Prova de Variáveis Complexas - Topologia Limites Derivadas e Integração

Topologia Limites Derivadas e Integração em C Professor Ícaro Vidal Freire Disciplina Variáveis Complexas Curso Licenciatura em Matemática 8 semestre Aluno a Data 22122022 Instruções 1 Essa avaliação terá valor máximo de 10 pontos 2 Toda avaliação deve ser feita de caneta azul ou preta 3 Questões rasuradas e sem cálculos serão desconsideradas 4 Se houver indícios de fraude as provas envolvidas terão pontuações zeradas 5 Provas com respostas copiadas da internet terão pontuações zeradas AVALIAÇÃO II Questão 1 2 pontos Sejam U C um aberto e X U com X U Mostre que U X é um conjunto aberto Questão 2 3 pontos Calcule os seguintes limites simplificandoos tanto quanto possível a lim zi z 1z1 b lim zi z³ zzi Questão 3 2 pontos Considere a função complexa f definida por fx yi x³yy xix⁶ y² se x yi 0 0 se x yi 0 a Mostre que lim z0 fz f0z0 0 ao longo de qualquer reta que passe na origem ou seja quando y mx com m R b Mostre que f0 não existe c Os itens a e b são contraditórios Explique Questão 4 1 ponto Enade Adaptada A respeito da integral γ z aⁿ dz em que n é um inteiro z é uma variável complexa e γ uma curva fechada no plano complexo avalie as afirmações a seguir classificandoas como Verdadeira demonstrando o resultado ou Falsa dando um contraexemplo ou apontando o erro na afirmação É nulo para todo n 0 e qualquer curva fechada γ uma vez que z aⁿ é a derivada de z an1n1 É nulo para todo n 0 n 1 e qualquer curva fechada γ que não passe por a É nulo se n 1 e γ for a circunferência dada por γt a reit 0 t 2π É igual a 2πi se n 1 e γ for uma curva fechada contida no semiespaço do plano Im z 0 em que a não pertença a esse semiespaço Questão 5 2 pontos Considere γ 0 2π C dada por γt a cos t ib sen t onde a b R a Calcule γ 1z dz onde Γ γ0 2π b Use o item a e mostre que 02π 1a² cos² t b² sen² t dt 2πab