Matemática Financeira: Operações Comerciais e Cálculos de Lucro

Matemática Financeira OPERAÇÕES COMERCIAIS TRANSAÇÕES ENVOLVENDO LUCRO INCIDÊNCIA DOS CÁLCULOS NA FIXAÇÃO DE LUCRO PORCENTAGENS NAS TRANSAÇÕES USUAIS DE COMPRA E VENDA HP12C E SEUS PRINCIPAIS COMANDOS ALGÉBRICOS E NAS OPERAÇÕES COM PORCENTAGENS OS RESULTADOS DE LUCRO OBTIDOS EM OPERAÇÕES COMERCIAIS INCIDÊNCIA DOS CÁLCULOS NA FIXAÇÃO DE LUCRO PORCENTAGENS NAS TRANSAÇÕES USUAIS DE COMPRA E VENDA HP12C E SEUS PRINCIPAIS COMANDOS ALGÉBRICOS E NAS OPERAÇÕES COM PORCENTAGENS OS RESULTADOS DE LUCRO OBTIDOS EM OPERAÇÕES COMERCIAIS APRESENTAÇÃO C aroa alunoa seja bemvindoa Com o intuito de deixálo atualizado e informado neste módulo você aprenderá a aplicar muitos conceitos matemáticos em seu cotidiano muitos desses conceitos são vivenciados por você Por exemplo para fixarmos preços ou para determinarmos os resultados das operações de lucro ou de prejuízo há necessidade de realizarmos determinados cálculos que envolvem regra de três simples e porcentagens Então é aí que aplicamos nossos conhecimentos matemáticos Conto com você com muita disposição compromisso dedicação e disciplina para que juntos possamos realizar um excelente trabalho Estudar a distância é uma experiência fascinante Estude bastante tenha uma ótima aprendizagem e muito sucesso OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final desse módulo você será capaz de Identificar e distinguir a incidência dos cálculos na fixação de lucro Calcular porcentagens nas transações usuais de compra e venda de mercadorias com fundamentação de cálculos algébricos e tecnológicos Manusear a HP12C nos principais comandos algébricos e nas operações com porcenta gens para determinação de preços e resultados das transações comerciais Aplicar no cotidiano em situações relacionadas a transações comerciais cálculos que envolvam lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda Verificar os resultados de lucro obtidos em operações comerciais FICHA TÉCNICA FUMEC VIRTUAL SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes Paixão Transposição Pedagógico Tâmara Santos Soares Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M Valadares Design Multimídia Matheus Guerra de Araújo Raphael Gonçalves Porto Nascimento InfraEstrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Profa Isabel Cristina Dias Alves Lisboa Profa Stella Maris Dias Nassif C Pinto BELO HORIZONTE 2013 OPERAÇÕES COMERCIAIS TRANSAÇÕES ENVOLVENDO LUCRO Introdução OPERAÇÕES COMERCIAIS Vamos começar nossos estudos analisando as Operações Comerciais Você saberia defi nir que operações são essas Pois bem as Operações Comerciais são transações realiza das no comércio de mercadorias com a finalidade de obter lucro No entanto quando não são bem sucedidas podem produzir resultados negativos gerando prejuízos Compras vendas e permutas de mercadorias são alguns exemplos de operações comerciais Para a realização dessas operações é necessário determinar os cálculos para a fixação de preços ou para a determinação de resultados seja lucro ou prejuízo Dentre esses cálculos apli caremos as porcentagens e a regra de três simples Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 27 E por falar em porcentagens é frequente no comércio e na contabilidade ocorrerem dúvi das sobre o referencial utilizado para aplicar as porcentagens de lucro ou prejuízo ou seja sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda Mas o que seria esse tal preço de custo eou preço de venda da mercadoria Bem a compra de mercadoria é dada por um determinado preço chamado de preço de custo PC já a realização da venda deste mesmo produto é dado por um preço denomi nado preço de venda PV Compreendeu TOME NOTA Note que o resultado dessa negociação pode gerar lucro ou prejuízo dependendo do preço que a mercadoria é repassada ao mercado para o consumidor SAIBA MAIS O preço de custo PC de uma mercadoria é composto por todas