P1 - Transferência de Calor 2018-2

Aplicando C.C.I: C1=0 Aplicando C.C.II: -K dT(ro)/dr = h(T(io) - T(oo)) (A) dT(r)/dr = -q̇io/2k + C1/r Substituindo (A): dT(r)/dr = -q̇io/2k -K(-q̇io/2k) = h(T(io) - T(oo)) -K(-q̇io/2k) = h [-q̇io r^2 / 4k + C2 - T(oo)] -15.2[-1.64x10^7x0.006 / 2(15.2)] = 3200 [-1.64x10^7(0.006)^2 + C2 - 373] / 4.15.2 388.37 = -9.74 + C2 C2 = 398.08 T(r) = -q̇ir^2 / 4k + 398.08 c) T(0) = -q̇io^2 / 4k + 398.08 T(0) = 398.08K Aula 2019.2 Calor Numero = 50 w/m^2°C Numero = 12 w/m^2°C T(io1) = 60°C T(ax) = 27°C K(espuma) = 0.03 w/m°C Preco da eletricidade U$0.08/kwh e o dono da casa paga U$2.80 por ano para aquecer a agua a) Determine a fracao do custo anual de energia da agua quente para o dono da casa que is devida a perda de calore do tanque T(io1) T(A) T(espuma) T(B) T(Re) To2) q̇r = q̇(espuma) = q̇(cono2) q̇(cono) = (T(io1)-T(A)) / 1 / h1.2π.r1.L = q̇r q̇(espuma) = (T(A)-T(B)) / ln(re/r1) / 2π.L.K = q̇r q̇(cono2) = (T(B)-T(oo2)) / 1 / h2.2π.re.L q̇r [ 1/h1.2π.r1.L + ln(re/r1) / 2π.rl.K + 1/ h2.2π.re.l ] = T(io1) - To2 Um longo fio, de resistência homogênea, raio ro = 0,6 mm e condutividade térmica K = 15,2 w/m.K está sendo usado para fornecer aquecimento em pressão atmosférica pela passagem da corrente elétrica. Calor é gerado no fio suficientemente como resultado de aquecimento da resistência a uma taxa de 16,4 10^7w/cm^3 . O calor gerado é transferido para a água a 100°C por convecção, e o coeficiente médio de transferência de calor é h = 3200 w/m^2 K. Considerando uma transferência de calor essencialmente unidimensional a) Monte o balanço e especa a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor atonelos do fio. b) Obtenha a relação para a variação de temperatura no fio. c) Determine a temperatura na linha central do fio. K = 15,2 w/mK P = 1 atm ro = 0,006m T(io) = 373K h = 3200 w/m2K Equação de Calor: 1/r d/dr (r.k dT/dr) + 1/r^2 d/dr (k.dT/dr phi) + d/dz (k. dT/dz) + q̇ = ρc∂T/∂t 1/k d/dr (r. dT/dr) + q̇/k = 0 d/dt (r. dT/dr) = q̇.r r dT/dr = -q̇.r^2/2k + c1 → T(r) = -q̇r^2/4k + c1 ln r + c2 C.C.I: r = 0; dT(0)/dr = 0 C.C.II: r = ro; -k dT(ro)/dr = h(T(io) - T(oo)) Uma bola de aço de 100 mm de diâmetro inicialmente a 900ºC é colocada em contato com o ar a 30ºC. Determine: a) A temperatura da bola após 30 seg b) A taxa de resfriamento (ºC/min) após 30 seg. Dado: h = 20 W/m²C°, Kacp = 40 W/m°C, Poço = 7800 Kg/m³, Cp = 460 J/kg°C Análise do número de Biot: Bi = \frac{Lc/k}{\L_k} = \frac{Lc . h}{k} Lc = \frac{Ro}{3} = \frac{0,05}{3} = 0,0167 Bi = \frac{0,0167 . 20}{40} 8,35^{-3} ≤ 0,01 Usar o método de parâmetros concentrados: Hipóteses: - Regime transiente - Sem geração - Unidimensional - K=cte - T∞=cte T(t) = T∞ + (Ti - T∞) . exp\frac{-h A t}{PVCp} T(30) = 30 + (900 - 30) . exp\frac{-20 . 6 . 30}{7800 . 01 . 460} T(30) = 891,30ºC b) \frac{dT}{dt}(t) = \frac{-h . A (Ti - T∞)}{p . V . Cp} \frac{dT}{dt}\bigg|_{t=30} = \frac{-20 . 6}{7800 . 01 . 460}(1900 - 30) . exp\left(\frac{-20 . 6 . 30}{7800 . 01 . 460}\right) \frac{dT}{dt}\bigg|_{t=30} = -0,288ºC . \frac{60s}{1 min} = -17,28ºC/min Substituindo os valores: qr = 60 - 27 qr = (1/50.2pi.0,20.1,5) + (ln(0,23/0,20)/2pi.0,2.1,5) + (1/12.2pi.0,23.1,5) qr = 60,74W = 60,74 .10^-3 KW Em um ano: 60,74 .10^-3 Kw .