Lista de Análise de Sinais e Sistemas

Universidade Federal do Piauí Centro de Tecnologia CT Departamento de Engenharia Elétrica Disciplina Análise de Sinais e Sistemas 1ª Lista de Exercícios Questão 01 Suponhamos que xn seja um sinal com x0 0 para n 2 e n 4 Para cada um dos sinais dados a seguir determine os valores de n para os quais os sinais são garantidamente iguais a zero a xn3 b xn4 c xn d xn2 e xn2 Questão 02 Suponhamos que xt seja um sinal com xt 0 para t 3 Para os sinais dados a seguir determine os valores de t para os quais os sinais são garantidamente iguais a zero a x1t b x1t x2t c x3t d xt3 Questão 03 Determine se cada um dos sinais a seguir é ou não periódico a x1t 2e jtπ 4u t b x2n un un c x k d xt cos2πt2 e xn1n f xn descrito pela figura abaixo Questão 04 Considere um sistema S com entrada xn e saída yn Esse sistema é obtido por uma interconexão série de um sistema S1 seguido por um sistema S2 As relações entradasaída para S1 e S2 são S1 Y1n 2X1n 4X1n1 S2 Y2n X2n2 05X2n3 Em que Xn representam os sinais de entrada a Determine a relação entradasaída para o sistema S b A relação entradasaída do sistema S muda se a ordem de conexão em série de S1 e S2 for invertida Questão 05 Para cada uma das relações entradasaída a seguir determine se o sistema correspondente é linear invariante no tempo ou ambos a yt t2xt 1 b yn x2n 2 c yn xn 1 xn 1 Questão 06 Um sinal de tempo continuo xt é mostrado abaixo Esboce e coloque a escala para cada um dos seguintes sinais a xt 1 b x2 t c x2t 1 d x4 t2 e xt xtut f xtδt 32 δt 32 Questão 07 Um sinal de tempo discreto é mostrado na figura abaixo Emboce e coloque a escala para cada um dos sinais a xn4 b x3n c x3n d x3n 1 e xnu3 n f xn 2δn 2 xn Questão 08 Um sinal de pulso triangular xt é descrito na figura abaixo Emboce cada um dos sinais derivados de xt a x3t b x3t 2 c x2t 1 Questão 01 Seja xn um sinal tal que xn 0 para n 2 e n 4 Para cada transformação determinamos os valores de n para os quais o sinal transformado é garantidamente zero a xn 3 O deslocamento para a direita em 3 unidades implica que xn 3 0 se n 3 2 ou n 3 4 Resolvendo n 1 ou n 7 Portanto xn 3 0 para n 1 ou n 7 b xn 4 O deslocamento para a esquerda em 4 unidades implica xn 4 0 se n 4 2 ou n 4 4 Resolvendo n 6 ou n 0 Portanto xn 4 0 para n 6 ou n 0 c xn A reflexão no eixo vertical implica xn 0 se n 2 ou n 4 Resolvendo n 2 n 2 e n 4 n 4 Portanto xn 0 para n 4 ou n 2 1 d xn 2 Podemos reescrever xn 2 x2 n Assim x2 n 0 se 2 n 2 ou 2 n 4 Resolvendo 2 n 2 n 4 ou 2 n 4 n 2 Logo xn 2 0 para n 2 ou n 4 e xn 2 Reescrevendo xn 2 xn 2 temos xn 2 0 se n 2 2 ou n 2 4 Resolvendo n 2 2 n 2 2 n 0 ou n 2 4 n 2 4 n 6 Portanto xn 2 0 para n 6 ou n 0 Questão 02 Seja xt um sinal tal que xt 0 para t 3 Para um sinal transformado yt xgt temos que yt 0 sempre que gt 3 2 a x1t Para x1t temos gt 1t Assim 1t 3 t 2 t 2 Portanto x1t 0 para t 2 b x1t x2t Para a soma ser zero ambos os termos devem ser zero Para x1t 1t 3 t 2 Para x2t 2t 3 t 1 t 1 Assim a condição mais restritiva é t 1 Logo x1t x2t 0 para t 1 c x3t Neste caso gt 3t A condição é 3t 3 t 1 Portanto x3t 0 para t 1 d xt3 Aqui gt t3 Assim t3 3 t 9 Logo xt3 0 para t 9 Questão 03 Determine se cada um dos sinais a seguir é periódico a x1t 2ejtπ4ut O termo ejtπ4 é periódico com período 2π Contudo o sinal é multiplicado pela função degrau ut que zera o sinal para t 0 Como para por exemplo t 1 temos x11 0 e para t 1 2π que é positivo x11 2π 0 concluise que o sinal não se repete para todo t Não periódico b x2n un un Considerando a definição simétrica do degrau ou seja adotando u0 12 un 1 n 0 12 n0 0 n0 un 1 n0 12 n0 0 n0 Para todo n temos x2n un un 1 n 0 12 12 1 n0 isto é x2n 1 para todo n ℤ Como é uma constante o sinal é periódico qualquer inteiro positivo serve como período sendo N 1 o período fundamental Periódico c xn Σk δn5k Tratase de um trem de impulsos com impulsos espaçados a cada 5 amostras Logo o sinal se repete a cada 5 unidades Periódico com período N 5 d xt cos22πt Utilizando a identidade cos22πt 1 cos4πt 2 a componente cos4πt é periódica com período T 1 2 Portanto o sinal é periódico com período fundamental T 1 2 Periódico e xn 1n Observase que 1n2 1n ou seja o sinal se repete a cada 2 amostras Periódico com período N 2 f xn descrição por figura Como o enunciado indica que o sinal é descrito por uma