Capítulo 5: Ajuste de Curvas e Interpolação

Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação Tópicos centrais Ajuste de curvas com equações lineares 52 Ajuste de curvas com a linearização de equações nãolineares 53 Ajuste de curvas com polinômios quadráticos e de ordem superior 54 Interpolação usando um único polinômio 55 Polinômios interpoladores de Lagrange 551 Polinômios de Newton 552 Interpolação por partes spline 56 Uso de funções residentes do MATLAB para realizar o ajuste de curvas e a interpolação 57 Tópicos Complementares Ajuste de curvas usando uma combinação linear de funções nãolineares 58 51 FUNDAMENTOS Muitas observações científi cas e de engenharia são feitas em experimentos nos quais grandezas físicas são medidas e gravadas Tais registros são normalmente chamados de dados ou pontos experimentais Por exemplo a dureza de muitos metais depende do tamanho dos grãos que o compõem O teste de espécimes com diferentes tama nhos de grãos resulta em um conjunto discreto de números d diâmetro médio do grão σy tensão limite de escoamento conforme mostrado na Tabela 51 Tabela 51 Dados da dureza dos grãos em função de sua dimensão d mm 0005 0009 0016 0025 0040 0062 0085 0110 σy MPa 205 150 135 97 89 80 70 67 Às vezes medições são realizadas e gravadas continuamente em dispositivos analógicos No entanto em muitos casos especialmente nos últimos anos com o uso mais difundido de computadores as grandezas medidas são digitalizadas e armazenadas como um conjunto de pontos discretos Cientistas e engenheiros podem usar dados experimentais de diferente manei ras Freqüentemente eles são usados no desenvolvimento ou na avaliação de fór mulas matemáticas equações que possam representálos Isso é feito com o tra çado de curvas nas quais se assume uma forma de equação específi ca com base ou não em algum tipo de teoria e com a determinação dos parâmetros dessa equação de forma que as curvas traçadas representem da melhor forma possível o conjunto de dados Às vezes são usados dados experimentais na estimativa dos valores espe rados entre os pontos medidos um procedimento chamado de interpolação ou na 200 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas predição de como esses dados poderiam ser estendidos além do intervalo no qual foram medidos um procedimento chamado de extrapolação Ajuste de curvas O ajuste de curvas é um procedimento no qual uma fórmula matemática equa ção é usada para produzir uma curva que melhor represente um conjunto de dados O objetivo é encontrar uma equação que possa fazer isso de forma geral Isso signifi ca que a função não tem que fornecer o valor exato em cada ponto mas sim representar o conjunto de dados de forma satisfatória como um todo Por exemplo a Fig 51 mostra os pontos da Tabela 51 e uma curva descrita por uma função de potência σ Cd m que melhor se ajusta a esse conjunto de dados Podese observar que a curva reproduz a tendência geral dos dados embora não seja exatamente igual a nenhum dos pontos medidos O ajuste de curvas é tipicamente utilizado quando os valores dos dados medidos apresentam algum erro ou dispersão Em geral qualquer medição experimental apresenta erros ou incertezas inerentes e a procura por uma curva que passe por todos os pontos medidos não traz consi go qualquer benefício O procedimento de ajuste de curvas também é usado para determinar os valores dos parâmetros coefi cientes nas equações Isso pode ser feito com muitas funções diferentes e com polinômios de várias ordens Interpolação A interpolação é um procedimento empregado na estimativa de valores entre os pontos conhecidos de um conjunto de dados Ela é feita primeiramente com a de terminação de um polinômio que forneça o valor exato nos pontos conhecidos e então com o uso desse polinômio para calcular valores entre esses pontos Quando um pequeno número de pontos está envolvido um único poli nômio pode ser sufi ciente para realizar a interpolação ao longo de todo o domínio de dados Muitas vezes no entanto quando se tem um grande número de pontos diferentes polinômios são usados nos intervalos entre os pontos Esse processo é chamado de interpolação por partes ou spline Por exemplo a Fig 52 mostra um gráfi co da relação tensãodeformação da borracha As marcas mostram pontos experimentais medidos de forma muito precisa e a curva em linha contínua foi obtida com o uso da interpolação por partes Podese observar que a curva passa precisamente pelos pontos e fornece uma boa estimativa dos valores entre eles As três seções a seguir falam do ajuste de curvas A Seção 52 descreve o procedimento de ajuste de curvas usando a regressão linear com mínimos quadra dos Na Seção 53 o ajuste de curvas é feito com a linearização de funções não lineares Na Seção 54 tal ajuste é feito com polinômios de segunda ordem e de ordem superior A interpolação é discutida nas duas seções seguintes A Seção 55 mostra como encontrar a equação de um único polinômio que passe pelos pontos de um conjunto de dados polinômios de Lagrange e de Newton e a Seção 56 Figura 51 Ajuste de curvas Tensão de escoamento MPa Tamanho do grão mm Figura 52 Interpolação Tensão MPa Deformação Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 201 trata da interpolação por partes spline na qual diferentes polinômios são usados A Seção 57 descreve ferramentas das quais o MATLAB dispõe para realizar o ajuste de curvas e a interpolação Na Seção 58 o ajuste de curvas é feito de uma forma mais geral sendo usada uma combinação linear de funções nãolineares 52 AJUSTE DE CURVAS COM EQUAÇÕES LINEARES O ajuste de curvas usando uma equação linear polinômio de primeiro grau é o processo pelo qual uma equação na forma 51 é usada para promover o melhor ajuste de um conjunto de pon tos Isso é feito com a determinação das constantes a1 e a0 que fornecem o menor erro quando os pontos medidos são substi tuídos na Eq 51 Se os dados compreenderem apenas dois pontos as constantes podem ser determinadas de forma tal que a Eq 51 forneça os valores exatos nos pontos Grafi camente conforme mostrado na Fig 53 isso signifi ca que a linha reta correspondente à Eq 51 passa pelos dois pontos Quando os dados consistirem em mais de dois pontos ob viamente uma linha reta não pode passar por todos os pon tos Neste caso as constantes a1 e a0 são determinadas de tal forma que a linha reta promova o melhor ajuste como um todo conforme ilustrado na Fig 54 O processo de obtenção das constantes que fornecem o melhor ajuste requer a defi nição do que vem a ser o melhor ajuste Seção 521 e também de um procedimento matemá tico para a dedução do valor das constantes Seção 522 521 Medição da qualidade de um ajuste Um critério que mede quão bem uma função pode representar de forma aproximada um conjunto de dados é um número que quantifi ca a concordância geral entre os pon tos pertencentes a esse conjunto de dados e a função utilizada Um critério como esse é necessário por duas razões Primeiramente ele pode ser usado para comparar duas funções diferentes usadas no ajuste do mesmo conjunto de pontos Em segundo lu gar e de forma ainda mais importante tal critério pode ser usado para determinar os coefi cientes da função que levem ao melhor ajuste Isso é mostrado na Seção 522 O ajuste entre um conjunto de dados e uma função linear aproximada é deter minado primeiramente com o cálculo do erro também chamado de resíduo que é a diferença entre cada ponto pertencente ao conjunto de dados e o valor da função aproximada Subseqüentemente os resíduos são usados para calcular o erro total em todos os pontos A Fig 55 mostra o caso geral de uma função linear linha reta usada para ajustar um conjunto de n pontos O resíduo ri em um ponto xi yi é a diferença entre o valor yi do ponto medido e do valor da função fxi usada para aproximar o conjunto de dados Figura 53 Dois pontos me didos Figura 54 Vários pontos me didos 202 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Figura 55 Ajuste de curva usando uma equação linear 52 Um critério que mede quão bem a função aproximada é capaz de representar os dados fornecidos pode ser obtido com o cálculo do erro total E em termos dos resíduos O erro global pode ser calculado de diferentes ma neiras Uma maneira simples é somar os resíduos de todos os pontos 53 O erro calculado dessa forma não fornece uma boa medida do ajuste global Isso ocorre porque um ajuste mal feito com resíduos positivos e negativos ambos podem ser grandes pode resultar em um erro nulo ou muito próximo de zero sugerindo um bom ajuste Uma situação como essa é mostrada na Fig 56 onde E de acordo com a Eq 53 é igual a zero já que r1 r4 e r2 r3 Outra possibilidade é fazer com que o erro global E seja igual à soma do valor absoluto dos resíduos 54 Com essa defi nição o erro total é sempre um número po sitivo já que os resíduos não podem se cancelar Um erro E menor na Eq 54 indica um melhor ajuste Essa medida pode ser usada para avaliar ou comparar ajustes propostos mas não pode ser empregada na determinação das constantes da função que propicia o melhor ajuste Isso ocorre porque essa medi da não é única o que signifi ca que para um mesmo conjunto de pontos pode haver várias funções que resultem no mesmo erro total Isso é mostrado na Fig 57 onde o erro total E de acordo com a Eq 54 é o mesmo para as duas retas usadas na aproximação Figura 56 Ajuste com erro nulo de acordo com a Eq 53 Figura 57 Dois ajustes com o mesmo erro de acordo com a Eq 54 Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 203 Uma defi nição para o erro global E que fornece uma boa medida do erro total e que também pode ser usada para determinar uma única função linear que leve ao melhor ajuste isto é ao menor erro total é obtida fazendo com que E seja igual à soma dos quadrados dos resíduos 55 Com essa defi nição o erro global é sempre um número positivo resíduos po sitivos e negativos não se cancelam Além disso maiores resíduos têm um efeito relativamente maior peso no erro total Conforme já mencionado a Eq 55 pode ser usada para calcular os coefi cientes a1 e a0 na função linear y a1x a0 que levem ao menor erro total Isso é feito com o uso de um procedimento chamado regressão linear por mínimos quadrados que é apresentado na próxima seção 522 Regressão linear por mínimos quadrados A regressão linear por mínimos quadrados é um procedimento no qual os coefi cientes a1 e a0 da função linear y a1x a0 são determinados de tal forma que essa função leve ao melhor ajuste de um determinado conjunto de pontos O melhor ajuste é defi nido como o menor erro total calculado com a soma dos quadrados dos resíduos de acordo com a Eq 55 Para um dado conjunto de n pontos xi yi o erro global calculado pela Eq 55 é 56 Como todos os valores xi e yi são conhecidos E na Eq 56 é uma função nãolinear de duas variáveis a1 e a0 A função E tem um mínimo nos valores de a1 e a0 nos quais as derivadas parciais de E em relação a cada variável são iguais a zero Calculando as derivadas parciais e as igualando a zero obtémse 57 58 As Eqs 57 e 58 formam um sistema de duas equações lineares com in cógnitas a1 e a0 e podem ser escritas na forma 59 510 A solução do sistema é 204 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 511 512 Como as Eqs 