Matemática Financeira: SériEs Uniformes de Capitais Diferidos e Financiamentos

Matemática Financeira SÉRIES UNIFORMES DE CAPITAIS DIFERIDOS SÉRIES POSTECIPADAS AS SÉRIES UNIFORMES DE CAPITAIS O TIPO DE SÉRIE DE PAGAMENTOS PARA QUITAR UM FINANCIAMENTO O VALOR ATUAL DA SÉRIE POSTECIPADA E MUITO MAIS APRESENTAÇÃO C aroa alunoa seja bemvindoa Nesse módulo estudaremos como os empréstimos que fazem parte do nosso cotidiano são formalizados no sistema econômico Você já precisou de um empréstimo para a aquisição de um bem ou serviço Pois é o mercado tem o que precisamos o crédito Como sabemos crédito é a confiança entre as partes e para tal os produtos são oferecidos pelo mercado financeiro em várias formas de transações como os financiamentos consórcios leasing dentre outros e que para tal realização a dívida é formalizada em títulos ou parcelas denominadas prestações Algumas decisões financeiras assim como alguns grandes sonhos requerem planejamento que necessitam de um financiamento E para que isso ocorra é necessário que utilizem as operações financeiras Mas quais os procedimentos no mercado financeiro para que tais sonhos possam se concretizar Pois é podem ser os modelos de financiamentos Por exemplo ao comprar um imóvel se não tiver o dinheiro para pagar à vista terá que diluir esta dívida em períodos com o bancofinanciadora ou a construtora Às vezes nem se trata da compra de um bem mas de um empréstimo usado para fins variados e para tal realização os pagamentos serão feitos em forma periódica denominadas parcelas ou prestações Prestação Você sabe o que é e como é feito o cálculo que representam o financiamento E ainda que tipos de financiamentos existem Estas respostas serão tratadas nesse módulo em que apresentaremos a solução de cada problema pelas fórmulas e pela calculadora HP12C com bastante clareza e simplicidade Você verá Enfatizaremos em nosso estudo os tipos de financiamentos existentes no regime composto em forma de séries uniformes de pagamentos Para fazermos um trabalho com qualidade precisamos que tenha muita disposição compromisso dedicação e disciplina Conte sempre conosco Muito sucesso OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final desse módulo você deverá ser capaz de Definir as Séries Uniformes de Capitais Classificar as séries de capitais Distinguir o tipo de série de pagamentos para quitar um financiamento Calcular o Valor Atual da Série Postecipada Calcular o Montante da série Postecipada Manusear a HP12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas operações de financiamentos ou investimentos em forma de séries de capitais Aplicar no cotidiano nas transações de crediário novas formas de cálculos de pagamentos de uma dívida contraída pelo financiamento postecipado com ou sem entrada FICHA TÉCNICA FUMEC VIRTUAL SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes Paixão Transposição Pedagógica Pollyana Barbieri Pazzini Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M Valadares Design Multimídia Matheus Guerra de Araújo InfraEstrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Profa Isabel Cristina Dias Alves Lisboa Profa Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto BELO HORIZONTE 2013 SÉRIES UNIFORMES DE CAPITAIS DIFERIDOS SÉRIES POSTECIPADAS Introdução Séries de capitais disponíveis ou pagamentos vencíveis em datas diferentes são conjuntos de pagamentos ou recebimentos de valores nominais iguais que se encontram dispostos em períodos de tempo constantes ao longo de um fluxo de caixa denominadas séries uniformes Representaremos esses pagamentos recebimentos por T ou PMT Abaixo temos um fluxo de uma dívida PV representada por uma série de n pagamen tos PMT PV PMT PMT PMT PMT 1 0 períodos 2 n1 n Esse conjunto de capitais disponíveis ou pagamentos vencíveis em datas diferentes ou as várias aplicações feitas em datas diferentes é que constituem as Séries A série de pagamentos tem por finalidade Constituir um montante no futuro Pagar uma dívida assumida hoje em forma de empréstimo ou de algum bem adquirido a prazo Pagar o uso de um bem ou serviço como no caso de aluguéis ou salários Outros Então podese dizer que a série exibe o retorno do capital por meio de pagamentos iguais em intervalos de tempo constan tes A representação de séries fica bem ilustrada nas situações de empréstimo ou aquisições de bens e na formação de um capital futuro por intermédio dos depósitos programados Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos consecutivos são chamados períodos das