Janelas de Nuttall e Blackman-harris no Desenvolvimento de Filtros Fir

Estudo e aplicação das janelas de Nuttall e BlackmanHarris no desenvolvimento de filtros FIR A atividade consiste em elaborar uma apresentação e relatório Analisar e comparar as janelas de Nuttall e BlackmanHarris quanto às suas características e desempenho Elaborar exemplos práticos de projeto de filtros FIR utilizando ambas as janelas Avaliar a ordem dos filtros em cada caso e realizar uma comparação de desempenho Justificar a escolha de cada janela explicando os critérios adotados e as razões pelas quais uma foi preferida em relação à outra Usar as funções windowDesigner e fdatool para gerar na mesma ordem e fazer essa comparação no matlab Estudo da aplicação de janelas de Nutall e BlackmanHarris no desenvolvimento de filtros FIR Nome 1 Janelas de Nuttall e BlackmanHarris No campo de Processamento Digital de Sinais a análise espectral tem uma função importante na extração de informações significativas contidas em sinais complexos No entanto a aplicação direta da Transformada de Fourier em sinais de duração finita pode levar a artefatos indesejados como o espalhamento espectral spectral leakage Para minimizar esses efeitos e obter representações espectrais mais precisas a técnica de janelamento é empregada moldando o sinal no domínio do tempo antes da análise As janelas de Nuttall e BlackmanHarris que são o foco deste relatório destacamse por suas características específicas que as tornam ferramentas úteis em diversas aplicações As janelas de Nuttall e BlackmanHarris pertencem a uma classe de janelas conhecidas como janelas de mínima amplitude projetadas para minimizar o espalhamento espectral e o efeito de ondulação no domínio da frequência Elas alcançam esse objetivo através de uma cuidadosa combinação de coeficientes que controlam a forma da janela no domínio do tempo As janelas de BlackmanHarris em particular oferecem um excelente compromisso entre largura do lóbulo principal e supressão dos lóbulos laterais enquanto as janelas de Nuttall são projetadas para minimizar o nível dos lóbulos laterais resultando em uma melhor representação de componentes de baixa amplitude próximos a sinais fortes Este relatório tem como objetivo explorar em detalhes as propriedades e características das janelas de Nuttall e BlackmanHarris São abordados os fundamentos teóricos que regem a sua construção suas vantagens e desvantagens em relação a outras janelas bem como suas aplicações práticas em diferentes cenários de processamento de sinais 11 Janela de Nuttall A janela de Nuttall é uma janela de baixa complexidade computacional e é definida no domínio do tempo pela seguinte equação 𝑤𝑛 𝑎0 𝑎1 cos 2𝜋𝑛 𝑁 𝑎2cos 4𝜋𝑛 𝑁 a3cos 6𝜋𝑛 𝑁 onde 𝑎0 0355768 𝑎1 0487396 𝑎2 0144232 𝑎3 0012604 N é o comprimento da janela n é o índice da amostra n 0 1 N 1 No domínio da frequência a janela de Nuttall apresenta um lóbulo principal relativamente estreito e lóbulos laterais com níveis consideráveis de atenuação 12 Janela de BlackmanHarris A janela de BlackmanHarris é outra janela comumente utilizada no projeto de filtros FIR definida no domínio do tempo pela seguinte equação 𝑤𝑛 𝑎0 𝑎1 cos 2𝜋𝑛 𝑁 𝑎2cos 4𝜋𝑛 𝑁 a3cos 6𝜋𝑛 𝑁 onde 𝑎0 035875 𝑎1 048829 𝑎2 014128 𝑎3 001168 N é o comprimento da janela n é o índice da amostra n 0 1 N 1 No domínio da frequência a janela de BlackmanHarris possui lóbulos laterais com uma atenuação maior do que a janela de Nuttall no entanto o lóbulo principal da janela de BlackmanHarris é mais largo que o lóbulo principal da janela de Nuttall 13 Comparação das Janelas As janelas de Nuttall e BlackmanHarris são bastante similares entretanto suas diferenças no domínio da frequência são muito importantes para a escolha da janela que será utilizada em um projeto A janela de Nuttall