Análise de Função de Transferência e Resposta ao Degrau

considere Z1 R 100 Ohm Z2 R 10 Ohm Z3 C 10 microFaraday Z4 L 100 mH Função de transferência V0V ATENDER AS SEGUINTES SOLICITAÇÕES análise do comportamento da resposta ao degrau de uma função de transferência calculada a partir de um circuito dado levando em consideração a análise por fasores por Laplace e do diagrama de blocos Análise do Circuito e Parâmetros Primeiramente vamos definir os componentes do circuito e seus valores Fonte de Tensão V entrada Impedância Z1 Resistor R1 100 Ω Impedância Z2 Resistor R2 10 Ω Impedância Z3 Capacitor C 10 µF 10 x 10⁶ F Impedância Z4 Indutor L 100 mH 01 H Tensão de Saída Vo tensão sobre o indutor Z4 Função de Transferência desejada Hs Vos Vs 4 Função de Transferência Para a maioria das análises é fundamental primeiro obter a função de transferência do sistema Utilizaremos a análise de circuitos no domínio de Laplace onde as impedâncias são representadas como Z1s R1 100 Z2s R2 10 Z3s 1 sC 1 s 10⁵ 10⁵s Z4s sL 01s Aplicando a análise nodal no nó Vx temos que a corrente que entra no nó Ii é igual à soma das correntes que saem Ix Io V Vx Z1 Vx Z3 Vx Z2 Z4 A tensão de saída Vo é a tensão sobre o indutor Z4 que pode ser encontrada usando um divisor de tensão no ramo da direita Vo Vx Z4 Z2 Z4 Podemos isolar Vx nesta segunda equação Vx Vo Z2 Z4 Z4 Substituindo Vx na equação nodal obtemos a relação entre Vo e V Após uma longa manipulação algébrica chegamos à função de transferência Hs VosVs sL s²R1LC sCL CR1R2 R1R2 Equação com valores numéricos Substituindo os valores dos componentes R1LC 100 01 10⁵ 10⁴ CL CR1R2 10⁵ 01 10⁵ 100 10 0010001 R1 R2 110 A função de transferência se torna Hs 01s 10⁴s² 0010001s 110 Forma Padrão da Função de Transferência Para a forma padrão o coeficiente do termo de maior grau no denominador deve ser 1 Para isso dividimos o numerador e o denominador por 10⁴ Hs 1000s s² 10001s 1100000 Esta é a função de transferência final na forma padrão Pela sua forma com um s no numerador e um polinômio de segunda ordem no denominador podemos classificar este circuito como um filtro passa faixa 1 Resposta no tempo equação a partir de fasores A análise por fasores é utilizada para encontrar a resposta do circuito em regime permanente para uma entrada senoidal Sinal de entrada vt 10cosωt V com f 60Hz Frequência angular ω 2 π f 2 π 60 377 rads Fasor de entrada V 100 V Para encontrar o fasor de saída avaliamos a função de transferência em s jω j377 Hj377 1000j377 j377² 10001j377 1100000 Hj377 j377000 142129 j3770377 1100000 Hj377 j377000 957871 j3770377 Convertendo para a forma polar Hj377 377000 90 958611 225 03933 8775 O fasor da tensão de saída Vo é o produto do fasor de entrada pelo ganho em jω Vo Hj377 V 03933 8775 10 0 3933 8775 V Convertendo o fasor de saída de volta para o domínio do tempo vot 3933 cos377t 8775 V 2 Resposta no tempo Laplace inversa A transformada de Laplace permite calcular a resposta completa do sistema transitória permanente para uma dada entrada Entrada no domínio do tempo vt 10cos377t Entrada no domínio de Laplace Vs 10s s² 377² A saída no domínio de Laplace é Vos Hs Vs Vos 1000s s² 10001s 1100000 10s s² 142129 Vos 10000s² s² 10001s 1100000 s² 142129 Para encontrar vot aplicamos a transformada inversa de Laplace que envolve a expansão em frações parciais O resultado terá duas partes 1 Resposta Permanente ou forçada Proveniente dos polos da entrada s j377 Este componente é a resposta senoidal de longo prazo e é idêntico ao resultado obtido pela análise de fasores vopermanentet 3933 cos377t 8775 V 2 Resposta Transitória ou natural Proveniente dos polos da função de transferência s² 10001s 