Prova Vibração

PROVA FINAL DISCIPLINA EME 105 VIBRAÇÕES MECÂNICAS Professor Libardo Andrés González Torres Data 12042021 Data final para entrega quintafeira 13042021 às 2359 Nota 20 da disciplina 200 pontos 1 20 pontos Realize 2 modelos para uma motocicleta que permitam estudar a vibração vertical do veículo considerando os elementos inércia elasticidade e amortecimento Um dos modelos deve possuir 1GL e outro de 4 ou mais GL Indique claramente qualis partes do veículo representam os diferentes elementos inércia elasticidade e amortecimento assim como também a coordenada que permite identificar cada grau de liberdade É importante que os modelos propostos permitam estudar o efeito dos pneus na vibração do veículo 2 20 pontos Determine as equações de movimento mais gerais possíveis contendo elementos elasticidade amortecedor inércia e forças externas considerando sistemas forçados para cada um dos modelos propostos na questão 1 Explique passo a passo como determinou a equação de movimento de cada sistema Dica Caso precise fazer diagramas de corpo livre pode desconsiderar as forças de peso e também as deflexões estáticas nas molas Nesse caso deve indicar que o diagrama de corpo livre está incompleto 3 20 pontos Baseado em pesquisas bibliográficas e sendo o mais criterioso possível assuma que você já é um engenheiro defina o valor de cada uma das inércias elasticidades e amortecedores dos modelos propostos na questão 1 Indique em todos os casos as referências de onde extraiu ou a metodologia usada para determinar os valores usados para os parâmetros 4 40 pontos Para os dois sistemas propostos assuma que o amortecimento dos sistemas é nulo e resolva analiticamente os sistemas ou seja a mão sem resolver as equações diferenciais usando o software Scilab ou semelhante Assuma como condições iniciais dos sistemas velocidades nulas e um deslocamento para abaixo no centro de gravidade do veículo da mesma intensidade daquele gerado quando uma pessoa se senta no veículo Atenção Indique todos os passos necessários para a solução sem extrair as soluções ou passos prontos dos livros ou referências pois isto pode dificultar a compreensão da solução e a obtenção de conclusões 5 20 pontos Represente graficamente as soluções obtidas na questão 4 e compare os resultados obtidos para os deslocamentos verticais dos elementos dos sistemas Responda também a A presença dos pneus modificou significativamente a resposta do sistema Explique b Os modelos estimaram vibrações semelhantes para o veículo Sim ou não Por quê 6 40 pontos Para os dois modelos propostos considere amortecedores não nulos e resolva por qualquer método considerando que a via tem forma senoidal ytYsenwt com Y 10cm e w 4363rads O sistema de um grau de liberdade deve ser resolvido pelo método de transformada de Laplace Para o sistema com dois graus de liberdade pode usar o scilab para resolver as equações diferenciais Em todos os casos assuma as mesmas condições iniciais da questão 4 Caso algum modelo contemple mais de um pneu em contato com o chão assuma que os dois são deslocados com a mesma função