Questões Resolvidas de Teoria dos Números divisibilidade e Congruência

QUESTÕES RESOLVIDAS DE TEORIA DOS NÚMEROS (DIVISIBILIDADE E CONGRUÊNCIA) 1) Pode o dobro de um número natural deixar resto 9 quando dividido por 26? E quando dividido por 25? No caso que for possível, quais seriam esses números? 2) Resolva, quando possível, as congruências: a) 3x ≡ 5 (mod 7) 12x + 36 ≡ 0 (mod 28) 3) Ache todos os números naturais que deixam restos 2, 3 e 4 quando divididos por 3, 4 e 5, respectivamente. 4) Ache o menor número natural que deixa restos 1, 3 e 5 quando divididos por 5, 7 e 9, respectivamente. 5) Levando em consideração que 2275 = 25 x 13 x 7, resolva a congruência 3x ≡ 11(mod 2275). 1) 2n ≡ 9 (mod 26), considere K ∈ IN de forma que: 2n = 26K + 9 n = 26K + 9 ------------ 2 n = 13K + 9 ------------ , n ∈ IN e 9 ∈ Q, então ∄ n ∈ IN 2 2 2n ≡ 9 (mod 25), considere K ∈ IN de forma que: 2n = 25K + 9 n = 25K + 9 ------------ 2 n = 25K + 9 ------------ , atribuindo para K os seguintes valores: 2 1, 3, 5,..., obtemos para n os seguintes valores: 17, 42, 67, ... n = 25(2n-1) + 9 --------------- 2 n = 25 n - 8 , n ∈ IN 2) a) 3x ≡ 5 (mod 7) ⇒ 5.3x ≡ 5.5 (mod 7) ⇒ x ≡ 25 (mod 7) ⇒ ⇒ x ≡ 4 (mod 7) ⇒ X = 7n + 4, ∀ n ∈ IN b) 12x + 36 ≡ 0 (mod 28) ⇒ 12x ≡ 8 (mod 28) ⇒ ⇒ 3x ≡ 2 (mod 7) ⇒ x ≡ 2(4) (mod 7) ⇒ ⇒ X ≡ 3 (mod 7) ⇒ X = 7n + 3, ∀ n ∈ IN 3) m ≡ 2 (mod 3) ⇒ m = 3y + 2 m ≡ 3 (mod 4) ⇒ 3y + 2 ≡ 3 (mod 4) ⇒ 3y ≡ 1 (mod 4) ⇒ ⇒ y ≡ 3 (mod 4) ⇒ y = 4X + 3 m ≡ 4 (mod 5) ⇒ 12x + 11 ≡ 4 (mod 5) ⇒ 12x ≡ -7 (mod 5) ⇒ ⇒ 3 . 12x ≡ -21 (mod 5) ⇒ x ≡ -21 (mod 5) ⇒ ⇒ -21 ≡ -1 (mod 5) ⇒ X ≡ -1 (mod 5) ⇒ ⇒ x = 5n - 1 m = 3.[4.(5n-1) + 3] + 2 = 3.[20n - 1] + 2 = 60n - 1, ∀ n ∈ IN, logo N = {59, 119, 179, ...} 4) m ≡ 1 (mod 5) ⇒ m = 5y + 1 ⇒ m = 5.75 +1 ⇒ m= 356 - 4 m ≡ 3 (mod 7) ⇒ 5y + 1 ≡ 3 (mod 7) ⇒ 5y ≡ 2 (mod 7) ⇒ ⇒ 10.5y ≡ 20 (mod 7) ⇒ y ≡ -1 (mod 7) ⇒ ⇒ y ≡ 76-1⇒ y ≡ 75 m ≡ 5 (mod 9) ⇒ 356 - 4 ≡ 5 (mod 9) ⇒ 356 ≡ 9 (mod 9) ⇒ ⇒ 356 ≡ 0 (mod 9) ⇒ 6 ≡ 9 m m = 315n - 4 , n ∈ IN p/ n =1 , temos1 m = 311 3x ≡ 11 (mod 25) ⇒ x ≡ 17, 41 (mod 25) 3x ≡ 11 (mod 13) ⇒ x ≡ 9, 11 (mod 13) 3x ≡ 11 (mod 7) ⇒ x ≡ 11, 5 (mod 7) x ≡ 12 (mod 25) x = 25n + 12 x ≡ 8 (mod 13) ⇒ 25n + 12 ≡ 8 (mod 13) 25n ≡ -4 (mod 13) n ≡ 4 (mod 13) n = 13k + 4 25 (13k + 4) + 12 ≡ 6 (mod 7) 325k + 100 + 12 ≡ 6 (mod 7) 325k ≡ 6 (mod 7) k ≡ 5, 6 (mod 7) k ≡ 2 (mod 7) k = 7m + 2 x ≡ 325 (7m + 2) + 112 ≡ 2275m + 762 x ≡ 762 (mod 2275) 3x ≡ 2286 (mod 2275)