Slidespotencial Eletrico

Como podemos relacionar a noção de força elétrica com os conceitos de energia e trabalho?\n\nDefinindo a\nergia potencial elétrica\n(Força elétrica conservativa) Gravitacional vs Eletrostático\n(Campos uniformes)\n\n• Campo \n\n• Força: \\vec{F}_g = mg\n• Energia potencial: U = mgy\n• Trabalho realizado por \\vec{F}_g: \nW = \\int_{y_i}^{y_f} mg \cdot ds = -mgh = -(U_f - U_i)\n\n• Campo \\vec{E}\n• Força: \\vec{F}_E = q_0 \\vec{E}\n• Energia potencial: U = q_0Ey\n• Trabalho realizado por \\vec{F}_E:\nW = \\int_{y_i}^{y_f} -q_0 \\vec{E} \cdot ds = -q_0Eh = -(U_f - U_i) \\[ \\Delta U = U_f - U_i = -W. \\]\n\\[ U = -W_{\\infty}. \\] Se a força é devida a uma distribuição fina de cargas, convém tomar \\( |\\vec{r}| \\rightarrow \\infty \\) como a configuração de referência tal que \\( U_i = 0 \\)\n\nCom isto, podemos definir a função energia potencial \\( U(\\vec{r}) \\):\n\\[ U(\\vec{r}) = -\\int_{\\infty}^{\\vec{r}} q_0 \\vec{E} \\cdot d\\vec{s} \\]\nOu seja, \\( U(\\vec{r}) \\) é o negativo do trabalho realizado pela força do campo elétrico sobre a partícula com carga \\( q_0 \\) para trazê-la desde o infinito até \\( \\vec{r} \\). (Unidade SI: J = Nm) Definição: energia potencial por unidade de carga\n\\[ \\Delta V \\equiv \\frac{\\Delta U}{q_0} \\Rightarrow V = \\frac{U}{q_0} \\]\n\n- Definição válida em todos os pontos do espaço, havendo carga ou não neste ponto\n- \\( V \\) não depende de \\( q_0 \\)\n- Unidade SI: joule/coulomb = J/C = volt (V)\n- Aumenta no sentido oposto das linhas de campo elétrico\n \\[ \\vec{E} \\]\n \\[ V_A > V_B \\]\n\nAnalogia: linhas de campo indicam a corrente numa cachoiera. Quanto mais alto estamos, mais potencial temos. Em função do campo elétrico\nDiferença de potencial \\rightarrow \\Delta V = V_f - V_i = - \\int_{\\vec{r_i}}^{\\vec{r_f}} \\vec{E}(\\vec{F}) \\cdot d\\vec{s}\n• Entre dois pontos do espaço\n• \\vec{s} vai de i a f\n• Depende unicamente dos pontos i e f, não do caminho seguido\n• Força elétrica conservativa\nPotencial \\rightarrow V(\\vec{r}) = - \\int_{\\infty}^{\\vec{r}} \\vec{E}(\\vec{F}) \\cdot d\\vec{s}\n• Definido para cada ponto do espaço\n• O infinito é escolhido como referência V_f - V_i = - \\int_{\\vec{r_i}}^{\\vec{r_f}} \\vec{E}(\\vec{r}) \\cdot d\\vec{s}\na) V_f - V_i = -Ed \\{(V_f < V_i)}\nb) V_f - V_i = -Ed\n• Resultado não depende do caminho efetuado\n• Portanto, para se calcular \\Delta V, pode-se sempre escolher o caminho mais simples\n\\Delta V = -Ed = -\\vec{E} \\cdot \\vec{s} \\Delta V = V_f - V_i = \\frac{U_f}{q} - \\frac{U_i}{q} = \\frac{\\Delta U}{q}.\n\\Delta V = V_f - V_i = -\\frac{W}{q} \\ (definição de diferença de potencial).\nV = -\\frac{W_\\infty}{q} \\ (definição de potencial),\nW_{ap} = q \\Delta V. Superfícies em que todos os pontos têm o mesmo potencial\n\n\\( \\overline{E} \\)\n\n\\( W_{I}, W_{II}, W_{III} e W_{IV} = ? \\) As linhas de \\( \\overline{E} \\) são perpendiculares às superfícies equipotenciais. Por quê?\n\nCampo uniforme\n\nCarga positiva\n\nDipolo elétrico\n\nDeslocamento ao longo de uma equipotencial não requer trabalho\n\n\\( \\left( \\overline{E} \\cdot d \\vec{s} = 0 \\right) \\) \\( V_{f} - V_{i} = -\\int_{r_{i}}^{r_{f}} \\overline{E}(r) \\cdot d \\vec{s} \\)\n\n= -\\int_{r_{i}}^{r_{f}} E(r) dr\n\n= -\\int_{r_{i}}^{r_{f}} \\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{q}{r^{2}} dr\n\n\\( \\overline{E}(r) = \\frac{1}{4 \\pi \\varepsilon_{0}} \\frac{q}{r^{2}} \\hat{r} \\)\n\nEscolhendo \\( V_{i} = 0 para r_{i} \\rightarrow \\infty : \\)\n\n\\( V(r) = \\frac{q}{4 \\pi \\varepsilon_{0} r} \\)\n\nCarga +\n\nCarga - Energia potencial de uma carga q0 ao redor de q\n\nU = q0V = 1 / (4πε0) * (q0q / r)\n\nEquivalente ao trabalho executado por um agente externo para trazer as duas cargas do infinito até uma distância r. Potencial no ponto P devido a cada carga:\n\nVi(r) = (qi / (4πε0) |r - ri|)\n\nPrincípio de superposição: (soma escalar!)