponhamos então que f não seja constante em a b Como f é contínua no intervalo fechado a b pelo teorema de Weierstrass existem x1 e x2 em a b tais que f x1 e f x2 são respectivamente os valores máximo e mínimo de f em a b Como f x1 f x2 pois estamos supondo f não constante em a b segue que x1 ou x2 pertence a a b estamos usando aqui a hipótese f a f b daí fx1 0 ou fx2 0 Portanto existe c em a b tal que f c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Exercícios 151 Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f existe pelo menos uma raiz de f Suponha f derivável em ℝ Prove que entre duas raízes consecutivas de f há no máximo uma raiz de f Sejam f e g contínuas em a b e deriváveis em a b com g x 0 em a b Suponha ainda que f a g a e f b g b Prove que existe c em a b tal que f c g c f c g c Suponha f contínua em a b derivável em a b e tal que f a f b 0 Suponha ainda que 0 a Prove que existe c em a b tal que Interprete geometricamente Prove que se então a0 a1x anxn 0 tem pelo menos uma raiz em 0 1 Suponha f derivável até a 2ª ordem em ℝ e tal que Prove que f x 0 em a b Suponha f contínua em a b e derivável até a 2ª ordem em a b Sejam x0 x1 e x2 pontos de a b com x0 x1 x2 e tais que f x0 f x1 f x2 0 Prove que existe pelo menos um c em a b tal que f c 0 Suponha f contínua em a b e derivável até a 3ª ordem em a b Sejam x0 x1 x2 e x3 pontos de a b com x0 x1 x2 x3 e tais que f x0 f x1 f x2 f x3 0 Prove que existe pelo menos um c em a b tal que f c 0 Generalize Suponha f contínua em a b e derivável até a 3ª ordem em a b Sejam x0 x1 e x2 pontos de a b com x0 x1 x2 e P x o polinômio de grau no máximo 2 e portanto da forma P x a0 x2 a1 x a2 tais que 10 152 P x0 f x0 P x1 f x1 e P x2 f x2 Seja z um ponto de a b com z x0 x1 x2 e seja α o número real tal que f z P z z x0 z x1 z x2 α Prove que existe pelo menos um c em a b tal que Sugestão Considere a função f x f x P x x x0 x x1 x x2 α e aplique o exercício anterior Nas condições do exercício anterior prove que para cada x em a b existe pelo menos um c em a b tal que Generalize Observação O polinômio P x acima denominase polinômio interpolador de f x relativo aos pontos x0 x1 e x2 e pode ser obtido rapidamente pela fórmula devida ao matemático italiano J L Lagrange 17361813 TEOREMA DO VALOR MÉDIO Seja f uma função definida em a b Consideremos a função S dada por O gráfico de S é a reta passando pelos pontos a f a e b f b Na demonstração do TVM iremos utilizar a função dada por g x f x S x x em a b Observe que g a g b 0 Teorema do valor médio TVM Se f for contínua em a b e derivável em a b então existirá pelo menos um c em a b tal que f b f a f c b a Demonstração Seja g função dada por g x f x S x x em a b Como g é contínua em a b derivável em a b e g a g b pelo teorema de Rolle existe c em a b tal que g c 0 Temos Assim 1 2 3 4 5 a b Daí Portanto f b f a f c b a Exercícios 152 Sejam I um intervalo f uma função contínua em I e tal que fx M para todo x no interior de I em que M 0 é um real fixo Prove que quaisquer que sejam x e y em I f x f y M x y Prove que quaisquer que sejam s e t em 1 ln s ln t s t Sejam a b dois reais dados Prove que Prove que quaisquer que sejam a e b a b arctg b arctg a b a Conclua que para todo x 0 arctg x x Seja f ℝ ℝ uma função Dizemos que x0 é um ponto fixo de f se f x0 x0 Determine os pontos fixos de f x x2 3x f x x2 1 admite ponto fixo c 6 7 8 153 Mostre que f terá ponto fixo se o gráfico de f interceptar a reta y x Seja f ℝ ℝ e suponha que fx 1 para todo x Prove que f admitirá no máximo um ponto fixo Suponha que g t seja uma primitiva de f t em 0 1 isto é para todo t em 0 1 g t f t Suponha ainda que f t 1 em 0 1 Prove que g t g 0 t em 0 1 Uma partícula deslocase sobre o eixo x com função de posição x φt Sabese que φ0 0 e φ 1 1 isto é nos instantes 0 e 1 a partícula encontrase respectivamente nas posições x 0 e x 1 Prove que em algum instante c 0 c 1 ν c 1 Sugestão Observe que φ t ν t em 0 1 e utilize o exercício anterior TEOREMA DE CAUCHY Para motivar geometricamente o teorema de Cauchy vamos inicialmente definir reta tangente a uma curva em ℝ2 Por uma curva em ℝ2 entendemos uma função que a cada t pertencente a um intervalo I associa um ponto g t f t em ℝ2 em que f e g são funções reais definidas em I Dizemos que são as equações paramétricas da curva EXEMPLO 1 Seja a curva de equações paramétricas x t y t2 t em ℝ Quando t varia em ℝ o ponto t t2 descreve a parábola y x2 EXEMPLO 2 Seja a curva de equações paramétricas x cos t y sen t com t 0 2π Quando t varia em 0 2π o ponto cos t sen t descreve a circunferência x2 y2 1 Suponhamos agora f e g deriváveis em I t0 I e g t0 0 Vamos definir reta tangente à curva no ponto g t0 f t0 O coeficiente angular da reta secante st é Nada mais natural do que definir o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto g t0 f t0 igual a Temos Definimos então a reta tangente à curva em g t0 f t0 como a reta que passa por esse ponto e que tem coeficiente angular A equação da reta tangente à curva em g t0 t0 f t0 é então Suponhamos agora f e g contínuas em a b deriváveis em a b e gt 0 em a b Observe que as condições apresentadas anteriormente implicam g a g b O coeficiente angular da reta S é Vemos geometricamente que existe um ponto g c f c tal que a tangente neste ponto é paralela à reta S O coeficiente angular de T é Então para este c Teorema de Cauchy Se f e g forem contínuas em a b e deriváveis em a b então existirá pelo menos um c em a b tal que f b f a gc g b g a fc ou se gb ga e g c 0 Demonstração Seja h x f b f a g x g b g a f x x a b Pelo teorema de Rolle existe c em a b tal que h c 0 daí f b f a gc g b g a fc 0 ou seja f b f a gc g b g a fc Observação Fazendo no teorema acima g x x obtemos o TVM 161 16 FÓRMULA DE TAYLOR APROXIMAÇÃO LOCAL DE UMA FUNÇÃO DIFERENCIÁVEL POR UMA FUNÇÃO AFIM Seja f uma função derivável em x0 e seja T dada por T x f x0 fx0 x x0 O gráfico de T é a reta tangente ao gráfico de f em x0 f x0 Para cada x Df seja E x o erro que se comete na aproximação de f x por T x Observe que para x x0 daí ou seja quando x x0 o erro E x tende a zero mais rapidamente que x x0 A função T x f x0 fx0 x x0 é a única função afim que goza da propriedade de o erro E x tender a zero mais rapidamente que x x0 De fato se S x f x0 m x x0 for uma função afim passando por x0 f x0 tal que f x f x0 m x x0 E1 x x Df em que então necessariamente m fx0 Verifique Segue que se f for derivável em x0 T x f x0 fx0 x x0 é a função afim que melhor aproxima localmente a f em volta de x0 A função T acima é uma função polinomial de grau no máximo 1 será do grau 1 se fx0 0 Assim T é o polinômio de grau no máximo 1 que melhor aproxima localmente a f em volta de x0 Observe que os valores de f e T em x0 são iguais bem como os de suas derivadas f x0 T x0 e fx0 Tx0 O polinômio P x f x0 fx0 x x0 denominase polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de x0 O próximo teorema fornecenos uma expressão para o erro E x que aparece em ① em termos da derivada 2ª de f Teorema Seja f derivável até a 2ª ordem no intervalo I e sejam x x0 I Então existe pelo menos um no intervalo aberto de extremos x e x0 tal que Demonstração E x f x f x0 fx0 x x0 Assim E x0 0 e Ex0 0 Observe que Ex fx fx0 pois f x0 e fx0 são constantes Seja h x x x02 segue que h x0 0 e hx0 0 Temos Pelo teorema de Cauchy existe no intervalo de extremos x0 e x tal que Tendo em vista Ex0 hx0 0 Novamente pelo teorema de Cauchy existe no intervalo aberto de extremos x0 e x tal que Como Ex fx e hx 2 Portanto para algum no intervalo aberto de extremos x e x0 EXEMPLO 1 Seja f derivável até a 2ª ordem no intervalo I e seja x0 I Suponha que existe M 0 tal que fx M para todo x I Prove que para todo x em I em que P x f x0 fx0 x x0 Solução De acordo com o teorema existe entre x e x0 tal que ou daí EXEMPLO 2 Avalie ln 1003 Solução Seja f x ln x O polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de x0 1 é P x f 1 f1 x 1 e como f 1 0 e f1 1 resulta P x x 1 Assim f 1003 P 1003 ou ln 1003 0003 Interprete graficamente este resultado Avaliação do erro Segue fx 1 para x 1 Pelo exemplo anterior Para x 1003 1 2 c d e f 162 a b f 1003 P 1003 00000045 Assim o módulo do erro cometido na aproximação ln 1003 0003 é inferior a 105 Observe que 0003 é um valor aproximado por excesso faça os gráficos de f e de P e confira Exercícios 161 Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada em volta de x0 dado Calcule um valor aproximado e avalie o erro sen 002 e0001 cos 001 ln 099 POLINÔMIO DE TAYLOR DE ORDEM 2 Vimos que o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta de x0 tem em comum com f o valor em x0 e o valor da derivada em x0 Suponhamos que f tenha derivadas até a 2ª ordem no intervalo I e seja x0 I Vamos procurar o polinômio P de grau no máximo 2 que tenha em comum com f o valor em x0 o valor da derivada 1ª em x0 e o valor da derivada 2ª em x0 Queremos então determinar P de grau no máximo 2 tal que f x0 P x0 fx0 Px0 e fx0 Px0 Podemos procurar P da forma P x A0 A1 x x0 A2 x x02 Como P x0 A0 devemos ter A0 f x0 Px A1 2A2 x x0 e Px 2A2 Daí Px0 A1 e Px0 2A2 Segue que devemos ter A1 fx0 e O polinômio procurado é então O polinômio ① denominase polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 Observe que f e P admitem a mesma reta tangente em x0 f x0 Como Px0 f x0 segue que se fx0 0 e f contínua em x0 para x próximo de x0 os gráficos de f e P apresentam concavidades com mesmo sentido É razoável esperar então que para x suficientemente próximo de x0 o polinômio de Taylor de ordem 2 aproxime melhor f do que o polinômio de Taylor de ordem 1 EXEMPLO 1 Seja f x ex Determine os polinômios de Taylor de ordens 1 e 2 de f em volta de x0 0 Esboce os gráficos de f e dos polinômios Solução Indiquemos por P1 e P2 os polinômios pedidos Temos P1 x f 0 f0 x 0 e De fx fx ex segue f 0 f0 1 Assim P1 x 1 x e Seja P o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 Para cada x em Df seja E x o erro que se comete na aproximação de f x por P x Assim para todo x em Df ou Temos Assim E x0 Ex0 Ex0 0 O próximo teorema fornecenos uma expressão para o erro E x em termos da derivada de 3ª ordem de f Teorema Seja f derivável até a 3ª ordem no intervalo I e sejam x0 x em I Então existe pelo menos um entre x e x0 tal que Demonstração E x0 Ex0 Ex0 0 e Ex fx Sendo h x x x03 h x0 h x0 h x0 0 e h x 6 3 Temos Pelo teorema de Cauchy existe entre x e x0 tal que Temos Pelo teorema de Cauchy existe entre x0 e tal que De E x0 0 h x0 segue Novamente pelo teorema de Cauchy existe entre e x0 tal que Como E f e h 3 EXEMPLO 2 Seja f derivável até a 3ª ordem no intervalo I e seja x0 I Suponha que existe M 0 tal que f x M para todo x em I Prove que para todo x em I onde Solução De acordo com o teorema anterior Daí para todo x em I EXEMPLO 3 Calcule um valor aproximado para ln 103 e avalie o erro Solução Seja f x ln x Vamos utilizar o polinômio de Taylor de ordem 2 em volta de x0 1 De Assim ou Temos ln 103 P 103 mas P 103 002955 logo ln 103 002955 Avaliação do erro assim f x 2 para x 1 Pelo exemplo anterior Segue que ou f 103 P 103 0000009 Assim o módulo do erro cometido na aproximação ln 103 002955 é inferior a 105 Observe 0000009 9 106 105 Como para x 1 segue que 002955 é uma aproximação por falta de ln 103 EXEMPLO 4 Calcule um valor aproximado para e avalie o erro Solução Seja Vamos utilizar o polinômio de Taylor de ordem 2 em volta de x0 8 De segue que Daí logo Assim Avaliação do erro Neste problema interessanos o intervalo de extremos 79 e 8 Como 183 5832 79 segue que para todo x 79 x 8 e portanto Daí e portanto para 79 x 8 e daí Observe Deste modo o módulo do erro cometido na aproximação é inferior a 105 Observação A escolha de 18 foi feita por inspeção Poderíamos ter escolhido 19 pois 193 79 Com a escolha de 18 conseguimos um tal que o que nos permitiu utilizar o Exemplo 2 Evidentemente quanto menor o M menor será a majoração para o erro Neste problema a escolha de 19 seria preferível Se tivéssemos escolhido 19 chegaríamos à conclusão de que o erro cometido na aproximação é em realidade inferior a 106 Observe ainda que para 79 x 8 o que mostra que 19916319 é aproximação por excesso Seja f derivável até a 2ª ordem no intervalo I e seja x0 I Seja E x o erro que se comete na aproximação de f x por P x em que P x é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 Vamos mostrar a seguir que para x x0 o erro E x tende a zero mais rapidamente que x x02 De fato Pela 1ª regra de LHospital Assim Provaremos a seguir que é o único polinômio de grau no máximo 2 que goza da propriedade de o erro E x tender a zero mais rapidamente que x x02 quando x x0 Seja então f x f x0 A x x0 B x x02 E1 x em que Vamos provar que De fato de segue e portanto uma vez que Segue que daí o que implica A fx0 observe que se tivéssemos A fx0 o limite acima não poderia ser zero Assim e portanto EXEMPLO 5 Seja Mostre que P x 1 x x2 é o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 0 Solução Basta mostrar que E x f x P x tende a zero mais rapidamente que