figura não forne cida não é possível determinar com as informações disponíveis se o sinal é periódico Indeterminado Questão 04 Considere os sistemas em série S1 y1n 2xn 4xn 1 S2 y2n x2n 2 05 x2n 3 onde a saída de S1 é a entrada de S2 ou seja x2n y1n 5 a Relação entradasaída do sistema S Como y1n 2xn 4xn1 temos y1n2 2xn2 4xn3 y1n3 2xn3 4xn4 A saída do sistema total é dada por yn y2n y1n2 05 y1n3 Substituindo os valores de y1n2 e y1n3 yn 2xn2 4xn3 052xn3 4xn4 2xn2 4xn3 xn3 2xn4 2xn2 5xn3 2xn4 Portanto a relação entradasaída do sistema é yn 2xn2 5xn3 2xn4 b Ordem invertida dos sistemas Caso a conexão seja invertida temos Primeiro S2 e depois S1 Passo 1 A entrada xn passa pelo sistema S2 y2n xn2 05 xn3 Aqui y2n será a entrada para o sistema S1 ou seja x1n y2n xn2 05 xn3 Passo 2 Aplicando S1 com entrada x1n yn 2x1n 4x1n1 Note que x1n1 xn3 05 xn4 Então yn 2xn2 05 xn3 4xn3 05 xn4 2xn2 xn3 4xn3 2xn4 2xn2 5xn3 2xn4 Observase que a relação entradasaída permanece a mesma Conclusão A ordem dos sistemas não altera a relação entradasaída isto é yn 2xn2 5xn3 2xn4 Questão 05 Para cada sistema iremos determinar se ele é linear e se é invariante no tempo a yt t²xt1 Linearidade O sistema multiplica a entrada xt1 por t² que depende explicitamente do tempo Isso viola o princípio de homogeneidade e aditividade de forma que o sistema não é linear Invariância no tempo Se atrasarmos a entrada em t₀ a saída esperada seria ytt₀ t²xtt₀1 Contudo ao atrasar a entrada na equação original teríamos yatrasadot t²xtt₀1 o que não é igual a ytt₀ pois o fator t² não se atrasa de forma equivalente Portanto o sistema não é invariante no tempo Não linear não invariante no tempo b yn x²n2 Linearidade A presença do quadrado na entrada x²n2 implica que a superposição não é satisfeita por exemplo a b² a² b² Logo o sistema não é linear Invariância no tempo Se atrasarmos a entrada em n₀ teremos xn2n₀ ynn₀ xnn₀2² Esta transformação corresponde ao atraso da saída mantendo a mesma estrutura Assim o sistema é invariante no tempo Não linear invariante no tempo c yn xn1 xn1 Linearidade A operação consiste em combinar linearmente valores da entrada com coeficientes constantes Assim o sistema satisfaz o princípio da superposição e é linear Invariância no tempo Se atrasarmos a entrada em n₀ teremos ynn₀ xnn₀1 xnn₀1 o que é exatamente a forma esperada de atraso na saída Portanto o sistema é invariante no tempo Linear e invariante no tempo Questão 6 a xt1 xt1 max1 t 12 0 b x2t x2t max1 2 t2 0 10 c x2t1 x2t1 max1 2t12 0 O suporte é determinado por 2t 1 2 ou seja t 15 05 d x4 t2 x4 t2 max1 4 t22 0 A condição 4 t2 2 leva a 4 t 12 11 image of graphs illustrating xt1 x2t x2t1 e xt xt ut Como xt é par xt xt 2xt Multiplicando por ut obtemos xt xt ut 2xt t 0 0 t 0 Ou seja para t 0 2xt 2 max1 t2 0 com suporte em 0 2 Questão 7 Suponha que o sinal discreto original seja xn 1 n 0 2 n 1 3 n 2 2 n 3 1 n 4 0 caso contrário A seguir os sinais transformados são esboçados 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 n xn 4 b x3 n Aqui ocorre uma reflexão em relação a n 3 Calculando n 1 0 1 2 3 x3 n x4 1 x3 2 x2 3 x1 2 x0 1 2 1 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 n x3 n c x3n Nesta transformação apenas os índices para os quais 3n está no suporte original serão não nulos Temos n 0 1 x3n x0 1 x3 2 para n 0 1 x3n 0 12 1 0 1 2 3 0 1 2 3 n x3n d x3n 1 Aqui para os índices onde 3n 1 está no suporte n 0 1 x3n 1 x1 2 x4 1 1 0 1 2 0 1 2 3 n x3n 1 e xn u3 n O termo u3 n vale 1 para n 3 e 0 para n 3 Assim a multiplicação resulta em n 0 1 2 3 4 xn 1 2 3 2 1 u3 n 1 1 1 1 0 xn u3 n 1 2 3 2 0 13 Questão 08 Considerase o pulso original definido por xt max1 t 0 t 1 1 Pulso Original xt Neste caso o sinal é comprimido no tempo por um fator de 3 ficando não nulo quando 3t 11 ou seja t 1313 x3t max1 3t 0 a x3t b x3t 2 Reescrevendo x3t 2 x3t 23 o sinal é comprimido por 3 e deslocado para a esquerda em 23 unidade Para x3t 2 ser não nulo é necessário que 1 3t 2 1 Resolvendo 3t 2 1 t 1 3t 2 1 t 13 Assim o suporte é t 1 13 e x3t 2 max1 3t 2 0 c x2t 1 Reescrevendo x2t 1 x2t 12 o sinal sofre uma reflexão devido ao sinal negativo uma compressão por 2 e um deslocamento para a esquerda de 05 unidade Observase que x2t 1 max1 2t 1 0 max1 2t 05 0 O sinal é não nulo quando 2t 05 1 t 05 05 ou seja para t 10 com o pico em t 05