511 e 512 contêm somas idênticas é conveniente calculá las primeiramente para então substituílas nas equações Para fazer isso tais so mas são defi nidas como 513 Com essas defi nições as equações dos coefi cientes a1 e a0 são 514 As Eqs 514 fornecem os valores de a1 e a0 na função y a1x a0 que levam ao melhor ajuste dos n pontos do conjunto de dados O Exemplo 51 mostra como usar as Eqs 511 e 512 no ajuste de uma equação linear para representar um conjunto de dados experimentais Exemplo 51 Determinação da temperatura de zero absoluto De acordo com a lei de Charles para um gás ideal em um volume constante existe uma relação linear entre a pressão p e a temperatura T No experimento mostrado na fi gura um volume fi xo de gás em um recipiente lacrado é submergido em água gelada T 0C A tem peratura do gás é então elevada em incrementos de dez até alcançar T 100C o que é feito aquecendose a água e a pressão do gás é medida em cada temperatura Os dados obtidos no experimento são Extrapole os dados e determine a temperatura de zero absoluto T0 Isso pode ser feito seguindo os seguintes passos a Trace um gráfi co dos dados p versus T CHAPA QUENTE Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 205 b Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar uma função linear na forma p a1T a0 que melhor se ajuste aos pontos do conjunto de dados Primeiramente calcule os coefi cientes manualmente usando apenas os quatro pontos a seguir 0 30 70 e 100C Depois escreva uma função no MATLAB que calcule os coefi cientes da função linear para qualquer número de pontos e a utilize em toda a massa de dados fornecida no problema para determinar os coefi cientes da função c Trace um gráfi co da função e estenda a reta extrapolea até que ela cruze o eixo T horizontal Esse ponto é uma estimativa da temperatura do zero absoluto Determine o valor de T0 a partir da função SOLUÇÃO a Criase um gráfi co no MATLAB a partir dos dados fornecidos O gráfi co obtido é mostrado à direita os títulos dos eixos foram adicionados usando editor de gráfi cos do MAT LAB O gráfi co mostra conforme esperado uma relação praticamente linear entre a pressão e a temperatura b Cálculo manual da regressão por mínimos quadrados dos quatro pontos pertencentes ao conjunto de dados 0 094 30 105 70 117 100 128 Os coefi cientes a1 e a0 da equação p a1T a0 que melhor se ajusta aos pontos são determinados usando a Eq 514 As somas dadas pelas Eqs 513 são calculadas primeiro A substituição das somas acima nas Eqs 514 resulta em A partir desses cálculos a equação que melhor se ajusta aos dados é p 0003345T 09428 A seguir o problema é resolvido escrevendose uma função no MATLAB que calcula os coefi cientes da função linear para qualquer número de pontos As entradas da função são dois vetores com as coordenadas dos pontos As saídas são os coefi cientes a1 e a0 da equação linear que são calculados com as Eqs 514 Programa 51 Função defi nida pelo usuário Regressão linear por mínimos quadrados function a1a0 RegressaoLinearx y RegressaoLinear calcula os coeficientes a1 e a0 da equação linear Pressão atm Temperatura C 206 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Variáveis de entrada x Vetor com as coordenadas x dos pontos y Vetor com as coordenada y dos pontos Variáveis de saída y a1x a0 que melhor se ajusta aos n pontos do conjunto de dados a1 Coeficiente a1 a0 Coeficiente a0 dispERRO O número de elementos em x deve ser o mesmo que em y Verifica se os vetores x e y têm o mesmo número de elementos Se sim o MATLAB exibe uma mensagem de erro e as constantes não são calculadas Calcula os termos com as somas nas Eqs 513 Calcula os coeficientes a1 e a0 nas Eqs 514 Erro Erro A função RegressaoLinear é então usada na janela de comandos do MATLAB para determinar a reta que melhor se ajusta aos pontos fornecidos no problema RegressaoLinearTp A equação que melhor se ajusta aos dados é p 00034T 09336 c A solução é obtida escrevendo o seguinte arquivo que traça um gráfi co da função e dos pontos e calcula o valor de T0 a partir dessa função xlabelTemperatura Cfontsize20 ylabelPressão atmfontsize20 Pressão atm Temperatura C Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 207 53 AJUSTE DE CURVAS COM A LINEARIZAÇÃO DE EQUAÇÕES NÃOLINEARES Muitas situações na ciência e na engenharia mostram que a relação entre as gran dezas envolvidas não é linear Por exemplo a Fig 58 mostra um gráfi co de dados medidos em um experimento com um circuito RC Neste experimento a queda de tensão no resistor é medida em função do tempo a partir do instante em que a chave é fechada Função nãolinear Função linear Figura 58 Ajuste de curvas usando uma equação nãolinear Os dados do experimento são listados no Exemplo 52 É óbvio a partir do gráfi co que o uso de uma função nãolinear leva a um ajuste muito melhor dos dados experimentais do que o uso de uma função linear Há muitos tipos de funções nãolineares Esta seção apresenta funções não lineares que podem ser escritas em uma forma tal que possibilite a determi nação dos coefi cientes que levam ao melhor ajuste com o emprego do método da regressão linear por mínimos quadrados Exemplos de funções nãolineares usadas nesta seção no ajuste de curvas são y bx m função de potência y be mx ou y b10 mx função exponencial função inversa Polinômios de segunda ordem ou de ordem superior também são funções nãolineares O ajuste de curvas com esses polinômios é tratado em separado na Seção 54 Escrevendo uma equação nãolinear em uma forma linear Para que a regressão linear possa ser utilizada a equação nãolinear de duas variá veis deve ser modifi cada de tal forma que a nova equação seja linear com termos Quando esse programa é executado aparece a fi gura ao lado e o valor da temperatura de zero absolu to é mostrada na janela de comandos do MATLAB conforme mostrado abaixo Esse resultado é próximo do valor encontrado nos livros que é de 21315C 208 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas contendo as variáveis originais Por exemplo a função de potência y bx m pode ser linearizada calculandose o logaritmo natural ln de ambos os lados 515 Essa equação é linear com lny em termos de lnx A equação está na forma Y a1X a0 onde Y lny a1 m X lnx e a0 lnb Isso signifi ca que uma regressão linear por mínimos quadrados pode ser usa da para fazer com que uma equação na forma y bx m se ajuste a um conjunto de pontos xi yi Isso é feito calculando a1 e a0 com as Eqs 511 e 512 ou 513 e 514 com a substituição de yi por lnyi e xi por lnxi Uma vez conhecidos a1 e a0 as constantes b e m na equação exponencial são calculadas com 516 Muitas outras equações nãolineares podem ser linearizadas de forma similar A Tabela 52 lista várias dessas equações Tabela 52 Linearização de equações nãolineares Equação não linear Forma linear Relação com Y a1X a0 Valores para a regressão linear por mínimos quadrados Gráficos onde os dados medidos parecem se ajustar a uma linha reta y bx m lny mlnx lnb Y lny X lnx a1 m a0 lnb lnxi e lnyi Gráfico y vs x em eixos x e y logarítmicos Gráfico lny vs lnx em eixos x e y lineares y be mx lny mx lnb Y lny X x a1 m a0 lnb xi e lnyi Gráfico y vs x em eixos x linear e y logarítmico Gráfico lny vs x em eixos x e y lineares y b10 mx logy mx logb Y logy X x a1 m a0 logb xi e logyi Gráfico y vs x em eixos x linear e y logarítmico Gráfico logy vs x em ei xos x e y lineares xi e 1yi Gráfico 1y vs x em eixos x e y lineares 1xi e 1yi Gráfico 1y vs 1x em ei xos x e y lineares Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 209 Como escolher uma função nãolinear apropriada para o ajuste de curvas Um gráfi co com os pontos do conjunto de dados pode fornecer uma indicação sobre a relação entre as grandezas A determinação se a relação é linear ou nãolinear pode ser feita com o traçado de um gráfi co com eixos lineares Se em tal gráfi co os pontos se parecerem com uma linha reta então a relação entre as grandezas é linear Um gráfi co com eixos lineares no qual os pontos do conjunto de dados parecem se alinhar com uma curva indica uma relação nãolinear entre as grandezas conside radas A pergunta então é qual função nãolinear deve ser utilizada para fazer o ajus te da curva Muitas vezes na engenharia e na ciência se conhece a partir de alguma teoria fundamental o fenômeno físico e a forma da equação matemática associada aos dados medidos Por exemplo o processo de carga de um capacitor mostrado na Fig 58 é modelado com uma função exponencial Se não se conhece qualquer forma possível para a equação a escolha da função nãolinear mais apropriada para fazer o ajuste de uma curva que represente os dados pode ser mais difícil Para um determinado conjunto de dados é possível prever até certo ponto se uma função nãolinear proposta tem potencial para fornecer um bom gráfi co Isso é feito com o traçado dos pontos medidos de uma maneira específi ca verifi cando se es ses pontos parecem formar uma linha reta Para as funções listadas na Tabela 52 isso é mostrado na quinta última coluna da tabela Para funções de potência e exponen ciais isso pode ser feito com o traçado dos dados usando diferentes combinações de eixos lineares e logarítmicos Para todas as funções isso pode ser feito com o traçado dos valores transformados do conjunto de dados em gráfi cos com eixos lineares Por exemplo conforme mencionado anteriormente esperase que os dados do experimento mostrado na Fig 58 se ajustem a uma função exponencial Isso sig nifi ca que o traçado de um gráfi co da tensão vR versus tempo t com eixo vertical logarítmico para vR e eixo horizontal linear para t deve revelar o alinhamento dos pontos que compõem o conjunto de dados segundo uma linha reta Outra opção é fazer um gráfi co de lnvR versus t em eixos horizontal e vertical lineares o que também se espera indicar o alinhamento dos pontos ao longo de uma linha reta Ambos os gráfi cos são mostrados na Fig 59 As fi guras confi rmam que os dados do experimento de carga do capacitor podem ser representados com o Tempo s Tempo s Figura 59 a Gráfi co de vR vs t utilizando eixo vertical logarítmico e eixo horizontal linear b Gráfi co de lnvR vs t utilizando eixos vertical e horizontal lineares O arquivo texto usado para gerar esse gráfico é 210 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas ajuste de uma curva descrita por uma função exponencial O procedimento real de ajuste da curva é mostrado no Exemplo 52 Outras considerações com relação à escolha da função nãolinear adequada para o ajuste de uma curva são as seguintes Funções exponenciais não podem passar pela origem Funções exponenciais só são capazes de fazer o ajuste de dados nos quais todos os valores de y são positivos ou negativos Funções logarítmicas não podem incluir x 0 ou valores negativos de x Para função de potência y 0 quando x 0 A equação inversa não pode incluir y 0 Exemplo 52 Ajuste de curvas com a linearização de uma função nãolinear Um experimento com um circuito RC é usado para deter minar a capacitância de um capacitor No circuito mostra do ao lado e na Fig 58 um resistor de 5 MΩ é conectado em série com o capacitor C e uma bateria O experimento começa com o fechamento da chave e a medição da tensão vR nos terminais do resistor em intervalos de 