P2 - Introd Álgebra Linear 2021-2

Introducéo 4 Algebra Linear — 2021 /02 — Turma Al — Prof. José Koiller Avaliagao 2 ¢ E necesséario exibir seus calculos e/ou raciocinio. Respostas finais sem justificativa, ainda que corretas, nao receberao crédito. e Tenha atengao para o emprego correto da lingua portuguesa e da notagao matematica. e A clareza, o capricho ¢ a legibilidade sao fundamentais, e fazem parte da avaliacao! ¢ Verifique as suas respostas! Use recursos computacionais, se desejar. BOA SORTE! ATENCGAO: Em cada questao, substitua a e 3 pelos valores dados na tabela em anexo! Escreva, no cabecalho do seu trabalho, 0 seu nome e os valores pertinentes de a e (3. 2,5 pts. Q1. Considere os seguintes vetores de R?: 1 2 —3 b u;= |a], U. = [5], uz=} 1], e y= {3}. 2B 1 a 1 (a) Para que valores de a e b o vetor y pertence ao espaco gerado por uj, U2 e Us? (b) Para que valor(es) de a o conjunto {uj, ug, u3} é linearmente independente? (c) Para que valores de a e b 0 conjunto {uj, U2, u3, y} gera o espaco R?? Justifique claramente cada uma de suas respostas. 2,5 pts. Q2. Considere as matrizes linha-equivalentes A e B dadas abaixo: (a) 0,5 pts. ose 3-2 -4 1 —19 2 1 9-3 4 (d) 0,5 pts. A= 2 1 9 O -2 B= 0 1 5 2 0 Oops ~ |. -4 -22 1 —-15 ~l0 0 0 1 -2]° 2 1 9 1 -4 0 0 0 0 0 (a) Obtenha uma base C do espago das colunas de A. (RESPOSTA: C = {...}.) (b) Obtenha uma base £ do espaco das linhas de A composta exclusivamente por vetores-linha da matriz B. (RESPOSTA: L = {...}.) (c) Obtenha uma base H do espaco das linhas de A composta exclusivamente por vetores-linha da prépria matriz A. (RESPOSTA: H = {...}.) (d) Obtenha uma base NV do espaco nulo de A. (RESPOSTA: NV = {...}.) (ce) Determine (i) a dimensao do espago das linhas de A; (ii) a dimensao do espago das colunas de A; (iii) a dimensao do espaco nulo de A. (RESPOSTAS: (i) dimLinA= __ ; (ii) dimColA= __; (iii) dimNucA= ___.) (f) Seja v o primeiro vetor-linha da matriz B: v= [2 1 9 -—3 4]. Escreva este vetor como uma combinagao linear dos vetores da base H obtida no item (c). ATENGAO: Nos itens (a) a (d), escreva explicitamente os vetores da base que se pede. 1 2,5 pts. Q3. Considere as bases U = {u,,u2} e B = {v1, v2} de R?, onde u, =|! u, = |? v= |) v= |! eseja w= |o 1 — al? 2 —_ 1}? 1 —_ 3 ’ 2—_ 4|? J —_ B : (a) Obtenha [w]z,, isto é, o vetor de coordenadas de w com respeito a base U/. (b) Encontre a matriz de transigéo de coordenadas Py_,g (de U para B). (c) Encontre a matriz de transigéo de coordenadas Px. (de B para U). (d) Calcule [w]g, usando, obrigatoriamente, o vetor |w|y, e a matriz de transicgao apropriada. (e) Verifique o resultado obtido no item (d), aplicando diretamente a definigéo do conceito de vetor de coordenadas com respeito a uma base. Exiba claramente a sua verificagao. 2,5 pts. Q4. (a) Considere o operador linear T : R? + R? que realiza uma expansao por fator a na direcao do eixo y, seguida de uma rotacéo de 30° em torno da origem, no sentido anti-hordrio, seguida de uma compressao por fator 1/a@ na diregao do eixo y, seguida, finalmente, de uma reflexao com respeito a reta y = x. (i) obtenha a matriz candnica de T; (ii) calcule T(u), onde u = [3]; (iii) determine se 0 operador T é invertivel, justificando sua resposta; (iv) caso afirmativo, descreva em palavras o efeito geométrico de aplicar T~! sobre os vetores de R?, e obtenha a matriz candnica de T~!. (b) Repita os itens acima, considerando, agora, o operador linear T : R? > R? que realiza um cisalhamento de fator G na direcaéo do eixo x, seguida de uma projecao ortogonal sobre o eixo x, seguida de rotacao de 45° em torno da origem, no sentido horario. 2 Utilize, em seu trabalho, os valores de α e β associados ao seu nome na tabela abaixo. Nome α β amanda braga spall 6 −4 beatriz do prado leite 6 6 brenner de araujo silva 7 4 brenno tavares da silva mattos 7 3 carolina cabo piazzarolo 4 5 cibelle dinair luna goncalves da silva 4 2 claudionor ferreira da silva junior 7 −4 diego ferreira ribeiro 5 −5 eduardo seiji tsumori 8 6 erika do nascimento vieira 7 −2 gabriel ribeiro marinho 5 2 gabriel sales ferreira da silva 5 5 guilherme guimaraes nunes 8 2 gustavo belfort parreiras coutinho 7 6 gustavo medeiros marinho de lima 5 4 gustavo nishijima ferraz de abreu 6 −3 isaque sousa araujo 4 6 joao victor cardoso wilhelm da costa 8 −3 joao victor moraes de souza noronha 4 4 julyane dias garcia 8 −4 lara serpa jaegge deccache 7 −5 livia santiago pelegrino 8 3 luis philipe craveiro mendes 4 −3 luiza de oliveira machado pinto 8 −2 mateus loroza pinto vieira 5 −2 matheus alves mello 6 5 matheus fabriciano dos santos silva 8 4 nicole di sarli de area leao villaboim 8 5 paulo henrique martinez machado 4 3 renan duarte de freitas loureiro 4 −4 romario junior coimbra paulino 6 −5 rosalia vitoria rodrigues geraldo de oliveira 6 2 3