x2 quando x 0 i ii 1 Outro processo Calcular f 0 f0 e f0 e verificar que Dizemos que φ x é um infinitésimo para x x0 se Sejam φ x e φ1 x dois infinitésimos para x x0 Dizemos que φ x é um infinitésimo de ordem superior à de φ1 x se para x x0 φ x tende a zero mais rapidamente que φ1 x ou seja se É usual a notação φ x o φ1 x para x x0 para indicar que φ x é um infinitésimo de ordem superior à de φ1 x para x x0 Assim sendo φ x e φ1 x infinitésimos para x x0 Observe que x x0 só é infinitésimo para x x0 assim E x o x x0 significa que E x é um infinitésimo de ordem superior à de x x0 para x x0 Do que vimos anteriormente segue que f x f x0 fx0 x x0 o x x0 Exercícios 162 Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 dado 2 a e f h 3 4 5 b c d g Utilizando polinômio de Taylor de ordem 2 calcule um valor aproximado e avalie o erro ln 13 e003 sen 01 cos 02 Mostre que para todo x Mostre que para 0 x 1 Utilizando a relação sen x x o x2 calcule 6 a 7 a b 8 9 Sugestão o x2 é um infinitésimo de ordem superior a x2 para x 0 isto é Verifique que Seja Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 de f em volta de x0 0 Seja a 0 um número real dado Mostre que não existe M 0 tal que para todo x em 0 a f x M Seja f derivável até a 2ª ordem no intervalo I e seja x0 I Mostre que existe uma função φ x definida em I tal que para todo x em I Seja f derivável até a 2ª ordem no intervalo fechado a b e seja x0 a b Mostre que existe M 0 tal que para todo x em a b f x P x M x x0 2 em que 163 Sugestão verifique que a função φ x do Exercício 8 com φ x0 0 é contínua em a b POLINÔMIO DE TAYLOR DE ORDEM n Seja f derivável até a ordem n no intervalo I e seja x0 I O polinômio denominase polinômio de Taylor de ordem n de f em volta de x0 O polinômio de Taylor de ordem n de f em volta de x0 é o único polinômio de grau no máximo n que aproxima localmente f em volta de x0 de modo que o erro E x tenda a zero mais rapidamente que x x0n quando x x0 Verifique O polinômio de Taylor de ordem n de f em volta de x0 0 denominase também polinômio de MacLaurin de ordem n de f EXEMPLO 1 Determine o polinômio de Taylor de ordem 4 de f x ex em volta de x0 0 Solução Assim EXEMPLO 2 Determine o polinômio de Taylor de ordem 3 de f x ln x em volta de x0 1 Solução Assim Teorema Fórmula de Taylor com resto de Lagrange Seja f derivável até a ordem n 1 no intervalo I e sejam x x0 I Então existe pelo menos um no intervalo aberto de extremos x0 e x tal que onde Demonstração Fica a seu cargo EXEMPLO 3 Seja f derivável até a ordem n 1 no intervalo I e seja x0 I Suponha que existe M 0 tal que para todo x em I f n 1 x M Prove que para todo x em I a b a em que P x é o polinômio de Taylor de ordem n de f em volta de x0 Solução Segue do teorema anterior que para todo x em I existe entre x e x0 tal que Como para todo x em I f n 1 x M resulta EXEMPLO 4 Mostre que para todo x em 0 1 Avalie e com erro em módulo inferior a 105 Solução Seja f x ex De f x fx f x f n 1 x segue que o polinômio de Taylor de ordem n de f x ex em volta de x0 0 é Para x em 0 1 0 ex f n 1 x e 3 De acordo com o teorema anterior para todo x em 0 1 existe entre 0 e x tal que Assim para todo x em 0 1 tendo em vista a desigualdade na página anterior b Para x 1 Precisamos determinar n de modo que Por tentativas chegase a Assim com erro inferior a 105 Observação Como segue do teorema do confronto que Mostraremos no próximo exemplo que e é um número irracional EXEMPLO 5 O número e é irracional Solução Suponhamos que e fosse racional assim existiriam inteiros positivos a e b tais que Para todo natural n e pelo exemplo anterior Daí para todo natural n Para n b e n 3 temos é inteiro pois n b e b é natural é inteiro por quê Assim A B é um inteiro estritamente positivo e menor que que é impossível Conclusão O número e é irracional No próximo exemplo mostraremos que em que a 0 é um real fixo Este resultado será útil na resolução de alguns dos exercícios que serão propostos no final da seção EXEMPLO 6 Mostre que em que a 0 é um real fixo Solução Tomemos um natural N tal que Temos então e assim para todo natural p 1 Multiplicando ambos os membros por vem Fazendo n N p De segue que EXEMPLO 7 Mostre que para todo x Solução Para todo x existe entre 0 e x tal que Se x 0 ex pois 0 x logo Como pelo confronto Se x 0 e0 1 pois x 0 logo De segue Fica provado assim que para todo x Esta igualdade é usualmente escrita na forma EXEMPLO 8 Mostre que para todo x Solução Pelo exemplo anterior para todo x 0 Como para todo x x2 0 resulta substituindo na desigualdade acima x por x2 Para discutir o próximo exemplo vamos precisar antes estabelecer uma desigualdade para integrais Já vimos que se f for contínua em a b e f x 0 em a b então Segue desta desigualdade que se f e g forem contínuas em a b e f x g x em a b então Suponhamos então f contínua em a b assim f também é contínua em a b e temos para todo x em a b f x f x f x daí logo EXEMPLO 9 Calcule com erro em módulo inferior a 105 1 Solução Para x em 0 1 ex2 e 3 Segue então do exemplo anterior que para todo x em 0 1 Temos Como resulta Por tentativas chegase que para n 7 Assim com erro em módulo inferior a 105 Exercícios 163 Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 em volta de x0 dado 2 3 4 5 6 7 Sejam n um natural ímpar e f x sen x Mostre que para todo x Avalie sen 1 com erro em módulo inferior a 105 Sugestão utilize o Exercício 2 Mostre que para todo x ou Calcule um valor aproximado com erro em módulo inferior a 103 Mostre que para todo x ou a Verifique que Conclua que se t 1 b c d e 8 9 a ou seja Verifique que 1 t t2 t3 1n tn é o polinômio de Taylor de ordem n de em volta de 0 Mostre que a função E t dada por é contínua em 1 Mostre que para todo x 1 Verifique que é o polinômio de Taylor de ordem n 1 de ln x 1 em volta de 0 Determine o polinômio de Taylor de ordem 5 de g x arc tg x em volta de 0 Seja Mostre que P x 1 x2 x4 x6 x8 x10 é o polinômio de Taylor de ordem 10 de f em volta de x0 0 Não é necessário calcular as derivadas b c 10 11 de f Mostre que a função E x dada por é contínua em Olhando para o polinômio do item a calcule f 0 f 0 f 0 etc Determine o polinômio de Taylor de ordem 11 de g x arc tg x em volta de x0 0 Seja f x 1 xα em que α 0 é um real dado Determine o polinômio de Taylor de ordem n de f em volta de x0 0 e dê a expressão do erro em termos da derivada de ordem n 1 171 17 ARQUIMEDES PASCAL FERMAT E O CÁLCULO DE ÁREAS QUADRATURA DA PARÁBOLA MÉTODO DE ARQUIMEDES Um dos criadores do Cálculo Diferencial e Integral foi o grande matemático grego Arquimedes que viveu no século 3 aC em Siracusa Uma de suas inúmeras descobertas foi a fórmula para o cálculo da área de um segmento de parábola Nosso objetivo aqui é obter tal fórmula seguindo o raciocínio rigoroso de Arquimedes Vamos então considerar o segmento de parábola limitado pela parábola y x2 e pela corda AB Fig 171 Lembrando que em um trapézio o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos é a semissoma das bases resulta que a ordenada de Pela Fig 171 Ou seja MN m2 OK A altura do triângulo AMN em relação à base MN é m Também a altura do triângulo BMN em relação à base MN é m Como MN m2 e altura em relação à base MN m seguese que a soma das áreas dos triângulos AMN e BMN é Portanto a área do triângulo ANB é m3 Vamos destacar este resultado Área do triângulo ANB m3 Vamos então ao cálculo da área do segmento parabólico A seguir suporemos A coincidindo com a origem do sistema de coordenadas Fig 172 Na Fig 172 o valor de m é b2 Assim a área T do triângulo ANB é b23 b38 Área do triângulo A área do triângulo ANB é uma primeira aproximação para a área do segmento parabólico ANB Vamos melhorar esta aproximação Vamos somar a esta área as áreas dos triângulos AN1N e NN2B Fig 173 Área AN1N Área NN2B b43 b364 Seguese que Área AN1N Área NN2B b332 T4 Observe que a soma das áreas dos triângulos AN1N e NN2B é exatamente um quarto da área T do triângulo ANB Assim é uma segunda aproximação e melhor para o nosso segmento parabólico Fig 173 Dividindo agora o intervalo 0 b em 8 partes iguais e somandose as áreas dos novos triângulos obtidos verificase que a soma dessas novas áreas é b3128 que é exatamente um quarto da área anteriormente acrescentada que era de b332 Assim é uma terceira aproximação e melhor para o nosso segmento parabólico Continuando o raciocínio acima é razoável esperar que a fórmula para o cálculo de tal área seja Área do segmento parabólico Então para chegar à fórmula para a área do segmento parabólico é só calcular a soma da progressão geométrica infinita de primeiro termo 1 e razão que sabemos ser De acordo Só que Arquimedes não trabalhava com limites infinitos Para chegar à fórmula Área do segmento parabólico Arquimedes primeiramente utilizou o seu MÉTODO de descoberta verificou por meio de uma balança que o peso do segmento de parábola era exatamente quatro terços do triângulo ANB veja referência bibliográfica 1 no final do capítulo Em seguida admitiu que o valor da área era por uma dupla redução ao absurdo provou a sua veracidade É o que faremos a seguir Temos Continuando o raciocínio acima obtémse I II Somando 3 aos dois membros em seguida dividindo por 3 e por último multiplicando os dois membros por T resulta O objetivo é então provar que a área do segmento parabólico ANB é A prova será feita em duas etapas na primeira provase que a área do segmento parabólico não pode ser menor que e na segunda que a área do segmento parabólico não pode ser maior que Indicando por S a área do segmento parabólico será provado então que Para a prova da primeira etapa Arquimedes utilizou o seguinte postulado A diferença pela qual a maior de duas áreas excede a menor pode sendo somada a si mesma repetidas vezes exceder qualquer área finita dada cujo enunciado moderno é Dados os números reais x e y com x 0 existe um natural m tal que mx y que nada mais é do que a nossa conhecida propriedade de Arquimedes Para a prova da segunda etapa Arquimedes utilizou as duas seguintes propriedades Dadas duas grandezas distintas se da maior subtraise mais que sua metade do restante mais que sua metade e assim por diante acabará restando uma grandeza menor que a menor das grandezas dadas A reta tangente à parábola y x2 no ponto de abscissa a m é paralela à corda de extremidades a a2 e a 2m a 2m2 Verifique Fig 174 Observe que a área do triângulo XYZ é maior que a metade do segmento parabólico XYZ Você concorda PROVA DA PRIMEIRA ETAPA Suponhamos por absurdo que Assim Pela propriedade de Arquimedes existe um natural n tal que e portanto Daí Ou seja que é contradição pois para todo n 172 PROVA DA SEGUNDA ETAPA Suponhamos agora Das propriedades I e II acima existe um natural n tal que e portanto Segue que que é uma contradição Se a área do segmento parabólico não pode ser maior e tampouco menor que resulta que tal área é exatamente Em consequência a área da região limitada pela parábola y x2 0 x b pelo eixo x e pela reta PASCAL E O CÁLCULO DE ÁREAS Pela fórmula de Arquimedes para a área de um segmento de parábola segue como vimos na seção anterior que a área da região limitada pela curva y x2 0 x b pelo eixo x e pela reta Passados quase dois mil anos dessa descoberta de Arquimedes Bonaventura Cavalieri 15981647 interessouse pelo cálculo da área da região limitada pela curva y xk 0 x b pelo eixo x e pela reta x b com k 3 e natural Utilizando o seu método dos indivisíveis Cavalieri provou para k de 3 até 9 a fórmula para área de tal região e afirmou que a fórmula era válida para todo k Nesta seção utilizando as ideias de Blaise Pascal 16231662 vamos mostrar como chegar rapidamente e de forma maravilhosa a esta fórmula e na próxima seção veremos como Fermat brincou com esse problema Para se chegar à fórmula dividese o intervalo 0 b em n partes iguais e considerase a soma Sn das áreas dos retângulos de base e altura para i 1 2 n Fig 175 Fig 175 E portanto Indicando por Sk a soma 1k 2k 3k nk resulta Para resolver o problema basta determinar o limite de para n tendendo a E isto se faz utilizando a identidade de Pascal que estabelece uma relação entre as somas S1 S2 Sk e que será obtida a seguir veja p 266 da referência bibliográfica 2 deste capítulo Primeiro vamos relembrar a fórmula para o desenvolvimento do binômio de Newton Chamamos de binômio de Newton a expressão A Bk Observamos que no tempo de Pascal tal expressão não era ainda conhecida como binômio de Newton aliás na época em que Pascal estava pensando nesse assunto Newton deveria estar com mais ou menos 12 anos de idade Temos e de modo geral em que é o coeficiente binominal de ordem k p e é dado por Observamos que nada mais é do que o número de combinações de k elementos tomados p a p No final da seção utilizando o princípio de indução finita que foi praticamente estabelecido por Pascal veja p 265 da referência bibliográfica 2 deste capítulo provaremos a fórmula para o desenvolvimento do binômio de Newton Para obter a identidade de Pascal vamos trocar k por k 1 fazer B 1 substituir A sucessivamente por 1 2 3 