as despesas que são gera das como aquisição de matéria prima a fabricação inclusive com custos das instalações a estocagem o transporte a manutenção desse produto e até mesmo a promoção da sua venda O preço de venda PV é o valor cobrado ao consumidor e que deve cobrir o custo direto da mercadoria ou produto ou serviço as despesas variáveis como impostos comissões etc as despesas fixas proporcionais ou seja aluguel água luz telefone salários e outros custos Estudaremos a seguir como as vendas são realizadas sobre esses dois referenciais preço de custo e preço de venda onde teremos geração de lucro Para verificar matematica mente o resultado das vendas basta você subtrair o PC preço de custo do PV preço de venda ok Resultado PV PC Note que quando o preço de venda é maior que o preço de custo dizemos que a venda foi efetuada com lucro pois o resultado dessa subtração será um valor positivo ou seja o lucro é positivo Vamos conversar um pouco mais sobre o Lucro Tenho certeza que este é um assunto que muito lhe interessa Transações Comerciais com Lucro O que é Lucro Lucro do latim lucrum significa ganho vantagem É o retorno posi tivo de um investimento ou negócio feito por um indivíduo ou uma pessoa Simplificando entenderemos o lucro como a diferença entre o preço de venda PV e o preço de Custo compra PC ou seja lucro preço de venda preço de custo lucro PV PC Operações comerciais Transações envolvendo lucro 28 SAIBA MAIS Você sabia que na contabilidade o lucro bruto é a diferença positiva entre receita e custo As vendas realizadas com lucro acontecem quando o preço de venda PV é maior do que o preço de custo PC gerando resultado positivo Você pode verificar este resultado através da fórmula L PV PC 0 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO Você sabe o que significa porcenta gem sobre o custo Pois é quando o cálculo do lucro em bases percentuais incide sobre o preço de custo do produto adquiri do temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo que é o processo normal adotado pelos comerciantes Se por exemplo o preço de custo de certo produto foi de R 20000 e na sua venda ganhássemos um lucro de 10 então estaríamos vendendoo por R 2000 a mais isto é por R22000 Na resolução desse problema tomamos como refe rencial o preço de custo que representa os 100 do referencial e para calcular o preço de venda adicionamos 10 do preço do custo assim o preço da venda correspondeu a 110 do Total dos 100 ou seja do valor do preço de custo Assim podemos concluir que ao final o preço total é de R22000 110 de R20000 ou R22000 11 x R20000 Outra lógica é calcular os 10 do valor do custo e adicionálo ou seja 10 de R20000 corresponde a R2000 que adicionado ao valor inicial resulta em R22000 Desta forma se a compra de determinada mercadoria é vendida com um lucro de i podemos dizer que nesta operação o lucro em espécie da operação foi determinado sobre o preço de custo Assim quando o lucro incide sobre o Preço de Custo tomamos como base de referência o preço de custo ou seja ele é o todo 100 Então por meio de regra de três simples temos 100 100 PC PV i Operações comerciais Transações envolvendo lucro 29 Aplicando a proporcionalidade e equacionando temos 100 100 PC PV i Pela propriedade fundamental das proporções que nos diz que produto dos meios é igual ao produto dos extremos temos 100 100 100 100 100 100 100 100 100 PV PC i PC i PV i PV PC i PV PC Substituiremos a taxa centesimal por ic ou seja 100 c i i Portanto 1 c PV PC i A taxa ic é denominada taxa unitária de lucro sobre o preço de custo IMPORTANTE O referencial preço de custo PC é 100 e como o resultado é lucro então o preço de venda PV é maior que 100 ou seja 100i A seguir veja algumas aplicações deste importante conceito Aplicação 1 Sabendo que uma calça jeans cujo preço de custo é R12500 ao ser vendida teve um lucro de 8 Assim qual seria o preço de venda dessa mercadoria Bem os dados que temos são DADOS