Resumo - Fluxo Bidimensional - 2023-2

Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos FLUXO BIDIMENSIONAL  Fluxo UNIdimensional: fluxo em 1 só direção (ex.: permeâmetro)  Fluxo Bidimensional: partículas se deslocam em curvas paralelas (ex.: percolação pelas fundações de uma barragem cortinas de cais)  Fluxo TRIdimensional: partículas se deslocam em qualquer direção (ex.: poço) Objetivos  Estimar a vazão  Conhecer a trajetória de fluxo  Calcular as pressões – estimar a resistência  Determinar a força de percolação – segurança quanto à erosão  Entender o processo de transporte  Conhecer as equações que regem o fenômeno Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos Fundamentos  Propriedades Físicas  Condutividade hidráulica  Cargas hidráulicas  Modelagem  Equação de Laplace Função potencial (fluxo elétrico, térmico, etc) Determinação  Analítica (casos com geometria simples; funções matemáticas complexas)  Numérica (MEF)  Analogia elétrica  Modelos físicos  Solução gráfica Equação de Laplace h = carga hidráulica hipóteses:  meio homogêneo e isotrópico  o fluxo é constante  validade da lei de Darcy  solo e água são incompressíveis 0 2 2 2 2 2 2          z h y h x h Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos Campo Gravitacional Solução Analítica da Equação de Laplace 1. Fluxo Unidimensional Fluxo unidimensional: O fluxo ocorre apenas na direção x, então não há perda de carga nas outras direções. Condições de contorno: Para x = 0, ht = 7,5m Para x = 5, ht = 6,5m Substituindo, temos: 7,5 = a+b.0, de onde a = 7,5m 6,5 = 7,5+b.5, de onde b = -0,2 A Equação genérica fica: h = 7,5 - 0,2.x 3,5m 4m 5m 3m x y A=0,1m2 O trabalho realizado não depende da trajetória escolhida para realizá-lo A equação de Laplace descreve funções potenciais, tais como campo elétrico, calor ou fluxo dágua em solos b x a h b x h x h . 0 2 2         Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos  Gradiente hidráulico É o coeficiente que define a relação entre h e L. No caso anterior,    2,0   x h i  Vazão Pela lei de Darcy, Q = k.i.A No sistema temos i = -0,2 e A = 0,1m2 Supondo k = 10-6m/seg, Q = 10-6.0,2.0,1 = 2x10-4m3/segundo - O que significa este sinal negativo no i? Significa que há perda de carga durante o fluxo na amostra 2. Fluxo Bidimensional  Para o fluxo bidimensional, a solução analítica se torna muito complexa  Solução alternativa: REDES DE FLUXO (solução gráfica) REDES DE FLUXO  É um conjunto de curvas formado por duas famílias: as linhas equipotenciais e as linhas de fluxo.  O traçado é resultado da aplicação de critérios gráficos e representa a solução da equação de Laplace no plano.  O traçado segue regras simples e bem definidas  Permite calcular a vazão em sistemas mais complexos, como os encontrados na natureza Rede de Fluxo Unidimensional Primeiramente, vamos aplicar os critérios em um fluxo unidimensional: as linhas de fluxo são desenhadas em função da direção do fluxo d’água. Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos Seja: k=5x10-5m/seg, temos: h = 4,8m L = 4,5m A = (1,2 x 1,2) m2 Q = 5x10-5.4,8/4,5.(1,2.1,2) Q = 7,68.10-5 m3/s Regras de traçado: 1. Traçar as linhas que marcam a trajetória de fluxo – limites impermeáveis submersos. Estas linhas representam LINHAS DE FLUXO 2. A partir das linhas impermeáveis submersas, que marcam os contornos da região de fluxo (solo), traçar linhas perpendiculares às linhas de fluxo, formando sempre figuras quadradas – estas linhas representam as LINHAS EQUIPOTENCIAIS (de mesma carga hidráulica total) 4,5m 0,3m 1,2m 1,2m 4,5m 0,3m 4,5m 0,3m Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos 3. Introduzir novas linhas de fluxo intermediárias e novas linhas equipotenciais, sempre formando quadrados, até obter um nível satisfatório de distribuição de carga total Na figura, temos:  5 Linhas de Fluxo (LF), 2 laterais e 3 centrais: são linhas que marcam a trajetória do fluxo dágua  4 canais de fluxo (nf): entre duas LF adjacentes temos um canal de fluxo. Estes canais conduzem a mesma vazão q = Q/nf  16 Linhas Equipotenciais (LE): são linhas que unem pontos de mesma carga total.  