Cálculo Diferencial e Integral I: Coordenadas Polares e Integrais Duplas

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE INSTITUTO DE MATEMÁTICA ESTATÍSTICA E FÍSICA CÁLCULO DIFRENCIAL E INTEGRAL I COORDENADAS POLARES Seja P um ponto do plano cuja distância até a origem ponto O seja igual a r e seja o ângulo geralmente medido em radianos entre o eixo polar e a reta OP conforme mostra a figura abaixo Assim o ponto P é representado pelo par ordenado r sendo r e as coordenadas polares do ponto P Usamos a convenção de que um ângulo é positivo se for medido no sentido antihorário e negativo se for medido no sentido horário Se P 0 então r 0 e convencionamos que 0 representa o polo para qualquer valor de Quando r é negativo convencionamos conforme mostra a figura abaixo que os pontos r e r pertencem a mesma reta que passa pelo polo ponto O e estão à mesma distância r de O Observe que o ponto r representa o mesmo ponto r A relação entre as coordenadas polares e cartesianas pode ser observada na figura a seguir na qual o polo corresponde à origem do sistema de coordenadas cartesianas e o eixo polar coincide com o eixo dos x Se o ponto P tiver coordenadas cartesianas x y e coordenadas polares r então a partir da figura acima temos r cos x e r y sen ou seja Embora as equações acima tenham sido deduzidas de acordo com a figura anterior considerando o caso r 0 e 2 0 estas equações são válidas para todos os valores de r e A partir das equações anteriores e também a partir da figura anterior podemos obter as seguintes equações Curvas Polares O gráfico de uma equação polar r f consiste em todos os pontos P r que possuem pelo menos uma representação r cujas coordenadas satisfazem a equação polar Exemplos de algumas curvas Equação polar r a cos θ Equação cartesiana x a2² y² a²4 a 0 a 0 INTEGRAIS DUPLAS EM COORDENADAS POLARES Suponha que desejamos calcular a integral dupla x ydA f R onde R é uma das regiões mostradas a seguir Nos dois casos a descrição da região R é complicada em coordenadas cartesianas mas fica mais fácil em coordenadas polares A figura a seguir representa o retângulo polar retângulo curvo b r a r R Para calcular a integral dupla x ydA f R onde R é o retângulo polar dividimos o intervalo ab em m subintervalos i i r r 1 de larguras iguais m a b r e dividimos o intervalo em n subintervalos j j 1 de larguras iguais n Então os círculos r ir e j dividem o retângulo polar R nos retângulos polares menores mostrados na figura a seguir Equação polar r a sen θ Equação cartesiana x² y a2² a²4 a 0 a 0 As coordenadas polares dos centros das subregiões determinadas que chamaremos de subretângulos polares j j i i ij r r r r R 1 1 tem as seguintes coordenadas polares i i i r r r 1 2 1 e j j j 1 2 1 Temos que a área de um setor circular de raio r e ângulo central é igual a 2 2 1 r Como a área do subretângulo polar pode ser considerada como a diferença entre as áreas de dois setores circulares de raios i i r r 1 e ambos com ângulo central 1 j j temos que a área de ij R é dada por r r r r r r r r r r A i r i i r i i i i i i i i 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 Apesar de termos definido a integral dupla x ydA f R em termos de retângulos convencionais podemos mostrar que para funções contínuas f obtemos a mesma resposta usando os retângulos polares As coordenadas cartesianas do centro de ij R são j i j i rsen r cos portanto uma soma de Riemann dada por r r rsen r f i m i n j j i j i 1 1 cos Assim se f é contínua no retângulo polar R dado por 0 b r a onde 2 0 então rdrd rsen f r r r rsen f r x y dA f b a i m i n j j i j i n m R cos cos lim 1 1 A fórmula acima define a conversão das coordenadas cartesianas para as coordenadas polares em uma integral dupla escrevendo x rcos e y rsen usando os limites de integração apropriados para r e e substituindo dApor rdrd Curvas Cardioides Exemplo Calcule y dA x R 4 2 3 onde R é a região do semiplano superior limitado pelos círculos 1 2 2 x y e 4 2 2 x y Solução A região R pode ser descrita como 4 1 2 2 y x x y R que corresponde a metade do anel mostrado na figura a seguir e que em coordenadas polares é dado por 2 1 r e 0 Então fazendo a conversão das coordenadas cartesianas para as coordenadas polares conforme definimos anteriormente temos 2 15 2 4 15 2 15 7 2 cos 2 15 2 15 cos 7 15 cos 7 4 4 3 cos 3 4 cos 3 4 3 cos 4 3 0 0 0 2 cos2 1 2 1 2 2 1 0 2 4 3 0 2 1 2 3 2 0 2 1 2 2 2 sen sen d d sen d