Distribuições de Probabilidade: Conceitos Básicos - Parte 1

APRESENTAÇÃO DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE PARTE 1 Profa Dra Daniela Müller de Quevedo DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE CONCEITOS BÁSICOS httpspixabaycom Ao realizarse uma série de ensaios sob condições preestabelecidas normalmente observase uma variação de resultados de ensaio para ensaio Essa variação denominase erro experimental e é também um erro estatístico proveniente de condições de ensaio incontroláveis A existência deste erro caracteriza a variável de resposta como sendo uma variável aleatória que pode ser discreta se apresentar um número finito de valores possíveis ou contínua se apresentarse dentro de um intervalo de valores A probabilidade de uma variável aleatória x é dada pela sua distribuição de probabilidade Caso a variável seja discreta essa distribuição é uma função probabilidade Px caso seja contínua passa a ser denominada função densidade de probabilidade Fx DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE CONCEITOS BÁSICOS S R P D 0 1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Para trabalharmos o conceito de distribuição de probabilidade é necessário inicialmente trabalhar o conceito de variável aleatória va Quando trabalhamos com probabilidade o primeiro conceito a ser definido é o de Espaço amostral S que é o conjunto de possibilidades quando realizamos um experimento e assim associamos as suas respectivas probabilidades Nesse caso definimos uma variável aleatória como sendo uma função que associa elementos do espaço amostral ao conjunto de números reais ou seja uma variável quantitativa que pode ser discreta ou contínua cujo resultado valor depende de fatores aleatórios Exemplo1 Analisando um lote de lâmpadas produzido em determinado dia classificamos as lâmpadas como sendo perfeitas P ou defeituosas D Se desejamos observar o número de defeitos X podemos atribuir valores numéricos reais R atribuindo a P o valor zero e D o valor 1 Então X será uma va Definição Uma distribuição discreta de probabilidade ddp descreve o comportamento de uma variável aleatória va em função da probabilidade de ocorrência de cada valor que esta variável assume Teremos a distribuição discreta de probabilidade ddp quando for possível associar uma probabilidade a cada evento da va e a soma das probabilidades de todos os eventos é igual a 1 um DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE Cada valor da va assume uma probabilidade e a soma é igual a 1 X 0 1 2 Ʃ Probabilidade 14 24 14 1 Exemplo2 Jogandose uma moeda honesta duas vezes Ca cara Kcoroa S Ca Ca K K Ca k K Ca A cada evento de S associaremos um número real Para isto vamos definir X como sendo o número de caras que ocorrem em cada lançamento X número de caras 0 1 2 Assim obtemos a distribuição de probabilidade da va X número de caras quando lançamos duas moedas DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE Exemplo 3 Jogandose dois dados onde X representa a soma dos números obtidos nas faces isto é Xabab XS23456789101112 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Soma PX 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136 1 PX 9 436 11 PX 9 636 17 PX 6 1536 417 Espaço Amostral S É a soma de mais alta probabilidade Aqui obtemos a distribuição de probabilidade da variável soma das faces quando lançamos dois dados VALOR ESPERADO ESPERANÇA E VARIÂNCIA Tal como para conjunto de dados de amostras de populações é frequentemente útil descrever uma distribuição de probabilidade em termos de sua média e de sua variância A média é chamada de valor esperado da distribuição de probabilidade 𝐸 𝑋 𝑥1 𝑛 𝑥𝑖 Var 𝑋𝐸 𝑋 2 E a variância é determinada por A esperança é determinada por Onde representa cada possível valor da va X e P a sua respectiva probabilidade VALOR ESPERADO ESPERANÇA E VARIÂNCIA Exemplo 3 Jogandose uma moeda honesta duas vezes onde X número de caras 0 1 2 já encontramos a sua distribuição de probabilidade Agora encontre a sua respectiva esperança e variância Sabemos que Logo EX 0 14 1 24 2 14 44 1 O número esperado de caras Ca quando lançamos duas moedas