Problemas de Geometria Analítica - Kletenik

KLÉTÊNIK\nPROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA\nQUARTA EDIÇÃO\nLIVRARIA CULTURA BRASILEIRA EDITORA\nBelo Horizonte PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA\n1984\nDireitos de propriedade literária e artística da presente edição adquiridos pela LIVRARIA CULTURA BRASILEIRA LIMITADA, de Belo Horizonte, mediante acordo com a Vía \"Moshdunapodnisa Kniga\", Moscou, URSS 1\nPRIMEIRA PARTE\nGEOMETRIA ANALÍTICA PLANA\nPROBLEMAS SIMPLES DE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA\n\n§ 1. Eixo e Segmentos do eixo. Coordenadas da reta\nUma reta sobre a qual foi escolhido um sentido positivo é chamada eixo. Um segmento de eixo limitado por dois pontos quaisquer A e B diz-se orientado, e entre os dois pontos foi indicado qual é a origem e qual a extremidade. Um segmento orientado cuja origem é A e a extremidade B é indicado pelo símbolo AB. A grandeza do segmento orientado é então igual ao seu comprimento, aplicando-se o sinal mais e o sentido do segmento (da origem à extremidade) coincidir com o sentido positivo do eixo, e o sinal menos, em caso contrário. A grandeza do segmento AB é indicada pelo símbolo AB e seu comprimento pelo símbolo |AB|. Se os pontos A e B coincidirem, o segmento é chamado \"nulo\"; verifica-se nesse caso que AB - BA = 0 (o sentido do segmento nulo é considerado indeterminado).\nSeja dada uma reta qualquer a. Tomemos um segmento qualquer como unidade de comprimento, indiquemos sobre a reta um sentido positivo (após o que, ela se transforma em eixo) e determinemos sobre esta reta um ponto qualquer O. Esta operação introduz sobre a reta a um sistema de coordenadas.\nA coordenada de um ponto arbitrário M da reta a (em nosso sistema de coordenadas) é um número x igual à grandeza do segmento OM:\nx = OM.\nO ponto O é chamado origem das coordenadas; sua coordenada é zero. Doravante o símbolo M(x) significará que ponto M tem por coordenada ou abscissa x.\nGeralmente é tomado como sentido positivo para os eixos horizontais o sentido da esquerda para a direita. Se M(x1) e M(x2) são dois pontos quaisquer da reta a, a fórmula\nMM1M2 = x2 - x1\ndá a grandeza do segmento M1M2 e a fórmula\n|M1M2| = |x2 - x1|\no seu comprimento.\n\n1. Construir os pontos:\nA (3), B (5), C (-1), D ( \\frac{2}{3} ), E ( - \\frac{3}{7} ), F ( \\sqrt{2} ),\ne H ( - \\sqrt{5} ).\n\n2. Construir os pontos cujas coordenadas verificam as\nequações:\n1) |x| = 2; 2) |x - 1| = 3; 3) |1 - x| = 2; 4) |2 - x| = 2.\n\n3. Descrever a posição dos pontos cujas coordenadas veri-\nficam as desigualdades:\n1) x > 2; 2) x - 3 < 0; 3) 12 - x < 0; 4) 2x - 3 < 0;\n5) 3x - 5 > 0; 6) 1 < x < 3; 7) -2 < x < 3; 8) 2 - x\nx - 1 > 0;\n\n9) 2x - 1 > 1; 10) 2 - x x - 1 < 0; 11) 2x - 1 x - 2 < 1;\n\n12) x2 - 8x + 15 < 0; 13) x2 - 8x + 15 > 0;\n14) x2 + x - 12 > 0; 15) x2 + x - 12 \\leq 0.\n\n4. Determinar a grandeza AB e o comprimento |AB| dos segmentos dados pelos pontos:\n1) A (3) e B (11); 2) A (5) e B (2); 3) A (-1) e B (3);\n4) A (-5) e B (-3); 5) A (-1) e B (-3);\n6) A (-7) e B (-5).