n e em seguida somar membro a membro as igualdades obtidas Somando membro a membro as igualdades acima e observando que 1 1k 1 na primeira linha e 2k 1 2 1k 1 ambos na segunda linha e 3k 1 na terceira linha n 1 1k 1 na penúltima linha e nk 1 na última linha podem ser cancelados resulta que é a identidade obtida por Pascal Da identidade acima segue que para k 1 e portanto lembrando que Para k 2 E assim por diante Logo S1 é um polinômio de grau 2 na variável n Observe que S1 nada mais é do que a soma da progressão aritmética 1 2 3 n Como S1 é do grau 2 pela identidade acima S2 será do grau 3 na variável n Fica a seu cargo verificar que S3 é um polinômio de grau 4 na variável n e de modo geral Sk é um polinômio de grau k 1 na variável n Esta observação sobre o grau de Sk será fundamental no cálculo do limite de para n tendendo a infinito e é esta observação que para mim torna lindo o método de Pascal Espero que você concorde comigo Vamos então ao cálculo do limite mencionado acima Primeiro vamos dividir os dois membros da identidade de Pascal por nk 1 Temos De segue que Como os graus de Sk 1 Sk 2 S2 e S1 são respectivamente k k 1 3 e 2 e o grau de nk 1 é k 1 segue que o limite para n tendendo para infinito de é zero Você concorda Como resulta Conclusão Observamos que Sn é uma aproximação por excesso da área da região limitada pela curva y xk 0 x b pelo eixo x e pela reta x b Por outro lado veja Fig 176 é uma aproximação por falta da área em questão Procedendose de forma análoga provase que Fig 176 Fica assim estabelecida pelo método de Pascal a fórmula para o cálculo da área i ii acima mencionada A seguir utilizando o princípio de indução finita vamos provar a fórmula para o desenvolvimento do binômio de Newton Antes porém vamos estabelecer tal princípio No que se segue Pk indicará uma proposição que pode ser falsa ou verdadeira associada ao natural k Por exemplo 2k k k 1 k são proposições associadas ao natural k Qual o menor número possível de condições que devemos impor a Pk para que Pk seja verdadeira para todo natural k a a natural Evidentemente a primeira condição a impor é que Pk seja verdadeira para k a Suponhamos além disso que para todo k a Pk Pk 1 Sendo então Pa verdadeira e como Pa Pa 1 resulta que Pa 1 será também verdadeira Pa 1 Pa 2 logo Pa 2 também será verdadeira Prosseguindo com este raciocínio é razoável que se conclua que Pk seja verdadeira para todo k a Quem nos garante que isto realmente acontece é o princípio de indução finita cujo enunciado é o seguinte Princípio de indução finita PIF Sejam a um número natural dado e Pk uma proposição associada a cada natural k k a Suponhamos que Pk seja verdadeira para k a para todo natural k a Pk Pk 1 Nestas condições Pk será verdadeira para todo natural k a 173 Para a prova da fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton vamos precisar ainda da seguinte propriedade dos coeficientes binomiais e cuja verificação deixamos a seu cargo Vamos então à prova de que para todo natural k k 2 Pk é verdadeira em que Pk é a proposição Para k 2 a fórmula é verdadeira pois Provemos então que Pk Pk 1 Para isto basta multiplicar os dois membros de Pk por A B Multiplicando o segundo por A e em seguida por B e utilizando a propriedade dos coeficientes binomiais acima e lembrando que resulta cuja soma é exatamente o desenvolvimento do binômio de Newton A Bk 1 Portanto para todo k 2 Pk Pk 1 Fica assim provada a fórmula do desenvolvimento do binômio de Newton para todo natural k k 2 FERMAT E O CÁLCULO DE ÁREAS Vejamos como Pierre de Fermat 16011665 obteve a fórmula para o cálculo da área limitada pela curva y xk 0 x b pelo eixo x e pela reta x b k natural Fermat procedeu da seguinte forma considerou um número E como 0 E 1 e dividiu o intervalo 0 b em infinitos subintervalos da forma bE i bE i 1 bE3 bE2 bE2 bE bE b Observe que b bE bE2 bE3 bEi 1 bE i é uma progressão geométrica de razão E e que Ei tende a zero para i tendendo a infinito pois 0 E 1 Fig 177 A área do retângulo R i dado por bE i x bE i 1 0 y bE i 1 k é área Ri bE i 11 EbkEki 1 bk 11 EEk 1i 1 i 1 2 3 Segue que as áreas dos retângulos Ri formam uma progressão geométrica de primeiro termo bk 11 E e razão Ek 1 Antes de prosseguir vamos relembrar as fórmulas para as somas dos termos da progressão geométrica finita e infinita de razão q e primeiro termo 1 verifique por indução finita e para 0 q 1 Fazendo q E k 1 a soma das áreas dos retângulos Ri é 1 2 De resulta soma das áreas dos retângulos Observamos que a soma das áreas dos retângulos é uma aproximação por excesso da área da região em questão e que quanto mais próximo de 1 estiver E melhor será a aproximação Para E tendendo a 1 em verdade Fermat simplesmente substituiu E por 1 na soma acima a soma acima tenderá a Nada mudaria se em vez de considerarmos aproximação por excesso considerássemos aproximação por falta Você gostou Se gostou mesmo verifique que o método de Fermat continua válido mesmo quando k é um número racional Mas se você gostou muito mesmo utilizando a progressão geométrica 1 E E2 E3 com E 1 e supondo k natural k 2 mostre que a área da região limitada pelo gráfico de pelo eixo x e pela reta x 1 é dada pela fórmula Bem por volta de 1670 Sir Isaac Newton 16421727 já estava calculando a área sob a curva y axmn para x de 0 a x utilizando a primitiva da função O Teorema Fundamental do Cálculo estava nascendo e o Cálculo Diferencial e Integral nas mãos de Newton se consolidando Veja referência bibliográfica 2 abaixo p 290 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Ávila Geraldo Arquimedes o Rigor e o Método 1986 Matemática Universitária da Sociedade Brasileira de Matemática Número 4 2745 Boyer Carl B História da Matemática Editora Edgard Blücher coedição com a Editora da Universidade de São Paulo EDUSP A11 a b c a Apêndice 1 PROPRIEDADE DO SUPREMO MÁXIMO MÍNIMO SUPREMO E ÍNFIMO DE UM CONJUNTO O objetivo desta seção é introduzir os conceitos de que necessitaremos para enunciar a propriedade do supremo Como veremos é esta propriedade que diferencia ℝ de ℚ é ainda esta propriedade que torna o sistema dos números reais uma cópia perfeita da reta O enunciado de tal propriedade será objeto da próxima seção Seja A um conjunto de números reais O maior elemento de A quando existe denominase máximo de A e indicase por máx A O menor elemento de A quando existe denominase mínimo de A e indicase por mín A Dizemos que um número m é uma cota superior de A se m for máximo de A ou se m for estritamente maior que todo número de A Diremos que m é uma cota inferior de A se m for mínimo de A ou se m for estritamente menor que todo número de A EXEMPLO 1 Seja A 1 2 3 Temos 1 é o mínimo de A 1 mín A 3 é o máximo de A 3 máx A 3 100 são cotas superiores de A 1 0 são cotas inferiores de A EXEMPLO 2 Seja A x ℝ 1 x 2 Temos 1 mín A b c d 1 a b c d Para todo t A também pertence a A e verifique Assim para todo t em A existe um outro número em A que é estritamente maior que t logo A não admite máximo Todo número m 1 é uma cota inferior de A Todo número m 2 é uma cota superior de A Um conjunto A pode não admitir máximo entretanto poderá admitir uma menor cota superior Por exemplo o conjunto A x ℝ 1 x 2 não admite máximo mas admite uma menor cota superior que é 2 A menor cota superior de um conjunto A quando existe denominase supremo de A e indicase por sup A É claro que se A admitir máximo m então m será também o supremo de A Entretanto A poderá não admitir máximo mas admitir supremo por exemplo o conjunto A acima não admite máximo mas admite supremo 2 2 sup A A maior cota inferior de um conjunto A quando existe denominase ínfimo de A e indicase por inf A Se A admitir uma cota superior então diremos que A é limitado superiormente Se A admitir uma cota inferior diremos que A é limitado inferiormente Exercícios A11 Determine caso existam o máximo mínimo supremo e ínfimo A x ℝ 3 x 4 A x ℝ 3 x 4 A x ℝ x 5 A x ℝ x 2 e f g h 2 3 A12 A x ℝ 3x 1 1 A 3 1 0 2 1 Assinale os conjuntos do Exercício 1 que são limitados superiormente é limitado superiormente Por quê PROPRIEDADE DO SUPREMO Admitiremos a seguinte importante propriedade dos números reais Propriedade do supremo Todo conjunto de números reais não vazio e limitado superiormente admite supremo Pelo fato de ℝ satisfazer a propriedade do supremo diremos que ℝ é um corpo ordenado completo Os teoremas centrais do cálculo dependem desta propriedade de ℝ Uma consequência importante da propriedade do supremo é a propriedade de Arquimedes Propriedade de Arquimedes Se x 0 e y são dois reais quaisquer então existe pelo menos um número natural n tal que nx y Demonstração Suponhamos por absurdo que para todo natural n nx y consideremos então o conjunto a b a b A nx n ℕ A é não vazio 1 x x A e limitado superiormente por y logo admite supremo Seja s o supremo de A Como x 0 s x s assim s x não é cota superior de A por quê logo existe um natural m tal que s x mx e daí s m 1 x que é uma contradição pois s é o supremo de A e m 1 x A Deste modo supor nx y para todo natural n levanos a uma contradição logo nx y para algum natural n O próximo exemplo exibenos duas consequências importantes da propriedade de Arquimedes EXEMPLO Para todo x 0 existe pelo menos um natural n tal que Para todo real x existe pelo menos um natural n tal que n x Solução Como x 0 por Arquimedes existe um natural n tal que nx 1 e portanto Observe nx 1 n 0 Como 1 0 por Arquimedes existe um natural n tal que n x A propriedade que apresentaremos na próxima seção é uma outra consequência importante da propriedade do supremo e será utilizada várias vezes no texto Exercício A12 Prove que se A for não vazio e limitado inferiormente então A admite ínfimo A13 i ii DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE DOS INTERVALOS ENCAIXANTES Seja a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn uma sequência de intervalos satisfazendo as condições a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn ou seja cada intervalo da sequência contém o seguinte para todo r 0 existe um natural n tal que bn an r ou seja à medida que n cresce o comprimento do intervalo an bn vai tendendo a zero Nestas condições existe um único real α que pertence a todos os intervalos da sequência isto é existe um único real α tal que para todo natural n an α bn Demonstração A a0 a1 a2 an é não vazio e limitado superiormente pois todo bn é cota superior de A Assim A admite supremo seja α tal supremo Como α é a menor cota superior de A para todo natural n temos an α bn Se β for outro real tal que para todo n an β bn teremos para todo n α β bn an Tendo em vista a propriedade ii para todo r 0 A14 a b α β r Logo α β por quê LIMITE DE FUNÇÃO CRESCENTE OU DECRESCENTE Sejam f uma função e A um subconjunto do domínio de f Dizemos que f é limitada superiormente em A se existir um número real M tal que para todo x A f x M Por outro lado dizemos que f é limitada inferiormente em A se existir um número real m tal que para todo x A f x m Teorema Seja f uma função definida e crescente em a b Se f for limitada superiormente em a b então com L sup f x x a b Se f não for limitada superiormente em a b então Demonstração a O conjunto f x x a b é não vazio e limitado superiormente logo admite um supremo L Dado então 0 existe um x1 a b tal que L f x1 L Daí para todo x em x1 b temse L f x1 f x L L ou seja L f x L Logo b Como f não é limitada superiormente para todo M 0 dado existe x1 a b tal que f x1 M Pelo fato de f ser crescente temse para todo x x1 b f x M ou seja Fica para o leitor enunciar e provar teorema análogo para o caso de f ser decrescente em a b Conforme as palavras seguintes de Richard Dedekind 18131916 em seu livro Essays on the theory of numbers a razão que o levou à definição de número real veja Apêndice 6 foi exatamente o teorema anterior Minha atenção voltouse primeiramente para as considerações que constituem o assunto deste folheto no outono de 1858 Como professor na Escola Politécnica em Zurique vime pela primeira vez obrigado a dar aulas sobre os elementos do cálculo diferencial e senti mais agudamente do que nunca a falta de um fundamento realmente científico para a aritmética Ao discutir a noção de limite e especialmente ao provar o teorema segundo o qual toda magnitude que cresce continuamente mas não além de todos os limites deve certamente se aproximar de um valor finito tive que recorrer a evidências geométricas Mesmo agora esse recurso à intuição geométrica numa primeira apresentação do cálculo diferencial eu o vejo como extremamente útil do ponto de vista didático e até mesmo indispensável se não se quer perder muito tempo Mas ninguém pode negar que essa forma de introdução ao cálculo diferencial não pode se pretender científica Para mim esse sentimento de insatisfação foi tão esmagador que mantive a firme intenção de continuar refletindo sobre a questão até encontrar um fundamento puramente aritmético e perfeitamente rigoroso para os princípios da análise infinitesimal Dover Publications Inc Nova York A21 Apêndice 