é 1 Var 𝑋𝐸 𝑋 2 Encontraremos agora a sua variância 𝐸 𝑋 𝑥1 𝑛 𝑥𝑖 onde já sabemos que EX1 Logo A variância de caras Ca quando lançamos duas moedas é 05 VALOR ESPERADO ESPERANÇA E VARIÂNCIA EX 0 005 1 010 2 015 3 025 4030 5010 6005 315 O número esperado de caminhões em uma determinada hora é de aproximadamente 3 com desvio padrão de 15 caminhões Observe que temos uma ddp onde cada valor possível da va assume uma probabilidade e a somas das probabilidades é um Tabela 1 Chegadas de caminhões por hora em um depósito Número de Caminhões X 0 1 2 3 4 5 6 Probabilidade PX 005 010 015 025 030 010 005 𝐸 𝑋 20 2 0 05 1 2010 6 2 005 Exemplo 4 O número de caminhões que chegam por hora a um depósito segue a distribuição de probabilidade dados pela tabela 1 Calcule o número esperado e a variância de chegadas por hora desta distribuição de probabilidade Através da variância podemos encontrar o desvio padrão 𝜎 𝑋 𝑉𝑎𝑟 𝑋2131 46 VALOR ESPERADO ESPERANÇA E VARIÂNCIA PROPRIEDADES DA ESPERANÇA E VARIÂNCIA A partir dos parâmetros µ s2 e c constante temse as seguintes propriedades 1 Ec c 2 Ey µ 3 Ecy cEy c µ 4 Vc 0 5 Vy s2 6 Vcy c2Vy c2s2 7 Ey1 y2 Ey1 Ey2 µ1 µ2 11 Ey1y2 Ey1Ey2 µ1 µ2 Onde y1 e y2 são variáveis aleatórias com médias iguais a µ1 e µ2 e variâncias iguais a s1 2 e s2 2 Para trabalharmos distribuições de probabilidade é importante definir algumas propriedades da Esperança e da Variância DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO BERNOULLI Conforme o experimento da moeda visto no exemplo 2 é possível identificar que ao lançarmos uma moeda é possível a ocorrência de duas possibilidades cara ou coroa Assim como este exemplo muitos experimentos admitem apenas dois resultados como por exemplo 1 O resultado de um exame médico para detecção de uma doença é positivo ou negativo 2 O candidato passa ou não em concurso 3 No lançamento de um dado ocorre ou não face 3 Quando um experimento apresenta respostas binárias alternativas dicotômicas essas podem ser representadas por respostas do tipo sucessofracasso Nesse caso identificaremos como sendo p a probabilidade de sucesso e 1p a probabilidade de fracasso Experimentos com esta característica recebem o nome de Ensaios de Bernoulli dando origem a variáveis aleatórias que apresentam a distribuição de Bernoulli DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI Definição Uma va X apresenta distribuição de Bernoulli quando os seus eventos assumem apenas dois valores sendo 1 se ocorrer sucesso e 0 se ocorrer fracasso com probabilidade p de sucesso e 1p de fracasso A sua distribuição de probabilidade é dada por A sua função de probabilidade é dada por Observação Para indicar que uma va tem distribuição de Bernoulli com parâmetro p utilizamos a notação XBernoulli p Se uma va tem XBernoullip então a sua Esperança é dada por EXp e a sua Variância dada por VarXp1 p DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI X 0 1 PX 1p p PX x px1 p1 x para x 0 1 Exemplo 5 Suponha que em conjunto de 300 contas a pagar acreditase que 10 delas contenham um erro Selecionando aleatoriamente uma conta qual a probabilidade que ela não contenha um erro Nesse caso consideramos que sucesso 1 é conta sem erro logo p 290300 0967 967 Observação Note que o sucesso é estabelecido pelo evento para o qual queremos encontrar a probabilidade que no caso do exemplo 5 era contas sem erro Exemplo 6 Um exame é constituído por questões que apresentam 5 alternativas onde apenas uma é correta Qual a probabilidade de alguém que nada sabe a respeito do conteúdo acertar uma questão marcando aleatoriamente uma alternativa No exemplo 6 o sucesso é acertar a questão então se cada questão apresenta 5 alternativas onde apenas uma é a correta p15 020 20 DISTRIBUIÇÃO DE BERNOULLI CASTRO AC MANENTI JP ALVES ZM Lei dos Grandes Números Demonstração Aplicada ao Ensino Capítulo 4 pág 4345 In Educação no Brasil e no Mundo Avanços Limites e contradições Ed Atena 2020 DOI 1022533ated356201701 Disponível em httpswwwatenaeditoracombrpostartigo27928 ROSS Sheldon Probabilidade um curso moderno com aplicações 8 Porto Alegre Bookman 2010 Recurso online ISBN 9788577806881 REFERÊNCIAS