tem como vantagem o lóbulo principal mais estreito sendo ideal para aplicações onde a seletividade e a transição rápida são importantes Já a janela de BlackmanHarris tem como vantagem a atenuação maior dos lóbulos laterais sendo ideal para aplicações onde se deseja evitar vazamento espectral 2 Filtros Nesta seção apresentamse exemplos práticos de projeto de filtros FIR utilizando as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Utilizamse as ferramentas window design and analysis tool e fdatool do MATLAB para gerar filtros FIR com as mesmas especificações utilizando as duas janelas 21 Projeto de Filtro PassaBaixa Como exemplo projetase um filtro passabaixa FIR com as seguintes especificações Frequência de corte fc 1 kHz Frequência de amostragem fs 10 kHz Atenuação na banda de passagem 01 dB Atenuação na banda de rejeição 60 dB Utilizamse as ferramentas window design and analysis tool e fdatool do MATLAB para criar os filtros FIR utilizando as janelas de Nuttall e BlackmanHarris 211 Projeto com window design and analysis tool A ferramenta window design and analysis tool fornece uma interface gráfica para projeto de filtros FIR e IIR Para projetar o filtro utilizando essa ferramenta aplicamse os seguintes passos 1 Abrese a ferramenta window design analysis tool 2 Definemse as especificações da janela comprimento e tipo de amostragem 3 Escolhese a janela Nuttall ou BlackmanHarris 4 Geramse as amostras da janela Figura 1 Seleção da Janela de Nuttall no wdatool Figura 2 Seleção da Janela de BlackmanHarris no wdatool Outros parâmetros de ajuste podem também ser definidos para exibição da janela como ilustrado a seguir Figura 3 Parâmetros adicionais para filtros no wdatool Após o projeto os coeficientes do sinal de janela podem ser exportados para a área de trabalho do MATLAB 212 Projeto com a Função fdatool A função fdatool também fornece uma interface gráfica para projeto de filtros FIR e IIR Para projetar o filtro utilizando essa ferramenta usamse os seguintes passos 1 Abrese a ferramenta fdatool 2 Selecionase o tipo de filtro FIR pex passabaixas 3 Definemse as especificações do filtro frequência de corte frequência de amostragem atenuações 4 Escolhese o método de projeto FIR window 5 Escolhese a janela Nuttall ou BlackmanHarris 6 Definese a ordem do filtro e clicar em Design Filter Após o projeto exportamse os coeficientes do filtro para o MATLAB para posterior análise Figura 4 Implementação de filtro FIR com janela de Nuttall no fdatool Figura 5 Janela de Nuttall no fdatool Figura 6 Implementação de FIR com janela de BlackmanHarris no fdatool Figura 7 Janela de BlackmanHarris no fdatool 22 Código MATLAB para Projetar e Comparar os Filtros O seguinte código MATLAB pode ser utilizado para gerar os filtros com as janelas de Nuttall e BlackmanHarris e comparar seus desempenhos Especificações do filtro fs 10000 Frequência de amostragem Hz fc 1000 Frequência de corte Hz Ap 01 Atenuação na banda de passagem dB Ast 60 Atenuação na banda de rejeição dB Projeto do filtro com janela de Nuttall nuttallnum nuttallden fir1100 fcfs2 nuttallwin101 nuttallfreqz freqznuttallnum 1 512 fs Projeto do filtro com janela de BlackmanHarris blackmanharrisnum blackmanharrisden fir1100 fcfs2 blackmanharris101 blackmanharrisfreqz freqzblackmanharrisnum 1 512 fs Frequências para o gráfico f linspace0 fs2 lengthnuttallfreqz Plotagem da resposta em frequência figure1 plotf 20log10absnuttallfreqz DisplayName Nuttall hold on plotf 20log10absblackmanharrisfreqz DisplayName BlackmanHarris hold off xlabelFrequência Hz ylabelGanho dB titleResposta em Frequência dos Filtros FIR legend grid on A figura a seguir apresenta uma comparação de resposta de filtros FIR com diferentes janelas Nuttall e BlackmanHarris Figura 8 Comparação de resposta em frequência para