Ativ Mapa Analise

Questão 1 Na disciplina de Análise Matemática procuramos compreender os fundamentos que sustentam os principais conceitos do Cálculo como continuidade derivadas integrais e limites Para isso investigamos com mais profundidade o comportamento das sequências e das funções reais Um dos pilares da análise real é o estudo do comportamento de sequências numéricas que muitas vezes estão por trás das definições mais sofisticadas do Cálculo Entender quando uma sequência converge quando é limitada e que propriedades ela carrega é essencial para formalizar ideias que no ensino médio costumam ser tratadas apenas de forma intuitiva Dentre os teoremas clássicos que tratam das propriedades de sequências reais destacase o Teorema de BolzanoWeierstrass Esse teorema revela uma estrutura fundamental dos reais a compacidade dos intervalos fechados e limitados conceito que será muito útil quando estudarmos continuidade e integrais Além de ser central na Análise esse teorema traz implicações importantes para a prática pedagógica Como futuros professores vocês terão a responsabilidade de transmitir esses conceitos de maneira clara e significativa mostrando aos alunos como a matemática é construída de forma lógica e rigorosa Agora responda as duas perguntas apresentadas com a maior quantidade de detalhes possíveis lembrando da formalidade exigida nessa disciplina 1 Defina formalmente os seguintes conceitos a Sequência de números reais b Sequência limitada c Convergência de uma sequência d Subsequência 2 Enuncie e demonstre o Teorema de BolzanoWeierstrass para o conjunto dos números reais 3 Dê um exemplo de uma sequência limitada que não seja convergente mas que possui uma subsequência convergente Explique ORIENTAÇÕES PARA O MAPA 1º Passo Pesquise as definições formais e a demonstração do Teorema de BolzanoWeierstrass em livros de Análise Matemática 2º Passo Organize sua atividade em tópicos numerados respeitando a sequência solicitada 3º Passo Utilize a ferramenta EQUATION EQUAÇÃO do Word localizada na aba Inserir para digitar fórmulas e símbolos matemáticos 4º Passo Faça uma revisão ortográfica e verifique a clareza e a correção dos conceitos apresentados ATIVIDADE MAPA 1 a Uma sequência de números reais é uma função x N R que associa a cada número natural n um número real xn chamado o nésimo termo da sequência Denotamos por xn a sequência cujo nésimo termo é xn b Uma sequência é dita ser limitada quando ela é limitada superior e inferiormente isto é existe k R com k0tal que xnk para todo nN c Dizse que uma sequência xn converge para o número real a quando para todo número real ε0 arbitrário podese obter n0N tal que todos os termos xn com índice nn0 cumprem a condição xnaε d Dada uma sequência xxn uma subsequência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito N n1n2nk de N Denotamos por xnkk N essa subsequência 2 Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente Demonstração Seja xxn uma sequência limitada de números reais Do Teorema da Subsequência Monótona segue que se xxn é uma sequência limitada então ela possui uma subsequência x xnkk N que é monótona Como essa subsequência também é limitada segue do Teorema da Convergência Monótona que a subsequência x xnkk N é convergente CQD 3 Consideremos a sequência 111111 Note que essa sequência não é convergente Entretanto a subsequência formada pelos termos de posições ímpares 111111 é claramente convergente Da mesma forma a subsequência formada pelos termos de posições pares 111111 também é convergente