yt ao mesmo tempo Atenção Indique todos os passos necessários para a solução sem extrair as soluções ou passos prontos dos livros ou referências pois isto pode dificultar a compreensão da solução e a obtenção de conclusões 7 20 pontos Represente graficamente as soluções obtidas na questão 6 e compare os resultados obtidos para os deslocamentos verticais dos elementos dos sistemas Responda também a A presença dos pneus modificou significativamente a resposta do sistema Explique b Os modelos estimaram vibrações semelhantes para o veículo Sim ou não Por quê c Quais as diferenças obtidas com as respostas à questão 5 A que se devem estas diferenças 8 20 pontos Escreva as principais conclusões extraídas após a conclusão da prova Avaliação final Vibrações mecânicas EME 105 grupo Elidaiany Silva Santos Mariana Nogueira Ferreira e Khaessa Batista Franco 1 Para 1 grau de liberdade massa total mola e pneu da suspensão amortecimento da suspensão massa total massa suspensa massa não suspensa massa não suspensa massa das rodas massa suspensa chassi piloto Para 4 graus de liberdade massa suspensa rigidez da suspensão traseira amortecimento da suspensão traseira rigidez da suspensão dianteira amortecimento da suspensão dianteira massa da roda traseira massa da roda dianteira rigidez do pneu traseiro amortecimento do pneu traseiro rigidez do pneu dianteiro amortecimento do pneu dianteiro l1 l2 X0 θ X10 X30 X20 2 Para um grau de liberdade desconsiderando peso e deflexão estática fazendo o DCL para encontrar a equação de movimento mẍ cx kx Ft Para quatro graus de liberdade desconsiderando peso e deflexão estática DCL dos corpos corpo 1 X2 X1 e X3 X1 X10 θ0 m3 m2 m1 J K1T C1T K1D C1D C3 C2 K3 K2 x30 x20 l1 l2 F1t Mt m1ẍ1 Jθ K1TX3 X1 θl1 C1T ẋ3 ẋ1 θl1 K1D X2 X1 θl2 C1D ẋ2 ẋ1 θl2 F1t Mt Jθ Fv F1t K1T X3 X1 θl1 C1T ẋ3 ẋ1 θl1 K1D X2 X1 θl2 C1D ẋ2 ẋ1 θl2 m1 ẍ1 m1 ẍ1 K1T X3 X1 θl1 C1T ẋ3 ẋ1 θl1 K1D X2 X1 θl2 C1D ẋ2 ẋ1 θl2 F1 t m1 ẍ1 K1T X3 K1T X1 K1T θl1 C1T ẋ3 C1T ẋ1 C1T θl1 K1D X2 K1D X1 K1D θ l2 C1D ẋ2 C1D ẋ1 C1D θ l2 F1 t m1 ẍ1 C1T C1D ẋ1 C1T l1 C1D l2 θ C1D ẋ2 C1T ẋ3 K1T K1D X1 K1T l1 K1D l2 θ K1D X2 K1T X3 F1t 5 M0 Mt K1T X3 X1 θl1 C1T ẋ3 ẋ1 θl1 l1 K1D X2 X1 θl2 C1D ẋ2 ẋ1 θl2 l2 Jθ Jθ K1T X3 K1T X1 K1T θl1 C1T ẋ3 C1T ẋ1 C1T θ l1 l1 K1D X2 K1D X1 K1D θl2 C1D ẋ2 C1D ẋ1 C1D θ l2 l2 Mt Jθ K1T X3 l1 K1T X1 l1 K1T θ l12 C1T ẋ3 l1 C1T ẋ1 l1 C1T θ l12 K1D X2 l2 K1D X1 l2 K1D θ l22 C1D ẋ2 l2 C1D ẋ1 l2 C1D θ l22 Mt Jθ C1T l1 C1D l2 ẋ1 C1T l12 C1D l22 θ C1D l2 ẋ2 C1T l1 ẋ3 K1T l1 K1D l2 X1 K1T l12 K1D l22 θ K1D l2 X2 K1T l1 X3 Mt Corpo 2 X2 X1 Fv F2t K1D X2 X1 θ l2 C1D ẋ2 ẋ1 θ l2 K2 X2 C2 ẋ2 m2 ẍ2 m2 ẍ2 K1D X2 X1 θ l2 C1D ẋ2 ẋ1 θ l2 K2 X2 C2 ẋ2 F2 t m2 ẍ2 K1D X2 K1D X1 K1D θ l2 C1D ẋ2 C1D ẋ1 C1D θ l2 K2 X2 C2 ẋ2 F2 t m2 ẍ2 C1D ẋ1 C1D l2 θ C2 C1D ẋ2 K1D X1 K1D l2 θ K2 K1D X2 F2 t Corpo 3 x3 x1 m3 x3 m3 F3t k1T x3 x1 θ l1 c1T x3 x1 θ l1 k3 x3 c3 x3 m3 x3 m3 x3 k1T x3 x1 θ l1 c1T x3 x1 θ l1 k3 x3 c3 x3 F3t m3 x3 k1T x3 k1T x1 k1T θ l1 c1T x3 c1T x1 c1T θ l1 k3 x3 c3 x3 F3t m3 x3 c1T x1 c1T l1 θ c3 c1T x3 k1T x1 k1T l1 θ k3 k1T x3 F3t Equações m1 x1 c1T c1D x1 c1T l1 