Prova Antiga Resolvida-2022 1

Exercício 1. (25 pontos) Considere a hiperbolóide de uma folha H = {(x, y, z) ∈ R3 1 x2 + y2 − z2 = 1} e o ponto A = (1, 2, 2). Verifique que A ∈ H e encontre as equações paramétricas das duas retas que passam por A e estão inteiramente contidas em H. Exercício 2. (25 pontos) Considere a curva cuja equação em coordenadas polares é r = 2 . Encontre a equação desta curva em coordenadas cartesianas, diga que curva se trata e represente graficamente. 1 − cos θ Exercício 3. (25 pontos) Considere a curva cuja equação é 2xy = 1. Usando rotação de coordenadas, obtenha os focos, vértices e represente geometricamente como esta é uma cônica. Exercício 4. (25 pontos) Considere o hiperbolóide de duas folhas dado por: Para que valores de k ∈ R a interseção deste hiperbolóide com o plano z = k será uma elipse não degenerada? Verifique que qualquer uma dessas elipses tem o raio cito e o eixo maior e o eixo maior sempre constante, independente de k. Boa Prova! Geometria analítica Exercício 1 H = {(x, y, z) ∈ R3 ∣ x2 + y2 − z2 = 1} , A = (1, 2, 2) Para verificar se A ∈ H, basta fazer x = 1 , y = 2 e z = 2. Se o resultado der 1, significa que A pertence a H: 1 2 + (2)2 − (2)2 = 1 + 4 − 4 = 1 ∴ A ∈ H. As retas que estão inteiramente contidas em H: z = ± √x2 + y2 − 1 , fazendo x = t e y = s. z = ± √t2 + s2 −1 Logo, sejam r e p estas retas, das terão a forma r : (x, y, z) = (t, s, √t2 + s2 −1) p : (x, y, z) = (t, s, − √t2 + s2 −1) Veja que é impossível que p passe por A. Logo, apenas r passará: Fazendo t = 1 em r, temos que r : (x, y, z) = {r1 : (x, y, z) = (1, s, √1 + s2 −1) {r2 : (x, y, z) = (1, s, − √1 + s2 −1) Fazendo s = 2 em r, temos que s : (x, y, z) = (t, 2, √t2 + 4 −3) , que não se trata de uma reta. ∴ A única reta que obedece é r1 : (x, y, z) = (1, 0, 0) + s(0, 1, 1) Exercício 2 r = 2 1 − cos θ Em coordenadas polares, têm-se que x = r cosθ e y = r senθ. Logo r = √x2 + y2. Substituindo os dados: √x2 + y2 = 2 1 − x √x2 + y2 √x2 + y2 − x = 2 ⟹ √x2 + y2 = 2 + x x2 + y2 = 4 + 4x + x2 ⟹ y2 __ = x2 −1 = x 4 Trata-se de uma parábola. (desenho de parábola) y x Digitalizado com CamScanner Exercicio 3 2xy = 1 y = 1/2x (I) Usando uma rotacao de (x, y) A (x', y'), onde A e a matriz de rotacao dada por A = (cos(alpha) -sin(alpha)) (sin(alpha) cos(alpha)) , temos que (x',y') = A (x) (y) Para alpha = \pi/4 (nosso caso) => A = \sqrt{2}/2 (1 -1) (1 1) => (x', y') = \sqrt{2}/2 (x - y, x + y) => x' = \sqrt{2}/2 (x - y) e y' = \sqrt{2}/2 (x + y) (II) => { x - y = \sqrt{2}/2 x' x + y = \sqrt{2}/2 y' => x = \sqrt{2}/2 (x' + y') y = \sqrt{2}/2 (y' - x') (III) Substituindo III em I: \sqrt{2}/2 (y' - x') = 1/ 2 \sqrt{2}/2 (x' + y') => (y' - x')(x' + y') = 1 => y'^2 - x'^2 = 1 Trata-se de uma hipérbole. Vertices: Para x' = 0 => y' = 1 => V = {(0,1), (0,-1)} Focos: Como a = b = 1, a distância focal sera \sqrt{2}, dura toma F = {(0, -\sqrt{2}), (0, \sqrt{2})} Exercicio 4 -x^2/25 - y^2/9 + z^2/4 = 1 Para z = 4, teremos: x^2/25 + y^2/9 - k^2/4 = -1 => x^2/25 + y^2/9 = k^2/4 - 1 => x^2/25 + y^2/9 = \sqrt{k^2 - 1}/2 Veja que para que a elipse exista, a raiz do lado direito deve existir, logo \sqrt{k^2 - 1} > 0 => k^2 - 1 > 0 => k < -1 ou k > 1 Para escrever na forma de elipse, temos: x^2/(25/2 \sqrt{k^2 - 1}) + y^2/(9/2 \sqrt{k^2 - 1}) = 1 a^2 b^2 Onde a e metade do compartimento do eixo maior e b e metade do compartimento do eixo menor. Fazendo: 2a/2b = a/b = \sqrt{25/2 \sqrt{k^2 - 1}} / \sqrt{9/2 \sqrt{k^2 - 1}} = \sqrt{25/2} / \sqrt{9/2} = 5/3 que e independente de k e e constante.