as diferentes janelas O código desenvolvido define as especificações do filtro frequência de corte frequência de amostragem atenuações utilizando a função fir1 para projetar os filtros FIR passando as janelas como argumento nuttallwin e blackmanharris e a função freqz para obter a resposta em frequência dos filtros 3 Desempenho Nesta seção avaliase o desempenho dos filtros FIR projetados na seção anterior utilizando as janelas de Nuttall e BlackmanHarris por meio da avaliação da ordem dos filtros obtidos da atenuação na banda de rejeição da largura da banda de transição e de ondulações na banda passanterejeição 31 Ordem dos Filtros A ordem dos filtros FIR é determinada pelo número de coeficientes do filtro o tamanho do filtro e está diretamente relacionada ao seu desempenho Filtros de ordem mais alta apresentam uma transição mais rápida entre a banda passante e a banda de rejeição porém com um maior custo computacional Para os filtros projetados utilizando as ferramentas window design and analysis tool e fdatool a ordem do filtro é determinada pelo projeto com as especificações fornecidas No projeto com o código MATLAB a ordem do filtro é especificada no parâmetro da função fir1 Podese definir uma ordem do filtro igual a 100 Essa ordem juntamente com as especificações do filtro é utilizada para análise comparativa dos desempenhos dos filtros 32 Comparação do Desempenho dos Filtros Utilizando o código anterior podese obter os gráficos da resposta em frequência dos filtros projetados com as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Por meio da observação dos gráficos e dos dados do projeto comparase o desempenho das janelas Implementamse algumas alterações no código anterior para coletar as informações para a comparação Especificações do filtro fs 10000 Frequência de amostragem Hz fc 1000 Frequência de corte Hz Ap 01 Atenuação na banda de passagem dB Ast 60 Atenuação na banda de rejeição dB order 100 Ordem do filtro Projeto do filtro com janela de Nuttall nuttallnum nuttallden fir1order fcfs2 nuttallwinorder1 nuttallfreqz freqznuttallnum 1 512 fs Projeto do filtro com janela de BlackmanHarris blackmanharrisnum blackmanharrisden fir1order fcfs2 blackmanharrisorder1 blackmanharrisfreqz freqzblackmanharrisnum 1 512 fs Frequências para o gráfico f linspace0 fs2 lengthnuttallfreqz Cálculo da atenuação na banda de rejeição nuttallattenuation min20log10absnuttallfreqzf fc blackmanharrisattenuation min20log10absblackmanharrisfreqzf fc Cálculo da largura da banda de transição Encontra a frequência onde o ganho atinge 3dB indexnuttall3db find20log10absnuttallfreqz 3 1 first indexblackmanharris3db find20log10absblackmanharrisfreqz 3 1 first largura da banda de transição é a frequência de 3db menos a frequência de corte nuttalltransitionwidth findexnuttall3db fc blackmanharristransitionwidth findexblackmanharris3db fc Plotagem da resposta em frequência figure1 plotf 20log10absnuttallfreqz DisplayName Nuttall hold on plotf 20log10absblackmanharrisfreqz DisplayName BlackmanHarris hold off xlabelFrequência Hz ylabelGanho dB titleResposta em Frequência dos Filtros FIR legend grid on Exibição das informações fprintfFiltro com Janela Nuttall fprintfAtenuação na banda de rejeição 2f dB nuttallattenuation fprintfLargura da banda de transição 2f Hz nuttalltransitionwidth fprintf Filtro com Janela BlackmanHarris fprintfAtenuação na banda de rejeição 2f dB blackmanharrisattenuation fprintfLargura da banda de transição 2f Hz blackmanharristransitionwidth A figura a seguir apresenta o comparativo de respostas em frequência para cada janela bem como informações sobre o uso de cada janela Figura 9 Comparação de resposta em frequência para as diferentes janelas Figura 10 Parâmetros de resposta em frequência obtidos para cada janela Ao analisar os resultados obtidos com o código MATLAB e com as ferramentas gráficas podemos notar as seguintes diferenças no desempenho dos filtros projetados a Atenuação na banda de rejeição O filtro com janela de BlackmanHarris apresenta uma atenuação na banda de rejeição maior do que o filtro com janela de Nuttall b Largura da banda de transição O filtro com janela de Nuttall apresenta uma largura da banda de transição menor do que o filtro com janela de BlackmanHarris c Ondulações na banda passanterejeição Ambos os filtros não apresentam ondulações na banda passante e na banda de rejeição devido à característica das janelas utilizadas 4 Justificativa de uso de cada janela Nesta seção justificase a seleção de cada janela Nuttall e BlackmanHarris com base nos resultados obtidos nas seções anteriores nos critérios adotados e nas características de cada janela bem como apresentar as vantagens e desvantagens de cada janela para diferentes aplicações 41 Seleção da Janela de Nuttall A janela de Nuttall se mostra uma boa seleção para aplicações onde a seletividade e a transição rápida são importantes A sua principal vantagem é o lóbulo principal mais estreito o que permite uma melhor transição entre a banda de passagem e a banda de rejeição além de uma boa atenuação dos lóbulos laterais Em filtros passabaixa essa característica faz com que a região de transição do filtro seja bem definida e que o sinal seja pouco afetado na banda de passagem bem como uma boa atenuação na banda de rejeição Assim a janela de Nuttall é mais adequada para aplicações onde a seletividade do filtro e a nitidez da resposta em frequência são mais importantes que a atenuação dos lóbulos laterais e onde se deseja uma transição mais rápida da banda de passagem para a banda de rejeição como por exemplo o filtro de sinais de comunicação 42 Seleção da Janela de BlackmanHarris A janela de BlackmanHarris se mostra uma boa seleção para aplicações onde a atenuação dos lóbulos laterais é mais importante do que a seletividade A sua principal vantagem é a alta atenuação dos lóbulos laterais que evita o vazamento espectral Em filtros passabaixas essa característica é importante quando há sinais com componentes de alta frequência que devem ser atenuadas na banda de rejeição evitando interferências no sinal de interesse e como um bom compromisso entre a largura do lóbulo principal e a atenuação dos lóbulos laterais Portanto a janela de BlackmanHarris é mais adequada para aplicações onde a atenuação dos lóbulos laterais é mais importante do que a largura da banda de transição como em aplicações de análise espectral e processamento de áudio onde se deseja evitar vazamento espectral e ter uma resposta limpa na banda de rejeição 43 Comparação Final e Recomendações A tabela a seguir apresenta um resumo comparativo entre as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Característica Janela de Nuttall Janela de BlackmanHarris Lóbulo Principal Mais Estreito Mais Largo Lóbulos Laterais Atenuação Moderada Atenuação Alta Largura da Transição Mais Estreita Mais Larga Seletividade Maior Menor Atenuação na Rejeição Moderada Maior Vazamento Espectral Menor Maior Aplicações Recomendadas Filtros com transição rápida sinais de comunicação Análise espectral processamento de áudio Tabela 1 Comparação entre as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Com base nos resultados e nas características de cada janela podemos concluir que a janela de Nuttall é preferível em aplicações onde a seletividade e a transição rápida são mais importantes que a atenuação dos lóbulos laterais Já a janela de BlackmanHarris é preferível em aplicações onde a atenuação dos lóbulos laterais é mais importante do que a largura da banda de transição principalmente quando se busca evitar vazamento espectral