2 segundos ao longo de 30 segundos Os dados medidos no experimentos são ts 2 4 6 8 10 12 14 16 18 vR V 97 81 66 51 44 37 28 24 20 ts 20 22 24 26 28 30 vR V 16 14 11 085 069 06 Teoricamente a tensão no resistor em função do tempo é dada pela função exponencial 517 Determine a capacitância do capacitor ajustando a função exponencial aos dados medidos SOLUÇÃO Mostrouse na Fig 59 que conforme esperado uma função exponencial se ajusta bem aos dados O problema é resolvido primeiramente com a determinação das constantes b e m na função exponencial v be mt que melhor se ajusta aos dados Isso é feito com a linearização dessa equação e com o uso da regressão linear por mínimos quadrados A regressão linear por mínimos quadrados é aplicada utilizando a função RegressaoLinear desenvolvida na solução do Exemplo 51 As entradas da função são os valores ti e lnvri De posse de b e m o valor de C é determinado igualandose os coefi cientes no expoente de e 518 Os cálculos são feitos com a execução do seguinte programa no MATLAB Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 211 54 AJUSTE DE CURVAS COM POLINÔMIOS QUADRÁTICOS E DE ORDEM SUPERIOR Fundamentos Polinômios são funções que têm a forma 519 Os coefi cientes an an 1 a1 a0 são números reais e n que é um inteiro não negativo é o grau ou ordem do polinômio O gráfi co de um polinômio é uma curva Um polinômio de primeira ordem é uma função linear e seu gráfi co é uma linha reta Polinômios de ordem mais elevada são funções nãolineares e seus gráfi cos são cur vas Um polinômio quadrático de segunda ordem gera uma curva parábola que é côncava para cima ou para baixo Um polinômio de terceira ordem gera um ponto de infl exão que faz com que a curva associada seja côncava para cima ou para baixo em uma região e côncava para baixo ou para cima em outra Em geral à medida que a ordem do polinômio aumenta sua curva passa a ter mais tortuosidades Um determinado conjunto de dados contendo n pontos pode ser ajustado com polinômios de ordens diferentes até uma ordem n 1 Conforme mostrado mais Programa 52 Programa escrito em arquivo texto Ajuste de curvas usando uma função nãolinear a1a0 RegressaoLineartexp vexpLOG Entra com os dados experimentais Calcula lnyi dos dados para uso na regressão linear Calcula os coeficientes a1 e a0 com a função RegressaoLinear do Exemplo 51 Calcula b sabendo que a0 lnb ver Tabela 52 Calcula C usando a Eq 518 a1 é m na equação v bemt Quando o programa é executado os valores a seguir são exibidos na janela de comandos do MATLAB Além disso mostrase o seguinte gráfi co com os pontos e a curva ajustada os títulos dos gráfi cos foram adicionados posteriormente A capacitância é de aproximadamente 2 µF Tempo s 212 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas adiante nesta seção os coefi cientes de um polinômio podem ser determinados de tal forma que ele forneça o melhor ajuste para um determinado conjunto de dados o que é feito com a minimização do erro utilizando mínimos quadrados A Fig 510 mostra o ajuste de curvas com polinômios de diferentes ordens tendo como referência um mesmo conjunto de 11 pontos Os gráfi cos na fi gura mostram que à medida que a ordem do polinômio aumenta as curvas se aproximam dos pontos Na realidade é possível ter um polinômio que passe exatamente por todos os pontos em cada ponto o valor do polinômio é igual ao valor do ponto Para n pontos isso ocorre com o polinômio de ordem n 1 Na Fig 510 isso corres ponde a um polinômio de grau 10 já que há 11 pontos Polinômio de 1ª ordem Polinômio de 4ª ordem Polinômio de 6ª ordem Polinômio de 2ª ordem Polinômio de 3ª ordem Polinômio de 10ª ordem Figura 510 Ajuste de curvas de um mesmo conjunto de dados usando polinômios com diferentes graus A Fig 510 mostra que o mesmo conjunto de dados pode ser ajustado por poli nômios de ordem diferente Dizer qual dos polinômios fornece o melhor ajuste não é fácil Isso depende do tipo e da origem dos dados de sua aplicação e do propósito do ajuste Por exemplo se os dados não forem precisos é possível haver grandes erros quando se mede uma grandeza não faz muito sentido utilizar um polinômio de or dem elevada que siga os pontos de forma próxima Por outro lado se os valores dos pontos que constituem o conjunto de dados forem muito precisos e a curva ajustada for usada para representálos a utilização de um polinômio de ordem mais elevada pode ser apropriada Entretanto conforme explicado na nota importante a seguir não se recomenda o uso de polinômios de ordem elevada no ajuste de curvas Nota importante Conforme já mencionado para qualquer número n de pontos pertencentes a um conjunto de dados é possível deduzir um polinômio de ordem n 1 que passe exatamente por todos os pontos Entretanto quando muitos pontos estão envol vidos esse polinômio possui um grau elevado Embora um polinômio de ordem elevada forneça os valores exatos em todos os pontos muitas vezes ele apresenta um desvio signifi cativo entre alguns dos pontos Isso pode ser visto no gráfi co Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 213 que ilustra o polinômio de décima ordem na Fig 510 onde entre os dois primei ros pontos e entre os dois últimos pontos a curva do polinômio se afasta e não segue a tendência geral dos dados Isso signifi ca que mesmo que um polinômio de ordem elevada forneça os valores exatos em todos os pontos ele não pode ser usado de forma confi ável para a interpolação ou a extrapolação dos dados Méto dos apropriados para a interpolação são descritos nas Seções 55 e 56 Regressão polinomial A regressão polinomial é um procedimento usado na determinação dos coefi cientes de um polinômio de segundo grau ou de ordem maior de forma que esse polinômio produza o melhor ajuste de um determinado conjunto de dados Como na regressão linear a dedução das equações utilizadas para determinar os coefi cientes se baseia na minimização do erro total de acordo com a Eq 55 Se o polinômio de ordem m usado no ajuste da curva é 520 então para um dado conjunto de n pontos xi yi m é menor que n 1 o erro total calculado pela Eq 55 é 521 Como todos os valores xi e yi que constituem o conjunto de dados são co nhecidos E na Eq 521 é uma função nãolinear das m 1 variáveis os coefi cientes a0 a am A função E tem um mínimo nos valores de a0 a am nos quais as derivadas parciais de E em relação a cada uma das variáveis são iguais a zero Calculando as derivadas parciais de E na Eq 521 e as igualando a zero obtém se um conjunto de m 1 equações lineares para os coefi cientes Para simplifi car a apresentação a dedução para o caso m 2 polinômio quadrático é mostrada em detalhe Neste caso a Eq 521 é 522 Calculando as derivadas parciais em relação a a0 a1 e a2 e igualando os resul tados a zero obtémse 523 524 525 As Eqs 523 a 525 formam um sistema de três equações lineares em fun ção das incógnitas a0 a1 e a2 que pode ser rescrito na forma 526 214 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 527 528 A solução do sistema de equações 526528 fornece os valores dos coe fi cientes a0 a1 e a2 do polinômio que melhor se ajusta aos n pontos xi yi Os coefi cientes de polinômios de ordem superior são deduzidos da mesma for ma Para um polinômio de ordem m as Eqs 526528 são estendidas para for mar um conjunto de m 1 equações lineares em função dos m 1 coefi cientes As equações para um polinômio de quarta ordem são mostradas no Exemplo 53 Exemplo 53 Uso da regressão polinomial no ajuste de uma curva tensãodeformação Realizase um teste de tensão para determinar o comporta mento tensãodeformação da borracha Os dados coletados no teste são mostrados na fi gura e seus valores são forneci dos a seguir Determine o polinômio de quarta ordem que faça o melhor ajuste dos pontos Trace um gráfi co que inclua esses pontos e a curva correspondente ao polinômio Deformação ε 0 04 08 12 16 20 24 Tensão σ MPa 0 30 45 58 59 58 62 Deformação ε 28 32 36 40 44 48 52 56 60 Tensão σ MPa 74 96 156 207 267 311 356 393 415 SOLUÇÃO Um polinômio de quarta ordem pode ser escrito como 529 O ajuste de uma curva para representar os 16 pontos medidos é feito com o emprego da regressão polinomial Os valores dos cinco coefi cientes a0 a1 a2 a3 e a4 são obtidos com a solução de um sis tema com cinco equações lineares Estas cinco equações podem ser escritas a partir da extensão das Eqs 526528 530 531 532 Deformação Tensão MPa Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 215 533 534 Os cálculos e o traçado do gráfi co são feitos no MATLAB utilizando o programa cujos passos são os seguintes Passo 1 Crie os vetores x e y contendo os pontos medidos Passo 2 Crie um vetor xsum cujos elementos são os termos das somas das potências de xi Por exemplo o quarto elemento desse vetor é Passo 3 Coloque o sistema de cinco equações lineares Eqs 530534 na forma ap b onde a é a matriz com os termos das somas das potências de xi p é o vetor das incógnitas os coefi cientes do polinômio e b é um vetor contendo os termos das somas no lado direito das Eqs 530534 Passo 4 Resolva o sistema de cinco equações lineares ap b e obtenha p usando a divisão à esquerda do MATLAB A solução é um vetor com os coefi cientes do polinômio de quarta ordem que propicia o melhor ajuste do conjunto de dados Passo 5 Trace um gráfi co com os pontos medidos e com a curva do polinômio de ajuste Programa 53 Programa escrito em arquivo texto Ajuste de curvas usando regressão polinomial Início do Passo 3 Atribui os dados experimentais aos vetores x e y Define um vetor com os termos das somas das potências de xi Atribui valores à primeira linha da matriz a e ao vetor coluna b n é o número de pontos m é a ordem do polinômio Cria linhas 2 a 5 da matriz a e elementos 2 a 5 do vetor coluna b Resolve o sistema ap b para p Transpõe a solução para que p se torne um vetor linha Passo 4 216 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 55 INTERPOLAÇÃO USANDO UM ÚNICO POLINÔMIO A interpolação é um procedimento no qual uma fórmula matemática é usada para fornecer o valor exato dos pontos pertencentes a um conjunto de dados e um valor estimado entre esses pontos Esta seção mostra como isso é feito empregandose um único polinômio independentemente do número de pontos envolvidos Con forme mencionado na seção anterior para qualquer número n de pontos existe um polinômio de ordem n 1 que passa por todos esses pontos Para dois pontos esse polinômio é de primeira ordem uma linha reta os conectando Para três pontos o polinômio é de segunda ordem uma parábola os conectando e assim por diante Isso é ilustrado na Fig 511 que mostra polinômios de primeira segunda terceira e quarta ordem conectando respectivamente dois três quatro e cinco pontos Uma vez determinado o polinômio ele pode ser usado para estimar os valores de y entre os pontos conhecidos o que é feito simplesmente com a substituição da coordenada x desejada no polinômio A interpolação usando um único polinômio fornece bons resultados apenas para um pequeno número de pontos Para um grande número de pontos a ordem do polinômio deve ser elevada e embora esse polinômio passe por todos os pontos ele pode apresentar um desvio signifi cativo fora deles Isso foi mostrado na Fig 510 para um polinômio de grau 10 e é mos trado mais