Cálculo 2 - Resumo Completo - Área 3

CALCULO II ano III\n• P.A., P.G.\n\nSEQUÊNCIA: Sucessões de números cujos valores são determinados a partir de uma LEI.\n\nNOTAÇÃO COM CHAVE:\n{ a_n } = a_1, a_2, a_3, ...\n\nm_n = f(m), m = 1, 2, 3...\n\nGRÁFICOS: E.X.:\n 2n\n ----\n m_1 m_4\n 1 1, 4, 1/4, 2/16\n 3 5\n\nSUGESTÃO DE PONTOS ISOLADOS !\n\n• LIMITES: Lim f(x) existe quando m → ∞\n - temos limite ? CONVERGENTE !\n - não existe ? limite ? DIVERGENTE !\n\n“ A sequência é compreta por valores assintóticos da função.”\n\nf(m) FUNÇÃO || \n f(m-1) = \n 6 quando m → ∞\n ( mas a hipótese NÃO É VERDADEIRA ! )\n\n• SEQUÊNCIAS\n\n• MONÓTONAS\n\nCRESCENTE a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ...\n(ESTATAMENTE a1 < a2 < a3 < ...)\n\nDECRESCENTE a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ ...\n(ESTATAMENTE a1 > a2 > a3 > ...) • TESTES DE MONOTONICIDADE\n\n1) DIFERENÇA (a m+1 - am) \n CRESCENTE > 0 ... > 0 \n DECRESCENTE < 0 ... < 0\n\n2) RAZÃO (a m+n /a m) \n (se termos positivos)\n CRESCENTE > 1 ... > ∞\n DECRESCENTE < 1 ... < 1\n\n3) DERIVADA (f(m)/m(f))\n CRESCENTE > 0 ... > 0\n DECRESCENTE < 0 ... < 0\n\n• EXPRESSÕES PARCIAIS IMPORTANTES: ( em função de K )\n\n2K pares\n a^x.a^y = a^(x+y)\n\n2K+1 ímpares\n a^x.a^y = a^(x-y)\n\na.K múltiplos de a\n (-1)^k sinal alterna\n\na^k potências de a\n a^x/b^x = (a/b)^x\n\nK! fatorial\n m! = m(m-1)(m-2)...3.2.1{ 1 ! 0 ! } • P.G. (2, 1, 1/2, 1/4, 1/8...)\n (2. {2}^{m} )_{m=0}^\n\n• SOMA PARCIAL\n (at a m)\n\nJ2 = 2, J3 = 2 + 1 + 1/2, 3.5\nJ4 = 2 + 1 + 1/4 + 1/8\n J5 = 2 + 1 + 1/4 + 1/8 = 3.875\n\n• SOMA PARCIAL\n ∑ a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_m\n k=1\n\n• SÉRIE\n ∞ ∑ a_k = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_m\n k=1\n\n• Se a sequência {m_n} convergir para um limite S, então a série CONVERGE e sua soma é S.\n\n• Se a sequência {m_n} diverge, então a série DIVERGE, e, portanto, não tem soma.\n\n• SÉRIES GEOMÉTRICAS\n ∞ ⎥ a^n ⎥\n n=0\n\nCONVERGEM: quando |r| < 1\n e sua soma é S = 1/(1 - r)\n\nDIVERGEM: quando |r| ≥ 1 EXEMPLO\n\n\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{b^{k}}{2^{-k}} \\rightarrow k=1 \\rightarrow \\frac{b^{2}}{2} \\rightarrow 4b^{1}\\Rightarrow \\frac{4b}{2^{k}}\n\n1) U_{1}, U_{2}, U_{3}:\n\nU_{1} = \\frac{4b.b^{2}}{2} \\rightarrow U_{1} = \\frac{4b.b^{2}}{2} \\rightarrow 2b^{2}\\Rightarrow 4 \\rightarrow U_{k} = \\frac{4b}{2^{k}}\n\n2) U_{k} = U_{k+1} \\rightarrow UK = \\frac{4b}{b^{k}}\\Rightarrow Uk+1 = \\text{CONSTANTE}/U_{k}\n\nValores de b para o qual a série converge?\nSoma da série em pares de b?\n\n|b| < 1\\rightarrow 0 \\text{ e } \\frac{b}{2} \\rightarrow |1| < |b| < 1 \\Rightarrow |b| < 2 / \\Rightarrow \n1^{st}term = 46b/2) = 2b^{2}\n\nS = \\frac{2b^{2}}{1-\\frac{b^{2}}{2}}\n\n3) Quanto vale b para S = 18?\n18 = 2b^{2}\\rightarrow b = \\frac{3}{2} \\text{ OK!}/1 - \\frac{b^{2}}{2} \\Rightarrow b = -6 \\neq 0! HARMÔNICA:\n\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k} = 1 + \\frac{1}{2} + \\frac{1}{3} + \\cdots \\text{ DIVERGE.}\n\nHIPER-HARMÔNICAS:\n\\sum_{k=1}^{\\infty} \\frac{1}{k^{p}} = 1 + \\frac{1}{2^{p}} + \\frac{1}{3^{p}} + \\cdots \\text{ (p-série)} \n\nDIVERGE_CONVERGE \n0 1 DIVERGE\nDIVERGE (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) (Harmonical!)\n\nTESTE DE CONVERGÊNCIA:\n1) da DIVERGÊNCIA\n\\lim_{k \\rightarrow \\infty} UK \\rightarrow {\\sum_{k=0}^{\\infty} }\n\\lim_{k \\rightarrow \\infty} UK = 0, \\text{ então USE OUTRO TESTE}.