Cálculo Vetorial: Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais - Aula 4

CÁLCULO VETORIAL Slides de Aula 4 141123 Derivadas e Integrais de Funções Vetoriais Cap 13 pg 768 a 774 53 Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t a e seja c uma constante Demonstre as seguintes propriedades de limites a lim ut vt lim ut lim vt b lim cut c lim ut c lim ut vt lim ut lim vt d lim ut vt lim ut lim vt 54 Mostre que lim ta rt b se e somente se para todo ε 0 existe um número δ 0 tal que se 0 t a δ então rt b ε A derivada r de uma função vetorial r é definida do mesmo modo como foi feito para as funções a valores reais drdt rt lim h0 rt h rt h se este limite existir O significado geométrico dessa definição está representado na Figura 1 Se os pontos P e Q têm vetores posição rt e rt h então PQ representa o vetor rt h rt que pode ser visto como um vetor secante Se h 0 o múltiplo escalar 1hrt h rt tem o mesmo sentido que rt h rt Quando h 0 parece que esse vetor se aproxima de um vetor que está sobre a reta tangente Por essa razão o vetor rt é chamado o vetor tangente à curva definida por r no ponto P desde que rt exista e rt 0 A reta tangente a C em P é definida como a reta que passa por P e é paralela ao vetor rt Teremos ocasião de considerar o vetor tangente unitário dado por Tt rt rt O teorema seguinte fornece um método conveniente para calcular a derivada de uma função vetorial r por derivação de cada componente de r Teorema Se rt ft gt ht ft i gt j ht k onde f g e h são funções diferenciáveis então rt ft gt ht ft i gt j ht k EXEMPLO 1 a Determine a derivada de rt 1 t³i teᵗj sen 2tk b Encontre o vetor tangente unitário no ponto onde t 0 SOLUÇÃO a De acordo com o Teorema 2 derivando cada componente de r obtemos rt 3t²i 1 teᵗj 2 cos 2tk b Uma vez que r0 i e r0 j 2k o vetor unitário da tangente no ponto 1 0 0 é T0 r0r0 j 2k1 4 15j 25k EXEMPLO 2 Para a curva rt t i 2 t j determine rt e desenhe o vetor posição r1 e o vetor tangente r1 SOLUÇÃO Temos rt 12ti j e r1 12i j A curva é plana e a eliminação do parâmetro das equações x t y 2 t nos dá y 2 x² x 0 Na Figura 2 desenhamos o vetor posição r1 i j começando na origem e o vetor tangente r1 começando no ponto correspondente 1 1 EXEMPLO 3 Determine as equações paramétricas para a reta tangente à hélice com equações paramétricas x 2 cos t y sen t z t no ponto 0 1 π2 SOLUÇÃO A equação vetorial da hélice é rt 2 cos t sen t t de modo que rt 2 sen t cos t 1 O valor do parâmetro correspondente ao ponto 0 1 π2 é t π2 e o vetor tangente é rπ2 2 0 1 A reta tangente passa por 0 1 π2 e é paralela ao vetor 2 0 1 então pela Equação 2 da Seção 125 suas equações paramétricas são x 2t y 1 z π2 t Do mesmo modo que para as funções reais a segunda derivada da função vetorial r é a derivada de r ou seja r r Por exemplo a segunda derivada da função do Exemplo 3 é rt 2 cos t sen t 0 Regras de Derivação O próximo teorema mostra que as fórmulas de derivação para funções reais têm suas equivalências para as funções vetoriais 3 Teorema Suponha que u e v sejam funções vetoriais diferenciáveis c um escalar e f uma função real Então 1 fracddt ut vt ut vt 2 fracddt cut c ut 3 fracddt ftut ftut ftut 4 fracddt ut cdot vt ut cdot vt ut cdot vt 5 fracddt ut imes vt ut imes vt ut imes vt 6 fracddt uft ftuft Regra da Cadeia EXEMPLO 4 Mostre que se rt c uma constante então rt é ortogonal a rt para todo t SOLUÇÃO Uma vez que rt cdot rt rt2 c2 e c2 é uma constante da Fórmula 4 do Teorema 3 vem 0 fracddt rt cdot rt rt cdot rt rt cdot rt 2rt cdot rt Assim rt cdot rt 0 o que diz que rt é ortogonal a rt Geometricamente esse resultado indica que se a curva está em uma esfera com o centro na origem então o vetor tangente rt é sempre perpendicular