15 perdas equipotenciais (ne): Entre duas LE consecutivas ocorre uma perda de carga h = H/ne Condições de Traçado das Redes de Fluxo  LF são sempre perpendiculares às LE  LF e LE formam figuras quadradas, com lados curvos quando o fluxo é bi-dimensional  LE nunca se cruzam, pois isso resultaria em um mesmo ponto com 2 cartas totais  LF nunca se cruzam, pois estrangularia o canal de fluxo, por onde passa uma vazão q Cumpridas estas condições, teremos:  mesmo h entre duas LE adjacentes  mesma q entre duas LF adjacentes  a RF representa a solução da equação de Laplace 4,5m 0,3m Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos Redes de Fluxo Bidimensional Permeâmetro curvo: analogia com o fluxo bidimensional, que ocorre nas fundações de uma barragem em cortinas de estacas prancha, etc.  Fluxo confinado  Fronteiras conhecidas  Solo homogêneo e isotrópico quanto à condutividade hidráulica Regras de traçado 1. Desenhar em escala 2. identificar as fronteiras o superfícies impermeáveis: LF o superfícies submersas: LE 3. desenhar LF e LE acompanhando as fronteiras 4. verificar imperfeições Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos PROPRIEDADES DAS REDES DE FLUXO 1. As linhas equipotenciais são perpendiculares às linhas de fluxo, formando basicamente quadrados 2. As linhas de fluxo não se interceptam dentro da região de fluxo; tampouco as equipotenciais 3. A vazão nos canais de fluxo é constante nf = nLF – 1 (nLF = número de linhas de fluxo) nf q  Q q: vazão por canal de fluxo Q: vazão total nf: número de canais de fluxo 4. A perda de carga total entre linhas equipotenciais sucessivas (h) é sempre constante e igual a: ne H h    ne = nLE – 1 (nLE = número de linhas equipotenciais) H: perda de carga total (dissipada na região de fluxo) h: perda de carga total entre equipotenciais sucessivas ne: número de quedas de equipontenciais LE LF LF LE Quadrados com lados curvos Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos 5. As redes de fluxo devem satisfazer às condições de contorno 6. O fator de forma é válido para quadrados e é igual a: Fator de forma = e f n n 7. As linhas de fluxo e equipotenciais são geralmente curvas formando quadrados cuja largura média é igual ao comprimento médio (pode ser impossível junto às fronteiras) INFORMAÇÕES OBTIDAS DA REDE DE FLUXO 1. Vazão Q (por unidade de comprimento) Seja um elemento A : k i A q ..  a b L h k qA . . .  (L=1m) en H h    e fn q  Q (perda de carga e vazão no elemento A) a b L h k n Q f . . .  a b L n H k n Q e f . . .  .  , mas a 1 b (quadrado) e L=1m a L b n H n k Q e f . .  . . e f n H n k Q . .  b l L a Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos 2. Carga de altura, pressão e total em qualquer ponto: n h h h    . max Onde: hmax = carga hidráulica na LE de entrada n = no de perdas de carga h = perda de carga entre 2 LE 3. Poro pressão em qualquer ponto hp u   . hp = ht - ha hp = (hmax – no quedas.h) - ha 4. Gradiente hidráulico im l h im   Onde: h: carga total entre equipotenciais sucessivas l: comprimento do quadrado ao qual o ponto de análise pertence. 5. Velocidade média de descarga: k i vm  . Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos Exemplo: k = 10-5 m/s t = 19,5 kN/m3 a) Calcular ht e u em M e N b) Calcular a vazão total sob a estrutura c) Calcular o im no quadrado hachurado, sabendo que o mesmo tem 2m de lado. Verifique a possibilidade de erosão na saída da cortina de estacas. Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos Exemplos de redes de fluxo Muros com drenagem Fluxo ligado a obras portuárias ou chuvas intensas Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos Alguns exemplos de redes de fluxo em barragens: Mecânica dos Solos II - Fluxo de água em solos