Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo - Campo Magnético e Indução

1 Um condutor consiste em uma espira circular de raio R e duas seções retas e longas como mostrado na Fig 01 O fio encontrase no plano do papel e conduz uma corrente I Encontre uma expressão para o campo magnético no centro da espira 2 Um campo magnético não uniforme exerce uma força resultante sobre um dipolo magnético Um ímã forte é colocado sob um anel condutor de raio r que conduz uma corrente I como mostrado na Fig 02 Se o campo magnético B faz um ângulo θ com a vertical na localização do anel quais são a magnitude e a direção da força magnética resultante sobre o anel 3 Considere um solenóide de comprimento l e raio R contendo N espiras pouco espaçadas e conduzindo uma corrente I a Em termos desses parâmetros encontre o campo magnético em um ponto ao longo do eixo em função da distância a da extremidade do solenóide b Mostre que à medida que l se torna muito longo B se aproxima de μ0NI2l em cada extremidade do solenóide 4 Na Fig 03 a corrente no fio longo e reto é I150 A e o fio se encontra no plano da espira retangular que conduz 100 A As dimensões são c010 m a015 m e l045 m Encontre a magnitude e a direção da força resultante exercida sobre a espira pelo campo magnético criado pelo fio 5 Uma espira retangular de área A é colocada em uma região onde o campo magnético é perpendicular ao plano da espira Permitese que a magnitude do campo varie com o tempo de acordo com B Bmax etβ onde Bmax e β são constantes O campo tem o valor constante Bmax para t 0 a Utilize a lei de Faraday para achar a fem induzida ε na espira b Obtenha um valor numérico para a fem induzida ε em t40 s quando A016 m2 Bmax035 T e β20 s c Para os valores dados no item anterior qual é o máximo valor da fem induzida ε 6 Um bastão condutor de comprimento l gira a uma rapidez angular constante ω em torno de uma das extremidades em um plano perpendicular a um campo magnético B conforme a figura abaixo a Mostre que a diferença de potencial entre as extremidades do bastão é 12Bωl2 Obs Você não deve usar o argumento do item c neste item b Seja o ângulo θ entre o bastão girando e a linha tracejada definida por θ ωt Mostre que a área da região no formato de torta percorrida pelo bastão durante o tempo t é 12θl2 c Calcule o fluxo φm através desta área e aplique ε dφmdt lei de Faraday para mostrar que a fem induzida por movimento é dada por 12Bωl2 OBS Só serão consideradas válidas as soluções com desenvolvimento completo isto é sem saltos e sem a inserção de partes ou termos que não tenham a devida justificativa O aluno deve fazer as questões passo a passo LISTA 1 Um condutor consiste de uma espira circular de raio R e duas seções retas e longas como mostrado na figura O fio encontrase no plano do papel e conduz uma corrente I Encontre a expressão para o campo magnético no centro da espira RESOLUÇÃO Perceba que esse fio pode ser representado como a soma de um fio retilíneo infinito a uma distância R do ponto de estudo e uma espira circular de raio R Primeiro vamos deduzir a fórmula do campo magnético devido ao fio infinito usando Lei de Ampère Bdlμ0I Usando a curva como uma circunferência de raio R centrada no fio temos B2πRμ0IBretoμ0I2πR Pela regra da mão direita o campo