ao vetor posição rt Veja a Figura 4 Integrais A integral definida de uma função vetorial contínua rt pode ser definida da mesma forma que para a função real exceto que a integral resulta em um vetor Mas podemos expressar a integral de r como a integral de suas funções componentes f g e h como segue Utilizamos a notação do Capítulo 5 no Volume 1 intab rt dt limn o infty sumi1n rti Delta t limn o infty left sumi1n fti Delta t righti left sumi1n gti Delta t rightj left sumi1n hti Delta t rightk e também intab rt dt left intab ft dt righti left intab gt dt rightj left intab ht dt rightk Isso mostra que podemos calcular a integral da função vetorial integrando cada componente dela Podemos estender o Teorema Fundamental do Cálculo para as funções vetoriais contínuas como se segue ab rt dt Rtab Rb Ra onde R é uma primitiva de r ou seja Rt rt Usaremos a notação rt dt para as integrais indefinidas primitivas EXEMPLO 5 Se rt 2 cos t i sen t j 2t k então rt dt 2 cos t dt i sen t dt j 2t dt k 2 sen t i cos t j t2 k C onde C é um vetor constante de integração e 0π2 rt dt 2 sen t i cos t j t20π2 2i j π24 k 132 Exercícios 1 A figura mostra uma curva C dada pela função vetorial rt a Desenhe os vetores r45 r4 e r42 r4 b Esboce os vetores r45 r4 05 e r42 r4 02 c Escreva a expressão para r4 e para seu vetor tangente unitário T4 d Desenhe o vetor T4 É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador 2 a Faça um esboço grande da curva descrita pela função vetorial rt t2 t 0 t 2 e desenhe os vetores r1 r11 e r1 r1 b Desenhe o vetor r1 começando em 1 1 e o compare com o vetor r11 r1 01 Explique por que esses vetores estão tão próximos um do outro tanto em módulo quanto em direção e sentido 38 a Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada b Encontre rt e c Esboce o vetor posição rt e o vetor tangente rt para o valor dado de t rt t 2 t2 1 t 1 rt t2 t3 t 1 e2t i et j t 0 rt et i 2t j t 0 4 sen t i 2 cos t j t 3π4 cos t 1 i sen t 1 j t π3 916 Determine a derivada da função vetorial 9 rt t 2 3 1t² 10 rt eᵗ t t³ ln t 11 rt t²i cos t²j sen²tk 12 rt 11 t i t1 t j t²1 t k 13 rt t sen ti eᵗ cos t j sen t cos tk 14 rt sen²ati te²ᵇtj cos²ctk 15 rt a tb t²c 16 rt t a b tc 1720 Determine o vetor tangente unitário Tt no ponto com valor de parâmetro dado t 17 rt t² 2t 1 3t 13t³ 12t² t 2 18 rt tg¹t 2e²ᵗ 8teᵗ t 0 19 rt cos ti 3t j 2 sen 2t k t 0 20 rt t³ 3t t² 1 3t 4 t 1 21 Se rt t t² t³ encontre rt Tt rt e rt rt 22 Se rt e²ᵗ e²ᵗ te²ᵗ encontre T0 r0 e rt rt 2326 Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas no ponto especificado 23 x t² 1 y 4t z eᵗ 2 4 1 24 x lnt 1 y t cos 2t z 2t² 0 0 1 25 x eᵗ cos t y eᵗ sen t z eᵗ 1 0 1 26 x 1 2t y t³ t z t³ t 3 0 2 27 Encontre uma equação para a reta tangente à curva de interseção dos cilindros x² y² 25 e y² z² 20 no ponto 3 4 2 28 Encontre o ponto na curva de rt 2 cos t 2 sen t eᵗ 0 t π em que a reta tangente é paralela ao plano 3x y 1 2931 Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas no ponto especificado Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela 29 x t y eᵗ z 2t t² 0 1 0 30 x 2 cos t y 2 sen t z 4 cos 2t 3 1 2 31 x t cos t y t z t sen t π π 0 32 a Determine o ponto de interseção das retas tangentes à curva rt sen πt 2 sen πt cos πt nos pontos t 0 e t 05 b Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes 33 As curvas de r1t t t² t³ e r2t sen t sen 2t t se interceptam na origem Determine o ângulo de interseção destas com precisão de um grau 34 Em que ponto as curvas r1t t 1 t 3 t² e r2s 3 s s 2 s² se cruzam Determine o ângulo de interseção destas com precisão de um grau 3540 Calcule a integral 0π4 sec t tg t i t cos 2t j sen² 2t cos 2t k dt et i 2t j ln t k dt cos π t i sen π t j t k dt