2 DEMONSTRAÇÕES DOS TEOREMAS DO CAP 5 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DO ANULAMENTO Teorema do anulamento Se f for contínua em a b e se f a e f b tiverem sinais contrários então existirá pelo menos um c em a b tal que f c 0 Demonstração Para fixar o raciocínio suponhamos f a 0 e f b 0 Façamos a a0 e b b0 seja c0 o ponto médio do segmento a0 b0 Temos Suponhamos f c0 0 e façamos c0 a1 e b0 b1 Temos f a1 0 e f b1 0 Seja c1 o ponto médio do segmento a1 b1 Temos Suponhamos f c1 0 e façamos a1 a2 e c1 b2 Assim f a2 0 e f b2 0 Prosseguindo com este raciocínio construiremos uma sequência de intervalos a0 b0 a1 b1 a2 b2 an bn que satisfaz as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que para A22 todo n Seja c o único real tal que para todo n an c bn As sequências de termos gerais an e bn convergem para c verifique Segue então da continuidade de f que Segue de ① e de ② que f c 0 e f c 0 e portanto f c 0 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO Teorema do valor intermediário Se for contínua no intervalo fechado a b e se γ for um real compreendido entre f a e f b então existirá pelo menos um c em a b tal que f c γ Demonstração Para fixar o raciocínio suponhamos f a γ f b Consideremos a função g x f x γ x em a b Como f é contínua em a b g também o é temos ainda g a f a γ 0 e g b f b γ 0 Pelo teorema do anulamento existe c em a b tal que g c 0 ou seja f c γ A23 TEOREMA DA LIMITAÇÃO Para a demonstração do teorema de Weierstrass necessitaremos do teorema da limitação cujos enunciado e demonstração serão objeto desta seção Dizemos que f é limitada em A Df se existir M 0 tal que para todo x em A f x M Da definição acima segue que se f não for limitada em B Df para todo natural n existe xn B com f xn n Teorema da limitação Se f for contínua no intervalo fechado a b então f será limitada em a b Demonstração Suponhamos por absurdo que f não seja limitada em a b Façamos a a1 e b b1 existe então x1 em a1 b1 tal que f x1 1 Seja c1 o ponto médio de a1 b1 f não será limitada em um dos intervalos a1 c1 ou c1 b1 suponhamos que não seja limitada em c1 b1 e façamos a2 c1 e b2 b1 Não sendo f limitada em a2 b2 existirá x2 a2 b2 tal que f x2 2 Prosseguindo com este raciocínio construiremos uma sequência de intervalos a1 b1 a2 b2 a3 b3 an bn satisfazendo as condições da propriedade dos intervalos encaixantes e tal que para todo natural n 0 existe xn an bn com Segue de ① que Seja agora c o único real tal que para todo n 0 c an bn Como a sequência xn converge para c verifique e f é contínua em c resulta que que está em contradição com Fica A24 provado que a suposição de f não ser limitada em a b nos leva a uma contradição Portanto f é limitada em a b DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE WEIERSTRASS Teorema de Weierstrass Se f for contínua em a b então existirão x1 e x2 em a b tais que f x1 f x f x2 para todo x em a b Demonstração Sendo f contínua em a b f será limitada em a b daí o conjunto A f x x a b admitirá supremo e ínfimo Sejam M sup f x x a b e m inf f x x a b Assim para todo x em a b m f x M Provaremos a seguir que M f x2 para algum x2 em a b Se tivéssemos f x M para todo x em a b a função seria contínua em a b mas não limitada em a b que é uma contradição se g fosse limitada em a b então existiria um β 0 tal que para todo x em a b e portanto para todo x em a b e assim M não seria supremo de A Segue que f x M para todo x em a b não pode ocorrer logo devemos ter M f x2 para algum x2 em a b Com raciocínio análogo provase que f x1 m para algum x1 em a b Observação A ideia que nos levou a construir tal função g foi a seguinte sendo M o supremo dos f x por menor que seja r 0 existirá x tal que M r f x M assim a diferença M f x poderá se tornar tão pequena quanto se queira e portanto g x poderá se tornar tão grande quanto se queira A31 Apêndice 3 DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DA SEÇÃO 61 E DA PROPRIEDADE 7 DA SEÇÃO 22 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DA SEÇÃO 61 Lema 1 Seja a 1 um real dado Então para todo 0 existe um natural n tal que Demonstração Pelo binômio de Newton veja Seção 172 para todo natural n 1 1 n 1 n Tomandose n tal que resulta 1 n a ou e portanto Lema 2 Sejam a 1 e x dois reais dados Então para todo 0 existem racionais r e s com r x s tais que as ar Demonstração Inicialmente tomemos um t x t racional assim para todo racional r x ar at pois estamos supondo a 1 Temos as ar ar as r 1 Pelo lema 1 existe um natural n tal que ou Escolhamos agora racionais r e s r x s tais que Para estes racionais Lema 3 Seja a 1 um real dado Então para todo x real dado existe um único real γ tal que ar γ as quaisquer que sejam os racionais r e s com r x s Demonstração Primeiro vamos provar que existe tal γ O conjunto ar r racional r x é não vazio e limitado superiormente por todo as s racional e s x tal conjunto admite então supremo que indicaremos por γ Segue que ar γ as para todo racional r x e todo racional s x Fica a seu cargo verificar que em realidade temos ar γ as quaisquer que sejam os racionais r e s com r x s Vamos agora provar que tal γ é único Se γ1 for tal que ar γ1 as quaisquer que sejam os racionais r e s com r x s teremos γ γ1 as ar para todo racional r x e todo racional s x Segue então do lema 2 que γ γ1 para todo 0 logo γ γ1 Com relação ao lema anterior observe que se x for racional então γ ax O único γ a que se refere o lema anterior será indicado por f x Fica construída assim uma função f definida em ℝ e tal que f r ar para todo racional r Antes de provar a continuidade de f provaremos que f é estritamente crescente De fato se x1 x2 x1 e x2 reais quaisquer teremos quaisquer que sejam os racionais r1 s1 r2 e s2 tais que r1 x1 s1 e r2 x2 s2 Sendo s um racional x1 s x2 teremos f x1 as f x2 o que prova que f é estritamente crescente Vamos provar agora a continuidade de f Seja p um real qualquer Pelo lema 2 dado 0 existem racionais r e s com r p s tais que as ar A32 Para todo x r s teremos f x f p as ar o que prova a continuidade de f em p Como p foi tomado de modo arbitrário segue que f é contínua em ℝ Se 0 a 1 a função é contínua em ℝ e coincide com ar nos racionais Completamos assim a demonstração do teorema da Seção 61 Vamos provar agora a propriedade 1 da Seção 61 Sejam rn e sn duas sequências de números racionais que convergem respectivamente para x e y segue que rn sn converge para x y Da continuidade da função f x ax segue daí Observe que pois rn e sn são racionais As demonstrações das demais propriedades ficam a seu cargo DEMONSTRAÇÃO DA PROPRIEDADE 7 DA SEÇÃO 22 Teorema Existe a 0 tal que cos a 0 Demonstração Suponhamos por absurdo que não exista um tal número a Como cos 0 1 e cos x é uma função contínua segue do teorema do valor intermediário que cos x 0 para todo x 0 como sen cos teríamos que a função sen x seria estritamente crescente em 0 e como sen 0 0 teríamos sen x 0 em 0 De cos sen seguiria então que cos x seria estritamente decrescente em 0 Como cos x 0 e sen x 1 em 0 existiriam então reais α e β com α 0 1 e β 0 1 tais que Teríamos também Como sen 2x 2 sen x cos x e cos 2x 2 cos2x 1 passando ao limite para x resulta α 2 α β e β 2 β2 1 que admite como única solução o par α β em que α 0 e β 1 que contradiz a condição α 0 1 e β 0 1 Tal contradição é consequência de termos admitido a não existência de um a 0 com cos a 0 Fica provado assim que existe a 0 com cos a 0 Propriedade 7 Existe um menor número a 0 tal que cos a 0 Demonstração O conjunto A x 0 cos x 0 é não vazio e limitado inferiormente logo admite ínfimo a Provemos que a A Se cos a 0 pela conservação do sinal existe r 0 tal que cos x 0 para a x a r que contradiz o fato de a ser o ínfimo de A Segue que a é o mínimo de A ou seja a é o menor real 0 tal que cos a 0 A41 Apêndice 4 FUNÇÕES INTEGRÁVEIS SEGUNDO RIEMANN UMA CONDIÇÃO NECESSÁRIA PARA INTEGRABILIDADE Vamos provar que uma condição necessária mas não suficiente para f ser integrável segundo Riemann em a b é que f seja limitada em a b Lembramos que dizer que f é limitada em a b significa que existe M 0 tal que para todo x em a b f x M Teorema Se f for integrável segundo Riemann em a b então f será limitada em a b Demonstração Como f é integrável em a b tomandose 1 existe uma partição P de a b tal que qualquer que seja a escolha de ci em xi 1 xi i 1 2 n Sejam xj 1 e xj dois pontos consecutivos da partição P vamos provar que f é limitada em xj 1 xj Seguirá daí que f será limitada em a b por quê Temos ou Segue que lembre X Y X Y ou Fixemos ci i j em xi 1 xi como ① se verifica para todo cj em xj 1 xj resulta que f é limitada em xj 1 xj j 1 2 n logo f é limitada em a b EXEMPLO 1 de função limitada e não integrável A função não é integrável em 0 1 Solução Para toda partição P de 0 1 logo não existe por quê e portanto f não é integrável em 0 1 EXEMPLO 2 A função A42 não é integrável segundo Riemann em 0 1 pois f não é limitada neste intervalo SOMAS SUPERIOR E INFERIOR DE FUNÇÃO CONTÍNUA Sejam f uma função contínua em a b e P a x0 x1 x2 xi 1 xi xn b uma partição de a b Como f é contínua f assume em xi 1 xi i 1 2 n valor máximo Mi e valor mínimo mi As somas e denominamse respectivamente soma superior e soma inferior de f relativa à partição P Como mi Mi segue que para toda partição P de a b Sejam P e P duas partições de a b dizemos que P é um refinamento de P se P P O próximo teorema contanos que quando se refina uma partição a soma superior decresce e a inferior cresce Teorema Seja f contínua em a b e sejam P e P duas partições quaisquer de a b com P P Então Demonstração a Suponhamos que P tenha um ponto a mais que P isto é com Assim P a x0 x1 xj 1 xj xn b e Sejam m j1 e m j2 os valores mínimos de f em e respectivamente Observe que em que mj é o valor mínimo de f em xj 1 xj Temos e Segue de ② ou seja Portanto Deixamos para o aluno demonstrar por indução finita que se P tem n pontos a mais que P então b Fica a cargo do aluno Corolário Quaisquer que sejam as partições P1 e P2 de a b Isto é toda soma inferior é menor ou igual a toda soma superior Demonstração Seja P P1 P2 assim P é um refinamento de P1 bem como de P2 Por ① e pelo teorema Assim ou seja Seja f contínua em a b Pelo corolário acima toda soma inferior é cota inferior do conjunto Segue que tal conjunto admite ínfimo Seja L o ínfimo de A Como toda soma inferior é cota inferior de A resulta para toda partição P de a b Por outro lado para toda partição P de a b e qualquer que seja a escolha de ci em xi 1 xi A43 De ③ e ④ resulta para toda partição P de a b e qualquer que seja a escolha de ci em xi 1 xi Provaremos na próxima seção que se f for contínua em a b dado 0 existirá δ 0 tal que para toda partição P de a b com máx Δxi δ Seguirá então de ⑤ que toda função contínua em a b é integrável em a b INTEGRABILIDADE DAS FUNÇÕES CONTÍNUAS Antes de passarmos à demonstração do próximo lema observamos que se f for contínua em p dado 0 existirá δ 0 tal que para todo s e t no domínio de f s t p δ p δ f s f t De fato sendo f contínua em p dado 0 existirá δ 0 tal que para todo x Df De ① e de f s f t f s f p f p f t f s f p f p f t segue que quaisquer que sejam s t Df s t p δ p δ f s f t Lema Seja f contínua em a b Então dado 0 existe uma partição P a x0 x1 x2 xn b de a b tal que Mi mi i 1 2 n em que Mi e mi são respectivamente os valores máximos e mínimos de f em xi 1 xi Demonstração Suponhamos por absurdo que para um dado 0 não exista partição P de a b para a qual se tenha Mi mi para i 1 2 n Façamos então a a1 b b1 e seja c1 o ponto médio de a1 b1 segue que a1 c1 ou c1 b1 não admitirá partição que satisfaça a condição Mi mi em todo subintervalo da partição Seja a2 b2 aquele dos dois intervalos acima que não admite partição satisfazendo a condição citada Seja c2 o ponto médio de a2 b2 a2 c2 ou c2 b2 não admitirá partição satisfazendo a condição citada seja a3 b3 aquele dos dois intervalos acima que não admite tal partição Prosseguindo com este raciocínio construiremos uma sequência de intervalos a1 b1 a2 b2 ak bk satisfazendo a propriedade dos intervalos encaixantes e tal que para todo natural k 1 ak bk não admitirá partição satisfazendo a condição Mi mi em todo subintervalo de tal partição Seja p o único real de a b tal que para todo k 1 p ak bk Como f é contínua em p para o 0 acima existe δ 0 tal que quaisquer que sejam s t em a b s t p δ p δ f s f t Por outro lado existe k tal que ak bk p δ p δ e assim para toda partição de ak bk teríamos Mi mi em todo subintervalo de tal partição que é uma contradição Fica provado deste modo que para todo 0 existe uma partição P de a b tal que Mi mi em todo subintervalo xi 1 xi determinado por tal partição Teorema Se f for contínua em a b dado 0 existirá δ 0 tal que quaisquer que sejam s t a b s t δ f s f t Demonstração Pelo lema dado 0 existe uma partição P de a b tal que em todo subintervalo xi 1 xi determinado pela partição Seja δ o menor dos números Δx1 Δx2 Δxn em que Δxi xi xi 1 Sejam s e t dois reais quaisquer em a b com s t δ Dois casos podem ocorrer s e t