adiante na Fig 517 onde um polinômio de 15 a ordem é usado para interpolar um conjunto de dados formado por 16 pontos Conseqüentemente a interpolação com apenas um polinômio pode não ser apropriada para um número Define um vetor de deformações a ser usado no traçado do polinômio Tensão calculada pelo polinômio Traça um gráfico com os pontos e o polinômio Cria um novo vetor para os coeficientes do polinômio a ser usado na função polyval do MATLAB veja nota no final do exemplo xlabelDeformaçãofontsize20 ylabelTensão MPafontsize20 Quando o programa é executado a solução p é mos trada na janela de comandos do MATLAB Além disso tam bém é mostrado o gráfi co que contém os pontos do conjunto de dados e a curva obtida com o polinômio p 02746 128780 101927 31185 02644 O polinômio obtido após o ajuste é fx 02746x 4 12878x 3 101927x 2 31185x 02644 Nota No MATLAB um polinômio é representado por um vetor cujos elementos são os coefi cientes desse polinômio O primeiro elemento do vetor é o coefi ciente de ordem mais elevada do polinômio e seu último elemento é o termo a0 Deformação Tensão MPa Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 217 elevado de pontos Neste caso específi co melhores resultados podem ser obtidos com o uso da interpolação por partes spline tratada na Seção 56 na qual di ferentes polinômios de ordem inferior são usados na interpolação de diferentes pontos pertencentes a um mesmo conjunto de dados Para um dado conjunto de n pontos apenas um único polinômio de ordem m m n 1 passa exatamente por todos os pontos Esse polinômio no entan to pode ser escrito de diferentes formas matemáticas Esta seção mostra como deduzir três dessas formas padrão Lagrange e Newton As diferentes formas matemáticas são adequadas a diferentes circunstâncias A forma padrão de um polinômio de ordem m é 535 Os coefi cientes nesta forma são determinados com a solução de um sistema de m 1 equações lineares As equações são obtidas escrevendose o polinô mio explicitamente em cada ponto substituindo cada ponto no polinômio Por exemplo os cinco pontos n 5 dados pelo polinômio de quarto grau m 4 mostrado na Fig 511 são 1 2 4 6 7 4 10 8 e 13 10 O uso da Eq 535 em cada um desses pontos fornece o seguinte sistema de cinco equações com incógnitas a0 a1 a2 a3 e a4 536 A solução desse sistema de equações fornece os valores dos coefi cientes Uma solução da Eq 536 usando o MATLAB é a seguinte Polinômio de 1ª ordem Polinômio de 2ª ordem Polinômio de 3ª ordem Polinômio de 4ª ordem Figura 511 Polinômios de várias ordens 218 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas O polinômio que corresponde a estes coeficientes é y 00103x4 03x3 286x2 1019x 562 ver Fig 511 Na prática a solução de um sistema de equações não é efi ciente especial mente quando polinômios de ordem mais elevada estão envolvidos Além disso a matriz dos coefi cientes é freqüentemente mal condicionada ver Seção 411 É possível escrever o polinômio em outras formas de uso mais fácil Duas dessas formas as formas de Lagrange e de Newton são descritas nas duas subse ções a seguir 551 Polinômios interpoladores de Lagrange Os polinômios interpoladores de Lagrange formam uma classe específi ca de po linômios que podem ser usados para fazer o ajuste de um determinado conjunto de dados simplesmente a partir dos valores dos pontos Os polinômios podem ser escritos diretamente e os coefi cientes são determinados sem a necessidade de nenhum cálculo preliminar Para dois pontos x1 y1 e x2 y2 o polinômio de Lagrange de primeira ordem Fig 512 tem a forma 537 Substituindo os dois pontos na Eq 537 obtémse 538 e 539 Figura 512 Polinômio de Lagrange de primeira ordem Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 219 Substituindo os coefi cientes a1 e a2 de volta na Eq 537 obtémse 540 A Eq 540 é uma função linear de x equação de uma linha reta conec tando os dois pontos É fácil ver que se x x1 for substituído na Eq 540 o valor do polinômio é igual a y1 e se x x2 for substituído na Eq 540 o valor do polinômio é igual a y2 A substituição de um valor de x entre os pontos for nece um valor interpolado de y A Eq 540 pode também se rescrita na forma padrão fx a1x a0 541 Para três pontos x1 y1 x2 y2 e x3 y3 o polinômio de Lagrange de segun da ordem Fig 513 tem a forma 542 Uma vez determinados os coefi cientes de forma que o coefi ciente passe pelos três pontos o polinômio é 543 A Eq 543 é uma função quadrática de x Quando a coordenada x1 x2 ou x3 de um dos três pontos é substituída na Eq 543 o valor do polinômio é igual a y1 y2 ou y3 res pectivamente Isso ocorre porque o coefi ciente na frente do termo yi correspondente é igual a 1 e o coefi ciente dos outros dois termos é igual a zero Seguindo o formato dos polinômios nas Eqs 541 e 543 a fórmula geral de um polinômio de Lagrange de ordem n 1 que passe por n pontos x1 y1 x2 y2 xn yn é 544 No lado direito da Eq 544 o numerador do iésimo termo não contém x xi e o denominador não contém x i xi Conseqüentemente quando a coordenada xi de um dos n pontos é substituída na Eq 544 o valor do poli nômio é igual a yi A Eq 544 pode ser escrita de forma compacta usando a notação de soma e produto como Figura 513 Polinômio de Lagrange de segunda ordem 220 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 545 onde as funções são chamadas de funções de Lagrange Essa forma pode ser facilmente implementada em um programa de computador conforme mostrado no Exemplo 54 Notas adicionais sobre os polinômios de Lagrange O espaçamento entre os pontos que compõem o conjunto de dados não pre cisa ser igual Para um dado conjunto de dados devese calcular a expressão completa do polinô mio interpolador para cada valor de x Em outras palavras os cálculos de interpo lação para cada valor de x são independentes dos demais Isso é diferente de outras formas por exemplo da Eq 535 onde uma vez determinados os coefi cientes do polinômio estes podem ser utilizados para calcular diferentes valores de x Se um valor interpolado for calculado para um dado conjunto de dados e então esse conjunto de dados for ampliado para incluir pontos adicionais todos os termos do polinômio de Lagrange devem ser calculados novamente Conforme mostrado na Seção 552 isso é diferente do que ocorre nos polinô mios de Newton onde apenas os novos termos deverão ser calculados se mais pontos forem adicionados ao conjunto de dados A aplicação de um polinômio de Lagrange é mostrada no Exemplo 54 Exemplo 54 Polinômio interpolador de Lagrange A partir do seguinte conjunto de dados x 1 2 4 5 7 y 52 5 5 40 10 a Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos cinco pontos b Use o polinômio obtido na letra a para determinar o valor interpolado em x 3 c Desenvolva uma função no MATLAB que interpole usando um polinômio de Lagrange A en trada da função são as coordenadas dos pontos pertencentes ao conjunto de dados fornecido e a coordenada x onde se deseja calcular o valor interpolado de y A saída da função é o valor inter polado de y em x 3 SOLUÇÃO a Seguindo a forma da Eq 544 o polinômio de Lagrange para os cinco pontos dados é b O valor interpolado em x 3 é obtido com a substituição de x no polinômio Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 221 c A função criada no MATLAB para realizar a interpolação usando polinômios de Lagrange é cha mada de YintLagrangeINTxyXint x e y são vetores com as coordenadas dos pontos fornecidos e Xint é a coordenada do ponto no qual y deve ser interpolado O programa calcula primeiro os produtos presentes nas funções de Lagrange descritas na Eq 545 Os termos são atribuídos a uma variável L vetor O programa em seguida calcula o valor do polinômio em x Xint Programa 54 Função defi nida pelo usuário Interpolação utilizando um polinômio de Lagrange Variáveis de entrada x Vetor com as coordenadas x dos pontos dados y Vetor com as coordenadas y dos pontos dados Xint A coordenada x do ponto a ser interpolado O comprimento do vetor x fornece o número de termos do polinômio Calcula os termos Li do produtório Calcula o valor do polinômio Variável de saída Yint O valor interpolado de Xint A função LagrangeIntxyXint é em seguida usada na janela de comandos do MATLAB para calcular o valor interpolado de x 3 222 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 552 Polinômios interpoladores de Newton Os polinômios interpoladores de Newton são uma forma popularmente usada no ajuste exato de conjuntos de dados A forma geral do polinômio de Newton de ordem n 1 que passa por n pontos é 546 A característica especial de um polinômio como esse está no fato de os coefi cientes a1 a an poderem ser determinados a partir de um procedimento matemático simples a determinação dos coefi cientes não requer a solução de um sistema com n equações Uma vez conhecidos os coefi cientes o polinômio pode ser usado para calcular um valor interpolado em qualquer x Os polinômios interpoladores de Newton têm características adicionais desejá veis que os fazem uma escolha popular Os pontos do conjunto de dados não preci sam estar ordenados de forma ascendente ou descendente ou mesmo em qualquer ordem Além disso após a determinação dos n coefi cientes de um polinômio inter polador de Newton de ordem n 1 mais pontos podem ser adicionados ao conjunto de dados sendo necessário apenas determinar os coefi cientes adicionais Polinômio de Newton de primeira ordem Para dois pontos x1 y1 e x2 y2 o polinômio de Newton de primeira ordem tem a forma 547 Conforme mostrado na Fig 514 esta é a equação da li nha reta que passa pelos dois pontos fornecidos Os coefi cien tes a1 e a2 podem ser calculados utilizando a semelhança de triângulos na Fig 514 548 Resolvendo para fx na Eq 548 obtémse 549 Comparando a Eq 549 com a Eq 547 obtêmse os valores dos coefi cientes a1 e a2 em termos das coordenadas dos pontos 550 Figura 514 Polinômio de Newton de primeira ordem Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 223 Note que o coefi ciente a2 é a inclinação da reta que conecta os dois pontos Conforme mostrado no Capítulo 6 a2 é a aproximação da derivada primeira no ponto x1 y1 usando a diferença progressiva com dois pontos Polinômio de Newton de segunda ordem Para três pontos x1 y1 x2 y2 e x3 y3 o polinômio de Newton de segunda ordem tem a forma 551 Conforme mostrado na Fig 515 a Eq 551 descreve uma parábola que passa pelos três pontos dados Os coefi cientes a1 a2 e a3 podem ser determinados com a substituição dos três pontos na Eq 551 A substituição de x x1 e fx1 y1 re sulta em A substituição do segundo ponto x x2 e fx2 y2 e a1 y1 na Eq 551 resulta em 552 A substituição do terceiro ponto x x3 e fx3 y3 bem como a1 y1 e na Eq 551 resulta em 553 O termo a3 pode ser isolado na Eq 553 após alguma álgebra 554 Os coefi cientes a1 e a2 são os mesmos nos polinômios de primeira e de segun da ordem Isso signifi ca que se dois pontos são dados e um polinômio de Newton de primeira ordem é usado para gerar uma reta passando por esses dois pontos este polinômio pode ser modifi cado para se tornar um polinômio de segunda or dem passando por três pontos caso um terceiro ponto seja adicionado simples mente com a determinação do coefi ciente adicional Polinômio de Newton de terceira ordem Para quatro pontos x1 y1 x2 y2 x3 y3 