Atividade Análise

Atividade mapa Na disciplina de Análise Matemática procuramos compreender os fundamentos que sustentam os principais conceitos do Cálculo como continuidade derivadas integrais e limites Para isso investigamos com mais profundidade o comportamento das sequências e das funções reais Um dos pilares da análise real é o estudo do comportamento de sequências numéricas que muitas vezes estão por trás das definições mais sofisticadas do Cálculo Entender quando uma sequência converge quando é limitada e que propriedades ela carrega é essencial para formalizar ideias que no ensino médio costumam ser tratadas apenas de forma intuitiva Dentre os teoremas clássicos que tratam das propriedades de sequências reais destacase o Teorema de BolzanoWeierstrass Esse teorema revela uma estrutura fundamental dos reais a compacidade dos intervalos fechados e limitados conceito que será muito útil quando estudarmos continuidade e integrais Além de ser central na Análise esse teorema traz implicações importantes para a prática pedagógica Como futuros professores vocês terão a responsabilidade de transmitir esses conceitos de maneira clara e significativa mostrando aos alunos como a matemática é construída de forma lógica e rigorosa Agora responda as duas perguntas apresentadas com a maior quantidade de detalhes possíveis lembrando da formalidade exigida nessa disciplina 1 Defina formalmente os seguintes conceitos a Sequência de números reais b Sequência limitada c Convergência de uma sequência d Subsequentia 2 Enuncie e demonstre o Teorema de BolzanoWeierstrass para o conjunto dos números reais 3 Dê um exemplo de uma sequência limitada que não seja convergente mas que possua uma subsequência convergente Explique ORIENTAÇÕES PARA O MAPA 1º Passo Pesquise as definições formais e a demonstração do Teorema de BolzanoWeierstrass em livros de Análise Matemática 2º Passo Organize sua atividade em tópicos numerados respeitando a sequência solicitada 3º Passo Utilize a ferramenta EQUATION EQUAÇÃO do Word localizada na aba Inserir para digitar fórmulas e símbolos matemáticos 4º Passo Faça uma revisão ortográfica e verifique a clareza e a correção dos conceitos apresentados Atividade 1 QUESTÃO 1 O estudo de sequências é um dos primeiros tópicos formais no curso de Análise Matemática Ele nos permite investigar o comportamento de sucessões infinitas de números o que é uma base para conceitos mais avançados como o de séries e de limites de funções A análise rigorosa da convergência é o que diferencia a abordagem do Ensino Superior daquela vista no Ensino Médio Sobre sequências considere a sequência numérica definida por xn 2n 1n 3 Prove utilizando a definição formal de limite de uma sequência ε N que a sequência xn converge e determine o seu limite ATIVIDADE MAPA 1 a Uma sequência de números reais é uma função x N R que associa a cada número natural n um número real xn chamado o nésimo termo da sequência Denotamos por xn a sequência cujo nésimo termo é xn b Uma sequência é dita ser limitada quando ela é limitada superior e inferiormente isto é existe k0 tal que xnk para todo nN c Dizse que uma sequência xn converge para o número real a quando para todo número real ε0 arbitrário podese obter n0N tal que todos os termos xn com índice nn0 cumprem a condição xnaε d Dada uma sequência xxn uma subsequência de x é a restrição da função x a um subconjunto infinito N n1n2nk de N Denotamos por xnkk N essa subsequência 2 Teorema de BolzanoWeierstrass Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente Demonstração Seja xxn uma sequência de números reais Do Teorema da Subsequência Monótona segue que se xxn é uma sequência limitada então ela possui uma subsequência x xnkk N que é monótona Como essa subsequência também é limitada segue do Teorema da Convergência Monótona que a subsequência x xnkk N é convergente CQD 3 Consideremos a sequência 111111 Note que essa sequência não é convergente Entretanto a subsequência formada pelos termos de posições ímpares 111111 é claramente convergente ATIVIDADE 1 1 Seja xn2n1 n3 Vamos dividir o numerador e denominador por n assim temos que xn21n 13n Note que quando n temos 1 n 0 e 3 n 0 Logo lim n xn2 Agora vamos provar utilizando a definição formal de limite de uma sequência que o número 2 é de fato o limite da sequência xn Demonstração Dado ε 70 Note que 2n1 n3 2 2n12n6 n3 7 n37 1 n3 7 1 n Pela Propriedade Arquimediana existe k N tal que 1 k ε 7 Assim se nk temos 1 n 1 k ε 7 Daí temos que 2n1 n3 2 71 n3 71 n 71 k 7 ε 7ε Como ε0 é arbitrário concluímos que lim 2n1 n3 2 CQD