1100000 0 que são s 50 j10476 Como os polos são complexos a resposta transitória é uma senóide amortecida votransitóriat e50t Acos10476t Bsin10476t Onde A e B são constantes que dependem das condições iniciais do circuito assumidas como nulas Após o cálculo a parte transitória é votransitóriat e 50t 015cos10476t 1095sin10476t V A resposta completa no domínio do tempo é a soma das duas partes vot 3933cos377t 8775 e50t 015cos10476t 1095sin10476t V 3 Diagrama de Blocos O diagrama de blocos é uma representação visual da função de transferência do sistema Podemos construílo a partir das equações nodais usando Ii e Vx como variáveis intermediárias Equações utilizadas no domínio de Laplace 1 A corrente de entrada Ii resulta da diferença de tensão entre V e Vx passando por Z1 Iis Vs Vxs Z1s 2 A tensão Vx é gerada pela corrente Ii passando pela impedância paralela de Z3 e Z2Z4 Vxs Iis Z3s Z2s Z4s 3 A tensão de saída Vo é uma fração de Vx determinada pelo divisor de tensão entre Z2 e Z4 Vos Vxs Z4s Z2s Z4s Diagrama de Blocos O diagrama abaixo representa essas relações mostrando um sistema com realimentação 5 Resposta ao Degrau Para analisar a resposta a um degrau unitário a entrada é vt ut cuja transformada de Laplace é Vs 1s A saída no domínio de Laplace é Vos Hs Vs 1000s s² 10001s 1100000 1s Vos 1000 s² 10001s 1100000 Para encontrar a resposta no tempo vot calculamos a transformada inversa de Laplace A expressão resultante é vot 09545 e50005t sin10476t ut Gráfico e Comportamento da Saída O gráfico desta função é uma senoide amortecida Início A tensão começa em vo0 0 Comportamento Ela sobe rapidamente até um pico depois oscila com uma frequência de 10476 rads aprox 167 Hz Amortecimento A amplitude das oscilações diminui exponencialmente com uma constante de tempo τ 150 002 segundos Estado Final Após aproximadamente 5τ 01 segundos a resposta transitória decai para praticamente zero e a tensão de saída se estabiliza em 0V Este comportamento é esperado para um filtro passafaixa que bloqueia o componente DC frequência zero de um degrau 6 Análise dos Resultados Obtidos Descrição dos Cálculos Nesta análise primeiramente derivamos a função de transferência Hs do circuito que o caracteriza como um filtro passafaixa Em seguida calculamos a resposta do circuito a uma entrada senoidal de 60Hz por dois métodos distintos fasores e transformada de Laplace Por fim calculamos a resposta do sistema a uma entrada de degrau unitário para entender seu comportamento transitório Comparação e Conclusões Fasores vs Laplace A análise por fasores forneceu diretamente a resposta em regime permanente senoidal enquanto a transformada de Laplace forneceu a resposta completa incluindo um termo transitório É crucial notar que a componente permanente da resposta de Laplace é idêntica ao resultado da análise fasorial Isso valida ambos os cálculos e demonstra que a análise fasorial é um método mais rápido para encontrar a resposta em regime permanente enquanto Laplace oferece uma visão mais completa do comportamento do sistema Natureza do Circuito A função de transferência e a resposta ao degrau confirmam que o circuito é um filtro passafaixa A resposta ao degrau decai a zero porque um filtro passafaixa não permite a passagem de componentes de frequência zero DC Gráfico Comparativo Entrada Senoidal O gráfico abaixo sobrepõe as duas respostas calculadas para a entrada senoidal A curva azul representa a resposta de regime permanente fasores que é uma senoide pura A curva vermelha é a resposta completa Laplace No início t 01s a resposta de Laplace difere devido ao efeito do transitório Após o transitório se extinguir as duas curvas se sobrepõem perfeitamente