Primeira Unidade Lista de Exercícios Avaliativa

Primeira Unidade: Lista de exercicios avaliativa DCA0118 - PROCESSAMENTO DIGITAL DE SINAIS 2021.2 1. * Para cada um dos sistemas a seguir, determine se ele é (1) estavel, (2) causal, (3) linear, (4) invariante no tempo e (5) sem memoria: a) T(2[n]) = g[n]a[n], com g[n] dado b) T(e[n]) = Veany tlk], n A 0 c) T(x[n]) = Dee, Tl d) T(a{[n}) = 2[n — no] e) T(2[n]) = et f) T(a[n]) = az[n] +6 8) T(2[n]) = a[-n] h) T(a[n]) = z[n] = 3u[n + 1]. 2. * Pelo cdlculo direto da soma da convolucao, determine a resposta ao degrau unitario (x[n] = u[n]) de um sistema LIT cuja resposta ao impulso é h{n] =a" u[—n], 0<a< 1. 3. * Considere a equacao a diferencas linear com coeficientes constantes 3 1 ylr] — gyln — UI + gyln — 2] = 2a[n — J. Determine y[n] para n > 0 quando a[n] = d[n] e y[n] = 0, n < 0. 4. * Determine a saida de um sistema LIT se a resposta ao impulso h[n] e a entrada x[n] forem as seguintes: a) 2[n] = uln] e h[n] = a”u[—n — 1], com a > 1. b) a[n] = ul[n — 4] e h[n] = 2”u[—n — 1]. c) x[n] = u[n} e h[n] = (0,5)2"u[—n]. d) 2[n] = u[n] — u[n — 10] e h[n] = 2”ul—n — 1]. Use seu conhecimento de linearidade e invariancia no tempo para minimizar o trabalho nos itens (b)-(d). 5. * Considere um sistema LIT com resposta em frequéncia : _ pa j2w H(e!”) = joe —T<w<t. 1 + ze J Determine a saida y[n] para todo n se a entrada x[n] para todo n for ™ z[n] = sen (*) . 6. * Para cada uma das seguintes respostas ao impulso de sistemas LIT, indique se 0 sistema é ou nao causal: a) A{n] = (1/2)"uln] b) hl] = (1/2)"uln — 1] c) h[n] = (1/2)! 1 d) hin] = uln + 2] — u[n — 2] e) A[n] = (1/3)"u[n] + 3” ul—n — 1] 7. * Para cada uma das seguintes respostas ao impulso de sistemas LIT, indique se o sistema é estavel ou nao: a) h[n] = 4” ul[n] b) A[n] = ul[n] — u[n — 10] c) A[n] = 3"u[—n - J d) h[n] = sen(an/3)uln] e) A{n] = (3/4)!"!cos(an/4 + 1/4) f) h[n] = 2u[n + 5] — ufn] — u[n — 5] 8. * Um sinal de tempo discreto é mostrado na Figura 1. 1 xin 1 [n] 2 2-101234 Figure 1: Sinal de tempo discreto. Esboce e coloque a escala cuidadosamente para cada um dos seguintes sinais: a) a[n — 2] b) a[4—n] c) «[2n] d) a[n]u[2 — n] e) xz[n — 1]d[n — 3}. 9. * Um sistema LIT tem resposta ao impulso definida por 0, n<O0 1, n=0,1,2,3 Mr =) 9 naa 0, n>5 Determine e faca um grafico da saida y[n] quando a entrada x[n] é: a) uln] b) u[n — 4] c) uln] — un — 4). 10. ** O par transformada de Fourier de tempo discreto (TFTD) "uln| 3 a lal <1 a”ul[n To genta’ |@ é dado. a) Tendo em vista a relacao dada, determine a TFTD, X(e%”), da sequéncia n _ —b", nr < —1 z|n] = —b uf-n—1]={ 0, n>0. Que restricao sobre b é necessdria para que a TFTD de 2[n] exista? b) Determine a sequéncia y[n] cuja TFTD é ; Qe7Iw Y (e?”) = eT 1+ 2e-3¥ 2 11. * Determine a transformada z, incluindo a RDC, para cada uma das seguintes sequéncias: n a) (4)" ula n b) —($) uf-n-] n o) 2)" ula d) 4[n] e) d[n — 1] f) d[n4+]] n g) (5) (u[n] — un — 10). 12. * A seguir ha varias transformadas z. Para cada uma, determine a transformada z inversa usando ambos os métodos — expansao em fracg6des parciais e expansdes em série de poténcias. Além disso, indique em cada caso se a transformada de Fourier existe. a) wis |z| > 3 b) hs l<3 1-42-71 c) iets |z| > 3 y-4,71 d) EET |el> 3 e) AED lel > [1/a 13. * A entrada de um sistema LIT causal é 1 n x(n] = u[—n — 1] + (5) uln]. A transformada z da saida desse sistema é L,-1 52 Y(z) = ——_2@_ _.. (2) (1 — $271) (14271) a) Determine H(z), a transformada z da resposta ao impulso do sistema. Nao se esquega de especificar a RDC. b) Qual é a RDC para Y(z)? c) Determine y/n]. 14. * Esboce o diagrama de polos e zeros para cada uma das seguintes transformadas z e sombreie a RDC: y—4,71 a) X1(z) = [poet RDC : |z| <2 1—4271 b) X2(z) = (4421)(-22-3)’ x|n] causal c) X3(z) = aS, x3[n] somavel em valor absoluto. 6 15. * Considere um sistema LIT com entrada x[n] e saida y[n] que satisfaga a equacao de diferengas 5 yln] — Syln — 1 + yln — 2] = a[n] — 2[n — J. Determine todos os valores possiveis para a resposta ao impulso do sistema h[n] em n = 0. 