e x4 y4 o polinômio de Newton de terceira ordem tem a forma 555 As fórmulas para os coefi cientes a1 a2 e a3 são as mesmas usadas para o po linômio de segunda ordem A fórmula para determinar o coefi ciente a4 pode ser obtida com a substituição de x4 y4 na Eq 555 556 Figura 515 Polinômio de Newton de segunda ordem 224 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Forma geral do polinômio de Newton e de seus coefi cientes Um exame cuidadoso das equações dos coefi cientes a2 Eq 552 a3 Eq 554 e a4 Eq 556 mostra que essas expressões seguem um certo modelo Esse mo delo fi ca mais claro com a defi nição das chamadas diferenças divididas Para dois pontos x1 y1 e x2 y2 a primeira diferença dividida escrita como fx2 x1 é defi nida como a inclinação da reta que conecta os dois pontos 557 A primeira diferença dividida é igual ao coefi ciente a2 Para três pontos x1 y1 x2 y2 e x3 y3 a segunda diferença dividida es crita como fx3 x2 x1 é defi nida como a diferença entre as primeiras diferenças divididas dos pontos x3 y3 e x2 y2 e dos pontos x2 y2 e x1 y1 dividida por x3 x1 558 A segunda diferença dividida é portanto igual ao coefi ciente a3 Para quatro pontos x1 y1 x2 y2 x3 y3 e x4 y4 a terceira diferença dividida escrita como fx4 x3 x2 x1 é defi nida como a diferença entre as segun das diferenças divididas dos pontos x2 y2 x3 y3 e x4 y4 e dos pontos x1 y1 x2 y2 x3 y3 dividida por x4 x1 559 A terceira diferença dividida é portanto igual ao coefi ciente a4 A próxima quarta diferença dividida quando cinco pontos são dados é 560 Se mais pontos forem fornecidos o procedimento para calcular diferenças maiores continua da mesma maneira Em geral quando n pontos são dados o procedimento começa com o cálculo das n 1 primeiras diferenças divididas Depois n 2 segundas diferenças divididas são calculadas a partir das primei ras diferenças divididas Este passo é sucedido do cálculo das n 3 terceiras diferenças divididas a partir das segundas diferenças divididas O processo ter mina quando a nésima diferença dividida é calculada a partir das duas n 1 diferenças divididas para fornecer o coefi ciente an Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 225 O procedimento de determinação dos coefi cientes usando as diferenças divi didas pode ser acompanhado em uma tabela Uma tabela como essa é ilustrada na Fig 516 para o caso de um conjunto de dados com cinco pontos Em termos gerais para n pontos x1 y1 x2 y2 xn yn as primeiras dife renças divididas entre dois pontos xi yi e xj yj são dadas por 561 Pontos Primeira diferença dividida Segunda diferença dividida Terceira diferença dividida Quarta diferença dividida Figura 516 Tabela de diferenças divididas para um conjunto de dados com cinco pontos A késima diferença dividida ordem 2 ou superior é dada por equação válida até a diferença de ordem n 1 562 Com essas defi nições o polinômio de Newton de ordem n 1 Eq 546 é dado por 563 Notas sobre os polinômios de Newton O espaçamento entre os pontos que compõem o conjunto de dados não preci sa ser o mesmo Em um dado conjunto de dados com n pontos os coefi cientes a1 a an assim que determinados podem ser usados para interpolar quaisquer dos pontos que compõem o conjunto de dados 226 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Exemplo 55 Polinômio interpolador de Newton A partir do seguinte conjunto de dados com cinco pontos x 1 2 4 5 7 y 52 5 5 40 10 a Determine o polinômio de quarta ordem na forma de Newton que passe pelos pontos Calcule os coefi cientes usando uma tabela de diferenças divididas b Escreva o polinômio obtido na letra a para determinar o valor interpolado em x 3 c Escreva uma função no MATLAB que faça a interpolação usando o polinômio de Newton A entrada da função deve conter as coordenadas dos pontos fornecidos e a coordenada x do ponto no qual y deve ser interpolado A saída da função é o valor de y no ponto interpolado SOLUÇÃO a O polinômio de Newton para os pontos dados tem a forma Os coefi cientes podem ser determinados a partir da seguinte tabela de diferenças divididas Com os coefi cientes determinados o polinômio é b O valor interpolado em x 3 é obtido com a substituição de x no polinômio c A função criada no MATLAB para realizar a interpolação de Newton é chamada de YintNewtonINTxyXint x e y são vetores com as coordenadas dos pontos fornecidos e Xint é a coordenada do ponto no qual y deve ser interpolado O Exemplo 55 mostra a aplicação dos polinômios interpoladores de Newton Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 227 O programa começa com o cálculo das primeiras diferenças divididas que então são usadas para calcular as diferenças divididas de ordem superior Os coefi cientes do polinômio primeira linha da tabela são então atribuídos a um vetor a O polinômio determinado é usado na interpolação Programa 55 Função defi nida pelo usuário Interpolação usando o polinômio de Newton NewtonINT ajusta um polinômio de Newton a um dado conjunto de pontos e usa esse polinômio para determinar o valor interpolado de um ponto Variáveis de entrada x Vetor com as coordenadas x dos pontos dados y Vetor com as coordenadas y dos pontos dados Xint Coordenada x do ponto a ser interpolado Variável de saída Yint O valor interpolado de Xint O comprimento do vetor x fornece o número de coeficientes e termos do polinômio O primeiro coeficiente a1 Calcula as diferenças divididas Elas são armazenadas na primeira coluna de divDIF Calcula as diferenças divididas de ordem 2 e superior até a ordem n 1 Os valores são atribuídos às colunas de divDIF Atribui os coeficientes a2 a an ao vetor a Calcula o valor interpolado de Xint O primeiro termo no polinômio é a1 Os termos seguintes são adicionados por meio de um loop A função NewtonINTxyXint é então usada na janela de comandos do MATLAB para calcular o valor interpolado de x 3 228 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 56 INTERPOLAÇÃO POR PARTES SPLINE Quando um conjunto de dados contendo n pontos é dado e um único polinômio é usado para fazer a sua interpolação esse polinômio fornece os valores exatos nos pontos e determina valores estimados interpolados entre eles Quando o número de pontos é pequeno de forma que a ordem do polinômio seja baixa os valores interpolados são tipicamente precisos Entretanto conforme mencionado na Se ção 54 erros maiores podem ocorrer quando um polinômio de ordem elevada é usado para interpolar um grande número de pontos Isso é mostrado na Fig 517 onde um polinômio de 15 a ordem é usado para interpolar um conjunto de 16 pontos Fica claro a partir da fi gura que o polinômio apresenta um desvio signifi cativo na região próxima às extremidades não acompanhando a tendência dos dados Por esse motivo ele não pode ser usado de forma confi ável na interpolação Quando se trabalha com um grande número de pontos uma melhor interpo lação pode ser feita com o uso de muitos polinômios de baixa ordem ao invés de um único polinômio de ordem elevada Cada polinômio de baixa ordem é válido em um intervalo entre dois ou vários pontos Tipicamente todos os polinômios utilizados têm a mesma ordem mas os coefi cientes são diferentes em cada inter valo Quando polinômios de primeira ordem são utilizados linhas retas conectam os pontos Para polinômios de segunda ordem quadráticos e de terceira ordem cúbicos os pontos são conectados por curvas A interpolação feita dessa forma é chamada de interpolação por partes ou spline Os pontos do conjunto de dados onde se encontram os polinômios de intervalos adjacentes são chamados de nós O nome spline vem do termo em inglês usado para denominar a haste fl exí vel que se utiliza no desenho técnico para interpolar fi sicamente pontos discretos marcados por pinos Os três tipos de interpolação spline são a linear a quadrática e a cúbica 561 Splines lineares Com splines lineares a interpolação é feita usando um polinômio de primeira ordem função linear e os pontos são conectados por linhas retas conforme mostrado na Fig 518 Usando a forma de Lagrange a equação da linha reta que conecta os dois primeiros pontos é dada por 564 Em um conjunto de n pontos há n 1 intervalos A interpolação no intervalo i que está entre os pontos xi e xi 1 xi x xi 1 é feita usando a equação da linha reta que conecta o ponto xi yi ao ponto xi 1 yi 1 565 Figura 517 Uso de um poli nômio de 15 a ordem para fazer o ajuste de 16 pontos Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 229 1º intervalo 2º intervalo intervalo n 1 iésimo intervalo Figura 518 Splines lineares É óbvio que splines lineares resultam em uma interpolação contínua já que os dois polinômios adjacentes têm o mesmo valor em um nó comum Há no entanto uma descontinuidade na inclinação das splines lineares nos nós A interpolação feita com splines lineares pode ser facilmente calculada e pro gramada e fornece bons resultados quando o intervalo entre os pontos é pequeno O Exemplo 56 mostra a aplicação numérica das splines lineares usando cálculos manuais e o desenvolvimento de uma função no MATLAB Exemplo 56 Splines lineares A partir do seguinte conjunto de dados com quatro pontos x 8 11 15 18 y 5 9 10 8 a Determine as splines lineares que fazem o ajuste dos dados b Determine o valor interpolado em x 127 c Escreva uma função no MATLAB que faça a interpolação usando splines lineares A entrada da função deve conter as coordenadas dos pontos fornecidos e a coordenada x do ponto no qual y deve ser interpolado A saída da função é o valor de y no ponto interpolado Use essa função para determinar o valor interpolado de y em x 127 SOLUÇÃO a Há quatro pontos e portanto três splines Usando a Eq 565 as equações das splines são b O valor interpolado de y em x 127 é obtido com a substituição do valor x na equação de f2x acima 230 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 562 Splines quadráticas Nas splines quadráticas a interpolação é feita com polinômios de segunda ordem Fig 519 Em um conjunto de n pontos há n 1 intervalos e usando a forma padrão a equação do polinômio no iésimo intervalo localizado entre os pontos xi e xi 1 é dada por 566 De forma geral há n 1 equações Como cada equação tem três coefi cientes um total de 3n 1 3n 3 coefi cientes têm que ser determinados Os coefi cien tes são determinados com a aplicação das seguintes condições c A função criada no MATLAB para implementar a interpolação linear usando splines é chamada de YintSplineLinearxyXint x e y são vetores com as coordenadas dos pontos forne cidos e Xint é a coordenada do ponto no qual y deve ser interpolado Programa 56 Função defi nida pelo usuário Splines lineares SplineLinear calcula a interpolaçao usando splines lineares Variáveis de entrada x Vetor com as coordenadas x dos pontos dados y Vetor com as coordenadas y dos pontos dados Xint Coordenada x do ponto a ser interpolado O comprimento do vetor x fornece o número de termos contidos nos dados Determina o intervalo que inclui Xint Calcula Yint com a Eq 565 Variável de saída Yint O valor interpolado de Xint A função SplineLinearxyXint é usada em seguida na janela de comandos do MATLAB para calcular o valor interpolado de x 127 Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 231 1º intervalo 2º intervalo intervalo n 1 iésimo intervalo Figura 