c1D l2 θ c1D x2 c1T x3 k1T k1D x1 k1T l1 k1D l2 θ k1D x2 k1T x3 F1t J θ c1T l1 c1D l2 x1 c1T l12 c1D l22 θ c1D l2 x2 c1T l1 x3 k1T l1 k1D l2 x1 k1T l12 k1D l22 θ k1D l2 x2 k1T l1 x3 Mt m2 x2 c1D x1 c1D l2 θ c2 c1D x2 k1D x1 k1D l2 θ k2 k1D x2 F2t m3 x3 c1T x1 c1T l1 θ c3 c1T x3 k1T x1 k1T l1 θ k3 k1T x3 F3t Forma matricial m1 0 0 0 0 J 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m3x1 θ x2 x3 c1T c1D c1T l1 c1D l2 c1D c1T c1T l1 c1D l2 c1T l12 c1D l22 c1D l2 c1T l1 c1D c1D l2 c2 c1D 0 c1T c1T l1 0 c3 c1Tx1 θ x2 x3 continua k1T k1D k1T l1 k1D l2 k1D k1T k1T l1 k1D l2 k1T l12 k1D l22 k1D l2 k1T l1 k1D k1D l2 k2 k1D 0 k1T k1T l1 0 k3 k1Tx1 θ x2 x3 F1t Mt F2t F3t 3 Os dados foram retirados de uma dissertação de mestrado Modelagem do Pneumático de Motocicleta para análise de conforto vibracional dos ocupantes Autor Matheus de Barra Vallim pagina 50 m1 200 Kg massa suspensa m2 15 Kg massa não suspensa dianteira m3 18 Kg massa não suspensa traseira k1D 15 000 Nm rigidez da suspensão dianteira k1T 24 000 Nm rigidez da suspensão traseira c1D 500 Nms amortecimento da suspensão dianteira c1T 750 Nms amortecimento da suspensão traseira k2 180 000 Nm rigidez do pneu dianteiro k3 180 000 Nm rigidez do pneu traseiro para M 140 Kg massa 1 GL C 1200 Nms amortecimento do sistema Pág 43 K 24375 Nm rigidez do sistema c2 0 Nms amortecimento dos c3 0 Nms pneus J 38 Kg m2 momento de inércia l1 07 m l2 07 m Questão 4 Para 1 GL m 140 Kg mp 75 me 215 Kg ft 0 C 0 m x k x 0 xt A cos wnt φ wn sqrtkm sqrt24375 215 1065 rads deslocamento do peso do passageiros δ 75 981 24375 00302 x0 00302 x0 0 A x02 x0 wn2 12 sqrt003022 00302 m φ tg1 x0 x0 wn 0 00302 1065 0 xt 00302 cos 1065 t Questão 1 sistema 4GL Com as equações obtidas no passo 2 para o sistema com 4 Graus de liberdade é possível extrair na forma matricial para o sistema livre não amortecido M x K x 0 200 0 0 0 x1 62415103 072407 15103 0 38 0 0 07 15 07 24103 07 24 07 15103 0 0 15 0 x2 15 103 07 15 103 0 0 0 18 x3 24 103 07 24 103 15 103 24 103 x1 07 24 103 07 15 103 15 180 103 0 15 180 103 x2 x3 0 0 0 0 realizando os cálculos temos 200 0 0 0 x1 39 103 63 103 15 103 24 103 0 38 0 0 θ 63 103 1910 103 105 103 168 103 0 0 15 0 x2 15 103 105 103 365 103 0 0 0 18 x3 24 103 168 103 0 156 103 seja a matriz Dinâmica D k M Pelo Scilab utilizando DINVkM D 0004392 00003589 00000259 00000662 00008362 00003887 00000279 00000334 00003458 00000406 00000903 00000084 00007653 00000706 0000007 00005061 Pela obtenção dos autovalores e autovetores utilizouse a função XXLambda Spec D onde segue γ1 00044276 ω1 1γ1 ω1 15029 rads γ2 00009147 ω2 1γ2 ω2 242036 rads γ3 00001124 ω3 1γ3 ω3 9347842 rads γ4 00000907 ω4 1γ4 ω4 1050076 rads Os autovetores encontrados foram X1 09219 01524 00771 01617 X2 00308 09900 00730 01166 X3 001336 00551 0019 09972 X4 00067 00224 00995 00075 Analisando os autovetores estão normalizados utilizase X M X 1 notase que os mesmos não estão normalizados obsm pelo seguinte comando no scilab XXX1MXX1 X1 ANS Xn XXnsqrtnus obtêmse os autovalores normaliza dos X1 007044 001105 000559 001172 X2 0005015 016111 001189 