Prova - Álgebra Linear 2021 1

8. O prazo final para o envio das soluções é terça-feira, 14 de setembro de 2021, às 20:59. 9. Não se esqueça de enviar seu(s) arquivo(s) de soluções depois de fazer o upload. 10. Todas respostas devem ser justificadas. 1ª Questão: (2.5 pontos) Considere a matriz A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}, cujos autovalores são 0 e 3. (a) Para cada autovalor da matriz A, determine o autovetor associado e uma base ortogonal. (b) Obtenha uma base ortonormal de \( \mathbb{R}^3 \) formada apenas por autovetores de A. 2ª Questão: (2.5 pontos) Considere as bases \( \alpha = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} \right\} \) de \( \mathbb{R}^3 \), e \( \beta = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \right\} \) de \( \mathbb{R}^2 \). Seja \( T : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) a transformação linear cuja matriz nas bases \( \alpha \) e \( \beta \) é: \[T]^{\beta}_{\alpha} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & -2 \\ -3 & -1 \end{bmatrix}. (a) Determine a matriz de T na base canônica. (b) Responda, justificando: T é injetora? T é sobrejetora? 3ª Questão: (2.0 pontos) (a) Escreva o sistema linear associado à matriz aumentada: \[ \begin{bmatrix} 1 & h & 1 \\ 2 & 3 & k \end{bmatrix}. \] (b) Determine os valores reais de h e k para os quais o sistema linear obtido em (a): i. não tem solução; ii. tem uma única solução; iii. tem infinitas soluções. (c) Determine o conjunto S de soluções do sistema, em cada um dos itens i, ii e iii. 4ª Questão: (1.65 pontos) Para cada conjunto de vetores abaixo, responda, justificando: i. o conjunto é l.d. ou l.i.? ii. o conjunto gera o espaço vetorial \( \mathbb{R}^n \)? iii. o conjunto é uma base do espaço vetorial \( \mathbb{R}^n \)? \[(a) \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad n = 5.\] \[(b) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ -3 & \frac{7}{2} \\ 0 & 0 \\ -9 & 0 \end{bmatrix}, \quad n = 4.\] \[(c) \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}, \quad n = 3. \] 5ª Questão: (1.35 pontos) Sejam os vetores \( \overrightarrow{a} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \). Encontre vetores \( \overrightarrow{d_1}, \overrightarrow{d_2}, \overrightarrow{d_3} \in \mathbb{R}^3 \) tais que \( \overrightarrow{d} = \overrightarrow{d_1} + \overrightarrow{d_2}, \overrightarrow{d_1} \) é paralelo a \( \overrightarrow{a} \), \overrightarrow{d_2} \) é ortogonal a \( \overrightarrow{b} \).