Portanto a seleção da janela depende dos requisitos específicos da aplicação Uma análise detalhada das características de cada janela passa então a ser fundamental para o projeto de filtros FIR eficientes e adequados Referências OPPENHEIM A V SCHAFER R W DiscreteTime Signal Processing 3 Ed Prentice Hall 2017 PARKS T W BURRUS C S Digital Filter Design 8 Ed John Wiley 2018 Estudo da aplicação de janelas de Nutall e BlackmanHarris no desenvolvimento de filtros FIR Nome 1 Janelas de Nuttall e BlackmanHarris No campo de Processamento Digital de Sinais a análise espectral tem uma função importante na extração de informações significativas contidas em sinais complexos No entanto a aplicação direta da Transformada de Fourier em sinais de duração finita pode levar a artefatos indesejados como o espalhamento espectral spectral leakage Para minimizar esses efeitos e obter representações espectrais mais precisas a técnica de janelamento é empregada moldando o sinal no domínio do tempo antes da análise As janelas de Nuttall e BlackmanHarris que são o foco deste relatório destacamse por suas características específicas que as tornam ferramentas úteis em diversas aplicações As janelas de Nuttall e BlackmanHarris pertencem a uma classe de janelas conhecidas como janelas de mínima amplitude projetadas para minimizar o espalhamento espectral e o efeito de ondulação no domínio da frequência Elas alcançam esse objetivo através de uma cuidadosa combinação de coeficientes que controlam a forma da janela no domínio do tempo As janelas de BlackmanHarris em particular oferecem um excelente compromisso entre largura do lóbulo principal e supressão dos lóbulos laterais enquanto as janelas de Nuttall são projetadas para minimizar o nível dos lóbulos laterais resultando em uma melhor representação de componentes de baixa amplitude próximos a sinais fortes Este relatório tem como objetivo explorar em detalhes as propriedades e características das janelas de Nuttall e BlackmanHarris São abordados os fundamentos teóricos que regem a sua construção suas vantagens e desvantagens em relação a outras janelas bem como suas aplicações práticas em diferentes cenários de processamento de sinais 11 Janela de Nuttall A janela de Nuttall é uma janela de baixa complexidade computacional e é definida no domínio do tempo pela seguinte equação w n a0a1cos 2 πn N a2cos 4 πn N a3cos 6 πn N onde a00355768 a10487396 a20144232 a30012604 N é o comprimento da janela n é o índice da amostra n 0 1 N 1 No domínio da frequência a janela de Nuttall apresenta um lóbulo principal relativamente estreito e lóbulos laterais com níveis consideráveis de atenuação 12 Janela de BlackmanHarris A janela de BlackmanHarris é outra janela comumente utilizada no projeto de filtros FIR definida no domínio do tempo pela seguinte equação w n a0a1cos 2 πn N a2cos 4 πn N a3cos 6 πn N onde a0035875 a1048829 a2014128 a3001168 N é o comprimento da janela n é o índice da amostra n 0 1 N 1 No domínio da frequência a janela de BlackmanHarris possui lóbulos laterais com uma atenuação maior do que a janela de Nuttall no entanto o lóbulo principal da janela de BlackmanHarris é mais largo que o lóbulo principal da janela de Nuttall 13 Comparação das Janelas As janelas de Nuttall e BlackmanHarris são bastante similares entretanto suas diferenças no domínio da frequência são muito importantes para a escolha da janela que será utilizada em um projeto A janela de Nuttall tem como vantagem o lóbulo principal mais estreito sendo ideal para aplicações onde a seletividade e a transição rápida são importantes Já a janela de BlackmanHarris tem como vantagem a atenuação maior dos lóbulos laterais sendo ideal para aplicações onde se deseja evitar vazamento espectral 2 Filtros Nesta seção apresentamse exemplos práticos de