Questões Resolvidas de Teoria dos Números mmc e Mdc - Parte 2

QUESTÕES RESOLVIDAS DE TEORIA DOS NÚMEROS\n\n(mm e mdc - parte 2)\n\n1. Determinar os inteiros positivos a e b sabendo que a² - b² = 7344 e mdc(a, b) = 12. (Obs. pode ser mais de um par de valores).\n\n2. O mdc de dois números positivos é 10 e o maior deles é igual a 120. Determine as outras possibilidades para o outro número.\n\n3. Calcular:\na. mdc(n, n+2), sendo n um número par;\nb. mdc(n, n+2), sendo n um número ímpar.\n\n4. Mostre que o mdc( (a-1)/(a-1) ) = mdc(n, a-1).\n\n6. (ENEM 2010) Em uma sala retangular de piso plano nas dimensões 8,80 m por 7,60 m deseja-se colocar ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar nenhuma peça. Qual a medida máxima do lado de cada ladrilho?\n\n7. (IFF - Macaé - 2009) A sede da reserva de Jurubatiba fica em um terreno de 144 m de comprimento e 112 m de largura. O terreno é cercado de árvores que estão plantadas a uma mesma distância uma da outra. Havendo a maior distância possível entre cada duas árvores consecutivas, e uma árvore em cada canto, qual o número de árvores existentes?\n\n8. (UERJ) Dois sinais luminosos fecham juntos num determinado instante. Um deles permanece 10 segundos fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto. Qual o número mínimo de segundos necessários, a partir daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar juntos outra vez? 9. Considere 50 armários enfileirados, um ao lado do outro, com numeração de 1 a 50, inicialmente todos fechados. Se 50 pessoas, em ordem, passaram e alteraram o estado de fechado e aberto de todos os armários, que são múltiplos de sua posição, após a passagem das 50 pessoas, quais os armários estarão abertos?\n\n10. (UniCamp-SP) Em uma agência bancária cinco caixas atendem os clientes em fila única. Suponha que o atendimento de cada cliente demore exatamente 3 minutos e que o caixa 1 atenda o primeiro da fila ao mesmo tempo em que o caixa 2 atende, o segundo, o caixa 3, o terceiro e assim sucessivamente. a) Em que caixa será atendido o sexagésimo oitavo cliente da fila? b) Quantos minutos depois da abertura dos caixas será iniciado o atendimento desse mesmo sexagésimo oitavo cliente? 1. a² - b² = 7344\n (a+b)(a-b) = 7344 I\n\nComo mdc(a, b) = 12, podemos escrever a = 12 x e b = 12 y (com x e y inteiros).\n\nSubstituindo em I, temos:\n(12x + 12y)(12x - 12y) = 7344\n(144x² - 144y²) = 7344\nx² - y² = 51\n(x+y)(x-y) = 51\n\nPodemos escrever 51 como produto entre 51 e 1 ou 17 e 3. Substituindo temos:\n(x+y) = 51\nx-y = 1\n2x = 52\nx = 26 e y = 25, temos:\na = 12.26 = 312 e b = 12.25 = 300\nou\n(x+y)(x-y) = 17.3\nx+y = 17\nx-y = 3\n2x = 20\nx = 10 e y = 7\nas inteiros positivos a e b podem ser:\n(312, 300) ou (120, 84) a) mdc(n, n+2); n par\nPodemos escrever n, como n = 2x, então n + 2 = 2x + 2 = 2(x + 1) \nmdc[2x, 2(x + 1)] = 2\n\nb) mdc(n, n+2); n ímpar\nComo n é ímpar, então mdc(n, n+2) = 1\nQuando (n+2) mod 2 = resto 2\nn: resto 1\n2: resto 0 8,80 m = 880 cm\n7,60 m = 760 cm\n880 2\n440 2\n220 2\n110 2\n55 5\n11 11\n1 2^4.5\nmdc(880, 760) = 2^3 . 5 = 40\nA medida máxima do lado de cada ladrilho é de 40 cm. 144 - 72\n72 - 36\n36 - 18\n18 - 9\nPodemos ter 9 árvores de cada lado de 144 m, totalizando 18 árvores\n112 - 56\n56 - 28\n28 - 14\n14 - 7\nPodemos ter 7 árvores de cada lado de 112 m, totalizando 14 árvores\nEntão o número de árvores existentes é 18 + 14 = 32 árvores. 8\\n\\n Devemos calcular o mmc entre 50 e 40.\\n\\n 50,40 \\n 25,20 \\n 25,10 \\n 25,5 \\n 5,1 \\n 1,1 \\n 1 2,5^2 = 200\\n\\n O número mínimo de segundos necessários é de 200 s\\n\\n 9\\n Decompondo o 50\\n\\n 50 \\n 25 \\n 5 \\n 1 2^2 \\n\\n O 50 possui (1+1)(2+1) = 6 divisores\\n\\n A quantidade de armários que ficaram abertos são 6 e são os armários que ocupam as posições: 1, 4, 9, 16, 25 e 49. 10\\n O caixa 1 atende o 1 da fila, o caixa 2 atende o 2 da fila, segue que o caixa 5 atende o 5 da fila. Como cada atendimento dura 3 minutos, observamos que o caixa 5 atende sempre clientes que ocupam posição que são múltiplos de 5.\\n\\n a) No caixa 5 estará o cliente que ocupa a posição 65, seguindo temos que o caixa 1 atendendo o cliente que ocupa o posição 66 e caixa 2 a posição 67. Portanto o 68º cliente da fila será atendido pelo caixa 3.\\n\\n b) 68 \\n 5\\n\\n (3) 13\\n\\n Serão 13 filas de 5 pessoas. Cada fila leva 3 minutos para ser atendida, então 13 filas levam 13*3 = 39 minutos. Como os clientes que ocupam as posições 66, 67 e 68 serão atendidos ao mesmo tempo, então temos que esperar pelo início do atendimento um tempo de 39 minutos.