\n\nV(r) = ∑i Vi(r) = ∑i (qi / (4πε0) |r - ri|) V(r) = ∑i Vi(r)\n\n= ∑i (qi / (4πε0) |r - ri|)\n\nr >> d => {(r- - r+) ≈ d cos θ}\n\nV(r) = (p cos θ) / (4πε0 r^2) = (p • r) / (4πε0 r^3)\n\nMomento de dipolo elétrico\n|p| = qd V(\\mathbf{\\mathbf{r}}) = \\int_{(V, S_{out})} \\frac{dq(\\mathbf{r'})}{4\\pi\\epsilon_0 |\\mathbf{r} - \\mathbf{r'}|} \n• V = 0 no infinito\n• Válido somente para distribuição finita de cargas Linha\n\\[V = \\int_{0}^{L} \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\lambda dx \\cdot \\frac{1}{\\sqrt{x^2 + d^2}} \\]\n\\[V(d) = \\frac{\\lambda}{4\\pi\\epsilon_0} \\left[ L + \\sqrt{L^2 + d^2} \\right] \\]\n\nAnel\n\\[V(P) = \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\frac{dq}{\\sqrt{a^2 + x^2}} \\]\n\nDisco\n\\[V(P) = \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\frac{dq}{\\sqrt{r^2 + x^2}} \\]\n\\[V(x) = \\frac{1}{4\\pi\\epsilon_0} \\cdot \\frac{\\sigma}{2\\epsilon_0} \\left( \\sqrt{r^2 + x^2} - |x| \\right)\\] Energia potencial de um sistema de cargas é o trabalho executado por um agente externo para trazer todas as cargas do infinito até a configuração desejada.\nPelo princípio de superposição:\n\\[V = \\sum_{i} \\frac{q_i}{4\\pi\\epsilon_0 r_i} \\Rightarrow U = \\sum_{i<j} \\frac{q_i q_j}{4\\pi\\epsilon_0 r_{ij}} \\]\nDois casos possíveis:\n• U > 0: cargas livres\n• U < 0: cargas ligadas\nExemplo Trabalho sobre q0 ao se deslocar entre duas equipotenciais:\ndW = -q0dV = q0 \\vec{E} \\cdot d\\vec{s} = q0Ecosθds\nEcosθ = -\\frac{dV}{ds}\nComo Ecos θ é a componente de \\vec{E} na direção de d\\vec{s}:\nE_s = -\\frac{\\partial V}{\\partial s} = -\\nabla V \\cdot \\hat{s}\nIsto é, a componente de \\vec{E} em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância naquela direção (derivada direcional).\nGeneralizando: \\vec{E} = -\\nabla V Vimos que neste caso:\nV = V(x) = \\frac{\\sigma}{2ε_0} \\left(\\sqrt{x^2 + R^2} - |x|\\right)\nEntão: \\vec{E} = -\\nabla V \\Leftrightarrow E_x = -\\frac{dV}{dx}\nDerivando V, obtemos:\n\\vec{E}(x) = \\frac{\\sigma}{2ε_0} \\left(\\frac{x}{|x|} \\cdot \\frac{x}{\\sqrt{x^2 + R^2}}\\right) \\hat{x} (resultado já conhecido!) Os pontos dentro e na superfície de um condutor qualquer estão ao mesmo potencial?\nSim, pois \\vec{E} = \\vec{0} dentro do condutor\nConsequências para um condutor isolado, carregado ou não:\n• O volume é equipotencial\n• A superfície é uma equipotencial Conductor esférico\n• Carga Q (na superfície)\n• Raio R\n\nPotencial: V_f - V_i = -\\int_{r_i}^{r_f} \\vec{E}(\\vec{r}) \\cdot d\\vec{r}\n\nV(r) = \\begin{cases}\n\\frac{Q}{4\\pi\\epsilon_0 r}, & r > R \\text{ (fora)} \n\\\\\n\\frac{Q}{4\\pi\\epsilon_0 R}, & r < R \\text{ (dentro)}\n\\end{cases}\n\nCampo elétrico:\n\\vec{E} = -\\nabla V \\text{ (ou } E_r = -\\frac{\\partial V}{\\partial r}\\text{)} Excluindo-se os condutores esféricos, a carga de um condutor não se distribui uniformemente sobre sua superfície, mas vai depender do raio de curvatura local.\n\nDuas esferas condutoras carregadas, ligadas por um fio condutor muito longo, estão ao mesmo potencial V:\n\nV = \\frac{q_1}{4\\pi\\epsilon_0 r_1} = \\frac{q_2}{4\\pi\\epsilon_0 r_2} \\Leftrightarrow \\frac{\\sigma_1}{\\sigma_2} \\sim \\frac{r_2}{r_1} \\sim \\frac{1}{r}\n\nEm pontos onde o condutor é mais \"pontiagudo\", \\sigma (e, portanto, E) é maior.\n\nq_1 = 4\\pi n_i \\sigma_i Este campo pode ser suficiente intenso para ionizar o ar em volta da ponta, tornando-o condutor e permitindo uma descarga.\n\nBobina de alta tensão\nRoda de Wartenberg