pertencem a um mesmo intervalo xi 1 xi ou s ou t pertencem respectivamente a intervalos consecutivos xj1 xj e xj xj 1 No 1º caso teremos No 2º caso teremos Fica provado assim que quaisquer que sejam s e t em a b s t δ f s f t Teorema Integrabilidade das funções contínuas Se f for contínua em a b então f será integrável em a b Demonstração Segue do teorema anterior que para todo 0 existe δ 0 tal que quaisquer que sejam s t em a b Assim para toda partição P de a b com máx Δxi δ teremos A44 e portanto Veja ⑤ de A42 ou seja f é integrável em a b com integral em que L é o ínfimo das somas superiores de f em a b INTEGRABILIDADE DE FUNÇÃO LIMITADA COM NÚMERO FINITO DE DESCONTINUIDADES Lema Se F for crescente em a b e se existir M tal que para todo x em a b f x M então existirá um real L tal que Demonstração O conjunto f x x a b é não vazio e limitado superiormente por M logo admite supremo L Dado 0 existe x0 em a b tal que L F x0 L e portanto pelo fato de F ser crescente x0 x b L f x L logo Teorema Se f for limitada em a b e contínua em a b então f será integrável em a b Demonstração Vamos supor inicialmente f x 0 em a b Como f é contínua em a b para todo t em a b existe Seja Como f x 0 em a b e limitada neste intervalo resulta que F é crescente e limitada em a b pelo lema existe L tal que Vamos provar que f é integrável em a b e que Como f é limitada existe M 0 tal que para todo x em a b 0 f x M Tendo em vista ① dado 0 existe b1 a b1 b tal que Podemos escolher b1 de modo que Por outro lado existe δ 0 que pode ser tomado de modo tal que para toda partição P1 de a b1 com máx Δxi δ Temos também para toda partição P2 de b1 b Seja agora uma partição P qualquer de a b com máx Δxi δ e suponhamos que b1 xj 1 xj temos Portanto f é integrável em a b e Deste modo o teorema fica provado no caso f x 0 em a b Se f não verifica esta condição pelo fato de f ser limitada em a b existirá α 0 tal que f x α 0 em a b Pelo que vimos acima f x α será então integrável em a b Para todo x em a b f x f x α α logo f é integrável em a b por ser soma de duas integráveis em a b Observação Do mesmo modo provase que se f for limitada em a b e contínua em a b então f será integrável em a b Deixamos a seu cargo a demonstração da propriedade se f for integrável em a c e em c b então f será integrável em a b e A45 Como consequência do teorema anterior e da propriedade acima vem o seguinte corolário cuja demonstração é deixada para o leitor Corolário Se f for limitada em a b e descontínua em apenas um número finito de pontos então f será integrável em a b INTEGRABILIDADE DAS FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES Se f for crescente em a b f assumirá em a b valor máximo f b e valor mínimo f a Seja P uma partição qualquer de a b podemos então considerar as somas superior e inferior de f relativa à partição P e As propriedades demonstradas no caso de f se contínuas permanecem válidas no caso de f ser crescente Temos e portanto Se f b f a f será constante logo integrável Podemos supor então f b f a Então dado 0 e tomandose para toda partição P de a b com máx Δxi δ A46 e portanto em que L é o ínfimo das somas superiores Fica provado assim o Teorema Se f for crescente em a b então f será integrável em a b Observação Se f for decrescente em a b então f será crescente e portanto integrável como f f segue que f será também integrável em a b O próximo exemplo nos mostra uma função integrável cujo conjunto dos pontos de descontinuidade é infinito EXEMPLO Seja f 0 1 ℝ dada por Como f é crescente resulta que f é integrável em 0 1 Observe que f é descontínua em todos os pontos do conjunto infinito CRITÉRIO DE INTEGRABILIDADE DE LEBESGUE Henri Lebesgue 18751941 estabeleceu um critério de integrabilidade que nos permite reconhecer se uma função f é ou não integrável em a b olhando apenas para o conjunto dos pontos de a b em que f é descontínua Para estabelecer tal critério precisamos primeiro definir conjunto de medida nula Seja A um subconjunto de ℝ e seja I1 I2 In uma sequência de intervalos dizemos que tal sequência cobre A se isto é se A estiver contido na reunião de tais intervalos EXEMPLO 1 Seja a sequência dada por n 1 2 cobre A pois A I1 I2 I3 Observe No que segue m I indicará a amplitude do intervalo I assim se I 0 2 então m I 2 0 2 se Seja A ℝ dizemos que A tem medida nula se para todo 0 dado existir uma sequência de intervalos I1 I2 I3 In que cobre A e tal que Observação Antes de passarmos aos exemplos lembramos que se 0 q 1 então Se tomarmos teremos EXEMPLO 2 Mostre que tem medida nula Solução Dado 0 tomemos q tal que Consideremos a sequência de intervalos Tal sequência cobre A e como m In qn resulta portanto A tem medida nula Seja A ℝ dizemos que A é enumerável se existir uma sequência a1 a2 an tal que A an n ℕ EXEMPLO 3 ℕ é enumerável pois ℕ an n ℕ em que an n 1 EXEMPLO 4 O conjunto A dos racionais estritamente positivos é enumerável Solução A an n ℕ em que EXEMPLO 5 O intervalo 0 1 não é enumerável Solução Suponhamos por absurdo que fosse enumerável existiria então uma sequência a1 a2 tal que 0 1 an n ℕ Seja agora c1 0 1 com c1 a1 a1 não pode pertencer a Seja α1 β1 o intervalo em ① que não contém a1 Seja agora c2 α1 β1 com c2 a2 a2 não pode pertencer a Seja α2 β2 o intervalo em ② que não contém a2 Prosseguindo com este raciocínio construiremos uma sequência de intervalos α1 β1 α2 β2 αn βn tal que para todo natural n 1 an αn βn Por outro lado existe pelo menos um real p 0 1 tal que p αn βn para todo n 1 Segue que p an para todo n 1 que é uma contradição EXEMPLO 6 Todo conjunto A enumerável tem medida nula Solução Dado 0 consideremos a sequência como Tal sequência cobre A e EXEMPLO 7 Prove que A 1 2 3 tem medida nula Solução A an n ℕ em que a1 1 a2 2 a3 3 e an 3 para n 3 logo A é enumerável e portanto tem medida nula EXEMPLO 8 Seja A ℝ se A for finito então A terá medida nula Solução 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Suponhamos que A tem p elementos batizando os elementos de A por x1 x2 xp resulta A x1 x2 xp an n ℕ em que a1 x1 a2 x2 ap xp e an xp para n p Assim A é enumerável logo tem medida nula Vamos agora enunciar sem demonstração para a demonstração veja Elon Lages Lima Curso de Análise Volume 1 o seguinte Critério de Lebesgue Seja f limitada em a b e seja A o conjunto dos pontos de a b em que f é descontínua A x a b f é descontínua em x Então f integrável em a b A tem medida nula Exercícios Prove que se A estiver contido em B e se B tiver medida nula então A terá também medida nula Prove que o conjunto vazio tem medida nula Prove que se A e B tiverem medida nula então A B também terá medida nula Já foi visto que a função não é integrável em 0 1 Utilizando o critério de Lebesgue conclua que 0 1 não tem medida nula Utilizando o critério de Lebesgue prove que se f for integrável em a b então f será contínua em pelo menos um ponto p a b Suponha f integrável em a b e f x 0 em a b Prove que Utilizando o critério de Lebesgue prove que se f for integrável em a b então f e f2 também serão Seja A o conjunto dos números irracionais pertencentes ao intervalo 0 1 Prove que A não tem medida nula Dê exemplo de um conjunto não enumerável que tenha medida nula Pesquise 10 Utilizando o critério de Lebesgue decida se a função dada é ou não integrável Apêndice 5 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DA SEÇÃO 134 Seja a equação em que g e h são supostas contínuas nos intervalos abertos I1 e I2 respectivamente Consideremos os números reais t0 e x0 com t0 I1 e x0 I2 Tomemos r1 0 e r2 0 tais que t0 r1 t0 r1 I1 e x0 r2 x0 r2 I2 Da continuidade de g e h segue que existem α 0 e β 0 tais que e Observamos ainda que quaisquer que sejam u e v em x0 r2 x0 r2 De fato pelo TVM existe entre u e v tal que e tendo em vista ② segue ③ Suponhamos agora que x x t t I onde I é um intervalo aberto contido em I1 seja solução do problema Então para todo t em I x t g t h x t e portanto para todo t em I ou seja Sendo x x t t I solução de ④ tal função será contínua logo existe r 0 com t0 r t0 r I tal que Podemos escolher r de modo que Lema 1 Se x x t t I for solução de ④ e se h x0 0 então x t x0 em t0 r t0 r Demonstração De ⑤ e da hipótese segue Segue de ③ e de ⑥ que para todo s em t0 r t0 r h x s h x0 β x s x0 Então para todo t em t0 r t0 r Sendo M o máximo de x t x0 em t0 r t0 r resulta ou x t x0 αβM t t0 e assim para todo t em t0 r t0 r x t x0 αβM r e portanto M αβMr por quê Se tivéssemos M 0 observe que M 0 teríamos 1 αβr ou que contradiz ⑦ segue então que M 0 Logo x t x0 em t0 r t0 r Lema 2 Se x x t t I for solução de ④ e se h x0 0 então x t x0 em I Demonstração Pelo lema 1 existe r 0 tal que x t x0 em t0 r t0 r Seja B b I x t x0 em t0 r b Se B não for limitado superiormente teremos x t x0 em t0 r e será então a extremidade superior de I Se B for limitado superiormente admitirá supremo e assim Se pertencer a I pela continuidade de x x t resultará seguirá então pelo lema 1 que existirá tal que contradição Assim é a extremidade superior de I Deixamos a seu cargo concluir que x t x0 em I Teorema Seja a equação em que g e h são definidas em intervalos abertos I1 e I2 respectivamente com g contínua em I1 e h contínua em I2 Nestas condições se x x t t I for solução não constante da equação então para todo t em I h x t 0 Demonstração Se para algum t0 em I tivéssemos h x t0 0 pelo lema 2 teríamos para todo t em I x t x t0 A61 R1 R2 Apêndice 6 CONSTRUÇÃO DO CORPO ORDENADO DOS NÚMEROS REAIS DEFINIÇÃO DE NÚMERO REAL Definição Seja α um subconjunto de ℚ Dizemos que α é um número real se satisfaz as condições R1 α ϕ e α ℚ R2 p q ℚ se p α e q p então q α R3 α não tem máximo A ideia que está por trás de tal definição é a de caracterizar um número real pelo conjunto de todos os números racionais que o precedem Pela definição acima estamos representando um número real α pelo conjunto dos racionais que o precedem EXEMPLO 1 α p ℚ p 2 é um número real De fato α ϕ pois 0 α α ℚ pois 5 ℚ e 5 α Sejam p q racionais quaisquer com p α e q p Temos p α p 2 De p 2 e q p segue q 2 logo q α R3 R1 R2 R3 α não tem máximo verifique Assim o conjunto α p ℚ p 2 satisfaz as condições R1 R2 e R3 logo é número real Seja r um número racional qualquer Deixamos a seu cargo a tarefa de verificar que o conjunto p ℚ p r é um número real Tal número real será indicado por r r p ℚ p r r racional EXEMPLO 2 α ℚ p ℚ p2 2 é um número real quem é α De fato α ϕ pois ℚ α ℚ x ℚ x 0 α ℚ pois 5 ℚ e 5 α Sejam p q dois racionais quaisquer com p α e q p Temos i se p ℚ então q ℚ logo q α ii se p 0 e q 0 então q α iii se p 0 e q 0 De p2 2 segue q2 2 logo q α Seja p α com p 0 Temos para todo n ℕ ou Por outro lado Tomandose então resulta 1 2 3 4 5 6 o que mostra que a não tem máximo Exercícios É número real Justifique a resposta a α p ℚ 3 p 1 2p 5 b α p ℚ p 12 p 3 0 c α p ℚ p3 2p2 3p 6 0 d α p ℚ p20 2p10 5 0 e α p ℚ p3 3 Seja α um número real e indique por Mα o conjunto dos racionais que são cotas superiores de α Prove que β p ℚ p Mα e p mín Mα é número real Sejam α e β números reais Prove que α β e α β são também números reais Sejam os números reais α p ℚ p3 5 e β p ℚ p 2 Determine α β e α β Para cada n N seja o número real Complete a α0 b α1 c α2 d Para cada n ℕ seja o número real Prove que onde indica a reunião de todos os 7 A62 a b números reais α0 α1 αn Seja A r r ℚ r 0 e r2 2 Determine a reunião de todos os reais α com α A Verifique que tal reunião é um número real RELAÇÃO DE ORDEM EM ℝ O símbolo ℝ será usado para indicar o conjunto dos números reais ℝ α α é número real Definição Sejam α e β dois números reais Definimos α β α β α β α β e α β Deixamos a seu cargo verificar que é uma relação de ordem sobre ℝ isto é satisfaz as propriedades 01 α ℝ α α 02 α β ℝ α β e β α α β 03 α β γ ℝ α β e β γ α γ Para provar 04 vamos precisar do Lema Se α é um número real e se x é um racional com x α então p x para todo p α Demonstração Suponhamos por absurdo que exista p α com p x Pela R2 teríamos então que x α contradição Portanto se x α então p x para todo p α Este lema nos diz que todo racional x que não pertence ao real α é uma cota superior de α Vamos agora demonstrar a seguinte propriedade A63 R1 R2 Propriedade 04 Quaisquer que sejam α e β em ℝ α β ou β α Demonstração Quaisquer que sejam os reais α e β α β ou α β Se α β então α β Se α não está contido em β α β então existe um racional x com x α e x β Como x β segue do lema que p x para todo p β Como x α e para todo p β p x segue de R2 que p α para todo p β isto é β α ou seja β α ADIÇÃO EM ℝ Teorema 1 Se α e β são números reais então γ a b a α b β também é número real Demonstração Precisamos provar que γ satisfaz as condições R1 R2 e R3 Como α e β não são vazios existem a α b β assim a b γ logo γ ϕ Por outro lado como α ℚ e β ℚ existem racionais s e t com s α e t β pelo lema da seção anterior temse a α a s e b β b t daí a α b β a b s t Logo s t γ e portanto γ ℚ Precisamos provar que se x γ e y x então y γ Para provar que y γ precisamos fabricar um s α e um t β de modo que y s t Temos R3 x γ x a