VALORES Preço de custo TODO 12500 Porcentagem de lucro sobre PC 8 008 Preço de venda PARTE IMPORTANTE Quando não for mencionado o referencial para o cálculo do lucro deveremos sempre considerar esse cálculo sobre o preço de custo porque é o mais usado Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 30 Resoluções Você verá alguns tipos de resoluções a 1ª resolução é Algébrica por meio da Regra deTrês Simples Veja só 100 100 125 100 100 8 125 100 108 PC PV i PV PV Substituímos os valores PC pelo preço de custo da mercadoria que é R12500 e a porcentagem de lucro i pelos 8 de lucro da venda da mercadoria 100 100 125 100 100 8 125 100 108 PC PV i PV PV Assim aplicando a proporcionalidade teremos 125 100 108 PV Pela propriedade fundamental das proporções na qual o produto dos meios é igual ao produto dos extremos temos 100 125108 13500 100 135 PV PV PV Agora acompanhe a 2ª resolução onde substituiremos os dados diretamente na fórmula deduzida 1 c PV PC i E aí fácil Você gostou da forma que utilizamos os cálculos Caso haja alguma dúvida retorne ao início da 1ª resolução e releia o conteúdo Bem se você preferir podemos também trabalhar o mesmo assunto utilizando a famosa calculadora HP12C fazendo os cálculos nessa calculadora Veja na 3ª resolução os procedimentos para operar esta ferramenta neste momento você verá o comando de porcentagem 1251 008 125108 135 PV PV PV Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 31 IMPORTANTE Na HP12C temos o comando que só poderá ser utilizado para efeitos de cálculos quan do se conhece o todo100 ou seja o referencial e a porcentagem No exemplo citado sabemos que o referencial é o número 125 e a porcentagem é 8portanto PC L PV O procedimento que você fará é o seguinte TODO PORCENTAGEM DADA Ou seja no exemplo apresentado será 125 8 1000 13500 E o que isto significa Na verdade estas são as entradas dos dados do problema desta forma você viu exatamente como proceder na HP12C Observe que ao identificarmos o referencial TODO damos a entrada na HP teclamos ENTER logo após a taxa dada no exemplo i e adicionamos teclamos para representar o valor final com o lucro Entendido Caso ainda exista alguma dúvida veja o esquema na tabela com certeza irá te ajudar DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 125 12500 8 1000 13500 Assim o preço de venda é R 13500 Aplicação 2 Pense agora em outra situação Um celular foi vendido por R 15000 com um lucro de 20 sobre o preço de custo Qual foi o preço de custo desta mercadoria DADOS VALORES Preço de venda PARTE 15000 Porcentagem de lucro sobre PC 20 Preço de custo TODO Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 32 Resoluções Iniciemos agora com a resolução Tecnológica HP12C utilizando o comando de porcen tagem do todo Na HP12C temos o comando que tem duas formas de ser trabalhado Quando se conhecem o todo e a parte nesse caso determinaremos a porcentagem TODO PARTE PORCENTAGEM Quando se conhece a porcentagem e a parte que ela representa nesse caso deter minaremos o todo PORCENTAGEM PARTE TODO No nosso exemplo temos os seguintes dados TODO PC 100 Porcentagem do todo PARTE 150 120 Porcentagem tomada do todo Portanto A porcentagem correspondente a parte tomada do todo é 120 A parte ou seja o valor tomado do todo é o PV R15000 A porcentagem correspondente ao todo é 100 O todo 100 é o preço de custo PC Agora pense um pouco Se 120 representam R15000 então estamos procurando o referencial ou seja 100 que representará o TODO PC não é mesmo Bem vamos prosseguir com a resolução me acompanhe DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 120 12000 150 12500 Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 33 PORCENTAGEM PARTE TODO Neste caso você fará o seguinte 120 150 125 Assim o preço de custo é R 12500 que é o referencial do lucro obtido 100 REFLITA Você sabe verificar se o lucro de 20 sobre o preço de custo R 12500 chega ao resultado da venda de R 15000 Veja a seguir