Lista de Exercicios - Oscilações-2022 1

FISICA GERAL 2 2022-1 nov_2022 LISTA DE EXERCICIOS - OSCILAÇÕES (entregar até 23/11) 1- Uma mola é montada horizontalmente, com sua extremidade esquerda estacionária. Fixando uma balança de mola na extremidade livre e puxando para à direita, determinamos que a força de alongamento é proporcional ao deslocamento e que uma força de 5,0 N causa um deslocamento de 0,025 m. Nós removemos a balança de mola e fixamos no lugar um bloco de 0,8 kg. O bloco é puxado uma distância de 0,030 m ao longo de um trilho de ar sem frição e solto. Observamos ele oscilando. (a) Encontre a constante de força da mola. (b) Encontre a frequência angular, a frequência e o período da oscilação. Damos agora ao corpo um deslocamento inicial de + 0,025 m e uma velocidade inicial de +0,30 m/s. (c) Encontre o período, a amplitude e o ângulo de fase do movimento. (d) Escreva as equações para o deslocamento, a velocidade e a aceleração como funções do tempo. A massa oscilante é agora liberada do repouso em x = 0,025 m. (e) Encontre as velocidades máxima e mínima atingidas pelo corpo oscilante. (f) Calcule a aceleração máxima. (g) Determine a velocidade e a aceleração quando o corpo se move a meio caminho do centro a partir de sua posição original. (h) Encontre a energia total, a energia potencial e a energia cinética nessa posição. 2- Do ponto de vista das oscilações verticais, um automóvel pode ser considerado como estando apoiado em 4 molas iguais. As molas de um certo carro são ajustadas de tal forma que as oscilações têm uma frequência de 2,50 Hz. (a) Qual é a constante elástica de de cada mola se a massa do carro é 1350 kg e está uniformemente distribuída pelas molas? (b) Qual será a frequência de oscilação se cinco passageiros pesando, em média 72,0 kg, entrarem no carro e a distribuição de massa continuar uniforme? 3- Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função posição x(t) aparece na figura ao lado se a função posição é da forma x = xm cos(ωt+φ)? A escala do eixo vertical é definida por xs = 12,0 cm. 4- Um sistema oscilatório bloco-mola possui uma energia mecânica de 1,25 J, uma amplitude de 12,5 cm e uma velocidade máxima de 1,20 m/s. Determine (a) a constante elástica, (b) a massa do bloco e (c) a frequência da oscilação. 5- A figura ao lado mostra o poço de energia potencial unidimensional no qual se encontra uma partícula de 5,0 kg (a função U(x) é da forma bx2 e a escala do eixo vertical é definida por Us = 4,0 J). (a) Se a partícula passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de 1,5 m/s , ela retorna antes de chegar ao ponto x = 15 cm? (b) Caso a resposta seja afirmativa, calcule a posição do ponto de retorno; caso a resposta seja negativa, calcule a velocidade da partícula no ponto x = 15 cm. 6- A figura ao lado mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples em função de sua posição x. A escala vertical é definida por KS = 2,0 J. Qual é a constante elástica? 7- Um pêndulo físico é formado por uma régua de um metro, cujo ponto de suspensão é um pequeno furo feito na régua a uma distância d da marca de 50 cm. O período de oscilação é 2,5 s. Determine o valor de d. 8- Um objeto de 5,00 kg que repousa em uma superfície horizontal sem atrito está preso a uma mola com k = 1200 N/m. O objeto é deslocado horizontalmente 40,0 cm a partir da posição de equilíbrio e recebe uma velocidade inicial de 10,0 m/s na direção da posição de equilíbrio. Quais são (a) a frequência do movimento, (b) a energia potencial inicial do sistema objeto-mola, (c) a energia cinética inicial e (d) a amplitude do movimento? a) F = 5 N x = 0,025 m F = kx k = F/x k = 5/0,025 k = 200 N/m k = constante da mola x = deslocamento F = forca aplicada b) Ω = frequencia angular f = frequencia de oscilacao T = periodo de oscilacao Ω = sqrt(k/m) -> Ω = sqrt(200/0,8) -> Ω = 15,8 rad/s Ω = 2πf -> f = Ω/2π -> f = 15,8/2π -> f = 2,5 Hz f = 1/T -> T = 1/f -> T = 1/2,5 -> T = 0,4 s c) As equacoes do movimento em um movimento harmonico simples sao: I: x(t) = Xm * cos(Ωt + φo) II: v(t) = d x(t)/dt = -Ω Xm sen(Ωt + φo) a(t) = d v(t)/dt = -Ω^2 Xm cos(Ωt + φo) Em I temos: cos(Ωt + φo) = x(t)/Xm Em II temos: sen(Ωt + φo) = -v(t)/(Ω Xm) cos^2(Ωt + φo) + sen^2(Ωt + φo) = 1 (x(t)/Xm)^2 + (-v(t)/(Ω Xm))^2 = 1 -> v(t)^2 = Ω^2 (Xm^2 - (x(t))^2) velocidade em funcao do deslocamento x(t=0) = 0,025 v(t=0) = 0,3 m/s 0,3^2 = 15,8^2 (Xm^2 - 0,025^2) 0,3^2/15,8^2 + 0,025^2 = Xm^2 Xm = 0,031 m - amplitude O periodo se mantem com o do item b) pois a massa e a constante de mola nao se alteram. T = 0,4 s Em t=0: 0,025 = 0,031 * cos(15,8 * 0 + φo) 0,025/0,031 = cos φo -> φo = arc cos(0,025/0,031) φo = 0,63 rad angulo de fase ou constante de fase A fase é dada por: =w t + φ0 =15,8 t + 0,63 d) Com as equações do item c): X(t) = Xm . cos(w t + φ0) v(t) = -w Xm . sen(w t + φ0) a(t) = -w^2 Xm . cos(w t + φ0) substituindo os valores: X(t) = 0,031 . cos(15,8 t + 0,63) v(t) = -15,8 . 0,031 sen(15,8 t + 0,63) a(t) = -15,8^2 . 0,031 . cos(15,8 t + 0,63) v(t) = -0,489 . sen(15,8 t + 0,63) a(t) = -7,739 . cos(15,8 t + 0,63) e) v0 = 0 x0 = 0,025m da equação obtido em c): V^2 = w^2 (A^2 - x^2) 0^2 = w^2 (A^2 - 0,025^2) A = Xm = 0,025m Na amplitude a energia potencial é máxima e a energia cinética é nula, ou seja, no ponto de amplitude a velocidade do objeto é nula. EPmáx = K . Xm^2 \ 2 = 200 . 0,025^2 \ 2 EPmáx = 0,0625 J V = 0 Pela conservação da energia mecânica: EPmáx = ECmáx = Em 0,0625 = 0,8 \ 2 . Vmáx^2 Vmáx = 0,39 m/s em x = 0 V = 0 -xm EP = EPmáx FC = 0 V = Vmáx 0 EC = ECmáx V = 0 xm EP = EPmáx EC = 0 Pelo dado acima: Vmín = 0 Vmáx = 0,39 m/s f1) A aceleração máxima ocorre nos pontos das amplitudes: |amãx| -xm a = 0 0 +xm X(t) = Xm . cos(w t + φ0) a(t) = -w^2 Xm . cos(w t + φ0) a(t) \ -w^2 = x(t) a(t) = -w^2 x(t) Com x(t) máximo temos x(t) = Xm Então a aceleração máxima é: A = -Ω² · Xm Em -Xm = x → a máximo A = Ω² · Xm → A = 15,8² · 0,025 a = 6,24 m/s² g) A = Ω² · x, x = 0,0125 m A = 15,8² × 0,0125 a = 3,128 m/s² Em = 0,0625 J Em = Ep + Ec → Em = K · 0,0125² / 2 + m · V² / 2 0,0625 = 200 · 0,0125² / 2 + 0,8 × V² / 2 energia mecânica no ponto analisado V = 0,342 m/s A conservação do energia mecânica é fundamental para o cálculos. h) Como calculado anteriormente: A energia mecânica é a soma da energia potencial com a energia cinética. Nas amplitude, a energia mecânica (total) é integralmente o energia potencial e no ponto de equilíbrio (x = 0) é energia cinética é a energia mecânica. Nos ponto analisado: Ep = 200 × 0,0125² / 2 ⇒ Ep = 0,015625 J Em = Ep + Ec Ec = 0,18 × 0,342² / 2 Ec = 0,0460785 J Em = 0,0625 J 2) a) Mx = massa sobre cada mola Mx = m/4 m = 1350 f = 2,5 Hz Ω = √(k/Mx) ↔ Ω = 2πf 2πf = √(k/Mx) → 4π²f² = k/Mx k = 4π²·f²·Mx → k = 4π²·f²·m/4 k = π²·f²·m = π²·2,5²·1350 k = 83275 N/m A análise acima foi feita sobre cada mola. b) Com K = 83275 N/m A massa total fica: 1350 + 5 x 72 MT = 1710 kg Massa sobre cada mola: MT/4 = 427,5 kg ω = √(K/m) = √(83275/427,5) ω = 2π·f 2π·f = √(83275/427,5) f = 1/(2π) √(83275/427,5) f = 2,22 Hz 3 X(m) -0,04 -0,08 -Xs φ = constante de fase X = Xm·cos(ω t + φ) Xs = 12 cm = 0,12 m Analisando o gráfico, temos que a amplitude Xm é igual Xs: Xm = 0,12 m Em t = 0 -> x = -0,04 m Assim: -0,04 = 0,12·cos(ω·0 + φ) -0,04/0,12 = cos φ → φ = arc cos(-0,04/0,12) φ = 1,91 rad 4 Em = 1,25 J Xm = 12,5 cm = 0,125 m Vmáx = 1,2 m/s a) A constante elástica pode ser calculada Considerando a Amplitude, pois, a energia potencial na amplitude é máxima, ou seja: Energ potencial máxima = energia mecânica Epmax = K·0,125²/2 = 1,25 K = 1,25 x 2/0,125² → K = 160 N/m b) A energia cinética máxima ocorre quando a velocidade é máxima e temos: energia cinética máxima = energia mecânica ocorre no ponto de equilíbrio (x = 0) M·1,2²/2 = 1,25 → M = 2 x 1,25/1,2² M = 1,74 kg 5)\nm=5kg\nUc(x)=bx^2\nUs=4,0J\n [graph] No ponto de equilíbrio (x=0) a energia cinética é máxima e é a energia mecânica no total.\n E_cmax=\frac{m\cdot V^2}{2}=\frac{5\cdot 1,5^2}{2}\n E_cmax=5,625J\n Analisando o gráfico, vemos que em x=10cm\n10cm=1\n U=1J\n ->U(x)=b\cdot x^2\n 1=b\cdot 0,1^2\n b=\frac{1}{0,1^2}\n b=100\frac{J}{m^2} Colocando U_max, temos: \nU_max=5,625J\n 5,625=b\cdot X^2\n5,625=100\cdot X^2\n X^2=\frac{5,625}{100}\n [amplitude arrow] X_m=0,237m\n [a1] Não, a partícula não retorna antes de chegar ao ponto x=15cm pois sua Amplitude é de 23,7 cm.\n(b) Foi calculado anteriormente. Observando a graduação do gráfico, temos que: \newline Se K_s = 2J, \overline{K}_{máx} = 3J \newline u\text{(K(J))} \newline \text{-12} \quad \text{0} \quad \text{12} \newline x(cm) \newline \text{quando K = 0} \Rightarrow E_p = \overline{E}_{p\max} \text{ em } 12 cm \newline \text{Pelo conservação de energia mecânica:} \newline \overline{K}_{máx} = E_{p\max} \newline 3 = \frac{K.(0,12)^2}{2} \Rightarrow K = \frac{2 . 3}{0,12^2} \newline \boxed{K = 416,67 \frac{N}{m}} Pêndulo físico: T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgh}} \text{ onde:} CM = \text{centro de massa} \newline L = \text{comprimento da régua} \newline I = \text{momento de inércia em relação ao ponto O.} \newline h = \text{distância do ponto O ao CM do corpo} \newline \text{neste caso: } h = d \newline I = I_{cm} + md^2 \newline I_{cm} = \frac{mL^2}{12} \rightarrow \text{a régua se comporta como barra.} \newline T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{mL^2}{12} + md^2}{mgd}} \Rightarrow \sqrt{\frac{\frac{L^2}{12} + d^2}{gd}} \newline 2\pi = T \newline T = 2\pi \sqrt{\frac{\frac{L^2 + 12d^2}{12}}{gd}} = 2\pi \sqrt{\frac{L^2 + 12d^2}{12gd}} T^2 = 4\pi^2 \left(\frac{L^2 + 12d^2}{12gd}\right) \newline T^2(12gd) = 4\pi^2L^2 + 4\pi^2(12d^2) \newline 48\pi^2d^2 - T^2(12gd) + 4\pi^2L^2 = 0 \newline \text{Equação do segundo grau do tipo:} \newline ax^2 + bx + c = 0 \newline \text{com } a = 48\pi^2 \newline b = -T^212g \newline c = 4\pi^2L^2 \newline \left\{ \begin{array}{l} \text{com } L = 1m \\ T = 2,5s \end{array} \right. \newline g = 9,81\frac{m}{s^2} \newline a = 473,73 \newline b = -735,75 \newline c = 39,48 \newline \Delta = (-735,75)^2 - 4 \times 473,73 \times 39,48 \newline \sqrt{\Delta} = 683, \newline d_{1,2} = \frac{735,75 \pm 683}{2 \times 473,73} \newline \left\{ \begin{array}{l} d_1 = 1,497m \\ d_2 = 0,056m \end{array} \right. \newline d_1 \text{ é um resultado fisicamente impossível, pois } d_1 > L \newline \text{Então o respeito é} - d = 0,056m ou 5,6cm b) Energia potencial inicial sooro em Xo. Ep0= \frac{K. Xo^2}{2} = \frac{1200 \times 0,4^2}{2} \rightarrow \boxed{Ep0 = 96J} c) Energia cinética inicial sooro em Vo. Ec0= \frac{m. Vo^2}{2} = \frac{5 \times 10^2}{2} \rightarrow \boxed{Ec0 = 250J} d) Temos que a energia mecânica é dado por Ep0 + Ec0 = 96 + 250 \rightarrow \boxed{Em = 346J} Na amplitude do movimento temos: v = 0 Então a energia mecânica é integralmente energia potencial: Em = \frac{K. Xm^2}{2} \quad Xm = Amplitude 346 = \frac{1200}{2} Xm^2 \rightarrow Xm^2 = 0,577 \boxed{Xm = 0,759m}