entra no papel Bretoμ0I2πRz Para a espira vamos usar Lei de BiotSavart Bespiraμ0I4πdlrr2 Como dl percorre o fio e r representa a direção do vetor que liga o fio ao ponto de estudo temos Bespiraμ0I4π02πR dθR2z Bespiraμ0I4πR02πdθz Bespiraμ0I2Rz Somando os dois temos Bμ0I2πR1πz 2 Um campo magnético não uniforme exerce uma força resultante sobre um dipolo magnético Um ímã forte é colocado sob um anel condutor de raio r que conduz uma corrente I como mostrado na figura Se o campo magnético B faz um ângulo θ com a vertical na localização do anel quais são a magnitude e a direção da força magnética resultante sobre o anel RESOLUÇÃO A força magnética é dada por dFI dlB I dl é o elemento de corrente e tem sempre a direção tangente ao anel então dFIr dφφB dFIr dφφBzcosθρsenθ dFBIr dφφzcosθφρsenθ Calculando os produtos vetoriais entre os versores temos dFBIr dφρcosθzsenθ Aqui devese lembrar que r depende de φ de forma que ao somar todas as contribuições desse termo ao redor do anel ρ vai rotacionar em todas as direções sobre o plano sempre com o mesmo coeficiente anulando sua integral FBIr02πdφρcosθzsenθ FBIr02πzsenθdφBIr02πrcosθdφ FBIrzsenθ02πdφBIrcosθ02πr dφ F2πBIrzsenθ 3 Considere um solenoide de comprimento l e raio R contendo N espiras pouco espaçadas e conduzindo uma corrente I a Em termos desses parâmetros encontre o campo magnético em um ponto ao longo do eixo em função da distância à extremidade do solenoide b Mostre que a medida que l se torna muito longo B se aproxima de μ₀NT2l em cada extremidade do solenoide RESOLUÇÃO a Vamos determinar o campo magnético a uma distância x da extremidade do solenoide Para começar vamos determinar o campo magnético no eixo de um anel de raio R a uma distância z do mesmo usando a Lei de BiotSavart Banel μ₀I4π dl rr² Banel μ₀I4π ₀²π Rφ dφ z cosθ ρ senθR² z² onde tgθ Rz cosθ zR² z² senθ RR² z² Substituindo na expressão temos Banel μ₀I 4π R² z²³² ₀²π Rφ dφ zz Rρ Calculando os produtos vetoriais temos Banel μ₀IR 4π R² z²³² ₀²π zφ z Rφ ρ dφ Banel μ₀IR 4π R² z²³² ₀²π zρ Rz dφ Banel μ₀IR 4π R² z²³² ₀²π zρ dφ μ₀IR 4π R² z²³² ₀²π Rz dφ Mas ρ depende de φ de forma que se o coeficiente for constante ao rodar o versor por todo o anel a integração total se anulará Banel μ₀IR 4π R² z²³² ₀⁰ zρ dφ μ₀IR 4π R² z²³² ₀²π Rz dφ Banel μ₀IR² 4π R² z²³² ₀²π dφ z Banel μ₀IR² 2 R² z²³² z Para o cálculo do campo devido ao solenoide precisamos integrar a contribuição de todos seus anéis diferenciais Ao longo do solenoide inteiro temos N espiras com corrente I o que nos dá um diferencial de corrente di NIl dz Dessa forma na posição x teremos B ₓˡˣ μ₀NIR² 2l R² z²³² dz z Fazendo z R tg θ dz R sec² θ dθ então B ₓˡˣ μ₀NIR² 2l R² R² tg² θ³² R sec² θ dθ z ₓˡˣ μ₀NIR³ sec² θ 2lR³ 1 tg² θ³² dθ z Pela relação fundamental da trigonometria temos sen² θ cos² θ 1 1 tg² θ sec² θ Então B ₓˡˣ μ₀NI sec² θ 2l sec³ θ dθ z B ₓˡˣ μ₀NI cos θ 2l dθ z μ₀NI 2l ₓˡˣ cos θ dθ z Integrando temos B μ₀NI 2l sen θₓˡˣ z Sabemos que z R tg θ sen θ z R² z² então B μ₀NI 2l z R² z²ₓˡˣ z B μ₀NI 2l x R² x² x l R² x l² z B μ₀NI 2l x R² x² l x R² l x² z b Para as extremidades do solenoide temos x 0 B0 μ₀NI 2l 0 R² 0² l 0 R² l 0² z μ₀NI 2R² l² z x l Bl μ₀NI 2l l R² l² l l R² l l² z μ₀NI 2R² l² z O enunciado diz que l é muito longo então vamos considerar R l