Exercício de Análise de Sinais e Sistemas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA ANÁLISE DE SINAIS E SISTEMAS EXERCÍCIOS Questão 01 Desenhe os seguintes gráficos a xt 3ut2 ut2 yt x05t zt x2t5 b xn 3un2 un2 yn x05n zn x2n5 Questão 02 A partir do sinal xn desenhe os seguintes gráficos a x1n x2n 1 b x2n 2 xn 3 c x3n 05 x3n 2 Questão 03 Dado o sinal xt obtenha os sinais abaixo a x3t2 b x2t1 c x2t2 Questão 04 Considerando os sinais xt 5t e yt 4t 6 encontre a z1t xt yt b z2t xt yt c z3t z2t2 Questão 05 Dado o sinal xn calcule os seus componentes com simetria par xpn e ímpar xin Em seguida prove que a soma desses dois componentes corresponde ao próprio sinal xn Questão 06 Determine se os sistemas abaixo são i causal ii com memoria e iii estável Justifique a resposta a 2 t e h t b 2 cos u n n u n h n π c 3 t h t δ Questão 07 Determine se os sistemas abaixo são i causal ii com memoria e iii linear Justifique a resposta a 5 3 x n y n b t dt x t t y 0 2 Questão 08 Determine se cada um dos sistemas abaixo é i sem memória ii causal iii estável As respostas devem ser justificadas a ht e3tut b hn 12nun1 Questão 09 Determine se cada um dos sistemas abaixo é i sem memória ii causal iii linear e iv estável As respostas devem ser comprovadas matematicamente a yn xn1 b yn nxn Questão 10 Para cada uma das relações entradasaída a seguir determine se o sistema correspondente é linear a yt txt 1 b yt xt2 x2t c yn xn n d yt t2xt1 Questão 11 Determine as integrais de convolução abaixo a xt ut1 ht ut2 b xt e2tut ht ut2 Questão 12 Determine a integral de convolução dos sinais apresentados abaixo a yt xtht b zt ytδt1 Nesse caso o ht δt1 Questão 13 Considere os sinais de tempo discreto abaixo onde xn é um sinal com amplitude variando de 2 até 4 e hn é um degrau unitário Determine a saída pela soma de convolução no seguinte caso yn hnxn Questão 1 Parte a Sinais Contínuos 1 Gráfico de xt 3ut2 ut2 O sinal é um pulso retangular com amplitude 3 definido para 2 t 2 2 Gráfico de yt x05t Para que x05t seja não nulo precisamos de 2 05t 2 4 t 4 Portanto yt 3 para t 4 4 3 Gráfico de zt x2t 5 Para que x2t 5 seja não nulo temos 2 2t 5 2 15 t 35 Assim zt 3 para t 15 35 Parte b Sinais Discretos 1 Gráfico de xn 3un2 un2 O sinal vale 3 para n 2 1 0 1 2 Gráfico de yn x05n Note que em tempo discreto x05n é definido somente quando 05n é inteiro Assim para n par temos yn xn2 3 se n2 2 1 0 1 o que ocorre para n 4 2 0 2 3 Gráfico de zn x2n 5 Aqui x2n 5 3 se 2n 5 2 1 0 1 Resolvendo 2n 5 1 n 2 2n 5 1 n 3 Assim zn 3 apenas para n 2 e n 3 Questão 2 Considerando o sinal xn 3un2 un2 3 n 2 1 0 1 0 caso contrário resolvese a x1n x2n 1 Para que x2n 1 seja não nulo o argumento 2n 1 deve pertencer a 2 1 0 1 Resolvendo 2n 1 2 n15 não inteiro 2n 1 1 n1 2n 1 0 n05 não inteiro 2n 1 1 n0 Portanto x1n 3 n 0 1 0 caso contrário b x2n 2xn3 O sinal xn3 é o sinal xn deslocado 3 unidades para a direita isto é xn3 3 quando n3 2 1 0 1 n 1 2 3 4 Multiplicando por 2 x2n 2 3 6 para n 1 2 3 4 e zero caso contrário x2n 1 2 3 4 5 2 4 6 n x2n c x3n 05 x3n 2 Para que x3n 2 seja não nulo o argumento 3n 2 deve pertencer a 2 1 0 1 Resolvendo 3n 2 2 n 0 3n 2 1 n 1 3 não inteiro 3n 2 0 n 2 3 não inteiro 3n 2 1 n 1 Assim x3n 2 3 para n 0 e n 1 e multiplicando por 05 x3n 15 n 1 0 0 caso contrário x3n3 2 1 1 2 1 15 2 3 n x3n Questão 3 Seja xt um sinal genérico Desejase obter os sinais transformados a yt x3t 2 b yt x2t 1 c yt x2t 2 x2t 4 4 a x3t 2 Reescrevemos a expressão como x3t 2 x 3t 23 Dessa forma temos Compressão horizontal por um fator de 13 devido ao fator 3 Deslocamento para a esquerda de 23 unidades A relação entre o tempo original t no gráfico de xt e o novo tempo t é t 3t 2 t t 23 Ou seja cada ponto t do sinal xt aparece no sinal transformado em t t 23 b x2t 1 Fatorando a expressão x2t 1 x 2 t 12 observase que Há reflexão no tempo devido ao sinal negativo Compressão horizontal