r sen r drd r sen r rdrd r sen r dA y x R OBS 1 Conforme vimos anteriormente se f x y for contínua e não negativa na região polar R então a integral dupla rdrd rsen f r x y dA f b a R cos representa o volume do sólido limitado inferiormente pela região polar R e superiormente pela superfície f x y 2 A forma como definimos a integral dupla sobre uma região polar pode ser estendida para outros tipos de regiões polares como por exemplo a região representada na figura a seguir Assim se f x y é contínua na região 2 1 h r h r D então rdrd rsen f r x y dA f h h D 2 1 cos 3 Em particular se f x y 1 nas integrais duplas rdrd rsen f r x y dA f b a R cos e rdrd rsen f r x y dA f h h D 2 1 cos então b a R Área daregião R rdrd dA e 2 1 h h D Área daregião D rdrd dA Exemplos 1 Calcular por integração dupla em coordenadas polares a área da região interior à curva r 4cos e exterior à curva r 2 Solução A figura a seguir mostra a região R De acordo com a figura temos 2 3 4 3 4 2 2 2 2 4cos 2 2 2 2 4cos 2 4 2 2 8cos 2 2 2 2 3 0 3 0 3 0 3 0 2 cos2 1 2 1 2 3 0 cos 4 2 2 3 0 cos 4 2 a u sen d d d d r rdrd dA A R R 2 Calcular por integração dupla em coordenadas polares a área da região interior à cardióide sen r 1 Solução A região R está representada na figura a seguir De acordo com a figura temos 2 3 2 4 1 2cos 2 3 2 cos 2 1 2 2 3 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 0 2 2 2 1 0 u a sen d sen d sen sen d sen d r rdrd dA A sen sen R R 3 Calcular por integração dupla em coordenadas cilíndricas o volume do sólido limitado pelo plano z 0 e pela superfície 2 2 1 y x z Solução A figura a seguir mostra o sólido procurado Temos que 3 2 3 1 3 1 0 1 3 2 2 1 2 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 0 2 0 2 0 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 0 1 0 2 2 2 2 3 2 1 u v d d d r rdrd r rdrd r y dA x f x y dA V R R 4 Calcular por integração dupla em coordenadas cilíndricas o volume do sólido limitado no interior do cilindro 0 2 2 2 y z y x e abaixo do cone 2 2 y x z Solução Observe que completando quadrados a equação y y x 2 2 2 se transforma em 1 1 2 2 x y Além disso fazendo a conversão das equações cartesianas para as coordenadas cilíndricas temos i rsen r y y x 2 2 2 2 2 então obtemos a equação sen r 2 ii 2 2 2 r y x z então obtemos a equação z r A figura a seguir representa o sólido procurado De acordo com a figura temos que o volume do sólido é dado por 9 32 3 4 3 8 3 cos cos 3 8 cos 3 8 cos 1 3 8 3 8 3 8 3 0 3 0 2 0 2 0 cos 1 2 0 3 2 0 0 3 0 2 0 2 0 2 0 2 2 2 v u d sen sen d sen d sen sen d sen d r drd r r rdrd y dA x f x y dA V sen sen sen R R CÁLCULO DE VOLUMES POR INTEGRAÇÃO TRIPLA EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Do mesmo modo como consideramos nas coordenadas cartesianas podemos calcular o volume de um sólido sobre uma região polar através da integração dupla em coordenadas cilíndricas e também através da integração tripla em coordenadas cilíndricas Exemplos 1 Calcular por integração tripla em coordenadas cilíndricas o volume do sólido limitado superiormente pela esfera 16 2 2 2 z y x e inferiormente pelo cone 2 2 y x z Solução O sólido está representado na figura a seguir Fazendo a conversão das equações cartesianas para as coordenadas cilíndricas temos i da equação 16 2 2 2 2 z y x r obtemos 2 2 2 2 16 16 r z z r Como no sólido proposto é considerado somente o hemisfério norte da esfera temos 2 16 r z ii da equação 2 2 y x z obtemos z r Considerando a intersecção das duas superfícies temos r z r z 2 16 daí obtemos 2 16 r r ou seja 2 2 16 2 16 2 2 2 r r r r Como z r e z 0 obtemos z r 2 2 Assim a curva de interseção das duas superfícies projetada no plano xy é a circunferência de centro na origem e raio r 2 2 Assim o volume do sólido é dado por 2 2 3 64 3 32 2 64 3 32 2 64 3 16 3 1 3 2 3 16 2 1 16 16 2 0 2 0 2 2 0 3 2 3 2 0 2 2 0 3 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 16 2 0 2 2 0 16 2 3 2 1 2 2 u v d d r r d r r drd r r r r drd r r drd z r rdzdrd V r r r r 2 Calcular por integração tripla em coordenadas cilíndricas o volume do sólido limitado pelas superfícies 9 2 2 x y z 2 e z 4 Solução O sólido está representado na figura a seguir Observe que a equação do cilindro 9 2 2 x y é dada em coordenadas cilíndricas por r 3 De acordo com a figura temos que o volume do sólido é dado por 18 9 2 9 2 2 2 2 2 0 2 0 2 0 3 0 2 2 0 3 0 2 0 3 0 4 2 2 0 3 0 4 2 u v d d r r drd z drd r rdzdrd V