séries e estudare mos as séries de períodos constantes Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 149 GLOSSÁRIO Nas séries teremos os seguintes termos TPMT Valor de cada um dos pagamentos da série também denominado Termo Prestação Vencimento Parcela Depósito Títulos dentre outros n quantidade de termos quantidade de pagamentos ou depósitos periódicos que formam a série i taxa de juros cobrada no financiamento e que estão embutidos nas prestações ou que é utilizada nas correções dos depósitos programados em investimentos A PV Valor Atual ou Valor Presente de uma Série é a soma dos valores presentes de cada um dos pagamentos PMT calculados numa data dada anterior às datas de disponibilidade desses pagamentos com uma taxa também fixada M FV Valor Futuro ou Montante de uma Série é a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos PMT calculada numa data dada posterior às datas de disponibilidade desses pagamentos com uma taxa também fixada Classificação das Séries As séries podem se classificar quanto aos seguintes requisitos Prazo Certas ou Temporárias O prazo de pagamentos ou recebimentos é finito Perpétuas O prazo é infinito Periodicidade Periódica Períodos iguais Não periódica Períodos distintos Valores dos Termos Uniforme ou Constante Termos iguais Variável Termos distintos Vencimentos Postecipada Os pagamentos ocorrem no final de cada período Antecipada Os pagamentos ocorrem no início de cada período Diferida Os pagamentos sistematicamente ocorrem após uma carência Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 150 A partir desses requisitos poderemos ter um esquema das séries SÉRIES Temporárias Periódicas Uniformes Póstecipadas Antecipadas Diferidas Variáveis Não Periódicas Perpétuas Em nosso estudo abordaremosas séries Certas Periódicas Uniformes Postecipadas Antecipadas e Diferidas Séries Uniformes de Pagamentos ou de Recebimentos Uma série é uniforme quando todos os seus termos pagamentos ou recebimentos são iguais constantes feitos em períodos homogêneos ou seja os pagamentos e recebi mentos têm vencimentos valores e número préestabelecidos com a taxa de juros fixada As séries de pagamentos uniformes são utilizadas de sobremaneira no mercado pelas financeiras principalmente por meio dos empréstimos pessoais conhecidos como CDC Crédito Direto ao Consumidor além é claro de uma forma geral no comércio Vamos começar fazendo algumas indagações O que é Prestação Prestação é um pagamento a ser realizado num futuro próximo composto por duas parce las uma é a parte da dívida Q cota de amortização a outra é o juro embutido J Representaremos os termos da série por T ou PMT Assim temos PMT parte da dívida juros PMT Q J ATENÇÃO Nas prestações estão embutidos juros porque como já vimos o dinheiro é corrigido em função do tempo Nesse módulo trataremos das Séries Uniformes Postecipadas Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 151 Séries Uniformes Postecipadas Você sabe o que é uma série Uniforme Postecipada O próprio nome nos remete a pensar em pagar após um período não é Então podese dizer que são as séries constantes periódicas e com o primeiro pagamen to efetuado no fim do primeiro período e os demais sucessivamente Veja o fluxo abaixo PV PMT PMT PMT PMT 1 0 períodos 2 n1 n Essa série é também chamada de Ordinária Vencida ou Imediata Podemos citar alguns exemplos de séries postecipadas dentre outros como Salários Aluguéis Financiamentos Se a série tiver como objetivo a constituição do capital então estaremos procurando o montante da série ao contrário ou seja se o objetivo for à amortização de um capital então o valor procurado será o valor atual da série Portanto a seguir estaremos estudando o Valor Atual de uma série de pagamentos e o Montante de uma série de depósitos O cálculo de Valor Futuro ou de Valor Presente da série de prestações no regime de juros compostos requer a utilização de algumas fórmulas matemáticas que por exigirem conhecimentos mais apurados progressões não serão totalmente dedu zidas nesse módulo Essas equações são denominadas transcendentes ou seja não há solução algébrica para resolvêlas no que diz respeito ao cálculo das taxas porque para resolvêlas precisaríamos de recursos auxiliares como as tabelas financeiras e do cálculo de interpolação desses valores tabelados Mas se usarmos a HP12C a tecnologia estará a nosso favor simplificando esses cálculos porque a mesma já está programada para isto Assim a utilização dos comandos financeiros da HP12C será o melhor e mais prático