Tensões Tangenciais em Vigas de Seções-2022-2

a) Da figura (6c): quantifica-se o fluxo de cisalhamento na Alma. 29/08/22 q_Alma = \frac{Vy . Qz}{Iz} Sendo: Qz = \overline{Z} . A' . \overline{y} = \left[\frac{b . t . d}{2}\right] + \left[(\frac{d}{2} - y) . t\right] . \left[y + \frac{1}{2}(\frac{d}{2} - y)\right] OBS: despreza-se \frac{t}{2} da subtarefa \frac{d}{2} . \frac{t}{2} \approx 0 Qz = \frac{b . t . d}{2} + \left[(\frac{d}{2} - y) . y . t + \frac{1}{2}(\frac{d}{2} - y)^2 . t\right] Qz = \frac{b . t . d}{2} + \frac{2d}{2} . y . t - y^2 . t + \frac{d^2}{4} . t - \frac{y^2}{2} . t \cdot \frac{d . y . t + \frac{y}{2} \cdot\frac{d^2}{2} . t}{x. Iz} Qz = \frac{b . t . d}{2} + \frac{t}{2}(\frac{d^2}{4} - y^2) \cdot\frac{d^2}{4} - \left[\frac{y}{2} \cdot\frac{d^2}{2} - y^3 \cdot \frac{t}{2}\right] Ficando: q_Alma = \frac{Vy . t}{Iz} \left[\frac{b . d}{2} + \frac{1}{2}(\frac{d^2}{4} - y^2)\right] A variação do fluxo de cisalhamento na Alma é parabólica com a altura "y2!" b) O Valor máximo: q_Alma_{max} (y = 0) = \frac{Vy . t . d (\frac{b}{2} + \frac{d}{8})}{Iz} = \frac{Vy . d . t}{Iz} \left(\frac{b}{2} + \frac{d}{8}\right) c) O Valor mínimo: q_Alma_{min} (y = \frac{d}{2}) \frac{Vy . t . d}{Iz} \left[\frac{b . d}{2} + \frac{1}{2}(\frac{d^2}{4} - \frac{d^2}{2})\right] = \frac{Vy . b . d . t}{2 . Iz} = 2 . g_{Alma_{MAX}} Ficando a representação dos fluxos de Tensa Cisalhante: 29/08/22 \quad \quad Sup q_{Aba_{MAX}} \quad\quad Sup q_{Alma_{MAX}} \quad\quad Sup q_{Aba_{MAX}} = \frac{4 . V . b . t}{2 . Iz} Cálculo das forças resultante do cisalhamento por aba e alma, como: >> Abas: F_Aba = \int q_{Aba}(x) dx = \int \frac{Vy . t . d (\frac{b}{2} - x)}{Iz} dx = \frac{Vy . t . d}{Iz} \left[\frac{b^2}{4} - \frac{(b/2)^2}{2} + \int(\frac{b}{2} - x) dx\right] F_Aba = \frac{Vy . b . t}{Iz} \left(\frac{b^2}{4} - \frac{b^2}{8}\right) = \frac{Vy . b . d . t}{16 . Iz} \quad \quad\quad Sup q_{Alma_{MIN}} \quad\quad\quad ou por área do triângulo: F_Aba_{triangleright} = \frac{1}{2} \left(\frac{b}{2}\right) q_{Aba_{MAX}} = \frac{b}{4} \left(\frac{Vy . b . t . d}{16 . Iz}\right) >> Alma: F_Alma = \int q_{Alma}(y) dy 29/08/22 F_Alma = \int \frac{Vy . t}{Iz} \left[\frac{b . d . y}{2} + \frac{1}{2} \left(\frac{d^2}{4} . y - \frac{y^3}{3}\right)\right] dy \quad \quad\quad \quad = \frac{Vy . t}{Iz} \left[\frac{b . d . d}{\underbrace{2}} + \frac{1}{2} \left(\frac{d^2 . d}{4} - \frac{3d^3}{24}\right)\right] \quad = \frac{Vy . t}{Iz} \left[\frac{b . d^2}{2} + \frac{1}{8} \left(\frac{d^3}{24} - \frac{(3d^3)}{24}\right)\right] \quad = \frac{Vy . d^2 . t}{4 . Iz} \left(\frac{x . b}{z} + \frac{d}{3}\right)\right] \quad = \frac{Vy . d^2 . t}{4 . Iz} \left(\frac{x . b}{z} + \frac{d}{3}\right) \quad OBS: Simplificação de \left(F_{Alma}\right) Valendo da substituição do máximo & de pressão da eq toda "Iz" \quad Iz = Iz1 + Iz2 + Iz3 = 2 . Iz1 + I_M +3 = \frac{b . t^3}{12} + (b . t) . \left(\frac{d^3}{12}\right)\ = \frac{2d^3}{272} Eq3 13/13 \quad\quad Usou-se a simplificação F_{Triag} e não o di^2 em t . Altura da Figura 3. \quad\quad Ao invés de: \frac{d}{2} - \frac{d^2}{24} \quad\quad Logo desprezou-se a relevância da superior da aba em relação a aba de Alma! \quad \quad Hipótese: Validade apenas para secções de painéis (barras) I_Z = 2 \left[ \frac{b \cdot t^3}{12} + \frac{(b+t) \cdot d^2}{4} \right] + \frac{t \cdot d^3}{Z \cdot 12} I_Z = \frac{t \cdot d^2}{4} \left(2 \cdot b + \frac{d}{3} \right) OBS2: do unir \left\{ F_{Alma} = \frac{v_y \cdot d \cdot t}{Z \cdot I_Z} \left(2 \cdot b + \frac{d}{3} \right) I_Z = \frac{t \cdot d^2}{4} \left(2b + \frac{d}{3} \right) \right\} Por tanto, V_y Constatações Importantes: I - O fluxo de cisalhamento é distribuído como uma linear para as paredes finas perpendiculares II - O fluxo de cisalhamento é distribuído transversalmente nos elementos (paredes finas) dispostos na direção do esforço cortante. III - Para seções de paredes finas, só é relevante o fluxo de cisalhamento nas seções transversais (paralelos às paredes) IV - O cisalhamento flui ao longo da seção trans- versal, daí o termo fluxo! e satisfaz o equilíbrio de forças (horizontal e vertical). EXEMPLO: Para a seção transversal fechada apresentada na figura a seguir, pede-se: (a) QB (fluxo no ponto B) (b) QC (fluxo no vértice/ponto C) (c) QD (fluxo no ponto D) (d) Traçar o diagrama de tensão cisalhantes Fonte: HIBBELER, R.C., Resistência dos Materiais, 7.ed., São Paulo: Pearson, 2010. p. 288 e 289. Solução: 1° Etapa: Bloquear o fluxo de tensão cisalhante do ponto B, saímos ao exterior e fluindo pelas paredes finas 2° Etapa: Momento de inércia no eixo Z, de toda a seção: I_Z = \frac{(6 cm) \cdot (18 cm)^3}{12} - \frac{(4 cm) \cdot (6 cm)^3}{12} = 184 cm^4 3° Etapa: cálculo do momento estático da área do ponto B (1) opção 1: Área acima do ponto B QA = 0,5 cm \times 6 cm = 3 cm^2 \cdot z \bar{y} = 0 QB = A \cdot \bar{y} = 0 (2) opção 2: Área abaixo do ponto B QB = A \cdot \bar{y} \cdot z = 0 4° Etapa: cálculo do fluxo no ponto B. QB = V_y \frac{Q_B}{I_Z} QB = 0 \frac{kN}{cm} Resposta da letra (a). 5° Etapa: cálculo do momento estático do ponto C Qc = A_c \bar{y}' Qc = (2,5 cm \times 1 cm) \cdot 3,5 cm = 8,75 cm^3 6° Etapa: cálculo do fluxo no ponto C QC = V_y \frac{Q_C}{I_Z} = \frac{10 kN \cdot 8,75 cm^3}{184 cm^4} = 0,476 \frac{kN}{cm} Resposta da letra (b) 7° Etapa: cálculo do momento estático do ponto D. QD = A_1 \cdot \bar{y}'_1 + A_2 \cdot \bar{y}'_2 QD = [(4 cm \times 4 cm) \cdot 2 cm] + [(1 \times 2) (4 cm)^2 \cdot 3,5 cm] QD = 15 cm^3 8° Etapa: cálculo do fluxo no ponto D QD = V_y \frac{Q_D}{I_Z} = \frac{10 kN \cdot 15 cm^3}{184 cm^4} = 0,815 \frac{kN}{cm} 9° Etapa: Traçar o Diagrama de Tensões Cisailhantes 0,476 0,476 0,476 0,476 0,476 0,815 0,815 0,476