\n\n5. Calcular as coordenadas do ponto A, tendo-se:\n1) B (3) e |AB| = 5; 2) B(2) e |AB| = -3; 3) B(-1) e BA = 2;\n4) B(-5) e BA = -3; 5) B(0) e |AB| = 2;\n6) B(2) e |AB| = 3; 7) B(-1) e |AB| = 5;\n8) B(-5) e |AB| = 2. 6. Descrever a posição dos pontos cujas coordenadas veri-\nficam as desigualdades seguintes:\n1) |x| < 1; 2) |x| > 2; 3) |x| \\leq 2; 4) |x| \\geq 3;\n5) |x - 2| < 3; 6) |x - 5| \\leq 1; 7) |x - 1| \\geq 2;\n8) |x - 3| > 1; 9) |x + 5| \\leq 1; 12) |x + 1| \\geq 2.\n\n7. Achar a razão \\lambda = \\frac{AC}{CB}, na qual o ponto C divide o segmento AB, sabendo-se que\n1) A (2), B (6) e C (4); 2) A (2), B (4) e C (7);\n3) A (-1), B (5) e C (3); 4) A (1), B (13) e C (5);\n5) A (5), B (-2) e C (-5).\n\n8. Dão-se três pontos A (-7), B (-1) e C (1). Achar a razão \\lambda, na qual cada um deles divide o segmento limitado pelos outros dois.\n\n9. Achar a razão \\lambda = \\frac{M_1 M}{M_2}, na qual um ponto M(x) divide o segmento M_{1}M_{2}, limitado pelos pontos dados M_{1}(x_{1}) e M_{2}(x_{2}).\n\\lambda = \\frac{M_1 M}{M_2}.\n\n10. Achar a abscissa x do ponto M que divide o segmento M_{1}M_{2}, limitado pelos pontos M_{1}(x_{1}) e M_{2}(x_{2}), na razão dada.\n\\lambda = \\frac{M_1 M}{M_2}.\n\n11. Achar a abscissa x do ponto médio de um segmento limitado pelos dois pontos dados M_{1}(x_{1}) e M_{2}(x_{2}). 12. Achar a abscissa x do ponto médio do segmento limitado sucessivamente pelos pontos:\n1) A (3) e B (5); 2) C (-1) e D (5); 3) M_{1}(-1) e M_{2}(-3);\n4) P_{1}(-5) e P_{2}(1); 5) Q_{1}(3) e Q_{2}(-4).\n\n13. Achar a abscissa do ponto M, dando-se:\n1) M_{1}(3), M_{2}(7) e \\lambda = \\frac{M_{1}M_{2}}{MM_{1}} = 2;\n\n2) A (2), B (-5) e \\lambda = - \\frac{AM}{MB} = 3;\n\n3) C (-1), D (3) e \\lambda = \\frac{CM}{MD} = \\frac{1}{2};\n\n4) A (-1), B (3) e \\lambda = \\frac{AM}{MB} = -2;\n\n5) A (1), B (-3) e \\lambda = \\frac{BM}{MA} = -3;\n\n6) A (-2), (-1) e \\lambda = \\frac{BM}{MA} = -\\frac{1}{2};\n\n14. Dados os pontos A (5) e B (-3), achar:\n1) a abscissa do ponto M simétrico do ponto A em relação a B.\n\n2) a abscissa de um ponto N simétrico do ponto B em relação a A.\n\n15. O segmento limitado pelos pontos A (-2) e B (19) é dividido em três partes iguais. Achar as abscissas dos pontos de divisão.\n\n16. Achar as abscissas das extremidades A e B do segmento limitado em três partes iguais pelos pontos P(-25) e Q(-9).\n\n§ 2. Coordenadas cartesianas retangulares do plano.\nDefine-se um sistema de coordenadas cartesianas retangulares quando é dada uma unidade linear para medir os comprimentos e dois eixos perpendiculares ordenados numa ordem qualquer.\n\nO ponto de interseção desses eixos é chamado origem das coordenadas e os eixos se chamam eixos coordenados. O primeiro eixo se chama eixo das abscissas e o segundo, eixo das ordenadas.\nA origem das coordenadas é indicada pela letra O, o eixo das abscissas pelo símbolo Ox, o eixo das ordenadas pelo símbolo Oy.\nAs coordenadas de um ponto qualquer M em relação ao sistema são dadas pelos números\nx = OM_{x}, y = OM_{y}\n(fig. 1), em que M_{x} e M_{y} são as. (distinguem-se uns dos outros de ± 2 nπ, em que n é um número inteiro positivo). O valor do ângulo polar que determina as desigualdades −π < θ < π chama-se valor principal.