recurso Para usarmos a HP12C os comandos que agilizam os cálculos das séries postecipadas são No entanto no visor da máquina não aparece nenhuma mensagem Mas como isto será feito Vamos lá Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 152 VALOR ATUAL DE UMA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA A PV Chamase Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme a soma dos valores presen tes de cada um dos pagamentos ou recebimentos PMT calculados numa data anterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros fixada Para uma série formada por n pagamentos PMTT teremos o Valor Atual APV como sendo o somatório de todos os valores atuais das PMT na data Zero como mostra o diagrama temporal abaixo 1 2 3 n1 n 0 A1 A2 T1 T2 T3 i Tn1 Tn A3 An1 An O valor Atual da série será A A1 A2 A3 An1 An A T1i 1 T1i 2 T1i 3 T1i n1 T1i n Colocando T em evidência temos A T1i 1 1i 2 1i 3 1i n1 1i n Temos aí nesse colchete uma soma de termos 1i n que representaremos por S A T S onde S 1i 1 1i 2 1i 3 1i n1 1i n Tomando a expressão S e multiplicandoa por 1i temos 1i S 1 1i 1 1i 2 1i 3 1i n 1 S iS 1 1i 1 1i 2 1i 3 1i n 1 iS 1 1i 1 1i 2 1i 3 1i n 1 S Mas como S 1i 1 1i 2 1i 3 1i n i 1i n e substituindo vem iS11i1 1i2 1i31in11i11i21i31in 11i n iS 11i 1 1i 2 1i 31in1 1i1 1i2 1i3 1in11in Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 153 E juntando os termos semelhantes opostos temos 1 1 1 1 1 1 11 1 1 n n n n i S i i S i i i S i Explicitando S teremos 11 1 1 1 1 1 n n n n i S i i i S i i i Voltando a equação A T S e substituindo S teremos assim o Valor Atual da série é dado pela fórmula 1 1 1 n n i A T i i Na Hp12C já se tem essa equação programada internamente portanto basta informar os dados utilizando o comando da série postecipada que são e ela nos fornecerá o resultado desejado Veja o exemplo a seguir Carlos adquiriu um computador financiado em 10 prestações de R12500 cada vencí veis ao fim de cada mês Sabendose que a loja cobrou uma taxa de juros de 12am determine o valor à vista desse financiamento Resolução DADOS VALORES Valor da prestações PMT T 12500 Taxa Unitária de juros i 12am 0012am Quantidade de pagamentos n 10 meses Regime de Capitalização mensal Tipo de Série Postecipada 8 Valor Atual da Série dívida APV Resolução algébrica Fórmula 1 1 1 n n i A T i i Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 154 Substituindo os dados temos 10 10 10 10 1 0012 1 125 00121 0012 1012 1 125 00121012 A A Resolvendo a potência 101210 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 9 0000000000 12 1200000000 100 0012000000 1 1012000000 10 1126691778 1126691778 1 125 00121126691778 0126691778 125 0013520301 1259370484785 1171310598 117131 A A A A A Portanto o valor do financiamento ou o valor do computador à vista é R 117131 Resolvendo esse mesmo problema pela HP12C é bem mais simples mas lembrese que Um dos comandos financeiros monetários tem que anular e nesse caso é o FV A taxa é centesimal e combina com o período dos pagamentos A classificação da série deve ser feita utilizando nesse caso Não há hierarquia na entrada de dados Não se esqueça da formatação de fluxo de caixa Entradas e Saídas ou seja a função CHS Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 155 Com levantamento dos dados do problema veja a seguir DADOS VALORES Valor da prestações PMT T 12500 Taxa Centesimal de juros i 12am Quantidade de pagamentos n 10 prestações mensais Comando Monetário Anulado FV 0 Regime de Capitalização mensal Tipo de Série Postecipada Valor Atual da Série dívida APV Acionando os comandos da HP12C temos DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 9 0000000000 8 0000000000 0 0000000000 125 1250000000 10 1000000000 12 1200000000 1171310598 2 117131 Assim o valor financiado foi de R 117131 para a aquisição desse computador Vamos ver outro exemplo Ao comprar um televisor no valor de R 165000 Mara paga de entrada 30 do valor e financia o restante em 12 prestações mensais vencendo a primeira um mês após a compra Determine o valor de cada parcela mensal sabendose que a taxa efetiva anual de juros desse financiamento foi de 3608 IMPORTANTE Você se lembrou da conversão das Taxas Efetivas Equivalentes Vamos voltar Nesse caso foi uma descapitalização da taxa anual para mensal 0 100 13608 12 2600511301 260 Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 156 Resolução Vamos inicialmente resolvêla algebricamente DADOS VALORES Valor da TV 165000 Entrada 30 de 165000 49500 Financiamento Restante 70 de 165000 115500 