b para algum a α e algum b β De y x segue y a b daí y a b como b β segue que y a β Então y a y a com a α e y a β Logo y γ Para provar que γ não tem máximo precisamos provar que se x γ então existe y γ com x y Temos x γ x a b para algum a α e algum b β Como α e β não têm máximo existem racionais s α e t β com a s e b t daí a b s t Tomandose y s t temse x y com y γ Assim γ não têm máximo Como R1 R2 e R3 estão verificadas segue que γ ℝ Definição Sejam α e β dois números reais o número real γ a b a α b β denominase soma de α e β e é indicado por α β Assim α β a b a α b β A operação que a cada par α β de números reais associa a sua soma α β denominase adição e é indicada por EXEMPLO Sejam r e s dois racionais prove r s r s Solução Precisamos provar que r s r s e que r s r s Lembramos inicialmente que r x ℚ x r s x ℚ x s e r s x ℚ x r s A64 r s r s x r s x a b para algum a r e algum b s com a e b racionais Provamos assim que x r s x r s logo r s r s r s r s x r s x r s x r s Tomemos um racional u com x r u s u s u s x r u x u r x u r Segue que x x u u com x u r e u s logo x r s Provamos assim que x r s x r s logo r s r s PROPRIEDADES DA ADIÇÃO Nosso objetivo nesta seção é provar que a adição satisfaz as propriedades A1 A2 A3 A4 e 0A Para provar A4 vamos precisar do Lema Sejam a um número real u 0 um racional e Mα o conjunto das cotas superiores de α Nestas condições existem p α q Mα q mín Mα caso mín Mα exista tais que p q u Demonstração Estamos interessados em determinar p α q Mα q mín Mα com p q u Para isto tomemos um racional s α com s mín Mα e para cada n ℕ consideremos o racional qn nu s Seja agora o máximo dos naturais n para os quais qn Mα e qn mín Mα Dois casos podem ocorrer 1º CASO Tomandose p q u 2º CASO que só poderá ocorrer se mín Mα existir Tomandose com p α e q Mα q mín Mα Teorema A adição satisfaz as propriedades A1 Associativa α β γ ℝ α β γ α β γ A2 Comutativa α β ℝ α β β α A3 Existência de elemento neutro α ℝ α 0 α A4 Existência de oposto Para todo α ℝ existe β ℝ com α β 0 0A Compatibilidade da adição com a ordem α β γ ℝ α β α γ β γ Demonstração A1 e A2 ficam a seu cargo A3 Precisamos provar que α 0 α e α α 0 α 0 α Lembramos que 0 u ℚ u 0 Temos x α 0 x a u para algum a α e algum u 0 u ℚ u 0 a u a x a x α portanto x α 0 x α Logo α 0 α α α 0 Precisamos provar que se x α então é possível fabricar um a α e um u 0 tal que x a u Então x α a α com x a pois α não tem máximo x a x a 0 Assim x a x a com a α e x a 0 logo x α 0 Portanto α α 0 A4 Seja α um número real de acordo com o Exercício 2A61 β p ℚ p Mα e p mín Mα é um número real Vamos provar que α β 0 α β 0 x α β x a b para algum a α e algum b β b β b a a b 0 Assim x α β x 0 ou seja α β 0 0 α β Precisamos provar que se x 0 então x a b para algum a α e algum b β Como x 0 segue do lema anterior que existem a α e b Mα com b 1 2 3 4 mín Mα tais que x α b assim x a b com a α e b β Portanto 0 α β Provamos assim que dado um real α existe um real β tal que α β 0 provaremos mais adiante que tal β é único e será então denominado oposto de α e indicado por α 0A Sejam α β γ ℝ com α β vamos provar que α γ β γ Temos x α γ x a c para algum a α e algum c γ Da hipótese segue que a α a β Lembrese α β α β Assim x a c para algum a β e algum c γ Logo x β γ Provamos assim que α β α γ β γ α γ β γ Teorema Unicidade do oposto Se α β 0 e α γ 0 então β γ Demonstração β 0 β γ α β γ α β γ 0 γ Teorema Unicidade do elemento neutro Se α γ α para todo α ℝ então γ 0 Demonstração Da hipótese segue que 0 γ 0 daí γ 0 Exercícios Prove α β γ ℝ α β α γ β γ Prove α β γ ℝ α γ β γ α β lei do cancelamento Prove α ℝ α α Prove α ℝ α 0 0 α 5 A65 R2 Prove α β γ δ ℝ α β e γ δ α γ β δ MULTIPLICAÇÃO EM ℝ Teorema Sejam α β ℝ com α 0 e β 0 Então γ ℚ ab a α b β a 0 b 0 é um número real Demonstração R1 γ ϕ pois ℚ γ Para provar que γ ℚ procedemos assim como α e β são números reais existem racionais m e n com m α e n β daí a α com a 0 a m b β com b 0 b n logo ab mn para todo a α a 0 para todo b β b 0 portanto mn γ Por quê Sejam p q racionais com p γ e q p precisamos provar que q γ Então a Se p 0 então q 0 logo q γ b Se p 0 e q 0 q γ c Se p 0 e q 0 vem p γ e p 0 p ab para algum a α a 0 e para algum b β b 0 De 0 q p ab vem assim e logo Portanto q γ R3 Para provarmos que γ não tem máximo basta provarmos que se p γ e p 0 então existe q γ com q p Temos p γ p 0 p ab para algum a α a 0 e algum b β b 0 Como α e β são números reais existem a a com a α b b com b β daí ab ab p com ab γ A seguir daremos a definição de produto de dois números reais Definição Sejam α β ℝ Definimos o produto de α por β por EXEMPLO Seja α ℚ p ℚ p2 2 prove que α α 2 Solução α α ℚ ab a 0 e a2 2 b 0 e b2 2 Precisamos provar que α α 2 e que 2 α α α α 2 x α α e x 0 x 2 x α α e x 0 x ab com a 0 e a2 2 b 0 e b2 2 x ab x2 a2 b2 4 x 0 e x2 4 x 2 Portanto x α α e x 0 x 2 Segue que α α 2 2 α α x 2 e x 0 x α α Existe a racional a 0 tal que Daí como e resulta que Assim como a 0 logo x α α Assim x 2 e x 0 x α α Portanto 2 α α Provamos assim que α α 2 ou seja 2 admite raiz quadrada em ℝ Vamos provar a seguir que se então existe a 0 racional tal que De fato como x é racional ou Se basta tomar Se tomemos um natural n tal que tomandose n tal que A66 em que Seja em que n é um dos naturais que verifica ① Um dos termos da progressão geométrica u2 u4 u6 u2k está compreendido entre e 2 por quê Seja k o natural para o qual se tem Basta então tomar a uk Exercício Prove que se α e b são dois racionais quaisquer então ab ab PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO Nesta seção vamos provar as propriedades M1 M2 M3 M4 D e OM Para provar M4 precisamos do Lema Sejam α 0 um número real e u racional com 0 u 1 Então existem racionais p α q Mα com q mín Mα caso Mα admita mínimo tais que Mα é o conjunto das cotas superiores de α Demonstração Fica a cargo do leitor Sugestão Tome um s α e para cada natural n considere o racional qn sun agora proceda como na demonstração do lema da Seção A64 Teorema Sejam α β e γ reais quaisquer A multiplicação verifica as seguintes propriedades M1 αβ γ α βγ M2 αβ βα M3 α 1 α M4 Se α 0 existe β ℝ tal que α β 1 D α β γ αβ αγ OM α β e 0 γ αγ βγ Demonstração M1 e M2 ficam a seu cargo M3 Suponhamos inicialmente α 0 Precisamos provar que α 1 α e α α 1 α 1 α Lembramos inicialmente que α 1 ℚ ab a α a 0 0 b 1 x α 1 e x 0 x α x α 1 e x 0 x au com a α α 0 e 0 u 1 De u 1 e a 0 segue au a e portanto x au α Fica provado deste modo que α 1 α α α 1 x α e x 0 x α 1 x α e x 0 a α com x a Assim pois a α a 0 e com Portanto α α 1 Provamos assim que se α 0 então α 1 α Se α 0 pela definição de produto α 1 0 1 0 α Se α 0 α 1 α 1 α α Segue que para todo α ℝ α 1 α M4 Fica a cargo do leitor Sugestão Suponha inicialmente α 0 e considere o número real Proceda então como na demonstração de A4 e conclua que α β 1 Se α 0 α 0 logo existe β tal que α β 1 mas α β α β logo α β 1 D Precisamos provar que α β γ αβ αγ e α β γ αβ αγ 1º CASO α 0 β 0 e γ 0 α β γ αβ αγ x α β γ e x 0 x αβ αγ x α β γ e x 0 x ad para algum a 0 a α e para algum d β γ d 0 d β γ d b c com b β e c γ Assim x ab ac αβ αγ pois ab α β e ac αγ Portanto α β γ αβ αγ αβ αγ α β γ x αβ αγ e x 0 x α β γ Suponhamos então x 0 e x αβ αγ Como αβ 0 e αγ 0 existem u αβ u 0 e v αγ v 0 tais que x u v Verifique Segue que existem a a α com a 0 e a 0 b β com b 0 c γ com c 0 tais que x ab ac A67 Supondo a a resulta x ab ac ab ac a b c α β γ logo pela R2 x α β γ Fica provado que αβ αγ α β γ 2º CASO α 0 e β γ 0 Suponhamos β 0 Temos αγ α β γ β α β γ α β 1º caso daí α β γ αβ αγ 3º CASO α 0 e β γ 0 α β γ α β γ α β α γ ou seja α β γ αβ αγ Deixamos a seu cargo verificar os demais casos OM Deixamos a seu cargo TEOREMA DO SUPREMO Um subconjunto A de ℝ se diz limitado superiormente se existe um número real m tal que para todo α A α m Para demonstrar o teorema do supremo vamos precisar do seguinte Lema Seja A um subconjunto de ℝ não vazio e limitado superiormente Então é um número real γ é a reunião de todos α pertencentes a A Demonstração R1 Sendo A ϕ existe α A e como α ϕ resulta γ ϕ Sendo A limitado superiormente existe um número real m tal que α m para todo α A Como m é número real existe x racional com x m daí para todo α A x α logo x γ e portanto γ ℚ R2 Sejam p e q dois racionais quaisquer com p γ e q p Temos p γ p α para algum α A p α e q p q α q α q γ R3 p γ p α para algum α A Como a não tem máximo existe com Assim para todo p γ existe com Portanto γ não tem máximo Como R1 R2 e R3 estão verificadas segue que γ é um número real Teorema do supremo Se A for um subconjunto de ℝ não vazio e limitado superiormente então A admitirá supremo Demonstração Seja Pelo lema γ é número real Vamos mostrar que γ é o supremo de A isto é γ sup A De fato como γ é a reunião dos α pertencentes a A segue que para todo α A γ α ou seja γ α Logo γ é cota superior de A Por outro lado se γ é uma cota superior qualquer de A γ α para todo α A e portanto para todo α A γ α logo ou seja γ γ Assim γ é a menor cota superior de A isto é γ sup A A68 i ii IDENTIFICAÇÃO DE ℚ COM Inicialmente vamos definir aplicação bijetora aplicação e função são palavras sinônimas Sejam A e B dois conjuntos não vazios e φ uma aplicação de A e B Dizemos que φ é bijetora se Im φ B s t A s t φs φt A condição i significa que φ é sobrejetora e a ii injetora Deste modo φ é bijetora se e somente se φ for injetora e sobrejetora Seja α um número real Dizemos que α é um número real racional se existe um racional r tal que α r O conjunto dos números reais racionais será indicado por Seja α um número real Se α não pertencer a diremos que α é um número real irracional Verifique que α ℚ x ℚ x2 2 é um número real irracional Olhemos agora para a aplicação dada por φr r que a cada racional r associa o real racional r Tal aplicação é bijetora verifique Além disso temos i φr s r s r s φr φs ii φr s rs r s φr φs iii r s r s Tal aplicação φ nos permite então identificar o racional r com o real racional r Neste sentido podemos olhar para ℚ como subconjunto de ℝ RESPOSTAS SUGESTÕES OU SOLUÇÕES CAPÍTULO 1 12 h 2x3x 0 para x 2 ou x 3 2x3x 0 para 2 x 3 2x3x 0 para x 2 A expressão não está definida para x 3 i 2x 132x 0 para x 12 ou x 32 2x132x 0 para 12 x 32 2x132x 0 para x 12 ou x 32 j xx3 0 para x 0 ou x 3 xx3 0 para 0 x 3 xx3 0 para x 0 ou x 3 l xx12x3 0 para 32 x 0 ou x 1 xx12x3 0 para x 32 ou 0 x 1 xx12x3 0 para x 0 ou x 1 ou x 32 m x11x23x 0 para x 1 ou 23 x 1 x11x23x 0 para 1 x 23 ou x 1 x11x23x 0 para x1 ou x1 ou x23 n xx23 0 para x 0 xx23 0 para x 0 xx23 0 para x0 o 2x1x21 0 para x 12 2x1x21 0 para x 12 2x1x21 0 para x 12 p a 0 ax b 0 para x ba ax b 0 para x ba ax b 0 para x ba q a 0 ax b 0 para x ba ax b 0 para x ba ax b 0 para x ba 7 a b c d e f g h i j 10 a b c x 2 ou x 2 1 x 1 x 2 ou x 2 x 1 ou x 1 x 3 ou 1 x 3 x 2 ou x 2 x 2 ou x 2 x 4 ou x 4 r x r x r ou x r x 1 x 2 x 1 x 2 x 12 d e f g h i j 11 a b c d e f g h i j 13 a b c d e x 32 x 2x 3 x 1 2x 1 x 5 x 5 x 1 3x 2 2x 3 2x 3 x 2x 5 1 x 2 x 2 ou x 3 x 0 ou x 3 3 x 3 x 1 ou x 2 x 1 ou x x 2 0 x Não admite solução x Qualquer x Qualquer x Não admite solução Não admite solução x 3 f g h i j 17 a b c d e f 19 a b c d e f 20 a b c d 1 a x x 0 x 1 x x 0 1 2 1 1 e 2 1 2 3 2 2 x 1 x 1 x 2 x 12 x 1 x 2 x x 3 x 1 x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x2 x 1 x 1 x 3 ou 2 x 1 3 x 2 ou x 2 x 3 ou 0 x 1 13 7 b c d e f 2 a b c d e f 3 a b c d e f g h i j l 3 a a a se a 0 a se a 0 a se a 0 a se a 0 x 2 ou x 2 x 2 ou x 4 x 1 ou x 0 Não admite solução x x 1 x 1 1 x 2 Não admite solução x 1 x 1 x 0 1 x 7 x 3 ou x 3 x 4 ou x 2 x 0 ou x 3 x 1 x 0 ou x 2 m n o 5 a b c d 1 2 3 4 3 a b x x 1 x 1 ou x 2 2x 1 se x 1 1 se 1 x 0 2x 1 se x 0 3 se x 1 2x 1 se 1 x 2 3 se x 2 3x 3 se x x 1 se x 2 3x 3 se x 2 3x 3 se x 0 x 3 se 0 x 1 x 1 se 1 x 2 3x 3 se x 2 14 0 r 1 0 r s em que s é o menor dos números b p e p a CAPÍTULO 2 21 2 3 c d e f g h i j l m 2 2x h 2x 3 h 2x h 2x 2 h 2x 2 h 4x 2h 4x 1 2h 3x2 3xh h2 3x2 2 3xh h2 4 a Df R b Dg R c Dh R Graphs d Df R e Dg R f Dg R Graphs g Df R h Dh R i Df R Graphs j Dg R l Df R Graphs m Dh R n Df R o Dh x R x 1 hx x2 1x 1 x 1 x 1 p Dg x R x 1 gx x2 2x 1x 1 x 1 x 1 q Dg x R x 0 r Dg x R x 1 s Df x R x 12 5 b 6 a b c d 7 a fx 0 se x 3 fx 0 se x 3 fx 0 se x 3 b fx 0 se x 12 fx 0 se x 12 fx 0 se x 12 c fx 0 se x 13 fx 0 se x 13 fx 0 se x 13 d fx 0 se x 23 fx 0 se x 23 fx 0 se x 23 e fx 0 se x 3 fx 0 se x 3 fx 0 se x 3 f fx 0 se x 18 fx 0 se x 18 fx 0 se x 18 g fx 0 se x ba fx 0 se x ba fx 0 se x ba h fx 0 se x ba fx 0 se x ba fx 0 se x ba 8 a fx 0 se x 2 ou x 1 fx 0 se x 2 ou x 1 fx 0 se 2 x 1 b fx 0 se x 32 ou x 1 fx 0 se x 32 ou x 1 fx 0 se 32 x 1 c fx 0 se 0 x 1 fx 0 se x 0 ou x 1 fx 0 se x 0 ou x 1 d fx 0 se 2 x 3 fx 0 se x 2 ou x 3 fx 0 se x 2 ou x 3 e fx 0 se x 1 ou x 1 fx 0 se x 1 fx 0 se 1 x 1 f fx 0 se 12 x 32 fx 0 se x 32 fx 0 se x 12 ou x 32 g fx 0 se x 32 ou x 0 fx 0 se x 0 fx 0 se 32 x 0 h fx 0 se x 12 ou x 2 fx 0 se x 12 fx 0 se 12 x 2 i fx 0 se x 1 ou 0 x 12 fx 0 se x 0 ou x 12 fx 0 se 1 x 0 ou x 12 j fx 0 se x 13 fx 0 se x 13 fx 0 se x 