(365 .24) = 532,1 Kwh/ano Entao: 532,1 .0,08 = US$ 42,57. 42,57 .100 / 280 = 15,20% b) Para esse sistema, existe a possibilidade de utilizar um isolamento externo de fibra de vidro (K= 0,035 W/mºc) de 3cm de espessura, suficientemente grande para envolver todo o lado externo do tanques ao custo de US$30. Se um isolamento desse fosse utilizado, quanto tempo levaria para que esse isolamento adicional pague o seu preco? OBS: Q(kwh) = q’(kw)*t(h) Re | Ri=0,106 k/w | Rre | Tar | 0,49413ºc/w | Re = 1 = 1 = 0,034ºc/w 2π. hz.1,3 .L = 2π .1,2. 0,26. 1,5 Rvudo = ln (r´vudeo / rnúcleo = ln (0,26 / 0,23) = 0,377ºc /w 2π.hx. L 2π .0.035 .1,5 q = 60 - 27 -> q = 36,24W 0,106 + 0,49413+0,034+0,3713 Comparando com o sistema sem vidro: 60,74 - 36,24 = 24,5W 24,5 .10^-3 KW. X(hora).0,08 = 30 X = 15306,12 horas = 638 dias Energia economizada Em uma instalacao de producao, bolas de latao G=64,1 BTU/h.ft2°F p = 532lbs/ft3 e Cp = 0,092 BTU. °lbs^-°F) 2in de diametro, inicialmente a 250°F, 500 imersas um um banho de agua a 120°F por um periodo de 2 min a uma taxa de 120 bolas por minuto da se o coeficiente convectivo de troca termica é 42 BTU/h.f². Determine: a) a temperatura das bolas após a imersao b) a area de calor que precisa ser retirada da água, a fim de manter a sua temperatura constante em 120°C. Dado: Volume = (4/3) Pi r3 | Aesfera = 4πr^2 K = 64,1 BTU/h ft²°F p = 532 lbs/ft³ Cp = 0,092 BTU/lbm*°F h = 42 BTU/h .ft²°² d.2min | d = 1m = 8,33.10^-2 ft t= 2min = 0,033h x c=1,9m =8,33.10^-²ft t= 2 min = T= 250°F banho = 120°F Taxa = 120 baloes/min Bi = Lc.h / K = 2,78.10^2 .42 /64,1 = 1,82.10^2 < 0,1 T(t) - T∞ = exp(-h.A.t/ P.V.Cp) Ts - T∞ (T(1min) - 120 ) = exp (-42. 4pi.(8,33.10^-2)².0,033) ( 250 - 120) 532.4/3.Pi(8,33.10^-3).0,092 :. T(1min) = 166,4ºF 3.9 A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividade térmica, kA = 20 W/(m*K) e kC = 50 W/(m*K), e espessura LA = 0,30 m e LC = 0,15 m conhecidas. O terceiro material, B, que se encontra entre os materiais A e C, possui espessura Lb = 0,15 m conhecida, mas a sua condutividade térmica kB é desconhecida. Ar T∞, h Sob condições de operação em regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na superfície externa do forno de TS₂ = 20ºC, uma temperatura na superfície interna de TS₁ = 600°C e uma temperatura do ar no interior do forno de T∞ = 800°C. O coeficiente convectivo interno h é conhecido, sendo igual a 25 W/m².K¹, Qual é o valor de kB? q”conv = qA = qB = qc q”conv = h.(TS - T∞) q”conv = 25.(600 - 800) q”conv = -5000 w/m² q”A = (TS1 - T1).kA / L 5000 = (600 - T1).20 / 0,3 :. T1 = 525°C q”C = (T2 - TS2).kc / l 5000 = (T2 - 20).50 / 0,15 :. T2 = 35°C q”B = (T4 - T2).kB / Lb 5000 = (525 - 35).KB / 0,15 :. kb = 1,53 w/m*k q̇A∙LA = 5000, 0,02 = 100 W/m² Aplicando em (*) 100 = (T1 − 20) / (2.00,1 + 0,1 + 0,04 + 0,1) ∴ T1 = 46°C K ∂²T/∂x² + q̇ = 0 C.C.I x=0 , dT/dx | x=0 = 0 C.C.II x=0,07 T(x) = 379K T(x) = −q̇ x² / 2k + C1 x + C2 Aplicando as condições de contorno: C1 = 0 379 = −q̇ (0,02)²/2.0,24 + C2 → C2 = 323,7 K ⤶ a temp. máxima b) Graph of T(°C) qp''¹ = (T3 − T∞)/Resist qp''² = (T2 − T3)/Resist 2 qp''³ = (T2 − T2)/Rte qp''⁴ = (T1 − T1)/Rcondi c) Geração na parede C: T(x) = −q̇ x² / 2k + C1 x + C2 C.C.I: x=0,053; T(x) = Ts = 303 K C.C.II: x=L+ 0,05; dT/dx = 0 −q̇ x/k + C1, onde C1 = 330 303 = −5000∙(0,053)²/2.05 + 330∙0,053+C2 C2 = 299,6 Ache o x max: dT/dx = −q̇·x/k + C1 −5000∙x/0,5 + 330 = 0 ᐳ x max = 0,033 Achando o Tmáx: Tmax = −5000∙(0,033)²/2.0,5 + 330∙0,033 + 299,6 Tmax = 305,06 K = 32,04°C Digitalizada com CamScanner 3.76 Uma parede plana de espessura 2L e condutividade térmica k experimenta uma taxa volumétrica de geração uniforme q̇. Como mostrado no esboço como Caso 1, a superfície em x = −L é perfeitamente isolada, enquanto a outra superfície é mantida a uma temperatura constante e uniforme T∞. Para o Caso 2, uma fita dielétrica muito fina é inserida no plano central da parede (x = 0) para isolar eletricamente as duas seções, A e B. A resis- tência térmica da fita é R''f = 0.0005 m²·K/W. Os parâmetros associados à parede são: k = 50 W/(m K), L = 20 mm, q̇ = 5 × 10⁶ W/m³ e T∞ = 50°C. (a) Esboce a distribuição de temperaturas para o Caso 1 em co- ordenadas T-x. Descreva as características principais dessa distribuição. Identifique a localização da temperatura má- xima na parede e calcule essa temperatura. (b) Esboce a distribuição de temperaturas para o Caso 2 nas mesmas coordenadas T-x. Descreva as características prin- cipais dessa distribuição. (c) Qual é a diferença de temperaturas entre as duas paredes em x = 0 no Caso 2? (d) Qual é a posição da temperatura máxima na parede compo- sta do Caso 2? Calcule essa temperatura. −K ∂²T/∂x² + q̇ = 0 dT/dx = −q̇·x/k + C1 T(x) = −q̇·x²/2k + C1·x + C2 C.C.I ⇒ x= −L; dT/dx = 0 C.C.II ⇒ x = L = T = T∞ = 50°C = 323 K 0 = −5∙10⁶∙(−0,02) + C1 ᐳ C1 = −2000 ────────────── 2.50 323 = −5∙10⁶∙(+0,02)² + (−2000)∙0,02 + C2 ᐳ C2 = 383 ────────────── 2.50 O x max é na parede isolada onde a derivada é zero: Tmax = −5∙10⁶∙(−0,02)² + (−2000)∙(−0,02) + 383 ────────────── 2.50 Tmax = 403K = 130°C b) Um elemento de combustível nuclear, com espessura 2L, é coberto com um revestimento de aço com espessura b. O calor gerado no interior do combustível nuclear, a uma taxa q̇, é removido por um fluido a T∞, que se encontra em contato com uma das superfícies e é caracterizado por um coeficiente convectivo h. A outra superfície encontra-se isolada termicamente. O combustível e o aço possuem condutividades térmicas k, c_k, respectivamente. (a) Obtenha uma equação para a distribuição de temperaturas T(x) no combustível nuclear. Expresse seus resultados em termos de q̇, k, L, h, k_h e T∞. (b) Esboce a distribuição de temperaturas para o sistema inteiro. Substituindo: T(x) = -q̇x² / 2k_c + q̇Lx / k_c + C2 Encontrando T_s1: Fazendo o balanço em C: E_equ - q̇_cond = q̇_conv q̇(2L) = K_a / b (T_s1 - T_s2) = h (T_s2 - T∞) T_s1 = q̇(2L) / h + T_s2; T_s2 = q̇(2L) / K_a + T∞ T_s1 = q̇(2L) / K_a + q̇(2L) / h + T∞ Aplicando C.C.II: q̇.2L / K_c (L/K_c + 1/h) + T∞ = -q̇L / K_c (L/a + L) + C_2 T∞ + q̇(2L / K_a + 2/h) = -q̇(3L / 2K_c) + C_2 C_2 = q̇(2b / K_a + 2/h + 3/2L / K_c) + T∞ Substituindo: T(x) = -q̇x² / 2K_c + q̇Lx / K_c + q̇(2b / K_a + 2/h + 3/2L / K_c) + T∞ b)