Avaliação 5 - Problema Dual Dual 10 Primal Método Dual Simplex - Otimização 2023-2

Avalia¸c˜ao 5 - Problema Dual, Dual × Primal M´etodo Dual Simplex 1. Quest˜ao 1 [3 pontos] (P) : Minimizar −5x1 − 4x2 − 3x3 sujeito a 4x1 + x2 + 2x3 ≥ 8 2x1 + 3x2 + x3 = 5 x1 , x2 , x3 ≥ 0 Escreva, da forma mais simplificada poss´ıvel, o problema dual do PPL (P). 2. Quest˜ao 2 [5 pontos] Nesta quest˜ao, considere o PPL a seguir. (P) : min x1 + 3x2 + x3 s. a 2x1 + x2 − x3 ≥ 3 2x1 + 2x2 − x3 ≥ 6 x1 + 2x2 + 2x2 ≥ 8 x1 , x2 , x3 ≥ 0 (A) [3 pontos] Resolva o PPL acima usando o m´etodo Dual Simplex. Encontre todas as solu¸c˜oes do PPL. (B) [1 ponto] Partindo exclusivamente da(s) tabela(s) ´otima(s) obtida(s) no item (B), exiba os valores de todas as vari´aveis ´otimas duas (originais e de folga). (C) [1 ponto] Considere o PPL acima; altere a terceira restri¸c˜ao para −2x1 − 5x2 + x3 ≥ 8 Resolva o PPL alterado pelo m´etodo Dual Simplex. Encontre todas as solu¸c˜oes do PPL alterado. 3. Quest˜ao 3 [2 pontos] Considere um par qualquer de problemas primal (P) e o seu dual (D), sendo o primal de mini- miza¸c˜ao. Se uma restri¸c˜ao for retirada do primal (P) for retirada, diga o que ocorre/pode ocorrer tanto com a regi˜ao vi´avel do problema (P) e do dual (D), assim como com a(s) solu¸c˜ao(¸c˜oes) do problema (P) e do dual (D). AVALIAÇÃO 5 Questão 1. Maximizar 8𝑢1 + 5𝑢2 s.a: 4𝑢1 + 2𝑢2 ≤− 5 𝑢1 + 3𝑢2 ≤− 4 2𝑢1 + 𝑢2 ≤− 3 , livre 𝑢1 ≥ 0 𝑢2 Questão 2. Questão 3. Se uma restrição é tirada no primal, a região viável tende a aumentar, com isso a função objetivo tende a diminuir já que se trata de um problema de minimização. Já no dual uma variável é removida, diminuindo a região viável e o seu valor de função objetivo tende a diminuir também. Questão 2. (A) (P) min x1 + 3x2 + x3 s.a: 2x1 + x2 - x3 >= 3 2x1 + 2x2 - x3 >= 6 x1 + 2x2 + 2x3 >= 8 x1, x2, x3 >= 0 min x1 + 3x2 + x3 s.a: -2x1 - x2 + x3 + x4 = -3 -2x1 - 2x2 - x3 + x5 = -6 -x1 - 2x2 - 2x3 + x6 = -8 x1, x2, x3, x4, x5, x6 >= 0 (D) max 3u1 + 6u2 + 8u3 s.a: 2u1 + 2u2 + u3 <= 1 u1 + 2u2 + 2u3 <= 3 -u1 - u2 + 2u3 <= 1 u1, u2, u3 >= 0 VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b x4 -2 -1 1 1 0 0 -3 L1 <- L1 - L3 x5 -2 -2 -1 0 1 0 -6 L2 <- L2 + L3 x6 -1 -2 -2 0 0 1 -8 L3 <- L3 * -1/2 z 1 3 1 0 0 0 0 Lz <- Lz - L3 -5/2 -2 0 1 0 1/2 -7 L1 <- -2/5 L1 x5 -3/2 -1 0 0 1 -1/2 -2 L2 <- L2 + 3/2 L1 x3 1/2 1 1 0 0 -1/2 4 L3 <- L3 - 1/2 L1 z 1/2 2 0 0 0 1/2 -4 Lz <- Lz - 1/2 L1 x1 4/5 0 -2/5 0 -1/5 14/5 Primal ótima x5 0 1/5 0 -3/5 1 -3/10 11/5 x3 0 3/5 1 1/5 0 1/10 13/5 z 0 8/5 0 1/5 0 3/5 -27/5 Solução ótima x1 = 14/5 , x2 = 0 , x3 = 13/5 z = 27/5 (B) u1 = 1/5 , u2 = 0 , u3 = 3/5 u4 = 0 , u5 = 8/5 , u6 = 0 (C) VB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 b x1 1 4/5 0 -2/5 0 -1/5 0 14/5 x5 0 1/5 0 -3/5 1 -3/10 0 11/5 x3 0 3/5 1 1/5 0 1/10 0 13/5 x7 0 2 5 -1 0 0 0 -8 L4 <- L4 - 2L1 + L3 z 0 8/5 0 1/5 0 3/5 0 -27/5 x1 1 4/5 0 -2/5 0 -1/5 0 14/5 x5 0 1/5 0 -3/5 1 -3/10 0 11/5 x3 0 3/5 1 1/5 0 1/10 0 13/5 x7 0 4 0 1 0 1/2 1 =11 z 0 8/5 0 1/5 0 3/5 0 -27/5 Problema inviável