13 l fx 0 se x 1 ou 32 x 2 fx 0 se x 1 ou x 32 ou x 2 fx 0 se 1 x 32 ou x 2 m fx 0 se x 12 ou 1 x 32 fx 0 se x 32 fx 0 se 12 x 1 ou x 32 9 a x R x 1 b x R x 1 e x 1 c R d x R x 2 e x R x 2 f x R x 0 e x 1 g x R x 1 ou x 1 h x R x 3 ou x 0 i R j 0 23 l 13 12 m x R x 2 ou x 3 n t R t 1 ou t 1 o x R x 0 e x 1 p 2 2 q 52 52 r 1 3 s 0 1 t 0 52 u 0 1 10 a b c d e f g h i j l m n o p y x² se x 0 y x² se x 0 q y x³ se x 0 y x³ se x 0 r s 11 b c f2 1 é o menor valor atingido por f n o 13 a b c d e f 14 a b c d e f g j f x 0 se x 1 ou x 1 f x 0 se 1 x 1 f x 0 se x 2 ou x 3 f x 0 se 2 x 3 f x 0 para todo x f x 0 se 0 x 3 f x 0 se x 0 ou x 3 f x 0 para x 1 f x 0 para x 1 f x 0 para x 3 f x 0 para x 3 f x 0 para 3 x 3 f x 0 para x 3 ou x 3 f x 0 para todo x 15 a Df x R x 0 b D x R x 1 c D x R x 1 d D x R x 0 e D x R x 0 f d x R x 0 g D x R x 2 h D x R x 2 i D x R x 0 j D x R x 0 l D x ℝ x 1 m D x ℝ x 1 n D x ℝ x 1 o D x ℝ x 0 p D x ℝ x 0 q D x ℝ x 0 r D 1 s D 2 t D ℝ u D ℝ v D ℝ x D ℝ 16 b 17 D x ℝ x 1 ou x 1 18 a D ℝ b D x ℝ x 2 ou x 2 c D x ℝ x 3 ou x 3 d D ℝ e D 3 3 f D 3 1 y 9 x² x² y² 9 y 0 y 1 x 2² x 2² y² 1 y 0 19 a fx 4 x² b 20 a y 1 x² b y x c y 4 x 12 d x2 y2 2y 0 x2 y2 2y 1 1 x2 y 12 1 y 1 y 1 1 x2 e x 12 y 22 5 y 2 f y 1 x 1 21 a f2 máx 2 12 2 f1 máx 1 1 1 f12 máx 12 2 2 b Df x ℝ x 0 22 a f12 máx n ℤ n 12 0 b f1 1 f54 1 e f15 1 23 a 2 b 5 c 2 d 1 e 10 f 2 24 d x4 1 x 25 Tx x2 100 30 x2 s 26 b y 3 1 x2 4 27 a b 28 a y 4 3x2 x2 232 y2 22 1 y 0 b y 1 4x2 y 0 x2 122 y2 12 1 29 a y x 1 b y 2x 3 c y 3x 5 d y 12x e y 2 f y 52x 152 30 552 31 d m 2m m2 1 32 Cr 2000r 3000 π r2 33 A 34 l2 34 A x 4r2 x2 35 V π h r2 h24 36 a b h2 4 37 Quadrado 38 Divida em partes iguais 39 40π4 e 10ππ4 40 1443943 e 324943 41 a x12 y2 12 b x122 y122 122 c x142 y2 342 d x322 y122 322 42 a 3 b 0 c 13 d 13 e 2 f 13 43 a y32x1 ou y2x1 b y 23 x1 c y x3 d y 12 x 45 a y x 3 b y 13 x c y 13 x 43 d y 32 x 12 e y 23 x f y 15 x 1 22 1 a b c d e f g h i j 24 1 a graph image b graph image c graph image d graph image e fx gx 0 e gxfx 1 para todo x 1 a b c d e CAPÍTULO 3 31 Em todo p real Em todo p real Em todo p real Em todo p 1 Em todo p 1 f 2 a b c d e f h 4 a b g Em todo p real 3 3 1 5 1 0 4 1 c 12 Observe x 1 x 1 x 1 x 1x 1 1 x 1 x 1 d 0 e 2 f 0 32 1 g 𝜖 0 x 0 x 0 𝜖 x 𝜖² Então dado 𝜖 0 e tomandose δ 𝜖² para todo x Df x 0 x 0 δ x 0 𝜖 logo fx x é contínua em p 0 h 𝜖 0 1 𝜖 x 1 𝜖 1 𝜖³ x 1 𝜖³ Dado 𝜖 0 e tomandose I 1 𝜖³ 1 𝜖³ 1 I x I 1 𝜖 x 1 𝜖 logo x é contínua em p 1 2 Para todo 𝜖 0 x 0 e p 0 1p 𝜖 1x 1p 𝜖 1 epp 1x 1 epp Para p 0 e 1 ep 0 𝜖 1p 1p 𝜖 1x 1p 𝜖 p1 ep x p1 ep Então dado 𝜖 0 𝜖 1p p 0 e tomandose I p1 ep p1 ep p I x I 1p 𝜖 1x 1p 𝜖 logo fx 1x é contínua em p 0 Analise o caso p 0 Veja como as coisas acontecem graficamente 5 8 9 a b c d 11 a b 12 a b c d e f 13 15 17 Não Para não existe δ 0 que torna verdadeira a afirmação Seja p racional então f p 1 se f fosse contínua em p pela conservação do sinal existiria δ 0 tal que f x 0 para p δ x p δ que é impossível pois em p δ p δ existem infinitos irracionais x ℝ x ℤ x ℝ x ℤ 0 só é contínua em 0 1 1 L 4 com L 4 f x x 2 para todo x que é contínua em p 2 L 1 4 1 Não existe 6 1 Não existe Como f é contínua em 2 para todo 0 dado existe δ 0 tal que x Df 2 δ x 2 δ 8 f x 8 Em particular para 1 existirá δ 0 tal que 2 δ x 2 δ 7 f x Para se ter f x f p basta que se tenha M x p Tomando se Para se ter f x f 0 observe que f 0 0 basta que se tenha 18 20 21 23 a b c 25 27 b 1 a b c d e f g Tomandose Observe que f x x Suponha que exista p com f p 0 e aplique a conservação do sinal Aplique o Exercício 20 à função h x g x f x Observe que Dado 0 e tomandose x 1 δ f x f 1 Verifique f x f 1 7 x 1 para e proceda como no Exercício 23c Dado 0 e tomandose x p δ x3 p3 33 4 4 7 5 50 4 2 j l m n o p q r s t u 2 a b 3 4 a b c d h i c 6 0 2 2 2 12 Não é contínua em 1 Em 0 é 2x 4x 1 0 3x2 2 e f 6 8 10 1 a b c d e f g 3 Como tomandose Tomandose 1 existe logo Sugestão f x L 1 f x L 1 Por quê 34 1 1 1 0 Não existe Não existe 1 h i j l m 2 3 b c d 2 a b c d 3 a b c d 1 1 a 1 2 2 1 Não existe É falsa Não pois f não está definida em 1 35 3 0 2 L 3L 2L L 36 2 2 3 4 b 5 a b 6 a b 7 b 12 1 a b c d e f g h i j l 3 0 0 Não existe 0 Observe que 0 0 Sugestão Para 38 1 1 3 1 0 3 0 0 0 m n o p q 2 b 3 a b c d 1 a b c d e f g h 2p 0 2 0 π 0 cos p sen p sec2 p sec p tg p CAPÍTULO 4 41 0 0 5 2 2 2 j m n o p q r s 2 3 a b 4 a 1 a b c d e l 0 0 1 0 0 0 Aplique a definição de limite com 0 42 f g h i j l m 2 3 a b c d e f g h 4 a b c d e f 0 2 0 0 Dado 0 e tomandose 0 0 g h i j l m n o p q r s 9 1 a b c d e f g h i Aplique a definição com 1 43 2 1 0 2 0 3 4 a b 5 6 a b 7 a 1 a 2 4 5 6 1 2 3 44 0 Observe x f x x 2 2 Seja e considere as sequências Verifique que CAPÍTULO 5 f 1 1 f 0 1 e f é contínua em 1 0 Verifique que f x x3 4x 2 tem uma raiz real em cada intervalo 3 2 0 1 e 1 2 5 7 9 11 12 a é contínua em 2 2 pelo teorema de Weierstrass existem x1 x2 em 2 2 tais que f x1 f x f x2 em 2 2 Assim f x1 é o valor mínimo e f x2 o valor máximo do conjunto a Seja f x ax3 bx2 cx d e suponhamos e logo existem x1 e x2 com x1 x2 tais que f x1 0 e f x2 0 Como f é contínua em x1 x2 Seja J f x x I 1º Caso J não é limitado nem superiormente nem inferiormente Para todo m real existem x1 e x2 em I com f x1 m f x2 Tendo em vista a continuidade de f pelo teorema do valor intermediário existe c entre x1 e x2 com f c m Segue que J ℝ 2º Caso J é limitado superiormente mas não inferiormente Seja M sup J Seja m um real qualquer em M Existem x1 x2 em I com f x1 m f x2 por quê Pelo teorema do valor intermediário existe c entre x1 e x2 tal que f c m Segue que M J Por outro lado para todo x em I f x M Logo se M não for máximo de J J M se M for máximo de J J M Analise os demais casos Se f 0 0 ou f 1 1 nada há o que provar Suponha que nenhuma das situações anteriores ocorra aplique o teorema do anulamento a g x f x x Suponha por absurdo que existam u v em a b com u v e tais que f u f v Se f a f v pelo teorema do valor intermediário existe c em a u tal que f c f v contradição Se f v f a f u CAPÍTULO 6 61 1 a b c d e f g h i j 0 0 0 0 0 1 a b c d e f g h 2 a b c 62 2 4 0 Não existe 0 5 x 1 x 1 ou x 1 x 0 d e f 4 a b c d e f x 0 x 1 ou x 1 x 0 e x 1 0 ln 2 ln 2 g 1 a b c d e f g h 2 3 a b c d 1 a c 2 3 a b c 63 e2 e e2 e 1 e2 e2 Sugestão ah eh ln a 2 0 ln 5 CAPÍTULO 7 72 2 2x 2 3 3 3 4 a b c d e f g h 5 a b c d 15 a 3 5 1 4 y 4x 4 x 6y 9 0 y x 1 2 16 b 17 b 1 a b c 7 9 1 2 4 a b c d 0 Não 73 5x4 0 80 y 4x 4 74 y x 1 y x 1 2x ln 2 5x ln 5 πx ln π ex 1 a b 2 3 a b c d 4 a b 5 6 a b 7 a b 75 cos x y x sen x 0 sec2 x sec x tg x y x cosec2 x 2 cosec x cotg x 77 1 a 6x b 3x² 2x c 9x² 4x d 3 12x e 6x³ f 23x² g 3 1x² h 4x² 10x³ i 2x² 12 x j 13x² 12x l 2 1x² 2x³ m 18x² 13x² n 20x³ 3bx² 2cx 2 y 2x 3 a 34 2 32 2 b graph image 4 a fx 0 em 2 e em 0 fx 0 em 2 0 b e c graph image 5 a fx 0 em 53 e em 1 fx 0 em 53 1 b e c 10 a b c d 2x 1 sen x x2 cos x 0 6a 1 sen 3a 9a2 cos 3a 2x2 1 sen x2 x4 cos x2 14 a ex cos x x cos x x sen x b x 1 ln x 2 cos x x sen x cos x c ex sen x cos x cos2 x sen2 x d ex tg x 2x 1 x tg x sec2 x 3 4 8 a b c d e f 8 36 6x 2 cos t t sen t 2et sen t 711 1 a b c d e f g h i 2 3 4 cos 4x 5 sen 5x 3e3x 8 sen 8x 3t2 cos t3 esen t cos t ex sen ex 3 sen x cos x2 cos x sen x 10 4 4 a e3x 1 3x b ex cos 2x 2 sen 2x c ex cos x sen x d e2t 3 cos 3t 2 sen 3t e 2x ex2 2 2x 1 f 4 et et2 g 5 sen 5x sen 2x 2 cos 5x cos 2x sen2 2x h 3 ex ex22 ex 2x ex2 i 3t2 e3t 1 t j ex2x ln 1 x 1 2 x x l 3 sen 3x cos 2x2 3 cos 3x 2 sen 2x m ex ex 2ex ex n 1 x2 1 o 4x x ex 4x3 x ex p ln 2x 1 2x 2x 1 q 6x ln x2 12 x2 1 r sec x s 9x2 cos2 x3 sen x3 t sen2 x 2 cos2 x sen3 x u e2t 1 2t ln 3t 1 3t 3t 1 ln 3t 12 5 a 25 sen 5t b 16 cos 4t c w2 sen wt d 9e3x e 2 ex2 2x2 1 f ex x2 1 x 13 g 2 1 x2 x2 12 h 2 x 13 i ex 4e2x j ex 4 sen 2x 3 cos 2x l 2x x2 3 x2 13 7 8 12 13 16 a b c d e f g h i j l m 23 b c 8 11 2 1 ou 2 3 sec2 3x 4 sec 4x tg 4x 2x cosec2 x2 sec2 x sec tg x tg tg x 3x2 sec x3 tg x3 2x sec2 x2 etg x2 2 cosec 2x cotg 2x x2 3 tg 4x 4x sec2 4x 3 sec 3x ex sec x2 1 2x tg x2 6x x2 cotg x22 1 cosec2 x2 2x tg 2x x sec2 2x 7 y 2x 1 10 c Graph image with curves labeled 11 Ponto de abscissa x 56 12 1001012 15 2 1 16 655 17 32 cms 18 09100π ms 19 dxdt 1 cos θ e dydt sen θ 716 1 a y 3x e y 13x b y 112 x 43 e y 12x 98 c y 2x 3 e y 12 x 12 d y 2 e x 1 2 y 12 x 116 3 y 6x 2 ou y 6x 2 4 y 2x 254 5 y 13 x 227 ou y 13 x 227 6 a 1 1 b y 12 x 32 7 y 3x ou y 4x 8 0 12 2 12 e 12 25316 9 Pontos de abscissas 12 e 23 10 y 3x 2 2 a 3 a 713 714 dA 2l dl dV 4πr2 dr 4 a b 1 a b c 2 a b 3 a b c 7 a dy 2x 3 dx dx2 715 2 2t 2 v t 0 em 0 1 v t 0 em 1 0 v t 0 em 0 2 v t 0 em 2 a t 0 em 0 1 a t 0 em 1 ft 0 em 2 e em 0 ft 0 em 2 0 b c d f t 0 em 1 f t 0 em 1 e 11 y 13 x 43 12 a b tal que b a2 13 1 14 1 15 y x 14 ou y x 14 717 1 a 19 b 1 c π d 0 e 0 f 324 g 0 h 28 i 1 2 a 14x 1 x b 31 9x2 c 5x2 1 2x2 ln 5 d 2 sen xx ln 2 sen x x cos x 2 sen x e sec x f et2 2t sen 3t 3 cos 3t g ln t2 1t2 1 4t2t4 1 h 3x2 4x 12 x 1 x 1 i 3t2 t4t2 13 j 3x 4 x2 sec2 3x 4 x2 tg 3xx2 42 l sec x m esec x x sec x tg x 22x2 n exx xx 1 ln x o tg3 x p 1 xx2 1 x2 q 2 3x12 3x r 12 ln 2 23t 23t2 s 12 x cos x t 6 e3x cos 3x u 5 cotg3 5x 3 a y cos xy 3y2 x cos xy b 1 yx ey c 1 yx ln y2y xyx 1 d y sen x cos ycos x x sen y 4 y 5 538 x 1 e y 5 385 x 1 5 x y 2 ou x y 2 28 47 30 8 712 1 a 5x ln 5 1x ln 3 b 2x 2x2 ln 2 2 32x ln 3 c 2 32x1 ln 3 2xx2 1 ln 2 d 2x1x ln2x1 2x2x1 e xsen 3x 3 cos 3x ln x sen 3x x f 3 cos xx ln 3 cos x x sen x 3 cos x g xx 1 ln x sen x cos x h xx2 1 2x ln x x2 1x i 1 it ln 1 i j 10x 10x ln 10 l 2 sen xcos 3x 3 sen 3x ln 2 sen x cos x cos 3x 2 sen x m xx 1 ln x1 xx n 1 1xx ln 1 1x 11 x o xxxx 1 ln x ln x 1x p πxπ1 πx ln π q 1 xex ex ln 1 x ex 1 x 6 8 9 14 17 21 a b 22 a b c d 23 a b 27 a 28 a b 29 a x 4y 9 ou x 4y 9 x y 1 05 m2s 0003 mmin a 2x2 2 4x3 4x cos sen x x2 cos sen x cos x 1 h t 9 cos 3t f cos 3t 9 sen2 3t f cos 3t y2 2t2 y3 3 cos y x sen y cos 2y x sen y 34 Px P1 P1x1 P12 x12 P13 x13 ou seja Px 6 5x1 3x12 x13 39 a 10198 b 118 c 817 d 12 41 a 1 b 13 c d e 14 f 6π7 CAPÍTULO 8 81 1 a π2 b π6 c π3 d π4 e π4 f π3 g π6 h π2 i π3 j π3 l π6 m π6 3 a 32 b 12 c 12 d 2 e x f x g π3 h 0 i π3 j x 7 a gx x b 8 gx 1x 9 gx x1x1 10 a y ln x x2 1 b 11 82 1 a arc tg x x1x2 b 319x2 c 3x21x6 d 2x1x4 e 612x32 f ex1e2x g e3x 3 arc sen 2x 214x2 h 3116x2 cos 3x arc tg 4x 4 sen 3x116x2 arc tg 4x2 i 2xearc tg 2x 1 x14x2 j arc tg x x1x2 cos 2x 2x arc tg x sen 2x cos2 2x 1 a CAPÍTULO 9 92 Est cresc em 0 e 2 Est decresc em 0 2 c Est cresc em 1 e 1 Est decresc em 1 0 e 0 1 f g Est cresc em 1 e 1 Est decresc em 1 1 Observe que f 0 0 Est decresc em 1 e 1 Est cresc em 1 1 h i j l Est decresc em 0 Est cresc em 0 Est cresc em ℝ Est cresc em 0 Est decresc em 0 Est cresc em ln 2 Est decresc em ln 2 m n p Est decresc em 0 e em 0 Est cresc em 1 Est decresc em 0 e 0 1 Est cresc em 1 Est decresc em 1 q r s t Est cresc em 0 e 1 2 Est decresc em 0 1 e 2 Est cresc em 1 Est decresc em 0 e 0 1 Est cresc em 0 e 2 Est decresc em 0 1 e 1 2 Est cresc em 0 e Est decresc em e u 2 3 4 5 a b c d e f 6 a Est cresc em 0 Est decresc em 0 2 1 Cada um dos intervalos 3 2 0 1 e 1 2 contém uma raiz a 27 ou a 5 0 0 0 Est cresc em 0 e 2 Est decresc em 0 2 b c d 1 a Est cresc em e1 Est decresc em 0 e1 Est decresc em 0 1 e 1 e Est cresc em e Est cresc em e1 Est decresc em 0 e1 93 Conc para cima em 1 Conc para baixo em 1 Ponto de inflexão 1 b c d e f g h i j l Conc pcima em Conc pbaixo em Ponto de inflexão Conc pcima em 1 Conc pbaixo em 1 Ponto de inflexão 1 Conc pcima em 1 e 0 Conc pbaixo em 1 0 Ponto de inflexão 1 Conc pcima em ln 4 Conc pbaixo em ln 4 Ponto de inflexão ln 4 Conc para cima Conc pbaixo em Ponto de inflexão não há Conc pbaixo em Conc pcima em Pontos de inflexão e 0 Conc para baixo em ℝ Não há ponto de inflexão Conc pcima em e2 Conc pbaixo em 0 e2 Ponto de inflexão e2 Conc pcima em 0 e 1 Conc pbaixo em 0 1 Pontos de inflexão 0 e 1 Conc pbaixo em 0 e em 0 1 Conc pcima em 1 Ponto de inflexão 1 m n o 8 a Conc pcima em e em 0 3 Conc pbaixo em 0 e em Pontos de inflexão e 0 Conc pbaixo em 0 Conc pcima em 0 Ponto de inflexão não há Conc pcima em 0 Ponto de inflexão não há 10 6b 3c 0 e 10 4b c 0 1 a b c d e f g h i j l m n o p q r s 3 a b c d 94 2 0 0 0 e2 0 0 0 0 1 1 0 95 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 a b c d 96 1 é ponto máx global 1 é ponto de mín global é ponto de máx global Não há ponto de máx local nem de mín local 1 é ponto de máx local 2 é ponto de mín local e f g h i j l m n o 2 3 5 6 4 é ponto de mín global 1 é ponto de máx global 0 e 2 ponto de mín globais 1 ponto de máx local ponto de máx global π ponto de mín global 1 e 2 ponto de máx globais 0 e 3 ponto de mín globais α é ponto de máx global onde α é a raiz da equação 1 x2 sec2 x 0 1 e 1 ponto de máx locais 0 e 2 ponto de mín locais 2 é ponto de máx global 0 é ponto de máx local é ponto de mín local é ponto de máx local é ponto de mín local Quadrado de lado 7 8 9 10 12 13 14 15 17 18 19 20 22 23 24 11 Tangente no ponto de abscissa Base e altura Raio da base e