como fazer isso Muito bem como você já sabe nós temos os seguintes dados Preço de custo R12500 Lucro sobre o preço de custo 20 Para calcularmos o total da venda basta aplicarmos a seguinte fórmula PV PC L DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 125 12500 20 2500 15000 125 20 150 Assim fica confirmado que o preço de venda é R 15000 como foi dado no enunciado Verificando os cálculos Vamos agora conferir os cálculos deste problema ou seja vamos calcular de outras maneiras utilizando outros procedimentos Começaremos com a 1ª resolução algébrica utilizando Regra de Três Simples Vamos lá Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 34 Acompanhe a resolução 100 100 100 150 100 20 100 150 120 PC PV i PC PC Aplicando a proporcionalidade e equacionando temos 100 150 120 PC Pela propriedade fundamental das proporções na qual o produto dos meios é igual ao produto dos extremos temos 120 150100 15000 120 125 PC PC PC Assim o preço de custo será de R12500 Nesta 2ª resolução vamos substituir diretamente os dados do problema na fórmula deduzida 1 c PV PC i Viu tivemos várias opções de resoluções Bom não é Assim você terá condições de escolher qual método lhe agrada mais Daremos continuidade verificando o percentual de lucro sobre o custo Aplicação 3 Um rádio relógio foi comprado por R 7500 e vendido por R 9000 Qual foi o percentual de lucro sobre o custo 150 1 020 150 120 150 120 125 PC PC PC PC Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 35 DADOS VALORES Preço de custo TODO 7500 Preço de venda PARTE 9000 Porcentagem de lucro sobre PC Resoluções A 1ª resolução será através do comando de porcentagem do todo o que poderá ser acionado quando conhecemos o TODO e a PARTE nesse caso determinaremos a PORCENTAGEM QUE A PARTE REPRESENTA DO TODO No nosso exemplo temos TODO 75 100 PARTE 90 100 i Sabendo que a porcentagem que representa a parte tomada do todo é igual a 100i qual será a porcentagem i sobre o preço de custo Vejamos como se calcula o i DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 75 7500 90 12000 100 2000 Se PC L PV então L PV PC Na HP12C você fará assim 75 90 100 20 Desta forma o percentual de lucro sobre o preço de custo é 20 Agora na 2ª resolução façamos o contrário ou seja vamos tirar a prova para verificar se o lucro de 20 sobre o preço de custo gera a venda no valor de R 9000 DADOS VALORES Preço de custo TODO 7500 Porcentagem de lucro sobre PC 20 Preço de venda PARTE Basta aplicar 20 sobre o preço de custo adicionálo porque é lucro e obteremos o preço de venda Veja a seguir usando a HP12C TODO PARTE PORCENTAGEM DO TODO 100i 100 PORCENTAGEM Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 36 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 125 7500 20 1500 9000 Vamos calcular PC L PV que corresponde a 75 20 90 Assim fica confirmado que o preço de venda é R 9000 como foi dado no enunciado Muito bem nesta 3ª resolução você aprenderá o Comando de Variação Percentual Na HP12C temos o comando que é usado quando são apresentados o TODO e a PARTE e nesse caso queremos a variação percentual entre eles ou seja a PORCENTAGEM sobre o custo i TODO PARTE PORCENTAGEM i Para o exemplo citado temos DADOS VALORES Preço de custo TODO 7500 Preço de venda PARTE 9000 Porcentagem de lucro sobre PC i Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 37 Assim faça o seguinte 75 90 20 Você pôde ver que a porcentagem de lucro sobre o preço de custo é de 20 Verificando os cálculos Vamos agora conferir os cálculos acima utilizando outros procedimentos A 1ª resolução será algébrica onde utilizaremos Regra de Três Simples Você se lembra como se faz esta operação Vejamos a resolução a seguir 100 100 75 100 90 100 PC PV i i Aplicando a proporcionalidade e equacionando teremos 75 100 90 100 i Pela propriedade fundamental das proporções onde o produto dos meios é igual ao produ to dos extremos teremos 75100 90100 9000 100 75 100 120 120 100 20 i