\n\nNo caso em que tivermos de considerar simultaneamente um sistema de coordenadas cartesianas e um sistema de coordenadas polares, será conveniente: 1) utilizar uma mesma unidade de comprimento; 2) já que se trata de determinar os ângulos polares, definir o sentido de rotação positivo como sendo o sentido em que se deve fazer girar o semi-eixo positivo das abscissas, de forma a que coincida, com o menor ângulo de rotação, com o semi-eixo positivo das ordenadas (assim, se os eixos do sistema cartesiano se encontrarem em sua posição ordinária, isto quer dizer que o eixo Oz está orientado para a direita e o eixo OY, para o alto; medem-se então os ângulos polares gulos medidos no sentido inverso ao movimento de rotação).\n\nNessas condições, e o pólo do sistema de coordenadas polares coincide com a origem das coordenadas cartesianas retangulares e se o eixo polar coincidir com o semi-eixo positivo das abscissas, a passagem das coordenadas polares é efetuada de acordo com as fórmulas\n\nx = r cos θ,\ny = r sen θ.\n\nNesse mesmo caso, as fórmulas\n\nρ = √(x² + y²), tang θ = y/x\n\nsão fórmulas de passagem das coordenadas cartesianas para as coordenadas polares.\n\nDoravante, uma vez que teremos de considerar simultaneamente dois sistemas de coordenadas polares, fixeremos o mesmo sentido de rotação positivo e a mesma unidade de comprimento para os dois sistemas.\n26. Construir os pontos dados por suas coordenadas polares:\nA (3, π/2), B(2, π), C (3, −π/4), D (4, 3 1/7), E (5, 2) e F (1, −1)\n(dar uma construção aproximativa para os pontos D, E e F, com a ajuda do transferidor). 27) Determinar as coordenadas polares dos pontos que são simétricos em relação ao eixo polar dos pontos M1\\( 3, \\frac{\\pi}{4} \\), M2\\( 2, -\\frac{\\pi}{2} \\), M3\\( 3, -\\frac{\\pi}{3} \\), M4\\( 1, 2 \\) e M5\\( 5, -1 \\), dados num sistema de coordenadas polares.\n\n28) Determinar as coordenadas polares dos pontos que são simétricos em relação ao pólo dos pontos M1\\( 1, \\frac{\\pi}{4} \\), M2\\( 5, \\frac{\\pi}{2} \\), M3\\( 2, -\\frac{\\pi}{3} \\), M4\\( 4, \\frac{5}{6}\\pi \\) e M5\\( 3, -2 \\), dados num sistema de coordenadas polares.\n\n29) Num sistema de coordenadas polares são dados os dois vértices A\\( 3, -\\frac{9}{7} \\) e B\\( 5, \\frac{3}{14}\\pi \\) do paralelogramo ABCD e o ponto de interseção das diagonais, que coincide com o pólo. Achar os dois outros vértices.\n\n30) Dados os pontos A\\( 8, -\\frac{2}{3}\\pi \\) e B\\( 6, \\frac{\\pi}{3} \\) em relação a um sistema de coordenadas polares, calcular as coordenadas polares do ponto médio do segmento que une esses dois pontos.\n\n31) Dados os pontos A\\( 3, \\frac{\\pi}{2} \\), B\\( 2, -\\frac{\\pi}{4} \\), C\\( 1, \\pi \\) D\\( 5, -\\frac{3}{4}\\pi \\), E\\( 3, 2 \\) e F\\( 2 - 1 \\) em relação a um sistema de coordenadas polares, determinar as coordenadas polares desses dois pontos em relação ao novo sistema, considerando-se inverso o sentido positivo do eixo polar.\n\n32) Dados os pontos M1\\( 3, \\frac{\\pi}{3} \\), M2\\( 1, \\frac{2}{3}\\pi \\), M3\\( 2, 0 \\),