Valor Atual da Série financiamento APV 115500 Taxa Unitária de juros i 3608aa 260am 0026am Quantidade de pagamentos n 12 prestações mensais Comando Monetário Anulado FV 0 Regime de Capitalização mensal Tipo de Série Postecipada Valor das Prestações PMT T Utilizando a fórmula e substituindo os dados temos 12 12 1 1 1 1026 1 1155 00261026 1360718625 1 1155 00261360718625 0360718625 1155 0035378684 1155 1019593104 1155 1019593104 1132804837 11328 n n i A T i i T T T T T T T A entrada foi deR 49500 e financiou o restante em 12 mensais de R 11328 cada Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 157 A resolução tecnológica HP12C é simples veja DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 9 0000000000 8 0000000000 165000 1650000000 30 49500000000 1155000000 1155000000 0 0000000000 12 1200000000 26 2600000000 1132804837 2 11328 Portanto o valor de cada prestação mensal é de R 11328 A seguir estudaremos um pouco de série constituída por um conjunto de depósitos para formar um montante Vamos lá MONTANTE DE UMA SÉRIE UNIFORME POSTECIPADA M FV Chamase Valor Futuro Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos calculados numa data posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também fixada Veja um exemplo de série de depósitos postecipados num fluxo de caixa formando um valor futuro 1 0 2 3 n1 n T1 T2 T3 i Tn1 Tn Mn PMTn Mn1 M3 M2 M1 Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 158 Faremos o uso das relações matemáticas para chegar a uma equação que nos dê a fórmu la de calcular o Valor Futuro montante de uma série com uma quantidade n de termos periódicos T Sabe como faremos isso Então vamos lá Achar o Valor Futuro de um capital qualquer no regime composto é capitalizálo para uma data futura ou seja corrigilo adicionar juros e para isso temos M C1 i n Vamos fazer isso para cada um dos termos da série M M1 M2 M3 M n1 Mn M T11i n1 T2 1i n2 T3 1i n3 Tn1 1i n n1 Tn 1i nn No entanto os termos são iguais T1 T2 T3 Tn T então M T1i n1 T1i n2 T1i n3 T1i 1 T1i 0 M T1i n1 T1i n2 T1i n3 T1i 1 T Colocando T em evidência temos M T1 i n1 1i n2 1i n3 1i 11 Como se trata de uma progressão geométrica cuja razão é 1i dentro dos colchetestemos uma soma de n termos que nos dará seguinte fórmula 1 1 i n M T i TOME NOTA Não se esqueça na HP12C taxa utilizada será a percentual ou centesimal mas em toda fórmula financeira a taxa utilizada será a unitária O Tempo n e a Taxa i deverão estar sempre numa mesma referência temporal Por exem plo se n for em anos a taxa será ao ano aa se for n meses a taxa será ao mês am e assim em diante Vamos ver alguns exemplos A fim de constituir uma poupança Marcos faz depósitos programados de R110000 ao final de cada mês durante dois anos Determine o saldo dessa série sabendose que a taxa de juros foi de 061 ao mês Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 159 Resolução DADOS VALORES Tipo de série Postecipada 8 Valor Atual Dívida A PV 0 Valor de cada depósito PMT 110000 Taxa Mensal de juros i 061am 00061am Quantidade de depósitos mensais n 2 anos 24 meses Regime de Capitalização mensal Valor Futuro ou Montante MFV Inicialmente vamos resolver por fórmula 1 1 i n M T i Substituindo os dados temos 24 1 1 1 00061 1 1100 00061 1100 1157144448 1 00061 1100 0157144448 00061 11002576138492 2833752341 2833752 i n M T i M M M M M M Assim ao final de 2 anos o saldo da poupança será de R 2833752 A resolução tecnológica é bem mais simples basta para isso que você se lembre de Cancelar o comando monetário não utilizado adicionar o zero em PV A taxa tem que ser na forma centesimal Colocar o comando da classificação da série Postecipada 8 Vamos lá Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 160 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 9 0000000000 8 0000000000 110000 1100000000 0 0000000000 24 2400000000 061 0610000000 2833752344 2 2833752 Viu como é simples Veja outro exemplo Uma pessoa faz depósitos no fim de cada mês durante um ano Sabendose que ao final desse período o seu saldo era de R 707941 determine o valor de cada depósito se a taxa anual de juros aplicada era de 694 Resolução Inicialmente vamos transformar descapitalizar a taxa anual em efetiva mensal e depois vamos substituir os dados na fórmula 0 100 10694 12 0560714000 056 Assim DADOS VALORES Tipo de série Postecipada 8 Valor Atual Dívida A PV 0 Futuro ou Montante AMF 707941 Taxa Mensal de juros i 056am 00056am Quantidade de depósitos mensais n 1 ano12 meses Regime de Capitalização mensal Valor de cada