\n\nMAS \\rightarrow a série converge entre \\lim_{UK = 0}\\Rightarrow\n\\sum_{k = 0}^{\\infty}\n\n2) da INTEGRAL\n\\int_{1}^{\\infty} \\frac{1}{k} \\text{troca} \\rightarrow \\int_{1}^{\\infty} f(x) \\, dx \\rightarrow CONSENSO\n\nSe a integral CONVERGE, então a série CONVERGE.\nSe a integral DIVERGE, então a série DIVERGE.\n\nPROPRIEDADES:\n1) Se \\sum{UK} e \\sum{VK} convergem, então \\sum{UK + VK} convergem também.\n2) Se \\sum{UK} converge para L, então \\sum{c.UK} converge para c.L. 5) da COMPARAÇÃO DIRETA (T.C.D)\n\\sum_{a.k} \\quad a_{2} \\geq b_{2} \\geq a_{3} \\geq b_{3} ... \n\nSe a menor \\sum b_{k} DIVERGE, então a MAIOR \\sum a_{k} DIVERGE também!\nSe a MAIOR \\sum a_{k} CONVERGE, então a menor \\sum b_{k} CONVERGE também!\n\n6) da COMPARAÇÃO DE LIMITES (T.C.L)\n\\sum b_{k} (maior sei se converge ou diverge)\n\\rho = \\lim_{k \\rightarrow \\infty} \\frac{a_{k}}{b_{k}}\\Rightarrow \\rho < 0\\text{ e finite}(p \\neq 0, após 0, ambos divergem)\n\n\\sum_{k=0}^{\\infty}\\Rightarrow\n\\sum_{k=0}^{\\infty} UK\\Rightarrow\n\\rho = \\lim_{k \\rightarrow \\infty}\\lim_{U.k}\n\n\\sum_{k=0}^{\\infty}u_{k}k\\rightarrow\\text{CONVERGE}\n\\sum_{k=0}^{\\infty} u_{k}k\\rightarrow🠘P_{k=0}^{\\infty} u^{k} \\rightarrow\\text{DIVERGE}\n\n\\sum_{\\mu} \\rho = \\lim_{k \\rightarrow \\infty} \\frac{U_{k}}{a}k = \\sum_{u_{k}} \\Rightarrow\\text{DIVERGE}/\\RightarrowU_{k+j}u_{k} \\rightarrow\\text{converge.}\n TC\n\nk=1\nSérie=\n\\infty\\to 1\\to 2k+K\n\n\\to p-serie\n\np=2\n\nConverge!\n\nTC\n\nk=1\nSérie=\n\\infty\\to 1\\to k^2\np=2\n\nConverge!\n\np=lim_{k\\to\\infty} \\frac{1}{2k^2+K} = lim_{k\\to\\infty}\\frac{1}{k^2}\\to 1\\to > 0 . puncto!\n\nUK = 1\\to \\frac{1}{2k^2+K}\n\nSéries Alternadas:\n\\sum_{k=1}^{\\infty} (-1)^{k} A_k = A_1 - A_2 + A_3 - A_4 + A_5 + ...\n\n\\sum_{k=1}^{\\infty} (-1)^{k} = A_1 + A_2 - A_3 + A_4 - A_5 + ...\n\nda SÉRIE ALTERNADA\ntermos\n\\to A_1 > A_2 > A_3 > A_4 > ...\n\n\\to lim_{k\\to\\infty} A_k = 0 SÉRIES DE POTENCIAS:\n\\sum_{k=0}^{\\infty} C_k \\times x^k = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + C_3 x^3 + ...\n\neficientes:\n\\sum_{k=0}^{\\infty} E_k (x-x_0)^k = C_0 + C_1 (x-x_0) + C_2 (x-x_0)^2 + ...\n\nconfiantes:\n\nConvergência de SP em X:\n\n\\to\\to\\sum_{k=0} \\text{só converge quando} X = 0\nI.C.: [0,0]\n\n\\to converge para qualquer X real.\n\n\\text{DIV converge sobre}-A \\in R.\n\n\\to raiza de convergência:\n\nreserva de convergência = R\nconvergência absoluta.\n\nda RAÍZ PARE PARA CONVERGÊNCIA ABSOLUTA\n\\sum_{k=0}^{\\infty} |U_k|\n\\to\\lim_{k\\to\\infty} |U_k|^{\\frac{1}{k}} = R = 3 TC\\to |x| < 3\\to converge!\n\n-3 < x < 3\n\nAPROXIMAÇÃO LINEAR LOCAL\nf(x)\n\nf (x) \\to dy = f'(x) dx\n\nf (x_0)\\to dy\\to dx\\to dx\n\nf(x)\\approx f(x_0) + \\Delta y\nf(x)\\approx f(x_0) + dy\n\nf(x)\\approx f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\n\nAMIGO x = X_0\n\nf(x)\\approx f(0) + f'(0). x\nAMIGO x = 0 f(x)\nP_0(x) = a_0 + b x + c\nP_1(x) = a x + b\nf'(x)\n\n1° GRAU\nf(0) = P_1(0)\n\n2° GRAU\nf(0) = P_2(0) ponto\nf(1) = P_2(1) resta int.\nf''(0) = P_2'(0) curvatura\n\n∞\n m\n \n ∑ f^(k)(0) * x^k = f(x)\n k=0\n k!\nx for série!\n\nPOLINÔMIO (série)\nde Maclaurin:\n( lim x = 0)\n L AMIGOS\n\nPOLINÔMIO (série)\nde Taylor:\n( lim x = x_0)\n L AMIGO\n\nm\n ∑ f^(k)(x_0) * (x - x_0)^k\n k=0 \n k!\n = -f'(x)\n\ncos x ∑ (-1)^k * x^(2k)\n k=0 (2k)!\nsen x ∑ (-1)^k * x^(2k+1)\n k=0 k!(k+1)!\n