001897 X3 000312 001352 000280 023463 X4 000172 000737 025785 000193 Condições Iniciais Assumindo um passageiro de 75 kg x1 0 F Kx0 x0s 981 x 75 24000 15000 x0s 001887 m θ 0 Assumiuse um vetor de 10º 0175 rad x2 0 r xl e x2 981 75 000409 m 180000 x3 0 r X2 L3 981 75 000409 m 180000 Assim para as condições iniciais x 0 001887 01750 000409 000409 ẋ 0 0 0 0 0 Dala equação do sistema Mẍ VX 0 otrocando para Q NXQt VX Q t 0 x xT XT NX Q t XT V XQ t 0 I w33 Fq agora com as equações desacopladas elas são independentes então podemos admitir q t wj2 qf t 0 Onde sabemos que o solução será qj t qj 0 cos Wj t ḋqj 0 Sin Wj t Wj qj 0 XT M X t ḋqj 0 XT M Ẋ t Por meio do Scilab as condições iniciais já estabelecidas q1 0 XT1 M XT 0 0070971 ḋq1 0 0 q2 0 XT2 M XT2 0 109099 ḋq2 0 0 q3 0 XT3 M XT3 0 006065 ḋq3 0 0 q4 0 XT4 M XT4 0 007097 ḋq4 0 0 qj t 0070971 cos 15029t q2 t 109099 cos 33064t q3 t 006065 cos 934784t q4 t 007097 cos 1050076t Seja ẋt qj x i q1 t q2 t q3 t q4 t x1t x2t x3t x4t 0070971 cos 15025t 007044 001105 000559 001172 109099 0005015 016111 001189 001897 cos 24204t 006065 cos 93478t 000312 001352 000280 023463 007097 cos 1050076t 000172 000739 0125785 000193 Por fim temos as respostas x1t 000499 cos 15025t 000547 cos 24204t 0000189 cos 93478t 0000122 cos 105076t x2t 0784103 cos 15025t 017577 cos 24204t 0000899 cos 93478t 00005207 cos 1050076t x3t 00003964 cos 15025t 001297 cos 24204t 00001699 cos 93478t 00182998 cos 1050076t x1t 00008319 cos 15025t 002069 cos 84204 t 00142 cos 93478 t 0001368 cos 1050076t Questão 5 Resposta do sistema com 1 GL xt m t s Resposta do sistema com 4 GL x1 x2 x3 x4 tempo amplitude Questão 5 a Ao ver comparar os gráficos gerados percebese que o ruído no qual se considera a rigidez do pinar se percebe os períodos dos silêncios são menores mas se deve ao aumento da frequência natural do sistema para a rigidez do pinar é superior que a rigidez do restante do sistema assim disse a completude do sistema é menor devido ao alto rigidez do pinar isto que mostra mostra que o pinar não é um bom para absorver os impactos do pinar ou seja a tensão desse impacto é alta porém ao ver comparar com os demais píncios podese perceber que a influência dele na resposta do sistema é miníma pois isso não modifica de forma significante na resposta do sistema b não analisando os gráficos podese perceber que para 1 GL a completude do sistema é menor e o período maior além de não sofrer influência de outros sistemas Damo forma podese concluir que o sistema de 4 GL supensta melhor o problema pois a moto quando está em movimento não se comporta como uma massa única em que cada resposta do sistema é a mesmo para cada elemento Questão 6 Rara 1GL mẍ cẋ kx ft ft Yosnωt m 140 Kg mp 75 mc 215 c 1200 Nms k 24375 Nm ft 01 oscn 4363 t ζ c 2km 026 mẍ cẋ kx y oscn wt x Aplicando a transformada em k m s²X s s x0 ẋ0 c s Xs x0 K Xs 01 w w² d² Aplicando as condicoes iniciais m s² X s 00302 c s Xs 00 302 K x n Xs m s² Cs K 00302 c m s 01 w w² d² Assumindo que Csm 2 ζ ωn s km ωn² cm 2 z wn Dissoci a equação por m Xs s² Csm km 00302 s cm 01 m w w² d² Isolando