depósito PMT T Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 161 1 1 i n M T i 12 1 00056 1 707941 00056 1069308887 1 707941 00056 0069308887 707941 00056 707941 1237658696 57200 T T T T T Assim ao final de um ano para que o saldo da poupança seja de R 707941 será neces sário fazer ao final de cada mês depósitos de R 57200 A resolução tecnológica é bem mais simples IMPORTANTE Lembrese que para o uso de comandos financeiros basta cancelar a função monetária não utilizada e que a taxa deve ser na forma centesimal E para a série Postecipada acionar os comandos Vamos lá DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 9 0000000000 8 0000000000 707941 7079410000 0 0000000000 12 1200000000 056 0560000000 5720001846 2 57200 Bem mais simples não é Agora tente resolver sozinho ATIVIDADE Acesse as Atividades de Fixação no material didático online da disciplina Séries Uniformes de Capitais Diferidos Séries Postecipadas 162 163 Síntese Você pode constatar que nesse módulo o estudo das séries de capitais nos forneceu o instrumento necessário para estabelecer as realizações necessárias à elaboração de planos para poupança financiamento recomposição de dívidas a avaliação de alternati vas de investimentos ou outros modelos Em nosso cotidiano há apelos de consumo através de propagandas como também planos de poupança através de depósitos que se adaptam aos mais diversos orçamentos familia res ou empresariais não é Assim para que se possa parcelar uma dívida ou para recom por os débitos é necessário que a pessoa se submeta a formar uma série de capitais disponíveis em épocas diferentes Por exemplo quando uma pessoa física ou jurídica assume uma dívida que pode ser um empréstimo ou financiamento se na data da realização ela não possuir capital suficiente para pagar a vista então ela combinará a quitação dessa dívida parceladamente em n prestações iguais e periódicas segundo juros propostos pelo credor formando assim a série de capitais pagamentos Outro exemplo que temos é a constituição de uma quantia para o futuro montante que para isso será necessários compor uma série de capitais ou seja depositar periodicamen te importâncias iguais para atingir esse objetivo Portanto o cálculo das séries de capitais nos permitirá a compreensão de informações financeiras ligadas a linhas de créditos projetos de investimento avaliação de ações e taxa de retorno sobre projeto de investimentos Não importando o objetivo da série vimos que em função da complexidade de trabalhar o regime composto na forma algébrica a melhor maneira é utilizar a HP12C cujo procedi mento é muito praticado devido a sua precisão operacionalidade e agilidade Espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria para aplicar no seu cotidiano quando quiser se programar para fazer depósitos para constituir uma previsão futura ou para contrair uma dívida pela aquisição de bem ou serviço Aguardo por vocês em uma próxima oportunidade Até lá Referências ASSAF NETO AlexandreMatemática financeira e suas aplicações 10ª edição São PauloAtlas 2008 BRUNI Adriano Leal FAMA Rubens Matemática Financeira com HP12C e Excel São Paulo Atlas 2002 CASTA Nelson Pereira NHEIRAMACEDO Luiz Roberto Dias de Matemática Financeira Aplicada Curitiba IBPEX 2010 httpfumecbvirtualcombreditions2267matematicafinanceiraaplicada3ed dp searchid5145229searchresultstypeEdition CASTELO BRANCO Anísio CostaMatemática Financeira Aplicada Método Algébrico HP12C Microsoft Excel 2ª edição rev São Paulo CengageLearnig 2008 CRESPO Antônio Arnot Matemática Financeira Fácil 14ª ed São Paulo Saraiva 2009 FARIA ROGÉRIO GOMES DE Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP12C São Paulo Ática 2007 GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel Uma abordagem Descomplicada São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 HAZZAN Samuel José Nicolau Pompeo Matemática Financeira6ª ed São Paulo Saraiva 2007 MERCHEDE AlbertoMatemática Financeira São Paulo Atlas 2001 MULLER Aderbal Nicolas et ANTONIK Luís RobertoMatemática FinanceiraSão Paulo Saraiva 2012 NASCIMENTO Marco Aurélio Introdução à Matemática Financeira São Paulo Saraiva 2011 PUCCINI Abelardo de Lima Matemática Financeira Objetiva e Aplicada 9ª ed São Paulo Elsevier 2011 SAMANÉZ Carlos Patrício Matemática FinanceiraSão Paulo Pearson Prentice Hall2010 httpfumecbvirtualcombreditions2541matematicafinanceiradpsearchid4970723searchresultstypeEdition TOSI Armando JoséMatemática Financeira com utilização da HP12C 2ª ed Edição Compacta São Paulo Atlas 2009