projeto de filtros FIR utilizando as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Utilizamse as ferramentas window design and analysis tool e fdatool do MATLAB para gerar filtros FIR com as mesmas especificações utilizando as duas janelas 21 Projeto de Filtro PassaBaixa Como exemplo projetase um filtro passabaixa FIR com as seguintes especificações Frequência de corte fc 1 kHz Frequência de amostragem fs 10 kHz Atenuação na banda de passagem 01 dB Atenuação na banda de rejeição 60 dB Utilizamse as ferramentas window design and analysis tool e fdatool do MATLAB para criar os filtros FIR utilizando as janelas de Nuttall e BlackmanHarris 211 Projeto com window design and analysis tool A ferramenta window design and analysis tool fornece uma interface gráfica para projeto de filtros FIR e IIR Para projetar o filtro utilizando essa ferramenta aplicamse os seguintes passos 1 Abrese a ferramenta window design analysis tool 2 Definemse as especificações da janela comprimento e tipo de amostragem 3 Escolhese a janela Nuttall ou BlackmanHarris 4 Geramse as amostras da janela Figura 1 Seleção da Janela de Nuttall no wdatool Figura 2 Seleção da Janela de BlackmanHarris no wdatool Outros parâmetros de ajuste podem também ser definidos para exibição da janela como ilustrado a seguir Figura 3 Parâmetros adicionais para filtros no wdatool Após o projeto os coeficientes do sinal de janela podem ser exportados para a área de trabalho do MATLAB 212 Projeto com a Função fdatool A função fdatool também fornece uma interface gráfica para projeto de filtros FIR e IIR Para projetar o filtro utilizando essa ferramenta usamse os seguintes passos 1 Abrese a ferramenta fdatool 2 Selecionase o tipo de filtro FIR pex passabaixas 3 Definemse as especificações do filtro frequência de corte frequência de amostragem atenuações 4 Escolhese o método de projeto FIR window 5 Escolhese a janela Nuttall ou BlackmanHarris 6 Definese a ordem do filtro e clicar em Design Filter Após o projeto exportamse os coeficientes do filtro para o MATLAB para posterior análise Figura 4 Implementação de filtro FIR com janela de Nuttall no fdatool Figura 5 Janela de Nuttall no fdatool Figura 6 Implementação de FIR com janela de BlackmanHarris no fdatool Figura 7 Janela de BlackmanHarris no fdatool 22 Código MATLAB para Projetar e Comparar os Filtros O seguinte código MATLAB pode ser utilizado para gerar os filtros com as janelas de Nuttall e BlackmanHarris e comparar seus desempenhos Especificações do filtro fs 10000 Frequência de amostragem Hz fc 1000 Frequência de corte Hz Ap 01 Atenuação na banda de passagem dB Ast 60 Atenuação na banda de rejeição dB Projeto do filtro com janela de Nuttall nuttallnum nuttallden fir1100 fcfs2 nuttallwin101 nuttallfreqz freqznuttallnum 1 512 fs Projeto do filtro com janela de BlackmanHarris blackmanharrisnum blackmanharrisden fir1100 fcfs2 blackmanharris101 blackmanharrisfreqz freqzblackmanharrisnum 1 512 fs Frequências para o gráfico f linspace0 fs2 lengthnuttallfreqz Plotagem da resposta em frequência figure1 plotf 20log10absnuttallfreqz DisplayName Nuttall hold on plotf 20log10absblackmanharrisfreqz DisplayName BlackmanHarris hold off xlabelFrequência Hz ylabelGanho dB titleResposta em Frequência dos Filtros FIR legend grid on A figura a seguir apresenta uma comparação de resposta de filtros FIR com diferentes janelas Nuttall e BlackmanHarris Figura 8 Comparação de resposta em frequência para as diferentes janelas O código desenvolvido define as especificações do filtro frequência de corte frequência de amostragem atenuações utilizando a função fir1 para projetar os filtros FIR passando as janelas como argumento nuttallwin e blackmanharris e a função freqz para obter a resposta em frequência dos filtros 3 Desempenho Nesta seção avaliase o