519 Splines quadráticas 1 Cada polinômio fix deve passar pelos pontos fi nais do intervalo xi yi e xi 1 yi 1 o que signifi ca que fixi yi e fixi 1 yi 1 567 568 Como há n 1 intervalos essa condição fornece 2n 1 2n 2 equa ções 2 Nos nós internos as inclinações derivadas primeiras dos polinômios de intervalos adjacentes são iguais Isso signifi ca que com a transição da curva que passa por um nó interno de um polinômio para outro a inclina ção deve ser contínua A derivada primeira do iésimo polinômio é 569 Para n pontos o primeiro ponto interno é i 2 e o último é i n 1 Igua lando as derivadas primeiras em todos os pontos internos obtémse 570 Como há n 2 pontos internos essa condição fornece n 2 equações Juntas as duas condições fornecem 3n 4 equações Entretanto os n 1 po linômios têm 3n 3 coefi cientes de forma que uma equação adicional condição é necessária para que os coefi cientes sejam obtidos A condição comumente apli cada assume que a derivada segunda seja nula no primeiro ou no último ponto Considere a primeira escolha descrita em detalhe no item 3 3 A derivada segunda no primeiro ponto x1 y1 é nula O polinômio no primeiro intervalo entre o primeiro e o segundo ponto é 571 232 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas A derivada segunda do polinômio é f1x 2a1 que quando igualada a zero resulta em a1 0 Essa condição signifi ca na realidade que uma linha reta conecta os dois primeiros pontos a inclinação é constante Nota sobre as splines quadráticas e cúbicas Splines quadráticas têm derivada primeira contínua em pontos internos nós Em um conjunto de n pontos elas requerem a solução de um sistema linear com 3n 4 equações para que os coefi cientes dos polinômios sejam determinados Conforme mostrado na próxima seção splines cúbicas têm derivadas primeira e segunda con tínuas nos pontos internos e podem ser escritas em uma forma que requer a solução de um sistema linear com apenas n 2 equações em função dos coefi cientes O Exemplo 57 mostra a aplicação das splines quadráticas na interpolação de um conjunto de dados com 5 pontos Exemplo 57 Splines quadráticas A partir do conjunto de dados com cinco pontos a seguir x 8 11 15 18 22 y 5 9 10 8 7 a Determine as splines quadráticas que fazem o ajuste dos dados b Determine o valor interpolado de y em x 127 c Trace um gráfi co com os pontos do conjunto de dados e os polinômios interpoladores SOLUÇÃO a Há cinco pontos n 5 e portanto quatro splines i 1 2 4 A equação quadrática para a iésima spline é Há quatro polinômios e como cada polinômio tem três coefi cientes 12 coefi cientes têm que ser determinados no total Os coefi cientes são a1 b1 c 1 a2 b2 c 2 a3 b3 c 3 a4 b4 e c 4 O coefi ciente a1 é igual a zero ver condição 3 Os outros 11 coefi cientes são determinados a partir de um sistema linear de 11 equações Oito equações são obtidas a partir da condição descrita nas Eqs 567 e 568 que diz que em cada intervalo o polinômio deve passar pelos pontos fi nais Três equações são obtidas a partir da condição que diz que nos nós interiores as inclinações derivadas primeiras dos polinômios de intervalos adjacentes são iguais Eq 570 Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 233 O sistema de 11 equações lineares pode ser escrito na forma matricial 572 O sistema da Eq 572 é resolvido no MATLAB coeficientes coeficientes De posse dos coefi cientes os polinômios são b O valor interpolado de y em x 127 é calculado com a substituição do valor de x em f2x c O gráfi co ao lado mostra os pontos do con junto de dados e as curvas descritas pelos po linômios O gráfi co mostra claramente que a primeira spline é uma linha reta inclinação constante 234 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 563 Splines cúbicas Em splines cúbicas a interpolação é feita com polinômios de terceira ordem Para um conjunto de dados com n pontos há n 1 intervalos Como cada um dos polinômios de terceira ordem tem quatro coefi cientes a determinação de todos os coefi cientes pode requerer um grande número de cálculos Conforme explicado anteriormente neste capítulo polinômios podem ser escritos de diver sas maneiras padrão Lagrange Newton e em tese qualquer uma delas pode ser usada para representar as splines cúbicas Na prática contudo a quantidade de cálculos varia bastante com a forma do polinômio utilizado A apresenta ção a seguir mostra duas deduções de splines cúbicas A primeira usa a forma padrão dos polinômios e a segunda usa uma variação da forma de Lagrange A dedução da forma padrão é mais fácil de acompanhar de entender e de usar ela é similar à dedução das splines quadráticas mas requer a solução de um sistema com 4n 4 equações A dedução baseada na forma de Lagrange é mais sofi sticada mas requer a solução de apenas n 2 equações lineares Splines cúbicas com polinômios na forma padrão Para um conjunto de dados com n pontos conforme mostrado na Fig 520 há n 1 intervalos Usando a forma padrão a equação do polinômio do iésimo in tervalo localizado entre os pontos xi e xi 1 é dada por 573 De forma geral há n 1 equações Como cada equação tem quatro coefi cien tes 4n 1 4n 4 coefi cientes têm que ser determinados no total Os coefi cien tes são obtidos com a aplicação das seguintes condições 1 Cada polinômio fix deve passar pelos pontos fi nais do intervalo xi yi e xi 1 yi 1 o que signifi ca que fixi yi e fixi 1 yi 1 574 575 1º intervalo 2º intervalo iésimo intervalo intervalo n 1 Figura 520 Splines cúbicas Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 235 Como há n 1 intervalos essa condição fornece 2n 1 2n 2 equa ções 2 Nos nós internos as inclinações derivadas primeiras dos polinômios de intervalos adjacentes são iguais Isso signifi ca que com a transição da curva que passa por um nó interno de um polinômio para outro a inclina ção deve ser contínua A derivada primeira do iésimo polinômio é 576 Para n pontos o primeiro ponto interno é i 2 e o último é i n 1 Igua lando as derivadas primeiras em cada um dos pontos internos obtémse 577 Como há n 2 pontos internos essa condição fornece n 2 equações 3 Nos nós internos as derivadas segundas dos polinômios de intervalos ad jacentes devem ser iguais Isso signifi ca que com a transição da curva que passa por um nó interno de um polinômio para outro a taxa de inclina ção curvatura deve ser contínua A derivada segunda do polinômio no iésimo intervalo é 578 Para n pontos o primeiro ponto interno é i 2 e o último i n 1 Igua lando as derivadas segundas em todos os pontos internos obtémse 579 Como há n 2 pontos internos essa condição fornece n 2 equações Juntas as três condições fornecem 4n 6 equações Entretanto os n 1 poli nômios têm 4n 4 coefi cientes e com isso duas equações condições adicionais são necessárias para que os coefi cientes sejam obtidos As condições geralmente escolhidas assumem que a derivada segunda seja nula no primeiro e no último ponto Isso resulta em duas equações adicionais 580 Splines cúbicas com derivadas segundas igualadas a zero nos pontos fi nais do intervalo são chamadas de splines cúbicas naturais A aplicação de todas as condições leva a um sistema de 4n 4 equações com 4n 4 coefi cientes Esse sis tema pode ser resolvido com a aplicação de algum dos métodos do Capítulo 4 Splines cúbicas baseadas em polinômios na forma de Lagrange A dedução de splines cúbicas usando a forma de Lagrange começa com a derivada segunda do polinômio A Fig 521 mostra a interpolação spline com polinômios cúbicos em a as derivadas primeiras dos polinômios em b e as suas derivadas segundas em c A fi gura mostra um iésimo intervalo com intervalos adjacentes i 1 e i 1 A derivada segunda de um polinômio de terceira ordem é uma função linear Isso signifi ca que dentro de cada spline a derivada segunda é uma função 236 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas linear de x ver Fig 521c No iésimo intervalo essa função linear pode ser escrita na forma de Lagrange 581 onde os valores da derivada segunda do polinômio de segun da ordem nos pontos fi nais nós do intervalo são e O polinômio de terceira ordem no intervalo i pode ser determinado integrandose a Eq 581 duas vezes A expressão resultante contém duas constantes de integração Essas duas constantes podem ser determinadas a partir da condição que diz que os valores dos polinômios nos nós são conhecidos Uma vez determinadas as constantes de integração a equação do polinômio de terceira ordem no intervalo i é dada por 582 Para cada intervalo a Eq 582 contém duas incógnitas e Esses são os valores da derivada segunda nos pontos fi nais do intervalo As equa ções que relacionam os valores das derivadas segundas nos n 2 pontos internos podem ser deduzidas a partir da continuidade das derivadas primeiras dos polinô mios de intervalos adjacentes nos pontos internos 583 Essa condição é aplicada usando a Eq 582 para escrever as expressões em função de fix e fi 1x calculando as derivadas dessas expressões e substituindo essas derivadas na Eq 583 Tais operações resultam após um pouco de álge bra nas equações a seguir 584 Esse é um sistema de n 2 equações lineares contendo n incógnitas Figura 521 a Polinômio de terceira ordem e b suas deriva das primeiras e c segundas Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 237 Como se determina o polinômio em cada intervalo Para n pontos pertencentes a um conjunto de dados há n 1 intervalos O polinômio cúbico em cada intervalo é dado pela Eq 582 total de n 1 polinômios Os n 1 polinômios contêm n coefi cientes a Estes são os va lores das derivadas segundas dos polinômios nos pontos Assumese que a derivada segunda nos nós internos seja contínua Isso signifi ca que nos nós internos as derivadas segundas de polinômios de intervalos adjacentes são iguais Conseqüentemente para n pontos há n valores o valor da derivada segunda em cada ponto que precisam ser determinados As Eqs 584 fornecem um sistema de n 2 equações lineares em função dos n coefi cientes a Para obter os valores dos coefi cientes duas relações adicionais são necessárias Mais comumente a derivada segun da nos pontos fi nais dos dados o primeiro e o último ponto é igualada a zero splines cúbicas naturais 585 Com essas condições o sistema linear das Eqs 584 pode ser resolvido e os coefi cientes podem ser substituídos nas equações dos polinômios Eqs 582 Splines cúbicas com as derivadas segundas igualadas a zero nos pontos fi nais são chamadas de splines cúbicas naturais Forma simplifi cada das equações A forma das Eqs 582 e 584 pode ser simplifi cada defi nindose hi como o com primento do iésimo intervalo os intervalos não têm que ter o mesmo tamanho 586 e ai como a derivada segunda do polinômio no ponto xi 587 Com essas defi nições a equação do polinômio no iésimo intervalo é 588 e o sistema de equações lineares que precisa ser resolvido para os termos ai é dado por 589 Para realizar a interpolação com splines cúbicas a Eq 589 é usada para escrever um sistema de n 2 equações com n 2 incógnitas de a2 a an 1 lembre 238 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas que com splines cúbicas naturais a1 e an são iguais a zero A Eq 589 resulta em um sistema tridiagonal de equações que pode ser resolvido de forma efi ciente usando a Eq 588 O Exemplo 58 mostra uma