Lista de Exercícios Resolvidos - Equação do Plano Tangente e Linearização de Funções

5 de 5 Exercicios 16 Determine uma equacao do plano tangente a superficie no ponto especificado 1 z y3 2x2 x 2 1 3 2 z 3x 12 2y 32 7 2 2 12 3 1 1 4 z xey 2 0 2 5 z x senx y 1 1 0 6 z lnx 2y 3 1 0 78 Desenhe a superficie e o plano tangente no ponto dado Escolha o dominio e o ponto de vista de modo a ver tanto a superficie quanto o plano tangente Em seguida de zoom ate que a superficie e o plano tangente se tornem indistinguíveis 7 z x2 xy 1 1 5 8 z arctgxy2 1 1 π4 910 Desenhe o grafico de f e de seu plano tangente no ponto dado Utilize um sistema de computacao algebrica tanto para calcular as derivadas parciais quanto para traçar os graficos da funcao e de seu plano tangente Em seguida de zoom ate que a superficie e o plano tangente se tornem indistinguíveis 9fx y 1 1 0 1 1 0 10 fx y 1 1 3e1 1116 Explique por que a funcao e diferenciável no ponto dado A seguir encontre a linearizacao Lx y da funcao naquele ponto 11 fx y 1 x lnxy 5 2 3 12 fx y x4y4 1 1 13 fx y x2 1 14 fx y x e2y 3 0 15 fx y exy cos y π 0 16 fx y y senx y 0 3 1718 Verifique a aproximação linear em 0 0 17 18 19 Dado que f é uma função diferenciável f 2 5 6 f 2 5 1 e f 2 5 1 use uma aproximação linear para estimar f 22 49 20 Determine a aproximação linear da função fx y 1 xy cos xy em 1 1 e usea para aproximar o número f102 097 Ilustre traçando o gráfico de f e do plano tangente 21 Determine a aproximação linear da função fx y z em 3 2 6 e usea para aproximar o número 3022 1972 5992 22 A altura λ de ondas em mar aberto depende da velocidade do vento e do tempo t durante o qual o vento se manteve naquela intensidade Os valores da função f f v t são apresentados na seguinte tabela Use a tabela para determinar uma aproximação linear da função altura da onda quando v está próximo de 80 kmh e t está próximo de 20 horas Em seguida estime a altura das ondas quando está ventando por 24 horas a 84 kmh 23 Utilize a tabela do Exemplo 3 para encontrar a aproximação linear da função humindex quando a temperatura está próxima de 32 C e a umidade relativa do ar é de aproximadamente 65 Estime também o humindex quando a temperatura é de 33 C e a umidade relativa 63 24 O índice de sensação térmica W é a temperatura sentida quando a temperatura real é T e a velocidade do vento v Portanto podemos escrever W fT v A tabela de valores a seguir foi extraída da Tabela 1 da Seção 141 Use essa tabela para determinar a aproximação linear da função de sensação térmica quando T estiver a 15 C e v estiver próximo de 50 kmh Estime a seguir a sensação térmica quando a temperatura estiver a 17 C e a velocidade do vento for de 55 kmh 7 3 2x 12y y cosx 1 ÿ É necessário usar uma calculadora gráfica ou computador É necessário usar um sistema de computação algébrica 1 As Homework Hints estão disponíveis em wwwstewartcalculuscom DERIVADAS PARCIAIS 829 Foinos dado que x 02 y 02 e z 02 Para estimarmos o maior erro no volume utilizamos portanto dx 02 dy 02 e dz 02 junto com x 75 y 60 e z 40 V dV 604002 754002 756002 1980 Portanto um erro de apenas 02 cm nas medidas de cada dimensão pode nos levar a um erro da ordem de 1980 cm³ no cálculo do volume Isso pode parecer um erro muito grande mas na verdade é um erro de apenas cerca de 1 do volume da caixa FIGURA 1 O plano tangente contém as retas tangentes T 1 e T 2 Suponha que uma superfície S tenha a equação z f x y onde f tenha derivadas parciais contínuas de primeira ordem e seja Px₀ y₀ z₀ um ponto em S Como na seção anterior sejam C₁ e C₂ as curvas obtidas pela interseção dos planos verticais y y₀ e x x₀ com a superfície S Então o ponto P fica em C₁ e C₂ Sejam T₁ e T₂ as retas tangentes à curva C₁ e C₂ no ponto P Então o plano tangente à superfície S no ponto P é definido como o plano que contém as retas da tangente T₁ e T₂ veja a Figura 1 Veremos na Seção 146 que se C é outra curva qualquer que esteja contida na superfície S e que passe pelo ponto P então sua reta tangente no ponto P também pertence ao plano tangente Portanto podemos pensar no plano tangente a S em P como o plano que contém todas as retas tangentes a curvas contidas em S que passam pelo ponto P O plano tangente em P é o plano que melhor aproxima a superfície S perto do ponto P Sabemos da Equação 1257 que qualquer plano passando pelo ponto Px₀ y₀ z₀ tem equação da forma Ax x₀ By y₀ Cz z₀ 0 Dividindo essa equação por C e tomando a AC e b BC podemos escrevêla como