C2 A2 P2 2009-2

UFRGS - Instituto de Matemática - 2009/2 Departamento de Matemática Pura e Aplicada MAT10134 Cálculo e Geometria Analítica IIA Prova 2 - 13 de novembro de 2009 - 18h30 Nome Cartão 180834 Turma 7 Questão 1 (2,0 pontos) Ao lado, aparece um esboço da parábola de equação y = x² que, juntamente com o eixo x e a reta de equação y = x + 12 delimitam a região R indicada. a) Escreva (sem calcular) ∬ R x²y² dA como integral dupla iterada na ordem dx dy. R: 6 ≤ x ≤ 2; m = -√y; 2 = 3; b) Sabendo que, para uma certa função f, i = ∬ f(x,y) dA = ∬ (f(x,y) dx dy), asbore a região T no plano ao lado e escreva (sem calcular) a integral dupla I como integral dupla iterada na ordem dy dx. T1: 0 ≤ m ≤ 1 T2: { m/2 ≤ m ≤ 3m } A-2 Nome Turma 7 Questão 2 (2,0 pontos) Ao lado, aparece um esboço do círculo de equação x² + y² = 4 e das retas dadas por x = 2 e y = 2, que delimitam as regiões R1 e R2 indicadas. a) Escreva (sem calcular) ∬ R e² dA como integral dupla iterada em coordenadas polares. m = r cos θ R: { 0 ≤ r ≤ 2; 0 ≤ θ ≤ π/2 } b) Escreva (sem calcular) ∬ R sen(x² + y²) dA como integral dupla iterada em coordenadas polares. m = 2; r² = x² + y²; r = 2/cos θ. A-3 Nome Turma 7 Questão 3 (2,0 pontos) Considere o sólido S delimitado inferiormente pelo plano de equação z = 1, superiormente pelo plano de equação x + y + z = 9 e lateralmente pelos planos verticais de equações x = 0, y = e + x + y = 6. Calcule o volume de S usando uma integral tripla ou dupla iterada em coordenadas cartesianas. V = ∫∫∫ S (9 - x - y) dz dy dx, 0 ≤ m ≤ 3; S1: m ≤ 6; m ≤ 9 - m - x; V = ∫₀³ [8y - xy + z²/2] dz dy A-4\nNome\nTurna\nB1\nChamada\n7\nNota\n20\nQuestão 4 (2,0 pontos)\nConsidere o sólido S situado dentro da esfera de equação x²+y²+(z–3)²=9 e fora da esfera de equação x²+y²+z²=27. \n\rho = \\sqrt{27} > 3\n\na) Apresente as equações dessas duas esferas em coordenadas esféricas.\n x²+y²+(z–3)²=9\n m²+z²=27\n \n \\rho²=6\\sin \\phi\n \\rho=6\\cos \\phi\n \\rho=\\sqrt{27}\n\nb) Calcule a massa de S, supondo que a densidade em cada ponto P=(x,y,z) de S seja dada por $\\delta(x,y,z)=(x²+y²+z²)^{-1}$.\n Sugestão: use coordenadas esféricas, lembrando que, nessas coordenadas.\n\ndV=\\rho²\\sin \\phi d\\rho d\\phi d\\theta. \\rho=\\sqrt{27}\n\n\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\int_0^{\\pi} \\sin \\phi d\\phi \\int_0^{3}^{\\sqrt{27}} \\frac{\\rho²}{\\delta(\\rho,\\phi,\\theta)} d\\rho\n\ndV=\\rho²\\sin \\phi d\\phi d\\rho d\\theta=\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\int_{0}^{\\pi} \\sin \\phi d\\phi \\int_{0}^{\\sqrt{27}} d\\rho\n\nM=\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\int_0^\\pi \\sin \\phi \\frac{1}{\\delta} d\\phi d\\rho \nM=\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\int_{0}^{2\\pi}\\rho²\\sin \\phi d\\phi d\\rho \n\rho|_0^{\\sqrt{27}}\\sum_{\\phi=0}^{\\pi}{\\frac{\\rho²\\sin \\phi d\\phi}{\\rho²+3}} => 03 \n\nM:=\\frac{6}{\\sqrt{27}}\\int_0^{2\\pi} \\sin \\phi d\\phi d\\rho=6\\sin \\phi \\left\\{\\frac{1}{\\delta}\\right\\}=\\sqrt{\\frac{27}{\\sqrt{27}. } \nM=6\\cdot \\left \\{\\tan^{-1}{\\frac{27-3^{3/2}}{2\\sqrt{27}}} -\gamma^{3/2}/2 -\tan^{-1}\\right\\}_{required values}=\cdots \nM=\\frac{M=6\\cdot \\sqrt{3}}{6\\cdot 0^{3/2}}\nM=\\frac{3\\sqrt{3}}{2}-\\frac{\\frac{9}{2}}{3}\n\\cdots \n\substituição de M\nM=3.1+\\frac{3\\sqrt{27}}{2}-{\\frac{\\sqrt{9-12\\sqrt{3}}}{2}}\\cdots \nM=\\frac{3-.3{27}}{2}-\\cdots \n\\text{unidade de massa}\n\n