solução do problema do Exem plo 57 usando splines cúbicas Nota sobre o uso de splines cúbicas no MATLAB Há uma função disponível no MATLAB dedicada ao método das splines cúbicas Entretanto a opção cubic também chamada de pchip não corresponde a esse método sendo spline a opção apropriada Contudo mesmo quando a opção spline é usada o usuário deve estar atento ao fato de que essa função não se refere às splines naturais descritas neste capítulo As splines cúbicas dis poníveis no MATLAB na opção spline usam condições nóanó nos pontos fi nais isto é no primeiro e no último ponto do conjunto de dados A condição nóanó se refere ao fato de que as derivadas terceiras são contínuas no segundo e no penúltimo ponto Exemplo 58 Splines cúbicas A partir do conjunto de dados com cinco pontos a seguir x 8 11 15 18 22 y 5 9 10 8 7 a Determine as splines cúbicas naturais que fazem o ajuste dos dados b Determine o valor interpolado de y em x 127 c Trace um gráfi co com os pontos do conjunto de dados e os polinômios interpoladores SOLUÇÃO a Há cinco pontos n 5 e portanto quatro splines i 1 4 A equação cúbica da iésima spline é onde hi xi 1 xi As quatro equações contêm cinco coefi cientes desconhecidos a1 a2 a3 a4 e a5 Nas splines cúbicas naturais os coefi cientes a1 e a5 são iguais a zero Os outros três coefi cientes são determinados a partir de um sistema linear de três equações dado pela Eq 589 Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 239 O sistema de três equações lineares pode ser escrito na forma matricial 590 O sistema da Eq 590 é resolvido no MATLAB Conhecendose os coefi cientes os polinômios são a partir da Eq 588 240 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 57 USO DE FUNÇÕES RESIDENTES DO MATLAB PARA FAZER O AJUSTE DE CURVAS E A INTERPOLAÇÃO O MATLAB possui funções residentes para fazer o ajuste de curvas e a interpolação Além disso ele dispõe de uma ferramenta iterativa para fazer o ajuste de curvas chamada de interface básica de ajuste Esta seção descreve como usar as funções polyfi t para fazer o ajuste de curvas e interp1 para interpolação Os polinô mios podem ser facilmente usados e manipulados matematicamente no MATLAB O comando polyfi t O comando polyfi t pode ser usado para fazer o ajuste de curvas em um conjunto de n pontos usando polinômios de vários graus e também para determinar o poli nômio de ordem n 1 que passa por todos os pontos A forma do comando é p é um vetor contendo os coeficientes do polinômio que melhor se ajusta aos dados x e y são vetores com as coordenadas horizontal e vertical dos pontos respectivamente m é o grau do polinômio O comando interp1 O comando interp1 o último caractere no comando é o número 1 executa a in terpolação unidimensional em um ponto O formato do comando é método yi é o valor interpolado variável dependente x e y são vetores com as coordenadas horizontal e vertical dos pontos respectivamente xi é o valor de x no qual desejase interpolar y Método de interpolação digitado como uma variável string b O valor interpolado de y em x 127 é calculado com a substituição do valor de x em f2x c O gráfi co ao lado mostra os pontos do conjunto de dados e o polinômio Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 241 O vetor x deve ser monotônico os elementos devem estar na ordem ascen dente ou descendente xi pode ser um escalar interpolação em um ponto ou um vetor interpolação em vários pontos yi é um escalar ou um vetor correspondendo aos valores interpolados nos pontos xi O MATLAB pode interpolar usando um dentre vários métodos que podem ser especifi cados Tais métodos incluem nearest retorna o valor do ponto do conjunto de dados mais próxi mo ao ponto interpolado linear usa interpolação por spline linear spline usa interpolação por spline cúbica com condições nóa nó onde as derivadas terceiras no segundo e no penúltimo ponto são contínuas Esta não é a spline natural apresentada neste capítulo pchip também chamada de cubic usa a interpolação cúbica de Hermite por partes Quando os métodos nearest e linear são usados os valores de xi devem estar dentro do domínio de x Se os métodos spline ou pchip forem usados xi pode ter valores fora do domínio de x e a função interp1 realiza a interpolação O método spline pode resultar em erros elevados se os dados de entrada estiverem nãouniformemente distribuídos com alguns pontos mais próximos entre si do que outros A especifi cação do método é opcional Se nenhum método for especifi cado o padrão é linear Dois exemplos do uso de funções residentes do MATLAB no ajuste de cur vas e na interpolação são mostrados a seguir Primeiramente a função polyfi t é usada na determinação do polinômio de quarta ordem que se ajusta aos pontos do Exemplo 53 O polinômio que corresponde a estes coeficientes é fx 02644x4 31185x3 101927x2 128780x 02746 No segundo exemplo o comando interp1 é usado para fazer a interpolação do Exemplo 58 242 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Atribui os pontos do conjunto de dados a x e y Vetor com os pontos para a interpolação Calcula os valores interpolados Cria um gráfico com os pontos do conjunto de dados e os valores interpolados O gráfi co resultante é mostrado na Fig 522 O MATLAB também tem uma ferramenta iterativa para fa zer o ajuste de curvas e a interpolação chamada de interface bá sica de ajuste de curvas Para ativar essa interface o usuário deve gerar um gráfi co a partir do conjunto de dados e então selecionar na janela da fi gura Basic Fitting no menu Tools uma descrição detalhada da interface básica de ajuste de curvas pode ser encontrada no livro MATLAB An Introduction with Applications de Amos Gilat Wiley 2005 58 AJUSTE DE CURVAS USANDO UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE FUNÇÕES NÃOLINEARES O método dos mínimos quadrados que foi aplicado na Seção 52 para fazer o ajuste de curvas usando funções lineares e também na Seção 54 usando poli nômios quadráticos e de ordem superior pode ser generalizado para permitir o ajuste de curvas a partir de uma combinação linear de funções nãolineares Uma combinação linear de m funções nãolineares pode ser escrita como 591 onde f1 f2 fm são funções prescritas e C1 C2 Cm são coefi cientes desconheci dos Usando uma regressão por mínimos quadrados a Eq 591 é usada para fazer o ajuste de um conjunto de n pontos x1 y1 x2 y2 xn yn minimizando o erro total dado pela soma dos quadrados dos resíduos 592 A função E na Eq 592 tem um mínimo nos valores dos coefi cientes C1 C2 Cm onde a derivada parcial de E em relação a cada um dos coefi cientes é igual a zero 593 A substituição da Eq 592 na Eq 593 resulta em 594 Figura 522 Interpolação usando a função interp1 do MATLAB Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 243 Como os coefi cientes C1 C2 Cm são independentes uns dos outros 595 e com isso a Eq 594 se torna 596 A última equação pode ser rescrita na forma 597 Na Eq 597 xi yi e fkxi são grandezas conhecidas e C1 C2 Cm são as incógnitas O conjunto de Equações 597 é um sistema de m equações lineares em função das incógnitas C1 C2 Cm As funções fkx podem ser funções quaisquer Por exemplo se Fx C1f1x C2f2x de tal forma que f1x 1 e f2x x então as Eqs 597 se reduzem às Eqs 59 e 510 Se as funções fkx são escolhidas para que Fx seja quadrática isto é f1x 1 e f2x x e f3x x 2 então a Eq 597 se reduz às Eqs 523525 Em geral as funções fkx são escolhidas em função de alguma teoria capaz de prever a tendência dos dados O Exemplo 59 mostra como o método é usado para fazer o ajuste de um conjunto de dados empregando funções nãolineares Exemplo 59 Ajuste de curvas usando uma combinação linear de funções nãolineares Os seguintes dados são obtidos a partir de testes em túnel de vento para a variação da relação entre a velocidade tangencial de um vórtice e a velocidade de fl uxo y VθV versus a relação entre a dis tância do núcleo do vórtice e o eixo principal da asa de um avião x RC x 06 08 085 095 10 11 12 13 145 16 18 y 008 006 007 007 007 006 006 006 005 005 004 A teoria prediz que a relação entre x e y deve ter a forma Determine os valores de A e B usando o método de mínimos quadrados para fazer o ajuste dos dados acima SOLUÇÃO Na notação da Eq 591 a função de aproximação é Fx C1f1x C2f2x com Fx y C1 A C2 B e A equação tem dois termos e com isso m 2 como há 11 pontos n 11 A substituição dessa informação na Eq 597 fornece o seguinte sistema de duas equações lineares para A e B 244 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas Essas duas equações podem ser rescritas como O sistema pode ser escrito na forma matricial O sistema é resolvido no MATLAB O programa a seguir resolve o sistema e em seguida traça um gráfi co contendo os pontos do conjunto de dados e a curva de ajuste x 06 08 085 095 10 11 12 13 145 16 18 y 008 006 007 007 007 006 006 006 005 005 004 a11 sum1x2 a12 sumexp2x2x2 a21 a12 a22 sumexp4x2x2 b11 sumyx b21 sumyexp2x2x AB ab xfi t 0600218 yfi t AB1xfi t AB2exp2xfi t2xfi t plotxyoxfi tyfi t Quando o programa é executado os coefi cientes obtidos são mostrados na janela de comandos do MATLAB os dois elementos do vetor AB e um gráfi co contendo os pontos do conjunto de dados e a curva de ajuste é criado Janela de comandos Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 245 59 PROBLEMAS Problemas de solução manual Resolva manualmente os problemas a seguir Quando necessário use uma calcu ladora ou escreva um programa no MATLAB para realizar os cálculos Não utilize funções residentes do MATLAB para realizar o ajuste de curvas e interpolação 51 Com base no seguinte conjunto de dados x 2 5 6 8 9 13 15 y 7 8 10 11 12 14 15 a Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coefi cien tes m e b da função y mx b que melhor se ajusta aos dados b Use a Eq 55 para determinar o erro global 52 Com base no seguinte conjunto de dados x 7 5 1 0 2 5 6 y 15 12 5 2 0 5 9 a Use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar os coefi cien tes m e b da função y mx b que melhor se ajusta aos dados b Use a Eq 55 para determinar o erro global 53 Os dados a seguir fornecem a população aproximada do mundo em anos selecionados de 1850 até 2000 Ano 1850 1900 1950 1980 2000 População Bilhões 13 16 3 44 6 Assuma que o crescimento da população possa ser modelado por uma função exponencial p be mx onde x é o ano e p é a população em bilhões Linearize essa função Seção 53 e use a regressão linear por mínimos qua drados para determinar as constantes b e m para as quais a função fornece o melhor ajuste para os dados Use essa equação para estimar a população em 1970 54 Com base no seguinte conjunto de dados x 02 01 02 07 13 y 52 3 06 04 02 Determine os coefi cientes m e b da função que melhor se ajus ta aos dados linearize a equação Seção 53 e use a regressão linear por mínimos quadrados para determinar o valor dos coefi cientes 246 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas 55 Com base no seguinte conjunto de dados x 1 3 5 7 10 y 22 50 55 61 66 Determine os coefi cientes m e b da função que melhor se ajusta aos dados linearize a equação Seção 53 e use a regressão linear por míni mos quadrados para determinar o valor dos coefi cientes 56 Para medir g a aceleração da gravidade realiza se o experimento a seguir Uma