Xs Xs 01 w m w² s² ws 2 ζ ωn s wn² 00302 s 2 ζ ωn ws ² 2 ζ ω η s ωn ² Aplicando Frações parciais no primeiro termo Gs s² 2 ζ wn s wn Zs w² wo² 1 Gs Zs As B Z s C s D Gs 1 As w² 2 ζ ωn wn² Cs s² w ω² D s² w ω² B lo² 23 s² Ac 1 os² 2 ζ wn A B D Bw n² D2 ζ ωn B A ωn ² cw ² B ω² 1 A C 0 A C 2 ζ ωn B C ωn ² ω² 0 B C ωn ² ω 2 2 ζ ωn wn 1065 mods ζ 026 w 4363 mods B 32325c 32325 A 2 ζ ωn A 32325 A D 0 D 32859 A B ωn ² D ω² 1 588832A 1 A 17 10⁶ 0 C 1710 ⁶ 0 D 55810⁴ B 54810⁴ 01m 54810⁴ ω² s² 55810⁴ js² 2ζωνs ωη Xs 01m 54810 ⁴ 2¹5 w ω² s³ 55810⁴ w L₀ 1 s² 2 ζ ωn t wn² L¹ f Xs 01 m 54810⁴ osnw t 55810⁴ e³wnᵗ wo nw t xt 75510⁷ osmw t 2610⁷ e³wn t xt xt 2610⁷ e²⁶⁶ t osnw 4363 t 25510⁷ osmw 4363 t Aplicando a transformada inverso no segundo termo 00302 L¹ s 2 ζ wn s² 2 ζ ωn t wn² L¹ f ẋ s xt 00302 e²wnᵗ osmw t Ø₁ 1 ζ ² Ø₁ Cos¹ ζ 113 rad xt 0163 e²⁶⁶ t osnw 4363 t xt 0031 e²⁶⁶ t osmw 4363 t 113 2610⁷ e²⁶⁶ t osmw 4363 t Para sistemas de 4 graus usando a forma matricial da questão 2 M matriz e C matriz e K matriz e Ft vetor 0 0 01 sen4363 t 01 sen4363 t vetor D K1 M scilab D invkM D matriz encontrar os autovetores e autovalores formas modais frequências scilab XX lambdas specD Autovetores XX matriz X1 vetor 𝜃 vetor X2 vetor X3 vetor Autovalores Lambdas matriz diagonal λ1 000506 ω1 1λ1 1406 rads λ2 000171 ω2 1λ1 2421 rads λ3 000011 ω3 1λ3 9343 rads λ4 000009 ω4 1λ4 10499 rads Verificando se os autovetores estão normalizados X1T M X1 158496 calculado no scilab θT M θ 39463 X2T M X2 18077 X3T M X3 15023 calculado no scilab todos vetores devem estar normalizados X1 1158496 X1 vetor θ1 139463 vetor θ X2 118077 X2 vetor X3 115023 X3 vetor Equação do sistema Mẍ Cẋ kx Ft para simplificar a matriz C é considerada combinação linear de M e k C αM βk Mẍ αM βkẋ kx Ft trocando para variável Q pós multiplicando por X XT I matrizes para M e para k multiplicado por Xi I para M multiplicado por Xi k wj2 matriz F wj2 F q formar matriz da equação do sistema I Qt αI βω2 vi Qt Γ ω2 vi Qt Fq Com as equações desacopladas e independentes tem que qit α ω2 i β qit ω2 i qit Fqi pode ser reescrito como 2 ζi ωi ζ definido como fator de amortecimento modal Então qit 2 ζi ωi qit ω2 i qit Fqi Resolvendo por laplace fica qit eζi ωi t cos ωdi t ζi 1 ζ2 i sen ωdi t qi0 1 ωdi eζi t sen ωdi t q00 1 ωdi 0t Fqiτ eζi ωi t τ sen ωdi t τ dτ Em que ωdi ωi 1 ζ2 i Como não sabemos calcular ζi iremos adaptar o código disponibilizado pelo professor de ZGL para 4GL da questão e gerar os gráficos respostas Questão 7 Resposta total 1GL xt m t s Questão 8 Após ver a elaboração da prova podese concluir que todos valores de rigidez e amortecimento resultam em baixas amplitude o que significa que os impactos são menos absorvidos pelos seus componentes o que consequentemente resulto em uma alta transmissibilidade Além disso quando se considera o amortecimento percebese um movimento residual que ao longo do tempo tende a estabilizar Ao se consider os painéis deve ser considerado nos cálculos devido a sua grande rigidez porém como elemento de amortecimento e elasticidade possuem pouca influência no sistema