por um fator de 12 módulo de 2 Deslocamento para a esquerda de 12 unidades A relação entre o tempo original t e o tempo transformado t é t 2 t 12 t t2 12 Assim o gráfico de xt é refletido comprimido e deslocado conforme indicado c x2t 2 Note que x2t 2 x2t 4 x 2 t 2 Portanto O sinal sofre compressão horizontal por um fator de 12 E é deslocado para a esquerda de 2 unidades A relação entre t tempo no sinal original e t é t 2t 2 t t2 2 Ou seja cada ponto t em xt aparece no sinal transformado em t t2 2 Representação Esquemática Embora xt seja genérico podese ilustrar o mapeamento de um ponto t do sinal original para o tempo t no sinal transformado Por exemplo para a transformação a Diagramas semelhantes podem ser construídos para b e c utilizando a relação entre t e t encontrada Assim as transformações de tempo aplicadas ao sinal xt resultam em a yt x3t 2 x 3 t 23 b yt x2t 1 x 2 t 12 c yt x2t 2 x2t 4 x 2 t 2 Questão 4 Sejam os sinais xt 5t yt 4t 6 Determine a z1t xt yt b z2t xt yt c z3t z2t2 a Soma dos sinais z1t xt yt 5t 4t 6 9t 6 b Produto dos sinais z2t xt yt 5t4t 6 20t2 30t c Divisão por 2 z3t z2t2 20t2 30t2 10t2 15t Questão 5 Seja xn um sinal discreto qualquer Definese xpn 12 xn xn componente par xin 12 xn xn componente ímpar Demonstração Somando as duas expressões temos xpn xin 12 xn xn 12 xn xn 12 xn xn xn xn 12 2xn xn Portanto provase que xn xpn xin Questão 6 Determine se os sistemas abaixo são i causal ii com memória e iii estável Justifique a resposta a Sistema ht e 2t ut Causal Sim pois ut 0 para t 0 e portanto ht 0 para t 0 Com memória O sistema possui memória pois sua resposta não é instantânea não é um múltiplo de δt Estável É BIBO estável já que ht dt e 2t dt 12 b Sistema hn cosnπ un 2 Causal Sim Em sistemas discretos a causalidade requer hn 0 para n 0 Como un 2 0 para n 2 em particular hn 0 para n 0 Com memória O sistema possui memória pois a resposta não é dada por um único impulso não é da forma k δn Estável É instável em sentido BIBO pois hn cosnπ 1 c Sistema ht δ3t Utilizando a propriedade de escala da função delta δ3t 13 δt o sistema possui resposta impulsiva concentrada em t 0 Causal Sim pois ht 0 para t 0 Sem memória O sistema é memoryless sem memória já que a resposta depende apenas do valor da entrada no mesmo instante Estável É BIBO estável pois ht dt 13 δt dt 13 Questão 7 Considere os seguintes sistemas a yn 5 xn 3 xn b yt 02 xt τ dτ Sistema a yn 5 xn 3 xn Causalidade Para que um sistema discreto seja causal a saída em n deve depender apenas de xk para k n Note que para n 1 y1 5 x1 3 x1 a saída depende de x1 um valor futuro Assim o sistema não é causal Memória O sistema possui memória pois a saída em n depende de xn e de xn este último em geral corresponde a um instante diferente de n Portanto o sistema não é memoryless Linearidade Como o sistema é uma combinação linear dos termos xn e xn ele é linear Por exemplo se x1n gera y1n 5 x1n 3 x1n e x2n gera y2n 5 x2n 3 x2n para quaisquer constantes a e b temos a y1n b y2n 5 a x1n b x2n 3 a x1n b x2n o que corresponde à resposta para xn a x1n b x2n Sistema b yt 02 xt τ dτ Causalidade Para um sistema contínuo ser causal a saída em t deve depender apenas dos valores de xθ para θ t Como para τ 0 2 t τ t a saída yt depende apenas de x avaliado em instantes t Portanto o sistema é causal Memória Como yt é obtida pela integração de xt τ para τ variando de 0 a 2 a saída depende de x em um intervalo de tempo Assim o sistema possui memória não é memoryless Linearidade A operação de integração é linear isto é se xt for substituído por uma combinação linear de sinais a saída será a mesma combinação linear das respectivas integrais Portanto o sistema é linear Questão 8 Determine se cada um dos sistemas abaixo é i Sem memória ii Causal iii Estável BIBO a Sistema ht e 3t ut Sem memória Não O sistema não é sem memória pois ht é diferente de zero para t 