altura 1 1 O coef angular da reta que passa por 1 1 e 3 0 é e o da reta tangente em 1 1 é 2 t 0 r 1 e h 1 q 3 q 4 q 10 e Lmáx L 10 y 2px 1 p2 em que ou 28 29 30 1 a b c d e f 1 É o retângulo em que é um dos vértices É o retângulo de vértices p 0 onde 97 1 e 4 pontos de mín local 0 ponto de máx local ponto de máx local ponto de mín local 1 ponto de inflexão horizontal 1 e 0 ponto de máx local ponto de mín local 1 ponto de mín local 0 ponto de mín local ponto de máx local 98 f 2 7 valor máx 2 3 4 5 6 2 3 9 a b c d valor mín f 2 27 valor mín f 1 0 valor máx f 3 valor mín f 2 valor máx valor máx f0 valor mín f 1 valor mín f 0 f 2 valor máx valor máx Não possui valor mínimo CAPÍTULO 10 101 y e2x x t e2t y e2x y ex 10 11 a b y ex y e1 cos x 102 7 b c c x 2 10 a t 1 y ex 1 d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 y arc tg x CAPÍTULO 11 115 72 2 2 0 2 12 49 10 83 34 0 4 1 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 163 2 12 154 89 458 1310 323 0 0 158 2536 218 78 73 203 193 203 1924 118 9 476 0 Download de livros em pdf httplivrospdfcienciasexatasblogspotcombr 37 2 ln 3 38 ln 2 92 39 34 40 23 41 12 e² e2 42 π4 43 222 44 12 e² 1 45 π 46 15 1 cos 5 47 π6 48 3ln 2 49 e 1 50 ln 2 51 ln 2 52 0 53 54 54 π4 55 π4 56 π4 57 1 58 2ln 3 59 3e 11 ln 3 60 4π4 116 1 Área 20 2 Área 143 3 Área 43 4 Área 323 5 Área 4 6 Área 1 7 Área 233 8 Área 21 9 Área 12 10 Área 52 11 Área 2 12 Área 14 13 Área 12 14 Área 73 15 Área 22 1 16 Área 16 17 Área 92 18 Área 16 12 3 π 12 23 a b 24 25 26 2 2 1 117 2 3 4 5 1 a b c 3 0 0 118 6 J 4 J 1 J d b c d e b b 0 1 e 1 x 1 Oscilatório v0 1 0 CAPÍTULO 12 121 1 a 3x k b x²2 k c x⁶6 k d 23 x³ k e 57 ⁵x⁷ k f 13x³ k g 12x² k h x lnx k i lnx 1x k j x³3 3 lnx k l x lnx k m eˣ 4x k n 15 e⁵ˣ k o 12 e²ˣ k p 12 e²ˣ eˣ k q lnx eˣ k r 14 e⁴ˣ 1x k s 3 lnx 1x² k t x⁴4 lnx 1x k u 22 e2ˣ k 2 a 12 e² 1 b 3 2 ln 22 c e 1e d π4 e π6 f 7 3 ln 23 3 a cos x k b 12 cos 2x k c 15 sen 5x k d 14 cos 4t k e 17 sen 7t k f 13 sen 3t k g 12 x 14 sen 2x k h 2x 16 cos 2x k i x²2 115 sen 3x k j lnx 43 cos 3x k l 13 x 514 sen 7x k m 13 sen 3x 18 cos 4x k n 16 cos 2x 16 sen 3x k o 2 cos x k p 19 sen 3x 149 cos 7x k q 19 e³ˣ 13 cos 3x k 4 a 34 b 22 c 23 d π4 5 b 12 x 14 sen 2x k 10 a b c d e ln cos x k tg x k tg x x k ln sec x tg x k 16 a b 17 a b 0 0 se m n π se m n 0 122 4 a b c 2 ln x 3 k 5 ln x 1 2 ln x k ln 2x 3 k d e f g h e f g h x ln x 1 k x 3 ln x 1 k 2x ln x 1 k 8 ln x 1 13 ln x 2 k ln x 2 k 2 ln x 2 2 ln x 3 k 4 ln x 1 5 ln x 2 k 1 a b c d e f 123 x 1 ex k x cos x sen x k ex x2 2x 2 k x ln x 1 k 7 a b c d 1 2 ln 2 1 124 1 a 14 arc sen 2x 2x 1 4x² k b arc sen x2 k c lnx 4 x² k d 12 arc tg x2 k e 1 x² k f 34 arc sen 2x3 2x3 3 4x² k g 12 arc sen x x 1 x² k h 18 arc sen x x 1 x² 1 2x² k i lnx1 1 x² k j 92 arc sen x13 x1 9 x1²2 k l Faça 2x 3 sen t m x² 2x 2 3 x 1² faça x 1 3 t n 2 arc sen x12 x12 4 x1² k o 1 x²x k 2 π2 3 πab 4 a x 113 13 x 112 6 x 111 11 k b 27 x 172 45 x152 23 x132 k c 2 sqrtx ln1 sqrtx k d 41 sqrtx 21 sqrtx2 k e 13x 13 14x 14 k f 16 2x 132 32 2x 112 k g 2 sqrt1 ex ln 1 sqrt1 ex 1 sqrt1 ex k h 45 1 sqrtx52 43 1 sqrtx32 k i 52 arc sen x 1 12 sqrt2x x2 x 3 k j 12 arc tg x 12 k l x22 14 arc sen x x4 sqrt1 x2 k m 12 arc tg x2 1 x2 x arc tg x 12 ln 1 x2 k n x 1 arc tg sqrtx sqrtx k o arc tg ex ex x 12 ln 1 e2x k 6 a 12 ln 4 x2 12 arc tg x2 k b 14 ln9 4x2 16 arc tg 2x3 k c 12 ln x2 2x 2 9 arc tg x 1 k d 32 ln x2 x 1 7sqrt3 arc tg 2x 1 sqrt3 k e ln x2 4x 5 3 arc tg x 2 k f 12 ln 9 x2 13 arc tg x3 k 7 3 sqrt22 arc sen 1sqrt3 13 8 4 3 ln 3 6 9 a b c d l m n o x 3 sen t x 3 sec t x 3 tg t x sen t x 1 u2 u 0 1 ex u2 u 0 125 i j 126 e Verifique o resultado encontrado por derivação 2 b 727 ln x 1 627x1 727 ln x 2 1527x 2 k 3 a 12x12 23x13 k b 12x2 12x 14 ln x 14 ln x 2 k c 1x 3 ln x 3 ln x 1 2x 1 k d 12 ln x 1x 1 14 ln x 2x 2 k 127 1 2 ln x 1 ln x2 6x 10 arc tg x 3 k 2 25 ln x 15 ln x2 2x 5 310 arc tg x 12 k 3 2 ln x2 6x 12 11 sqrt3 arc tg x 3sqrt3 k 4 72 ln x 2 152 ln x 4 k 5 2 ln x 1 12 ln x2 2x 3 1sqrt2 arc tg x 1sqrt2 k 6 ln x 2 12 ln x2 2x 4 1sqrt3 arc tg x 1sqrt3 k 7 e 8 Verifique o resultado encontrado por derivação 128 2 3 0 observe que o integrando é uma função ímpar 0 se n m π se n m 129 1210 3 4 1211 2 ln 1 cos x cos x k ln 2 sec x 3 k CAPÍTULO 13 131 1 a 26π3 b 21π8 c 15π2 d 2π sqrt2 3 e 4π3 f 17π2 g 2π15 h 4π sqrt2 13 i 44π15 j 28π3 l π2 m 4π2 132 1 a π e2 12 b 768π7 c 9π2 d 2π2 e ππ 2 2 f 49π5 g π2 h 88π15 2 a 37615 π b 41615 π c π2 3e2 1 d 3π10 e 5π6 133 1 sqrt33 r3 2 π3 3 112 4 l34 134 1 a π2 e2 4 e2 b 4πR2 c π32 3 sqrt2 ln sqrt2 1 d π6 17 sqrt17 5 sqrt5 135 1 a 23 2 sqrt2 1 b 103 c 1 sqrt1 e2 sqrt2 ln 1 sqrt2 1 sqrt1 e2 d 14 2 sqrt3 sqrt2 ln 2 sqrt31 sqrt2 e 12 e e1 f 1 sqrt1 e2 sqrt2 ln 1 sqrt2 1 sqrt1 e2 2 12 2 sqrt5 ln2 sqrt5 m 136 1 a 5 b 42 2 c 4 d 415 2 1 e 2 eᴨ 1 2 2 25 ln2 5 m 137 1 a b c 1 d 2 e π4 f 1 1 g π6 h 1 22 22 i 3 1 2 2 j 1 1 2 l π8 m π4 n π4 o g h i j l m n o 2 a ρ tg 2θ b ρ sen² θ c ρ 1 cos θ d ρ² cos 2θ 3 a 9π2 b 1 c π2 d π4 4 a área ₀ᴨ₃ 2 cos θ² dθ ₃ᴨ 1 cos θ² dθ 5π2 33 b π 22 c 7π 932 d 1 22 f 8π3 732 5 área 12 ₀¹ θ² dθ 12 ₀¹ θ⁴ dθ 115 6 12 ₀ᴨ₆ 2 sen 2θ tg 2θ dθ 1 ln 24 138 5 a b 6 11 12 139 4π2 2π2 π2 Os volumes em torno dos eixos x e y são iguais Portanto Compare esta solução com a do Exemplo 4 Pela simetria da figura xc 0 Como área π e resulta 13 14 15 16 1 3 a b c d e f 1 2 3 4 5 em que θ arctg α Sejam y1c y2c e yc as ordenadas dos centros de massa de A1 A2 e A respectivamente Então Segue que Fazendo u 1 x resulta 0 u 4 e 0 y u2 Área 643 e Vy 128π Portanto uc 3 e Segue que xc 2 e CAPÍTULO 14 142 a b c f x t 1 ou x t 1 x t 0 y x 1 Não há x t 1 x t 0 t 0 143 x t 0 x t 0 ou x t 1 Não há Não há Não há 6 r t x t 1 ou x t 1 145 tg y x k y de tg y tg resulta tg y π x k ou y π arc tg x k w c ln v 5 6 7 8 9 10 A queda do corpo é regida pela equação ou 10 αv e sabese que v 0 0 e v 1 8 Temse em que α é a raiz da equação y xe1 x veja a reta tangente em x y tem equação para X 0 Y xy daí y 2x2 sendo α a raiz da equação y 2x2 veja o coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x y é a equação diferencial associada ao problema é então 11 12 13 1 a b c d e f g h i j 2 a b 3 observe que y x 0 x 0 e y x 0 x 0 são também soluções Sugestão Faça 146 x ket 2 x kecos t x kt t2 y kex x 1 T ke2t 3 y kex ln x 1 4 5 a b 6 7 8 9 3 6 1 5 a b 6 83287 am C t 20000 3t CAPÍTULO 15 151 Aplique o teorema de Rolle a Verifique que o valor máximo de f não pode ser estritamente positivo e o valor mínimo estritamente negativo Veja se o valor máximo f x1 fosse estritamente positivo teríamos x1 em a b logo fx1 0 seguiria então f x1 fx1 152 Quaisquer que sejam x e y em I com x y f será contínua no intervalo fechado de extremo x e y é derivável no intervalo aberto de mesmos extremos então pelo TVM existe no intervalo aberto de extremo x e y tal que Da hipótese fx m no intervalo de I segue f x f y M x y 0 e 4 Não Suponha que x1 e x2 x1 x2 sejam pontos fixos e aplique o TVM 1 a b c d e f 2 a b c d e f 2 a b c CAPÍTULO 16 161 x 1 x 1 1 x 002 sen 002 002 103 1001 e0001 1001 105 1 cos 001 1 104 001 ln 099 001 104 162 0255 ln 13 0255 102 Utilizamos o polinômio de Taylor de ordem 2 de ln x em volta de x0 1 Utilizamos o polinômio de Taylor de ordem 2 em volta de x0 4 de d f 5 a b 2 3 Utilize o polinômio de Taylor de de ordem 2 em volta de x0 8 01 sen 01 01 103 0 163 O polinômio de Taylor de ordem n 1 de sen x em volta de x0 0 é n ímpar Como por quê segue a desigualdade Pelo exercício anterior Basta determinar n 4 6 por tentativas de modo que No Exercício 2 substitua x por x2 assim Como basta determinar n por tentativas de modo que Verifique que Para x fixo faça n tender a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 BIBLIOGRAFIA APOSTOL Tom M Analisis Matemático Editorial Reverté 1960 APOSTOL Tom M Calculus 2ª edición Vol 2 Editorial Reverté 1975 ÁVILA Geraldo Arquimedes o Rigor e o Método 1986 Matemática Universitária da Sociedade Brasileira de Matemática Número 4 2745 ÁVILA Geraldo Cálculo Vols 1 6ª ed 2 e 3 5ª ed LTC BARROS Ivan de Queiroz O Teorema de Stokes em Variedades Celuláveis Relatório Técnico do MAP USP RTMAP 8304 1983 BOULOS Paulo Introdução ao Cálculo Vols I II e III Edgard Blucher Ltda BOYER Carl B História da Matemática Edgard Blucher Ltda 1974 BUCK R Creighton Advanced Calculus Second Edition McGrawHill 1965 CARAÇA Bento de Jesus Conceitos Fundamentais da Matemática Lisboa 1958 CARTAN Henri Differential Forms Hermann 1967 CATUNDA Omar Curso de Análise Matematica Editora Bandeirantes COURANT Richard Cálculo Diferencial e Integral Vols I e II Editora Globo 1955 COURANT Richard e HERBERT Robbins Qué es la Matemática Aguilar SA Ediciones 1964 DEMIDOVICH B Problemas y Ejercicios de Analisis Matemático Edições Cardoso ELSGOLTZ L Ecuaciones Diferenciales y Cálculo Variacional Editorial Mir 1969 FIGUEIREDO Djairo Guedes de Teoria Clássica do Potencial Editora Universidade de Brasília 1963 FLEMING Wendell H Funciones de Diversas Variables Compañía Editorial Continental SA 1969 GURTIN Morton E An Introduction Continuum Mechanics Academic Press 1981 KAPLAN Wilfred Cálculo Avançado Vols I e II Editora Edgard Blucher Ltda 1972 KELLOG Oliver Dimon Foundations 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Cálculo de Funções Vetoriais Vol 2 LTC ÍNDICE Aceleração 196 197 Aproximação local de uma função por um polinômio de Taylor de ordem n 480 por uma função afim 466 Área coordenadas cartesianas 311 coordenadas polares 428 de superfície de revolução 414 Arquimedes propriedade de 19 495 quadratura da parábola 491 Assíntota 262 Binômio de Newton 498 Cavalieri Bonaventura 497 Centro de massa 433 435 437 439 Circunferência 37 Coeficiente angular de reta tangente 58 136 Coeficiente binomial 498 Comprimento de curva em coordenadas polares 432 em forma paramétrica 420 Comprimento de gráfico de função 416 Concavidade 238 Conjunto de medida nula 530 Conjunto enumerável 531 Conservação do sinal 67 79 Corpo ordenado 3 4 Dedekind Richard 510 Derivação de função dada implicitamente 185 Derivadas 57 137 de ordem superior 161 Desigualdades 5 6 triangular 16 Diferencial 193 Distância 15 36 Elipse 42 Energia cinética 332 Equação diferencial de 1ª ordem de variáveis separáveis 442 444 447 linear 454 Fermat Pierre de 58 502 Fórmula de Taylor com resto de Lagrange 481 Função composta 52 crescente decrescente 226 de variável real a valores reais 26 definida implicitamente por uma equação 185 derivável ou diferenciável 137 estritamente crescente decrescente 226 exponencial 125 gráfico de 26 imagem de 52 123 injetora 215 integrável 302 inversa 215 inversível 215 limitada 512 519 logarítmica 130 maior inteiro 41 Função contínua 54 56 definição 61 Funções com derivadas iguais 285 Funções trigonométricas 44 50 Funções trigonométricas inversas arccos 224 arcsec 224 arcsen 189 217 221 arctg 190 217 222 Indução finita princípio de 498 Ínfimo 506 Infinitésimo 478 Integração por partes 354 Integral de Riemann definição 302 propriedades da 303 definida 302 indefinida 291 Intervalos 18 Lagrange JL polinômio interpolador 459 resto na forma de 481 Lebesgue Henri critério de integrabilidade de 533 Lei de Hooke 331 Leibniz notação para a derivada de 162 Limite 55 de função composta 85 86 de função crescente 509 de sequência 112 definição de 72 infinito 103 lateral 82 no infinito 99 propriedades operatórias 75 101 104 Limites fundamentais 95 119 133 134 Logaritmo 128 Máximos e mínimos 272 de função contínua em intervalo fechado 283 Máximos e mínimos locais condições suficientes 281 uma condição necessária 280 Medida nula conjunto de 530 Módulo ou valor absoluto 14 Mudança de variável na integral definida 317 na integral indefinida 344 361 no limite 86 Newton Sir Isaac 504 Número e 119 483 Número real definição de 538 Operações com funções 51 Papus teorema de 403 405 413 439 440 Partição de um intervalo 299 Pascal Blaise 497 Polinômio de MacLaurin 480 de Taylor 480 Ponto crítico 280 Ponto de inflexão 239 condição necessária 242 condições suficientes 241 243 281 Ponto estacionário 280 Ponto interior 227 279 Potência com expoente racional 25 real 125 Primitiva de uma função 290 Primitivas de funções racionais 370 375 379 Primitivas de funções trigonométricas 383 385 390 396 Princípio de indução finita 501 Propriedade dos intervalos encaixantes 19 Razão incremental 57 Regra da cadeia 171 um caso particular 166 Regras de derivação 154 Regras de LHospital 244 Reta normal 204 Reta tangente 138 204 Sequência definição de 111 limite de 112 Soma de Riemann 300 Supremo definição 506 propriedade do 507 Taxa de variação 199 Teorema de Cauchy 464 de Darboux 282 de Rolle 458 de Weierstrass 122 do anulamento ou de Bolzano 121 do confronto 90 do supremo 507 do valor intermediário 122 do valor médio TVM 225 460 fundamental do cálculo 306 404 Trabalho definição 326 330 energia cinética e 331 332 Valor absoluto 14 Variável dependente 27 independente 27 Velocidade 196 Volume de sólido de revolução em torno do eixo x 400 410 em torno do eixo y 406 408 410 Volume de sólido qualquer 411