R² l² l² então B0 μ₀NI 2l² z μ₀NI 2l z Bl µ0NI 2 l2 ˆz µ0NI 2l ˆz Ou seja B0 Bl µ0NI 2l ˆz Como queríamos mostrar 6 4 Na figura a corrente no fio longo e reto é I₁ 5 A e o fio se encontra no plano da espira retangular que conduz I₂ 10 A As dimensões são c 01 m a 015 m e l 045 m Encontre a magnitude e a direção da força resultante exercida sobre a espira pelo campo magnético criado pelo fio RESOLUÇÃO Sabemos que o campo magnético gerado por um fio exercício 1 é assumindo a direção z como saindo do papel B μ₀I₁ 2πx z Para a força magnética temos dF I₂ dl B dF I₂ dl μ₀I₁ 2πx z dF μ₀I₁I₂ 2πx dl z Agora precisamos integrar as quatro partes uma para cada lado do retângulo F μ₀I₁I₂ 2π esquerda 1x dl z cima 1x dl z direita 1x dl z baixo 1x dl z Do lado esquerdo temos x c e dl dy y do lado direito temos x a c e dl dy y em cima e embaixo temos c x a c e dl dx x Assim temos F μ0I1I22π0lc1cdyŷzcac1xdx xzl01acdyŷzacc1xdx xz F μ0I1I22π0lc1cdyŷzcac1xdx xzl01acdyŷzacc1xdx xz Calculando os produtos vetoriais entre versores temos F μ0I1I22π01lcdyxcacdxŷ01acdyxaccdxŷ Veja que as integrais de cima e de baixo são iguais apenas com os limites trocados de forma que elas se anulam F μ0I1I22π01lcdyx01acdyx Integrando temos F μ0I1I22πl0cx0lacx μ0I1I22πlcxlacx μ0I1I22πlclacx F μ0I1I22πlacacccacx F μ0I1I22πcla cacx Substituindo os valores temos F 4π1075100450152π01015010x 2107510045015201015010x 110845601 F 27106x F 27 mN x 5 Uma espira retangular de área A é colocada em uma região onde o campo magnético é perpendicular ao plano da espira Permitese que a magnitude de campo varie com o tempo de acordo com B Bmaxetβ onde Bmax e β são constantes O campo tem o valor constante Bmax para t 0 a Utilize a Lei de Faraday para achar a fem induzida na espira b Obtenha um valor numérico para a fem induzida ε em t 4 s quando A 016 m2 Bmax 035 T e β 2 s c Para os valores dados no item anterior qual o máximo valor da fem induzida ε RESOLUÇÃO a Pela Lei de Faraday a fem induzida é dada pela variação do fluxo magnético no tempo ε dΦBdt d dtABt d dtABmaxetβ ε ABmaxβ etβ b Substituindo os valores dados temos ε 0160352e42 ε 4 mV c O valor máximo da fem induzida ocorre em t 0 ε 0160352e02 ε 296 mV 6 Um bastão condutor de comprimento l gira a uma rapidez angular constante ω em torno de uma das extremidades em um plano perpendicular a um campo magnético B conforme a figura abaixo a Mostre que a diferença de potencial entre as extremidades do bastão é 12Bωl2 Obs você não deve usar o argumento do item c neste item b Seja o ângulo θ entre o bastão girando e a linha tracejada definida por θ ωt Mostre que a área da região no formato de torta percorrida pelo bastão durante o tempo t é 12θl2 c Calcule o fluxo φm através dessa área e aplique ε dφmdt lei de Faraday para mostrar que a fem induzida por movimento é dada por 12Bωl2 RESOLUÇÃO a Assumindo que cada posição do bastão tem carga λdr a força magnética que é dF qldt dqvB λdε λdrωrB dε ωBrdr Integrando temos ε ωB0lrdr ε ωB12r20l ε 12Bωl2 b A área de um pedaço de torta é a soma de vários trechos de anéis de mesma abertura angular A 0lθ2π2πrdr θ0lrdr θ12r20l A 12θl2 c O fluxo através dessa área é dado por φm AB 12θl2B Sabendo que θ ωt temos φm 12Bωtl2 Para a fem usando a Lei de Faraday temos ε dφmdt d dt12Bωtl2 12Bωl2 ε 12Bωl2