i i i i Outra maneira de se resolver esta equação consiste em substituir os dados na fórmula gerada Observe 1 c PV PC i 020 ic taxa unitária 100 i 90 751 90 1 75 120 1 120 1 c c c c i i i i Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 38 TOME NOTA Não se esqueça quando a taxa unitária é multiplicada por 100 passa a ser a taxa centesimal i ic 020100 ic 20 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA Nem sempre aplicamos a taxa de lucro sobre o preço de custo e isto é razoa velmente explicável porque na prática é mais fácil ou cômodo para o comerciante aplicar o lucro sobre o preço de venda que geralmente está representado na tabela de uso comercial ou até mesmo nas etique tas das mercadorias enquanto que o custo nem sempre é de fácil acesso Sendo assim o nosso referencial agora é o preço de venda PV que representará o nosso todo 100 e o preço de custo PC será a parte tomada do todo Então para começar vamos relacionálos por meio de uma regra de três simples aplicando o que você já estudou até aqui Lembrando que o preço de custo é menor que o preço de venda quando há lucro 100 100 100 100 PV PC i PV PC i Aplicando a proporcionalidade e equacionando temos 100 100 PV PC i Agora aplicando a propriedade das proporções onde o produto dos meios é igual ao produto dos extremos vem 100 100 i PV PC Simplificando esta equação membro a membro por 100 obtemos 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 i PV PC i PC PV i PV PC Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 39 Ao dividirmos a taxa i por 100 obtemos a chamada taxa unitária iv e ficamos assim 1 1 1 v v i PV PC PC PV i onde iv é denominado taxa unitária de lucro sobre o preço de venda IMPORTANTE O referencial preço de venda PV é 100 e como o resultado é lucro então o preço de custo PC é menor que 100 ou seja 100 i Vamos prosseguir vendo algumas aplicações destes conceitos relacionados à incidência do lucro sobre preço de venda Aplicação 1 Uma loja de departamentos coloca à venda uma determinada marca de liquidificador com um lucro de 20 sobre o preço de venda Sabendose que o mesmo teve um custo de R15000 qual foi o preço efetivo dessa venda DADOS VALORES Preço de custo PARTE 15000 Preço de venda TODO Porcentagem de lucro sobre PC 20 Resoluções Começaremos nossos cálculos com a resolução algébrica através da Regra de Três Simples 100 100 100 150 100 20 100 150 80 PV PC i PV PV Aplicando a proporcionalidade e equacionando teremos 100 150 80 PV Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 40 Pois bem aplicaremos também a propriedade das proporções e ficará assim 80 150100 15000 80 18750 PV PV PV A 2ª maneira de resolvermos esta questão é substituindo os dados do problema direta mente na fórmula 1 v PC PV i Na HP12C temos o comando que é o Comando de porcentagem do todo ele pode ser usado quando se conhece a porcentagem tomada do todo e a parte que ela representa assim o resultado obtido será o TODO PORCENTAGEM PARTE TODO No nosso exemplo temos PV 100 150 80 DADOS VALORES Preço de custo PARTE 15000 Porcentagem tomada do TODO 100i 80 Preço de venda TODO Se 80 representa a parte 15000 então estamos procurando o referencial ou seja 100 que representará o TODO PV Assim o comando na HP12C será o seguinte PORCENTAGEM PARTE TODO Nesta questão faremos assim 80 150 18750 Assim o preço de venda é R 18750 que é o referencial do lucro obtido 100 150 1 020 150 080 18750 PV PV PV Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 41 Vamos tirar a prova para verificar esses cálculos Imagine que o lucro foi de 20 sobre o preço de venda R 18750 Então vamos ter os seguintes dados DADOS VALORES Preço de venda TODO 18750 Lucro sobre o PV 20 Preço de custo PARTE Como sabemos que PV PC L PV L PC DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 18750 18750 20 3750 15000 Faremos diretamente na HP12C o seguinte comando PV L PC 18750 20 150 Assim fica confirmado que o preço de custo é R 15000 