desempenho dos filtros FIR projetados na seção anterior utilizando as janelas de Nuttall e BlackmanHarris por meio da avaliação da ordem dos filtros obtidos da atenuação na banda de rejeição da largura da banda de transição e de ondulações na banda passanterejeição 31 Ordem dos Filtros A ordem dos filtros FIR é determinada pelo número de coeficientes do filtro o tamanho do filtro e está diretamente relacionada ao seu desempenho Filtros de ordem mais alta apresentam uma transição mais rápida entre a banda passante e a banda de rejeição porém com um maior custo computacional Para os filtros projetados utilizando as ferramentas window design and analysis tool e fdatool a ordem do filtro é determinada pelo projeto com as especificações fornecidas No projeto com o código MATLAB a ordem do filtro é especificada no parâmetro da função fir1 Podese definir uma ordem do filtro igual a 100 Essa ordem juntamente com as especificações do filtro é utilizada para análise comparativa dos desempenhos dos filtros 32 Comparação do Desempenho dos Filtros Utilizando o código anterior podese obter os gráficos da resposta em frequência dos filtros projetados com as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Por meio da observação dos gráficos e dos dados do projeto comparase o desempenho das janelas Implementamse algumas alterações no código anterior para coletar as informações para a comparação Especificações do filtro fs 10000 Frequência de amostragem Hz fc 1000 Frequência de corte Hz Ap 01 Atenuação na banda de passagem dB Ast 60 Atenuação na banda de rejeição dB order 100 Ordem do filtro Projeto do filtro com janela de Nuttall nuttallnum nuttallden fir1order fcfs2 nuttallwinorder1 nuttallfreqz freqznuttallnum 1 512 fs Projeto do filtro com janela de BlackmanHarris blackmanharrisnum blackmanharrisden fir1order fcfs2 blackmanharrisorder1 blackmanharrisfreqz freqzblackmanharrisnum 1 512 fs Frequências para o gráfico f linspace0 fs2 lengthnuttallfreqz Cálculo da atenuação na banda de rejeição nuttallattenuation min20log10absnuttallfreqzf fc blackmanharrisattenuation min20log10absblackmanharrisfreqzf fc Cálculo da largura da banda de transição Encontra a frequência onde o ganho atinge 3dB indexnuttall3db find20log10absnuttallfreqz 3 1 first indexblackmanharris3db find20log10absblackmanharrisfreqz 3 1 first largura da banda de transição é a frequência de 3db menos a frequência de corte nuttalltransitionwidth findexnuttall3db fc blackmanharristransitionwidth findexblackmanharris3db fc Plotagem da resposta em frequência figure1 plotf 20log10absnuttallfreqz DisplayName Nuttall hold on plotf 20log10absblackmanharrisfreqz DisplayName BlackmanHarris hold off xlabelFrequência Hz ylabelGanho dB titleResposta em Frequência dos Filtros FIR legend grid on Exibição das informações fprintfFiltro com Janela Nuttall fprintfAtenuação na banda de rejeição 2f dB nuttallattenuation fprintfLargura da banda de transição 2f Hz nuttalltransitionwidth fprintf Filtro com Janela BlackmanHarris fprintfAtenuação na banda de rejeição 2f dB blackmanharrisattenuation fprintfLargura da banda de transição 2f Hz blackmanharristransitionwidth A figura a seguir apresenta o comparativo de respostas em frequência para cada janela bem como informações sobre o uso de cada janela Figura 9 Comparação de resposta em frequência para as diferentes janelas Figura 10 Parâmetros de resposta em frequência obtidos para cada janela Ao analisar os resultados obtidos com o código MATLAB e com as ferramentas gráficas podemos notar as seguintes diferenças no desempenho dos filtros projetados a Atenuação na banda de rejeição O filtro com janela de BlackmanHarris apresenta uma atenuação na banda de rejeição maior do que o filtro com janela de Nuttall b Largura da banda de transição O filtro com