bola é solta do topo de um edifício de 30 m de altura À medida que o objeto vai caindo sua velocidade v vai sen do medida em várias alturas por sensores presos ao edifício Os dados medidos no experimento são fornecidos na tabela x m 0 5 10 15 20 25 v ms 0 985 1432 1763 1934 2241 Em termos das coordenadas mostradas na fi gura positivo para baixo a velocidade da bola em função da distância x é dada por v 2 2gx Usando a regressão linear determine o valor experimental de g 57 A pressão atmosférica p em função da altura h pode ser modelada por uma função exponencial na forma p be mh Os valores a seguir correspondem à pressão medida em diferentes alturas Usando a regressão linear determine as constantes m e b que fazem o melhor ajuste dos dados Use a equação para estimar a pressão atmosférica em uma altura de 7000 m h m 0 5000 10000 15000 20000 p Pa 100000 47500 22600 10800 5100 58 No processo de fabricação de fi bras eletroforéticas o diâmetro da fi bra d está relacionado à corrente I Os seguintes dados são medidos durante a produção I nA 300 300 350 400 400 500 500 650 650 d μm 22 26 27 30 34 33 335 37 42 A relação entre a corrente e o diâmetro pode ser modelada com uma equação na forma Use os dados para determinar as constantes a e b que fazem o melhor ajuste dos dados 59 Determine os coefi cientes do polinômio y a2x 2 a1x a0 que fazem o me lhor ajuste dos dados fornecidos no Problema 55 Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 247 510 Usando o método dos mínimos quadrados Seção 58 faça o ajuste dos dados a seguir usando a combinação de uma linha reta sen x e e x x 01 04 05 07 07 09 y 061 092 099 152 147 203 511 A economia de um carro kmlitro varia com sua velocidade Em um expe rimento são feitas as cinco medições a seguir Velocidade kmh 16 40 64 88 112 Economia kmlitro 42 92 10 107 86 Determine o polinômio de Lagrange de quarta ordem que passa pelos pon tos Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a 105 kmh 512 Determine o polinômio interpolador de Newton de quarta ordem que passa pelos pontos dados no Problema 511 Use esse polinômio para calcular a economia de combustível a 48 kmh 513 Com base no seguinte conjunto de dados x 1 25 2 3 4 5 y 1 7 5 8 2 1 a Escreva o polinômio de Lagrange que passa pelos pontos e então useo para calcular o valor interpolado de y em x 35 b Escreva o polinômio de Newton que passa pelos pontos e então useo para calcular o valor interpolado de y em x 35 514 Interpole os dados do Problema 511 usando splines lineares e calcule a eco nomia de combustível à velocidade de a 48 kmh b 105 kmh 515 Interpole os dados do Problema 511 usando splines quadráticas e calcule a economia de combustível à velocidade de a 48 kmh b 105 kmh 516 Interpole os dados do Problema 511 usando splines cúbicas naturais basea das nos polinômios de Lagrange Eqs 586589 e calcule a economia de combustível à velocidade de a 48 kmh b 105 kmh Problemas de programação no MATLAB Resolva os seguintes problemas usando o MATLAB Não use funções residentes para realizar o ajuste de curvas e a interpolação 517 Modifi que a função RegressaoLinear criada no Programa 51 Além de determinar as constantes a1 e a0 a função modifi cada deve calcular o 248 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas erro global E de acordo com a Eq 56 Chame a função de aEr RegLinxy Os argumentos de entrada x e y são vetores com as coorde nadas dos pontos O argumento de saída a é um vetor com dois elementos contendo os valores das constantes a1 e a0 O argumento de saída Er é o valor do erro global a Use a função para resolver o Exemplo 51 b Use a função para resolver o Problema 52 518 Escreva uma função no MATLAB que determine o melhor ajuste de uma função exponencial na forma y be mx a um determinado conjunto de da dos Chame a função de bm ExpoFitxy onde os argumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e os argumentos de saída b e m são os valores dos coefi cientes A função ExpoFit deve usar a abordagem descrita na Seção 53 para determinar o valor dos coefi cientes Use a função para resolver o Problema 57 519 Escreva uma função no MATLAB que determine o melhor ajuste de uma função na forma y bx m a um determinado conjunto de dados Chame a função de bm PowerFitxy onde os argumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e os argumentos de saída b e m são os valores dos coefi cientes A função PowerFit deve usar a abordagem descrita na Seção 53 para determinar o valor dos coefi cientes Use a função para resolver o Problema 53 520 Escreva uma função no MATLAB que determine o melhor ajuste de uma função na forma fx a2x 2 a1x a0 a um determinado conjunto de dados Chame a função de a QuadFitxy onde os argumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e o argumento de saída a é um vetor de três elementos contendo os valores dos coefi cientes a2 a1 e a0 a Use a função para determinar o polinômio quadrático que faz o melhor ajus te dos dados do Exemplo 52 b Escreva um programa que faça o traçado dos pontos do conjunto de dados e do polinômio quadrático que faz o melhor ajuste 521 Escreva uma função no MATLAB que determine o melhor ajuste de uma fun ção na forma fx a3x 3 a2x 2 a1x a0 a um determinado conjunto de dados A função também deve calcular o erro global E de acordo com a Eq 56 Chame a função de aEr CubicPolyFitxy onde os ar gumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e o argumento de saída a é um vetor de quatro elementos contendo os valores dos coefi cientes a3 a2 a1 e a0 O argumento de saída Er é o valor do erro global a Use CubicPolyFit para determinar o polinômio cúbico que faz o melhor ajuste dos dados do Exemplo 53 Capítulo 5 Ajuste de Curvas e Interpolação 249 b Escreva um programa que faça o traçado dos pontos do conjunto de dados e do polinômio cúbico que faz o melhor ajuste 522 Escreva uma função no MATLAB que faça interpolação usando splines cú bicas naturais Chame a função de Yint CubicSplinesxyXint onde os argumentos de entrada x e y são vetores com as coordenadas dos pontos e Xint é a coordenada x do ponto interpolado O argumento de saída Yint é o valor de y no ponto interpolado a Use a função nos dados do Exemplo 58 para calcular o valor interpolado em x 127 b Use a função nos dados do Problema 527 para calcular a entalpia por unida de de massa em T 14000 K e T 24000 K Problemas na matemática na ciência e na engenharia Resolva os seguintes problemas no ambiente MATLAB Use programas apresen tados neste capítulo programas desenvolvidos em problemas já resolvidos ou funções residentes do MATLAB 523 Em um teste de tensão uniaxial esticase em uma máquina um corpo de prova no formato de um osso canino Durante o teste a força F é aplicada no corpo de prova e o comprimento L da deformação é medido A tensão real σt e a deformação real εt são defi nidas por onde A0 e L0 são a área inicial da seção reta e a deformação inicial respecti vamente A curva tensãodeformação real é freqüentemente modelada por A tabela a seguir apresenta os valores de F e L medidos em um experi mento Use a abordagem da Seção 53 para determinar o valor dos coefi cien tes K e m que fazem o melhor ajuste dos dados A área inicial da seção reta e a deformação inicial são A0 125 10 4 m 2 e L0 00125 m F kN 246 293 315 333 348 357 366 375 388 396 404 L mm 1258 1282 1291 1295 1305 1321 1335 1349 1408 1421 1448 524 O fator concentração de tensão k é a relação entre a tensão máxima σmáx e a tensão média σméd k σmáx σméd Para uma placa com espessura D pos suindo um furo central de diâmetro d carregada com uma força axial F ver fi gura a tensão máxima ocorre na 250 Métodos Numéricos para Engenheiros e Cientistas borda do buraco e a tensão média é dada por σméd FtD d onde t é a dureza da placa O fator concentração de tensão medido em cinco testes com placas possuindo diferentes relações dD é mostrado na tabela dD 005 025 045 065 085 k 291 240 217 211 203 a Use uma função exponencial k be mdD para modelar a relação entre k e dD Determine os valores de b e m que fazem o melhor ajuste dos dados b Trace um gráfi co com os pontos do conjunto de dados e o modelo de ajuste c Use o modelo para predizer o fator de concentração de tensão para dD 015 525 Um anemômetro de fi o quente é um dispositivo usado para medir a velocidade de fl uxo a partir do efeito de resfriamento causado pelo fl uxo na resistência de um fi o quente Os dados a seguir são obtidos em testes de cali bração u ms 144 381 611 863 1142 1263 1475 1678 V Volt 718 73 737 742 747 75 753 755 u ms 2035 1803 1603 1439 1303 997 775 249 V Volt 758 756 755 753 751 747 744 728 Determine os coefi cientes da função exponencial u Ae BV que faz o me lhor ajuste dos dados a usando a função ExpoFit desenvolvida no Problema 518 b usando funções residentes do MATLAB Em cada letra trace um gráfi co com os pontos do conjunto de dados e o modelo de ajuste 526 A tensão limite de escoamento σy de vários metais varia com o tamanho dos grãos Muitas vezes a relação entre o tamanho do grão e a tensão limite de escoamento é modelada com a equação de HallPetch Os dados a seguir resultam da medição do tamanho médio dos grãos e da tensão limite de escoamento de uma amostra d mm 0006 0011 0017 0025 0039 0060 0081 0105 σy MPa 334 276 249 235 216 197 194 182 a Determine as constantes σ0 e d tais que a equação de HallPetch faça o melhor ajuste dos dados Trace um gráfi co representando os pontos com Capitulo5 Ajuste de Curvas e Interpolacao 251 marcadores circulares e a equacao de HallPetch como uma linha continua Use a equacao de HallPetch para estimar a tensdo de escoamento de um espécime com graos de 005 mm b Use a fungao QuadFit do Problema 520 para determinar a funcgao quadra tica que faz o melhor ajuste dos dados Trace um grafico representando os pontos com marcadores circulares e a funco quadratica como uma linha continua Use a equacao quadratica para estimar a tensdo de escoamento de um espécime com graos de 005 mm 527 Valores de entalpia por unidade de massa h de um plasma de Arg6énio em equilfbrio fons Ar Ar A A e elétrons versus temperatura sao Pw W h MJkg 1011 1329 1455 1714 2258 2609 Escreva um programa que use a interpolacao para calcular em tempe raturas entre 5000 K e 30000 K em incrementos de 500 K O programa deve gerar um grafico que mostre os valores interpolados e os dados da tabela use um asterisco para representalos a Para realizar a interpolacgdo use a funcao CubicSplines do Problema 522 b Para realizar a interpolacdo use a fungao residente do MATLAB interp1 com a opao spline 528 Os dados a seguir correspondem a medicao do coeficiente de taxa k para a reagdo CH O CH OH em diferentes temperaturas T kx 10 212 312 144 306 803 131 186 240 489 604 868 ms a Use 0 método dos minimos quadrados para fazer 0 ajuste de uma fungao na forma Ink C bInT 7 aos dados Determine as constantes C b e D realizando a combinacao linear das fungoes fT 1 f7 InT e fT IT Secao 58 b Usualmente 0 coeficiente de taxa expresso na forma da equagao de Ar rhenius k AT RD onde A e Db sao constantes R 8314 JmoleK é a constante universal dos gases e E a energia de ativacao da reacao Tendo determinado as constantes C b e D na letra a deduza os valores de A ms e E Jmole na expressao de Arrhenius