Vigas Estaticamente Indeterminadas-2023-1

𝑀θ(x)= RB⋅(l-x) - Rd⋅d ≡ RB⋅(l-x) - \frac{𝑞}{𝟸⋅𝑙}⋅(l-x)^\frac{2}{2}(l-x)\frac{2}{3} ≡ RB⋅(l-x) - \frac{𝑞}{𝟼⋅𝑙}(l-x)^3 2ª Etapa: Realizar as integrações na equação diferencial da linha elástica EIg.v''(x) = Mθ(x) = RB⋅(l-x) - \frac{𝑞}{𝟼⋅𝑙}(l-x)^3 ∴ EIg.v'(x) = \int [RB⋅(l-x) - \frac{𝑞}{𝟼⋅𝑙}(l-x)^3] dx ≡ RB⋅\int dx - RB⋅\int x dx - \frac{𝑞}{𝟼⋅𝑙}⋅\int (l^3 - 3⋅l⋅x^2 + 3⋅l⋅x⋅x^2 - x^3) dx ≡ RB⋅l⋅x - RB⋅\frac{x^2}{2} - \frac{𝑞⋅l^2}{6}⋅x + \frac{𝑞⋅l}{2}⋅\frac{x^2}{2}⋅x^3 + \frac{𝑞⋅x^4}{24⋅l} + C1 ≡ RB⋅(l⋅x - \frac{x^2}{2}) + 𝑞⋅(-\frac{l^2}{12}⋅x + \frac{l^2}{2}⋅x^2 - \frac{x^3}{24} + \frac{x^4}{120⋅l}) + C1 EIg.v(x) = RB⋅(\frac{l⋅x^2}{2} - \frac{x^3}{6}) + 𝑞⋅(-\frac{l^2}{12}⋅\frac{x^2}{2} + \frac{l⋅x^3}{N^2} - \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120⋅l}) + C1⋅x + C2 3ª etapa: Aplicar as condições de contorno Vₐ = 0 Qₐ = 0 (·) Vₐ = 0 → V(x=0) = 0 : ∴ C2 = 0 (·) Qₐ = 0 → V'(x=0) = 0 : ∴ C1 = 0 VB = 0 → V(x=l) = 0 : \frac{RB⋅l^3}{2} - (3-1)⋅\frac{1}{6} + 𝑞⋅(\frac{l^2}{6}) - MA⋅l + \frac{l^2}{120⋅l}) = 0 RB⋅\frac{l^3⋅(1÷1)}{5} + MA⋅l^2 = \frac{1}{120}⋅l⋅(5-1) RB = \frac{𝑙⋅𝑞⋅l}{21⋅20}\frac{1}{10} “Reação de apoio redundante” EXEMPLO 2: Para a Viga Biapoiada sob carregamento uniformemente distribuído, pode-se a quantificação das Reações de Apoio “𝑅𝐴” e “𝑀𝐴” via eq. elástica. Solução: 1ª etapa: Escrever a expressão do momento fletor 2ª etapa: Realizar as integrações na eq. diferencial da linha elástica EIg.v''(x) = Mθ(x) = RA⋅x - MA - \frac{𝑞⋅𝑥^2}{2} EIg.v'(x) = RA⋅x - MA⋅x - \frac{𝑞⋅𝑥^2}{6} + C1 EIg.v(x) = RA⋅x^3/6 - MA⋅x/2 - \frac{𝑞⋅𝑥^4}{24} + C1⋅x + C2 3ª etapa: Condições de contorno VA=0 → V(x=0)=0, [C2=0] QA=0 → V'(x=0)=0, [C1=0] VB=0 → V(x=l)=0, RA⋅l^3/6 - MA⋅l^2/2 - q⋅l/24 = 0 QB=0 → V'(x=l)=0, RA⋅l^2/2 - MA⋅l - q·l/3/6 = 0 Resolvendo o sistema algébrico 2x2 \left[\begin{array}{cc} \frac{l^3}{6} & -\frac{l^2}{2} \\ -l & -l^2 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{cc} RA\\ MA\\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc} \frac{q⋅l}{24}\\ \frac{q⋅l^3}{6}\\ \end{array}\right] RA= \frac{1}{l^4} -\frac{l^2}{6}, l⋅\frac{l^2}{2} = \frac{q⋅l}{2} Agora: RA= \frac{l^2}{24⋅l^2} MA= \frac{l^2}{24⋅l^2} \frac{q⋅l^2}{12} Portanto, as Reações Redundantes valem EXEMPLO 3: Para a viga biapoiada sob carregamento descentralizado “𝑃”, pode-se a quantificação das Reações Redundantes RA e MA Solução: 1ª etapa: Escrever a expressão do momento fletor via funções de Macaulay Mθ(x) = RA⋅x - MA - P⟨x - a⟩ \equiv RA⋅x - MA - P⋅⟨x-l⟩/2 2a etapa: Realizar as integrações devidas Eq 1: V"(x) - q(x) = RA x - MA - P.(x-l/2) Eq2: V'(x) = RA x^2/2 - MA x - P (x-l/2)^2/2 + C1 Eq3: V(x) = RA x^3/6 - MA x^2/2 - P (x-l/2)^3/6 + C1.x + C2 3a etapa: Aplicar as condições de contorno [diagram] VA = 0 VB = 0 ΘA = 0 ΘB = 0 Θ) VA = 0 => V(X=0) = 0. [C2=0] Θ) ΘA = 0 => V'(x=0) = 0. [C1=0] Θ) VB = 0 => V(X=L) = 0 => RA.l^3/6 - MA.l^2/2 - P/6.(l-l/2)^3=0 => RA.l^3/6 - MA.l^2/2 = P.l^3/48 Θ) ΘB = 0 => V'(x=L) = 0 => RA.l^2/2 - MA.l - P/2.(l-l/2)^2 = 0 => RA.l^2/2 - MA.l = P.l^2/8 Matricialmente: [3 -l^2/2] {RA} (- P.l^3/48) { - l/6 + l^2/6 l/2 } [ 1/6 -l/2] {MA} . (P.l^2/8) { - l [l/2 -l ] 3 } => [ -3 + 6 l 9 ] <= (6 + 6 l)7 > <= 2.1 l = l^2/27 <= P {RA = 12/l^4 * 1 * P.l^3/48 + l^2 P.l^2/8 -=<= l. [1+3] [P.l^4 - 6/9] = <= 2.9/9 <= 4 {MA = 12/l^4 - 1- l^2/2 P.l^3/48 + l^3 P.l^2/8 <=<= l.[4+2] <= P.l^6/96 <= P.l^8/8 REACAOES REDUNDANTES