16. * Um sistema LIT causal tem a seguinte fungao de sistema: 4+0,2527'—0,52-? H(z) = _ 440, doz 7002 (1 — 0, 252-1)(1 + 0, 52-1) a) Qual ¢é a RDC para H(z)? b) Determine se o sistema é estdvel ou nao. c) Determine a equagao de diferengas que é satisfeita pela entrada x[n] e pela saida y(n]. 3 d) Use a expansao em frag6es parciais para determinar a resposta ao impulso h[n]. e) Encontre Y(z), a transformada z da saida, quando a entrada é x[n] = u[—n — 1]. Especificar a RDC para Y(z). f) Encontre a sequéncia de saida y[n] quando a entrada é 2[n] = u[—n — 1]. 17. ** Um sistema LIT causal tem funcao de sistema 1—z71 1-2! | ee 1—0,252-2. (1—0,5271)(1 + 0,527") a) Determine a saida do sistema quando a entrada é z[n] = u[n]. b) Determine a entrada x[n], de modo que a saida correspondente do sistema anterior seja y[n] = 6[n] — d[n — 1]. c) Determine a saida y[n] quando a entrada é x[n] = cos(0,57n) para —co < n < co. Vocé pode deixar sua resposta em qualquer formato conveniente. 18. ** Quando a entrada de um sistema LIT é 1 n z[n] = (5) ul[n] + 2”u[—n — 1], a saida é 1\" 3\" n]=6( =] uln]-6{—] un]. vin]=6(5) uin)-6(F) vin a) Encontre a fungao de sistema H(z). Faca o diagrama dos polos e zeros de H(z) e indique a RDC. b) Encontre a resposta ao impulso h[n] do sistema. c) Escreva a equacao de diferencgas que caracteriza o sistema. d) O sistema é estavel? E causal? 19. * Determine a funcao de sistema dos dois diagramas de fluxo na Figura 2 e mostre que eles tém os mesmos polos. , " oo “ . om : -? Rede 1 (a) xf] ° ] z! rsen@ -rsendg y[n] zl Rede 2 (b) Figure 2: Diagramas de fluxo. 20. * Na Figura 3 sao mostrados seis sistemas. Determine qual dos tltimos cinco, (b)-(f), tem a mesma fungao de sistema de (a). Vocé devera ser capaz de eliminar algumas das possibilidades por inspecao. 4 Figure 3: Representação de sistemas. 21. * Um sistema LIT é realizado pelo diagrama de fluxo mostrado na Figura 4. Figure 4: Sistema LIT. a) Escreva a equação de diferenças relacionando x[n] e y[n] para esse diagrama de fluxo. b) Qual é a função de sistema desse sistema? c) Na realização da Figura 4, quantas multiplicações reais e adições reais são exigidas para calcular cada amostra de saída? (Suponha que x[n] seja real e que a multiplicação por 1 não seja levada em conta no total.) d) A realização da Figura 4 requer quatro registradores de armazenamento (elementos de atraso). É possível reduzir o número de registradores usando uma estrutura diferente? Se for, desenhe o diagrama de fluxo; se não, explique por que o número de registradores de fluxo não pode ser reduzido. 22. * Determine a resposta ao impulso de cada um dos sistemas da Figura 5. 5 zl zl zg zl zl zo zo zl om 9 9 9 9 9 9 on 9 9 9 9 1 -2 4 3 1 ¢ ¢ ¢ ¢ zl TT PES (a) ° é 6 6 yln] (c) zt zi zi z zi eee . " ; , 1 3 4 ~2 1 ° p p p x[n] “el , CK K (b) © © © o Pee vin] : : , (d) Figure 5: Sistemas. 23. * Sejam a[n] e y[n] sequéncias relacionadas pela seguinte equacao de diferengas: in] — jul — 2] = alm — 2] ~ Fan] n| — —y|[n — 2] = x[n — 2] — —a[n]. yor a 4” Desenhe um diagrama de fluxo de sinais na forma direta II para o sistema LIT causal correspondente a essa equacao de diferengas. 24. * Considere um sistema LIT causal cuja fungao de sistema seja 1-32-1414, H(z) = To test p22) (pea ty’ (1-52-14 32?) (1+ 5271) _ 1/2 4 1/2 1H 4271 + 327-2 14527} (a) Desenhe o diagrama de fluxo de sinais para implementagoes do sistema em cada uma das seguintes formas: I) Forma direta I. II) Forma direta IT. III) Forma em cascata usando secgoes na forma direta II de primeira e segunda ordens. IV) Forma paralela usando as segdes na forma direta I de primeira e segunda ordens. V) Forma direta II transposta. (b) Escreva as equagoes de diferencgas para o diagrama de fluxo da parte (v) em (a) e mostre que esse sistema tem a funcao de sistema correta. Referéncia: OPPENHEIM, Alan V.; SCHAFER, Ronald W; VIEIRA, Daniel. Processamento em tempo discreto de sinais. 3. ed. Sao Paulo, SP: Pearson, 2012. 6