janela de Nuttall apresenta uma largura da banda de transição menor do que o filtro com janela de BlackmanHarris c Ondulações na banda passanterejeição Ambos os filtros não apresentam ondulações na banda passante e na banda de rejeição devido à característica das janelas utilizadas 4 Justificativa de uso de cada janela Nesta seção justificase a seleção de cada janela Nuttall e BlackmanHarris com base nos resultados obtidos nas seções anteriores nos critérios adotados e nas características de cada janela bem como apresentar as vantagens e desvantagens de cada janela para diferentes aplicações 41 Seleção da Janela de Nuttall A janela de Nuttall se mostra uma boa seleção para aplicações onde a seletividade e a transição rápida são importantes A sua principal vantagem é o lóbulo principal mais estreito o que permite uma melhor transição entre a banda de passagem e a banda de rejeição além de uma boa atenuação dos lóbulos laterais Em filtros passabaixa essa característica faz com que a região de transição do filtro seja bem definida e que o sinal seja pouco afetado na banda de passagem bem como uma boa atenuação na banda de rejeição Assim a janela de Nuttall é mais adequada para aplicações onde a seletividade do filtro e a nitidez da resposta em frequência são mais importantes que a atenuação dos lóbulos laterais e onde se deseja uma transição mais rápida da banda de passagem para a banda de rejeição como por exemplo o filtro de sinais de comunicação 42 Seleção da Janela de BlackmanHarris A janela de BlackmanHarris se mostra uma boa seleção para aplicações onde a atenuação dos lóbulos laterais é mais importante do que a seletividade A sua principal vantagem é a alta atenuação dos lóbulos laterais que evita o vazamento espectral Em filtros passabaixas essa característica é importante quando há sinais com componentes de alta frequência que devem ser atenuadas na banda de rejeição evitando interferências no sinal de interesse e como um bom compromisso entre a largura do lóbulo principal e a atenuação dos lóbulos laterais Portanto a janela de BlackmanHarris é mais adequada para aplicações onde a atenuação dos lóbulos laterais é mais importante do que a largura da banda de transição como em aplicações de análise espectral e processamento de áudio onde se deseja evitar vazamento espectral e ter uma resposta limpa na banda de rejeição 43 Comparação Final e Recomendações A tabela a seguir apresenta um resumo comparativo entre as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Característica Janela de Nuttall Janela de BlackmanHarris Lóbulo Principal Mais Estreito Mais Largo Lóbulos Laterais Atenuação Moderada Atenuação Alta Largura da Transição Mais Estreita Mais Larga Seletividade Maior Menor Atenuação na Rejeição Moderada Maior Vazamento Espectral Menor Maior Aplicações Recomendadas Filtros com transição rápida sinais de comunicação Análise espectral processamento de áudio Tabela 1 Comparação entre as janelas de Nuttall e BlackmanHarris Com base nos resultados e nas características de cada janela podemos concluir que a janela de Nuttall é preferível em aplicações onde a seletividade e a transição rápida são mais importantes que a atenuação dos lóbulos laterais Já a janela de BlackmanHarris é preferível em aplicações onde a atenuação dos lóbulos laterais é mais importante do que a largura da banda de transição principalmente quando se busca evitar vazamento espectral Portanto a seleção da janela depende dos requisitos específicos da aplicação Uma análise detalhada das características de cada janela passa então a ser fundamental para o projeto de filtros FIR eficientes e adequados Referências OPPENHEIM A V SCHAFER R W DiscreteTime Signal Processing 3 Ed Prentice Hall 2017 PARKS T W BURRUS C S Digital Filter Design 8 Ed John Wiley 2018