0 não é da forma k δt Causal Sim Como ut 0 para t 0 temse ht 0 para t 0 Estável Sim Verificase que ht dt e 3t dt 13 b Sistema hn 12n un 1 Sem memória Não O sistema possui memória pois hn é não nulo para n 1 não concentrado apenas em n 0 Causal Sim Como un 1 0 para n 1 particularmente para n 0 o sistema é causal Estável Sim A soma dos módulos é dada por hn 12n 12 1 12 1 Questão 9 Determine se cada um dos sistemas abaixo é i Sem memória ii Causal iii Linear iv Estável BIBO a Sistema yn xn 1 Memória O sistema não é memoryless pois a saída em n depende de xn 1 e não somente de xn Causalidade A saída em n depende de xn 1 que é um valor do passado em relação a n Assim o sistema é causal Linearidade A operação de atraso é linear Para sinais x1n e x2n e constantes a e b Ta x1n b x2n a x1n 1 b x2n 1 demonstrando a linearidade do sistema Estabilidade BIBO Se xn B para todo n então yn xn 1 B Portanto o sistema é BIBO estável 11 b Sistema yn n xn Memória A saída em n depende somente de xn multiplicado por n sendo o sistema memoryless Causalidade Como yn depende apenas de xn o sistema é causal Linearidade Para quaisquer sinais x1n x2n e constantes a e b Ta x1n b x2n n a x1n b x2n a n x1n b n x2n o que demonstra que o sistema é linear Estabilidade BIBO Suponha xn B para todo n Então yn n xn n B Como n B pode crescer sem limite à medida que n aumenta o sistema não é BIBO estável Questão 10 Considere as seguintes relações entradasaída a yt t xt 1 b yt xt 2 x2 t c yn xn n d yt t2 xt 1 Um sistema é linear se satisfaz as propriedades de homogeneidade e adi tividade superposição Em particular devese ter T0 0 e Ta x1 b x2 a Tx1 b Tx2 para quaisquer sinais x1 e x2 e constantes a e b 12 a yt t xt 1 Verificação Se xt 0 para todo t então yt t 0 1 1 t ou seja T0 0 Portanto o sistema não é linear b yt xt 2 x2 t Para um sinal xt defina Txt xt2x2t Então para quaisquer x1t e x2t e constantes a e b Ta x1t b x2t a x1t 2 b x2t 2 a x12 t b x22 t a x1t 2 x12 t b x2t 2 x22 t a Tx1t b Tx2t Portanto o sistema é linear c yn xn n Aqui o operador é definido por Txn xn n Se xn 0 para todo n temos yn 0 n n 0 violando T0 0 Assim o sistema não é linear d yt t2 xt 1 Definindo Txt t2 xt 1 para quaisquer sinais x1t e x2t e cons tantes a e b temos Ta x1t b x2t t2 a x1t 1 b x2t 1 a t2 x1t 1 b t2 x2t 1 a Tx1t b Tx2t Logo o sistema é linear 13 Conclusão a yt t xt 1 não linear b yt xt 2 x2 t linear c yn xn n não linear d yt t² xt 1 linear Questão 11 a xt ut 1 e ht ut 2 A convolução é dada por yt x ht xτ ht τ dτ Observando xτ uτ 1 1 τ 1 0 τ 1 e ht τ ut τ 2 1 t τ 2 τ t 2 0 t τ 2 o integrando é 1 quando τ 1 t 2 Para que o intervalo seja não vazio é necessário que t 2 1 t 1 Logo temos yt 0 t 1 1t2 dτ t 2 1 t 1 t 1 Ou seja yt t 1 ut 1 b xt e2tut e ht ut 2 A convolução é yt xτ ht τ dτ Como xτ e2τuτ e2τ para τ 0 e ht τ ut τ 2 1 t τ 2 0 τ t 2 0 t τ 2 0 o integrando é não nulo quando τ 0 t 2 desde que t 2 0 ou seja t 2 Assim yt 0 t 2 0t2 e2τ dτ t 2 Calculando a integral 0t2 e2τ dτ 12 e2τ0t2 12 1 e2t2 Portanto yt 12 1 e2t2 ut 2 Questão 12 Determine a integral de convolução dos sinais apresentados abaixo a Seja yt xt ht xτ ht τ dτ com ht δt 1 Substituindo ht τ δt τ 1 obtemos yt xτ δt τ 1 dτ Pela propriedade de sifting da delta yt xt 1 b Defina zt yt δt 1 Aplicando novamente a propriedade de sifting zt yτ δt τ 1 dτ yt 1 Como vimos que yt xt 1 temos zt xt 1 1 xt 2 Resumo Final yt xt 1 zt xt 2 Questão 13 Considere os sinais de tempo discreto xn sinal com amplitude variando de 2 até 4 hn un 1 n 0 0 n 0 Determine a saída pela soma de convolução yn xn hn k xk hn k Como hn k un k vale 1 para n k 0 ou seja para k n e 0 para n k 0 a convolução tornase yn kn xk Portanto yn é a soma acumulada dos valores de xk para k n Exemplo Ilustrativo Suponha que xn 2 n 0 0 n 1 3 n 2 4 n 3 0 caso contrário Então a soma cumulativa resulta em y0 2 y1 2 0 2 y2 2 0 3 1 y3 2 0 3 4 5 yn 5 para n 3 17