Variável Complexa - Atividade Avaliativa sobre Números Complexos e Suas Propriedades

O Plano Complexo Professor Ícaro Vidal Freire Disciplina Variável Complexa Curso Licenciatura em Matemática 8º semestre Aluno a Colocar seu nome aqui Data 09032023 ATIVIDADE AVALIATIVA I Questão 1 1 ponto Com as operações usuais de M2 R considere Ma b a b b a com a b R Sabendose que Ω Ma b M2 R a b R é um Corpo responda aos itens abaixo a Verifique que Ma 0 Mb 0 Ma b 0 e Ma 0 Mb 0 Ma b 0 b Identificando Ma 0 a verifique que R Ω e M0 12 1 c Denotando i M0 1 mostre que Ma b a bi d Considere o número complexo Z 32 332 332 32 i Escreva Z na forma algébrica ii Escreva Z na forma polar Questão 2 1 ponto Sabendo que Sn i4n i2n com n N determine o módulo do complexo resultante da soma S1 S2 S2002 Questão 3 1 ponto Considere os números complexos z x yi e w y xi cujos módulos são tais que zew3x e w ez1y onde e é a base dos logaritmos neperianos a Obtenha a forma polar de z2 Questão 4 1 ponto Para n N e i 1 2 3 n mostre que dados zi wi C é válida a desigualdade Desigualdade de CauchySchwartz i1 to n ziwi i1 to n zi2 i1 to n wi2 Questão 5 1 ponto Prove que sen2π7 sen4π7 sen8π7 72 Questão 6 1 ponto Prove que a função denominada Transformação de Cayley ϕz 1z1z i mapeiatransforma o conjunto D z C z1 ponto a ponto para o conjunto Uz C Im z 0 Questão 7 1 ponto Seja a α iβ onde α β R com β 0 Prove que as duas soluções de z2 a são z0 e z0 onde z0 αα2 β22 iεβαα2 β22 sendo εβ1 se β 0 e εβ1 se β 0 Obs As raízes quadradas acima consideradas são positivas 1 Questão 8 1 ponto Prove que se z1z21 com z1z2 1 então z1 z21 z1z2 é um número real Questão 9 1 ponto Um Inteiro Gaussiano é um número complexo cuja parte real e imaginária é inteira Denotamos por o conjunto dos Inteiros Gaussianos por Zi ou seja Zi m in m n Z a Mostre que a soma e o produto em Zi são fechados b Quando um Inteiro Gaussiano é invertível c Encontre todos os Inteiros Gaussianos que são invertíveis d Se Qr é um quadrado com vértices r ir r ir r ir r ir onde r Z quantos Inteiros Gaussianos existem no perímetro de Qr Questão 10 1 ponto ENADE Adaptado O conjunto números complexos pode ser representado geometricamente no plano cartesiano de coordenadas xOy por meio da seguinte identificação z x y i P x y Nesse contexto analise as afirmações a seguir I As soluções da equação z4 1 são vértices de um quadrado de lado 1 II A representação geométrica dos números complexos z tais que z1 é uma circunferência com centro na origem e raio 1 III A representação geométrica dos números complexos z tais que Re z Im z 1 é uma reta que tem coeficiente angular igual a 3π4 radianos É correto o que se afirma em a I apenas b II apenas c I e III apenas d II e III apenas e I II III 2 Lista de Exercícios Números Complexos Problema 1 Resposta Para encontrar a relação usamos x z1 zn tw1 wn z z1 zn w w1 wn e a propriedade de que x2 0 Observe que x2 z tw z tw z2 2z wt w2 t2 0 Para que esta equação do segundo grau seja sempre positiva é necessário que o discriminante seja menor ou igual a zero 4z w2 4z2 w2 0 z w z2 w2 Por outro lado ziwi zi wi z w z2 w2 que no permite concluir a questão Problema 2 Resposta A transformação levaria o disco no plano superior Vamos tomar os números complexos z tais que 0 z r 1 Se z x iy temos que ϕz 1z1z i 1z1z1z1z i Problema 3 Resposta Considere que z2 a temos que z2 a cosθ i sinθ 1 onde sinθ β α² β² cosθ α α² β² Teríamos que as raízes deste problema são z₀ ⁴acosθ2 i sinθ2 z₀ ⁴acosθ2 i sinθ2 Assim sempre uma das raízes tem parte real positiva sem perda de generalidade Vamos supor que z₁ tem cosθ2 0 que significa que π2 θ2 π2 Se β 0 estamos no primeiro quadrante e β 0 no quarto quadrante Existe uma fórmula para o cosseno e seno da metade cosθ2 1cosθ2 1 αα²β²2 sinθ2 1 cosθ2 1 αα²β²2 Supondo que estejamos no primeiro quadrante β 0 temos que ⁴acosθ2 α² β² α2 ⁴asinθ2 α² β² α2 Assim segue que z₀ α² β² α2 iα² β² α2 Caso estejamos no quarto quadrante z₀ α² β² α2 iα² β² α2 Problema 4 Resposta O inverso nos complexos de z m in é dado por z1 m m2 n2 i n m2 n2 e este número só estará nos inteiros gaussianos se m2 n2m n Mas como m2 n2 m n 1 e pelo menos um desses m n não pode ser zero Resta m2 n2 1 ou seja 1 i 3