Apresentação sobre a Lei dos Grandes Números e a Desigualdade de Chebyshev

APRESENTAÇÃO A LEI DOS GRANDES NÚMEROS E A DESIGUALDADE DE C Profa Dra Daniela Müller de Quevedo httpspixabaycom A LEI DOS GRANDES NÚMEROS LEI DOS GRANDES NÚMEROS A lei dos grandes números foi provada pelo matemático James Bernoulli sendo esse um dos teoremas fundamentais da teoria da probabilidade Também chamada de Primeiro Teorema Fundamental de Probabilidade é derivada da análise de jogos de azar como sorteio de bilhetes de loteria ou arremesso de dados A lei dos grandes números descreve o resultado obtido coma realização sucessiva de um experimento onde a média dos resultados obtidos tende a convergir para o valor esperado média à medida que a número de realizações do experimento tende ao infinito Ou seja à medida que aumentam o número de realizações do experimento aumenta a probabilidade da média aritmética dos resultados observados a se aproximar da probabilidade real A Lei dos grandes números se aplica somente para um grande número de realizações de um experimento e garante resultados estáveis a longo prazo para médias de eventos aleatórios A DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV LEI DOS GRANDES NÚMEROS A ideia da lei dos grandes números é bastante intuitiva então antes de enunciarmos esta lei vamos tentar analisar a sua ideia através de alguns exemplos Exemplo 1 Seja X uma variável aleatória que representa o lançamento de duas moedas honestas Jogandose uma moeda honesta duas vezes obtemos o seguinte conjunto de possibilidades S Ca Ca K K Ca k K Ca Observamos que a variável número de caras em cada lançamento assume os valores 0 1 2 Então se jogarmos sucessivamente as duas moedas a média de caras que ocorre em cada lançamento tende a ser 1 ou seja tende a EX Lançamento 1º 2º 3º 4º 5º 6º Tendência da Média nº caras 0 1 0 2 2 1 1 Simulação para a quantidade de caras em lançamentos sucessivos de duas moedas LEI DOS GRANDES NÚMEROS Exemplo 2 Quando lançamos um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 a probabilidade de ocorrência de cada um dos eventos é 16 1667 sendo estes eventos equiprováveis Após um grande número de jogadas um a cada seis lances cairá a face 1 um a cada seis lances cairá a face 2 e assim por diante para todos resultados possíveis Deste modo obtemos Apesar de nenhuma face ter o valor 35 esse representa o valor médio das faces voltadas para cima na realização dos n experimentos Gráfico O Gráfico representa uma simulação do valor médio das faces obtidas à medida que aumentamos a quantidade de lançamentos Observamos no gráfico uma convergência para o valor médio 35 à medida que aumenta o número de lançamentos LEI DOS GRANDES NÚMEROS Estudos realizados por diversos autores como Bernoulli Chebyshev Poisson e outros deram origem a duas formas da Lei dos grandes números denominadas lei fraca dos grandes números e lei forte dos grandes números Ambas as leis não definem conceitos diferentes mas formas distintas de representar a convergência da probabilidade observada para a probabilidade real Então definimos a lei dos grandes números como converge para o valor esperado Considerando X1 X2 uma sequência infinita de variáveis aleatórias identicamente distribuídas iid e com valor esperado EX1 EX2 µ então ambas as versões fraca e forte da lei dos grandes números determinam quase certamente que a média da amostra Existe a suposição da variância ser finita mas esta não é necessária pois apesar de uma variância muito grande tornar a convergência lenta a lei dos grandes números irá valer de qualquer forma LEI DOS GRANDES NÚMEROS A lei fraca dos grandes números e lei forte dos grandes números Definição Aqui temos no limite quando n tende ao infinito a probabilidade de convergir para µ tende a 1 Aqui temos que a probabilidade no limite quando n tende ao infinito convergir para µ é 1 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV Em matemática a desigualdade de Chebyshev também conhecida por desigualdade de BienayméChebyshev é um resultado da teoria da medida que se aplica diretamente na teoria das probabilidades O nome é dado em honra ao matemático russo Pafnuty Chebyshev quem primeiro apresentou uma demonstração desse teorema A desigualdade de Chebyshev é uma desigualdade que nos diz a proporção dos valores de uma distribuição que fica entre a média e até k desvios padrões distante da média A importância de Chebyshev é que nos permite deduzir limites para as probabilidades quando conhecemos somente a média ou a média e a variância de uma va independente da sua distribuição de probabilidade DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV Definição Seja X uma variável aleatória com esperança EX μ e variância VarX σ2 Então para todo k 0 teremos Se estabelecermos que r é quantidade de desvios e tomando k rσ então teremos 𝑃 𝑋 𝜇𝑟 𝜎 𝜎2 𝑟 2 𝜎2 1 𝑟 2 Se tomarmos que PX µ rσ 1 PX µ rσ então Lembre do teorema do complementar 1 𝑃 𝑋 𝜇𝑟 𝜎 1 𝑟 2 𝑃 𝑋 𝜇𝑟 𝜎 1 1 𝑟 2 𝑃 𝑋 𝜇𝑘 𝜎 2 𝑘2 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV De acordo com essa desigualdade para qualquer distribuição de variância finita a proporção de observações que ficam até r desvios padrões da média é pelo menos A importância dessa desigualdade vem de sua generalidade Repare que a desigualdade se aplica independentemente da distribuição dos dados para todo r1 Por exemplo quando r 2 1 025 075 75 Então a desigualdade de Chebyshev atesta que pelo menos 75 das observações devem estar entre a média e 2 desvios padrões acima ou abaixo da média DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV Exemplo 3 A tabela abaixo apresenta a comparação entre proporção de observações para diferentes valores de r a quantidade de desvios padrões com a proporção para uma distribuição Normal r Proporção Chebishev Proporção distribuição Normal 15 556 8640 2 750 9550 25 840 9880 3 889 9970 35 918 100 4 951 100 10 990 100 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV Exemplo 4 Em um determinado ano a média dos retornos diários do Ibovespa foi de 004 e o desvio padrão diário foi de 273 De acordo com a desigualdade de Chebyshev podemos inferir que Pelo menos 75 dos dias 2 desvios ver tabela do exemplo 3 o retorno diário tem que ficar entre 542 e 550 Para verificar essa afirmativa aplicamos a desigualdade de Chebyshev onde e 2 x 273 546 004 546 542 e 004 546 550 Observação Se considerarmos a distribuição normal o investidor deveria esperar o retorno entre esses valores aproximadamente 95 das vezes Para encontrarmos este valor devemos calcular a probabilidade P542 X 550 considerando que X tem distribuição normal com média de 004 e o desvio padrão diário foi de 273 Então P542 X 550 95 1 025 075 75 1 1 𝑟 2 DESIGUALDADE DE CHEBYSHEV Exemplo 5 Uma fábrica de televisores produz em média 150 unidades por dia com variância de 100 unidades O que podemos dizer sobre a probabilidade de que a produção da fábrica num dado dia fique entre 120 e 180 Não sabemos a distribuição de probabilidade da variável mas podemos fazer uma aproximação por Chebyshev Queremos estimar P120 X 180 Sabemos que a média é de 150 unidades e a variância é 100 então P120 X 180 1 PX 150 30 Aplicamos aqui o teorema do complementar Usando a desigualdade de Chebyshev Logo P120 X 180 1 PX 150 30 Podemos afirmar que a probabilidade é de pelo menos 899 ROSS Sheldon Probabilidade um curso moderno com aplicações 8 Porto Alegre Bookman 2010 1 recurso online ISBN 9788577806881 CASTRO AC MANENTI JP ALVES ZM Lei dos Grandes Números Demonstração Aplicada ao Ensino Capítulo 4 pág 4345 In Educação no Brasil e no Mundo Avanços Limites e contradições Ed Atena 2020 DOI 1022533ated356201701 Disponível em httpswwwatenaeditoracombrpostartigo27928 REFERÊNCIAS