Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica Espacial - Equações de Retas e Ângulos

1 pto Determinar as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A8 2 3 e é ortogonal às retas r₁ x 5y 26 z 4y 31 e r₂ x 1 4t y 3 3t z 1 2t 1 pto Calcular o ângulo entre as retas r₁ x y z 1 1 9 t0 1 1 e r₂ x 7 t y 9 t z 1 1 pto Determinar caso exista o ponto de interseção das retas r₁ x y z 3 0 1 t1 1 1 e r₂ x 1 2h y 2 2h z 1 2h 1 Determinar as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A8 2 3 e é ortogonal às retas r₁ x 5y 26 z 4y 31 e r₂ x 1 4t y 3 3t z 1 2t Inicialmente encontrase os vetores diretores das retas Para a reta r₁ faremos y t portanto temos r₁ x 26 5t y t z 31 4t e r₂ x 1 4t y 3 3t z 1 2t Obtendo os vetores diretores vᵣ₁ 5 1 4 e vᵣ₂ 4 3 2 O vetor ortogonal às retas r₁ e r₂ é igual ao produto vetorial destes dois Portanto r vᵣ₁ vᵣ₂ i j k 5 1 4 4 3 2 2i 16j 15k 12i 10j 4k 10i 6j 11k Então r 10 6 11 Portanto a equação da reta que passa pelo ponto A8 2 3 e tem vetor diretor 10 6 11 é x y z 8 2 3 10 6 11t Transformando em equação simétrica temos r x 810 y 26 z 311 2 Calcular o ângulo entre as retas r₁ x y z 119 t0 1 1 e r₂ x 7 t y 9 t z 1 Temos portanto os vetores diretores vᵣ₁ 0 1 1 e vᵣ₂ 1 1 0 Sendo assim o ângulo θ entre r₁ e r₂ é tal que cos θ r₁ r₂ r₁r₂ 01 11 10 0² 1² 1²1² 1² 0² 1 22 12 Assim temos então θ arccos 12 60 Determinar caso exista o ponto de interseção das retas r1 xyz 301 t111 e r2 x 1 2h y 2 2h z 1 2h Podemos reformular ambas as equação para facilitar o desenvolvimento para r1 x 3 t y t z 1 t e r2 x 1 2h y 2 2h onde h y 22 z 1 2h E então substituindo y nas demais equações r1 x 3 y z 1 y e r2 x 1 2y 22 z 1 2y 22 x 3 y z 1 y Igualando os valores de x temos 3 y 3 y y y 3 3 y 0 Para y0 em r1 temos r1 x 3 0 3 y 0 z 1 0 1 Para y0 em r2 temos r2 x 3 0 3 y 0 z 1 0 1 Portanto o ponto de interseção das retas é xyz 301