Apresentação sobre Distribuições Contínuas de Probabilidade

APRESENTAÇÃO DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS DE PROBABILIDADE PARTE 1 Profa Dra Daniela Müller de Quevedo httpspixabaycom DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE CONCEITOS BÁSICOS httpspixabaycom DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUA DE PROBABILIDADE a fx0 b 1 fxdx 𝐹 𝑥 1 𝑏𝑎 𝑠𝑒 a 𝑥 𝑏 0𝑠𝑒 𝑥a 𝑒 𝑥𝑏 Exemplo A probabilidade será dada pela área sob a curva da função Para definir uma função de probabilidade contínua é necessário utilizar critérios diferentes das variáveis discretas Isto porque X deverá estar compreendido entre dois valores diferentes sendo que em geral a probabilidade de X assumir um determinado valor é zero Consideremos X uma variável aleatória va contínua Uma função fx que satisfaça as propriedades a seguir é chamada função densidade de probabilidade ou função densidade DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO NORMAL Uma das distribuições de amostragem mais empregadas em técnicas estatísticas para modelar experimentos aleatórios com número de réplicas elevado é a distribuição normal fx ou distribuição de Gauss definida para uma variável aleatória x como sendo f x 1 𝜎 2 𝜋 exp 1 2 x𝜇 𝜎 2 yR com média µ e variância 20 A expressão X Nµ 2 representa uma variável aleatória com média µ e variância 2 Uma distribuição normal padrão é a que apresenta µ 0 e 2 1 Seja X uma variável com distribuição normal assim então Z N 0 1 Observação Lembre que Gráfico A forma da curva normal fica perfeitamente determinada pelos seus parâmetros onde centra a curva determina a extensão do aparelhamento abertura A área sob a curva normal na verdade abaixo de qualquer função de densidade de probabilidade é 1 Então para quaisquer dois valores específicos podemos determinar a proporção de área sob a curva entre esses dois valores DISTRIBUIÇÃO NORMAL Para a distribuição Normal a proporção de valores caindo dentro de um dois ou três desvios padrão da média são Amplitude Interquartil é 133s ou Q3Q1 43s onde s é o desviopadrão Uma forma de identificar se a variável tem distribuição normal é construindo o seu histograma DISTRIBUIÇÃO NORMAL Área total sob a curva é 1 A área em azul é igual a P1X0 A área em vermelho é igual a PX1 Observação Áreas são obtidas em tabelas ou calculadas em computador Para variáveis aleatórias contínuas as probabilidades são representadas pelas áreas sob a curva DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÃO NORMAL TABELA P0z1102 Z1102 P0z11023461 Importante Para uso da tabela é necessário que a variável seja normalizada ou seja Z N0 1 0 Z a P0Z2 04772 4772 2 b P2Z0 04772 472 0 Z 2 c P123 Z 2 03907 04772 8679 0 Z 2 123 d PZ 2 05 04772 228 0 Z 2 e PZ 15 05 04332 9332 15 0 Z 0 Z f P123 Z 2 04772 03907 865 123 2 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Exemplos Cálculo da probabilidade utilizando a tabela da distribuição Normal 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 624 2 11 X Distribuição Normal Z Distribuição Normal Padronizada 𝜎2 𝜎 𝑍1 𝜇4 6 2 𝑋 𝑍 𝜇𝑍0 11 Exemplo 1 Calcular PX 62 considerando que X N4 4 0 50 0 3643 0 3643 8643 DISTRIBUIÇÃO NORMAL NORMALIZAÇÃO DOS VALORES PARA USO DA TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL X Distribuição Normal Z Distribuição Normal Padronizada 𝜎2 𝜎 𝑍1 𝜇4 71 𝑋 𝑍 𝜇𝑍0 155 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 294 2 055 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎 714 2 155 29 055 04394 𝑃 29 𝑋 7102088043946482 02088 Exemplo 2Calcular P29 X 71 considerando que X N4 4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL NORMALIZAÇÃO DOS VALORES PARA USO DA TABELA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL DISTRIBUIÇÃO NORMAL X nº de vendas PX 700 PZ 700 60040 PZ 25 05 04938 062 0 Z 25 Exemplo 3 As vendas de determinado produto têm apresentado distribuição normal com média de 600 unidmês e desvio padrão de 40 unidmês Se a empresa decide fabricar 700 unidades naquele mesmo mês qual é a probabilidade dela não poder atender a todos os pedidos desse mês por estar com a produção completa A probabilidade de que a empresa não consiga atender a todos os pedidos é de 062 Exemplo 4 Através de um estudo verificouse que o tempo necessário para que estudantes de uma universidade completem uma prova tem distribuição normal com média 100 minutos e desvio padrão 20 minutos Qual é a probabilidade do estudante terminar a prova em a mais de 130 minutos b Entre 85 e 95 minutos c Qual é o tempo necessário para que 98 dos estudantes terminem a prova a PX 130 PZ 15 05 04332 668 b P80 X 120P 1 Z 1 0341301293212 c PXx98 aqui estamos fazendo o processo inverso onde temos a probabilidade e desejamos encontrar o valor correspondente 205 Isolando o valor de x na expressão acima X20520100141 minutos DISTRIBUIÇÃO NORMAL 205 é o valor correspondente na tabela da distribuição Normal a uma probabilidade de 048 09805048 ou o seu mais próximo BARBETTA Pedro Alberto Estatística para cursos de engenharia e informática 3 São Paulo Atlas 2010 Recurso online ISBN 9788522465699 CLARK Jeffrey Estatística aplicada 3 São Paulo Saraiva 2010 Recurso online Essencial ISBN 9788502126817 KAZMIER Leonard J Estatística aplicada à administração e economia Porto Alegre Bookman 2006 Recurso online Schaum ISBN 9788577802470 SPIEGEL Murray R Estatística Porto Alegre Bookman 2009 Recurso online Schaum ISBN 9788577805204 REFERÊNCIAS