como foi dado no enunciado entendido Vamos continuar nossos estudos verificando o percentual de lucro em rela ção ao preço de venda Aplicação 2 O proprietário de uma loja de eletrodomésticos comprou uma cafeteira por R 9000 e quer vendêla com um lucro sobre a venda Sabendose que a venda foi realizada por R 12000 então qual será o percentual de lucro sobre essa venda DADOS VALORES Preço de custo PARTE 9000 Preço de venda TODO 12000 Porcentagem de lucro sobre PV i Resoluções Vamos à 1ª resolução que é algébrica por meio da Regra de Três Simples Veja só 100 100 120 100 90 100 PV PC i i Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 42 100 100 120 100 90 100 PV PC i i Pela proporcionalidade temos 120 100 90 100 i Aplicando a propriedade fundamental da proporção produto dos meios é igual ao produ tos dos extremos temos 100 120 10090 100 120 9000 9000 100 120 100 75 75 100 25 25 i i i i i i i Como você já sabe podemos substituir os dados do problema diretamente na fórmula 1 v PC PV i 90 120 1 120 90 1 1 1 90 1 120 1 075 075 1 025 025 025 100 v v v v v v v v i os extremos trocam de lugar i i i i i i taxa unitária de lucro sobre o PV i multiplicando por teremos a taxa centesimal de lu 25 v cro sobre o PV i Na HP12C temos o Comando de porcentagem do todo que é usado quando se conhecem o TODO e a PARTE nesse caso determinaremos a PORCENTAGEM do TODO 100 i fazendo o seguinte procedimento TODO PARTE PORCENTAGEM 100 i 100 i ATENÇÃO Neste caso basta ignorar o sinal de negativo ou também podemos acionar na HP12C a tecla que representa o comando que realiza a troca de sinal e aí o negativo ficará positivo e viceversa Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 43 No nosso exemplo temos 120 100 90 100 i A PARTE tem como porcentagem representada do todo o 100 i sendo assim i é a porcentagem sobre o preço de venda Assim na HP 12C você fará o seguinte 120 90 100 25 25 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 120 12000 90 7500 100 2500 2500 Desta forma o percentual de lucro sobre o preço de venda é 25 Mas vamos tirar a prova Vamos verificar se o lucro de 25 sobre o preço de venda R 12000 gera o custo no valor de R9000 DADOS VALORES Preço de venda TODO 12000 Porcentagem de lucro sobre PV 25 Preço de custo PARTE Basta aplicar 25 sobre o preço de venda e subtraílo Mas porque subtrair Ora porque ele é lucro Desta forma obteremos o preço de custo veja como faremos na HP12C a equação PV L PC 120 25 90 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 120 12000 25 3000 9000 Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 44 Assim confirmamos que o lucro de 25 sobre o preço de venda de R 12000 gera o preço de custo de R 9000 como foi dado no enunciado Na HP12C temos o comando de variação percentual que é usado quando é dado o TODO e a PARTE nesse caso queremos determinar a variação percentual entre eles ou seja a PORCENTAGEM sobre a venda i Assim observe os dados a seguir pegue sua calculadora e faça o comando TODO PARTE PORCENTAGEM i DADOS VALORES Preço de venda TODO 12000 Preço de custo PARTE 90 Porcentagem de lucro sobre PV i Na HP12C será assim 120 90 25 25 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 120 12000 90 25 25 IMPORTANTE O comando de Variação percentual pode ter dois tipos de resultados Número Positivo Quando o primeiro número de entrada TODO é menor do que o segundo número PARTE Número Negativo Quando o primeiro número de entrada TODO é maior do que o segundo número PARTE ATIVIDADE Acesse as Atividades de Fixação no material didático online da disciplina Operações comerciais Transações envolvendo Lucro 45 Síntese Neste módulo você pôde entender a importância do conceito de lucro como ele incide nos preços e suas aplicabilidades nos negócios que realizamos Vimos que numa transa ção de compra e venda de mercadoria almejamos o resultado de lucro e o mesmo pode incidir sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda A partir destes conceitos podemos criar formas de administrar e calcular nossas tran sações comerciais diárias sem riscos e até mesmo tirar vantagens delas realizando os cálculos com muita clareza e precisão Lembrando que para realizar estes cálculos você aprendeu alguns comandos específicos da calculadora HP12C No próximo módulo você irá estudar e praticar alguns métodos que serão necessários já ter estes conceitos Aguardo por você no próximo módulo Até lá Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática Financeira e suas Aplicações 7 ed São Paulo Atlas 2002 BRUNI Adriano Leal et Rubens Fama Matemática Financeira com HP12C e ExcelSão Paulo Atlas 2002 FARIA Rogério Gomes de Matemática Comercial e Financeira 5ª ed São Paulo Makron Books 2000 FARIA Rogério Gomes de Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP12C São Paulo Ática 2007 HAZZAN Samuel José Nicolau Pompeo Matemática Financeira6ª ed São Paulo Saraiva 2007 MERCHEDE Alberto Matemática Financeira para concursos mais de 1500 aplicações São Paulo Atlas 2003 NASCIMENTO Sebastião Vieira do Matemática Comercial e Financeira 1ªed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2010 TOSI Armando José Matemática Financeira com utilização da HP12C2ª ed Edição Compacta São Paulo Atlas 2009 Sites CENTRO DE ENSINO E SERVIÇOS JURÍDICOS Disponível em wwwcejurgscombr Acesso em 20 de março de 2013 JULIO BATTISTI OPERAÇÕES COMERCIAIS LUCROS E PREJUÍZOS Disponível em httpwwwjuliobattisti combrtutoriaisjorgeasantosmatematicaconcursos026asp Acesso em 20 de março de 2013 46 A INCIDÊNCIA DOS CÁLCULOS COM A OCORRÊNCIA DE PREJUÍZO OS RESULTADOS OBTIDOS DE PREJUÍZO NAS OPERAÇÕES COMERCIAIS E MAIS Matemática Financeira OPERAÇÕES COMERCIAIS TRANSAÇÕES ENVOLVENDO PREJUÍZO APRESENTAÇÃO C aroa alunoa seja bemvindoa O que vamos estudar nesse módulo fará você avaliar e refletir a aplicação da matemática em seu cotidiano e com isso você terá direcionamento para tomada de decisões em âmbito comercial Geralmente o que se espera em transações comerciais é a obtenção de lucro mas quando mal sucedidas podem ocasionar em prejuízo que normalmente ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta mais do que arrecada o custo foi maior que a receita Assim vamos aprender a calcular esse tipo de resultado para que possamos nos resguardar em relação a constância desse tipo de resultado em nossas operações financeiras Conto com você com sua disposição comprometimento dedicação e disciplina para que juntos possamos realizar um excelente trabalho Bons estudos OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final desse módulo você será capaz de Identificar e distinguir a incidência dos cálculos com a ocorrência de prejuízo Calcular porcentagens nas transações usuais de compra e venda de mercadorias com fundamentação de cálculos algébricos e tecnológicos Manusear a HP12C nos principais comandos algébricos e nas operações com porcentagens para determinação de preços e apurar os resultados das transações comerciais com prejuízo Analisar em situações relacionadas a transações comerciais do cotidiano os cálculos que envolvam prejuízo sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda FICHA TÉCNICA FUMEC VIRTUAL SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes Paixão Transposição Pedagógica Tâmara Santos Soares Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M Valadares Design Multimídia Matheus Guerra de Araújo Raphael Gonçalves Porto Nascimento InfraEstrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Profa Isabel Cristina Dias Alves Lisboa Profa Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto BELO HORIZONTE 2013 OPERAÇÕES COMERCIAIS TRANSAÇÕES ENVOLVENDO PREJUÍZO Introdução TRANSAÇÕES COMERCIAIS COM PREJUÍZO Você sabe o que é Prejuízo O termo prejuízo tem origem no latim praejudiciu que significa julgamento anterior ou dano prévio Mas como estamos falando em transações comerciais vamos aprofundar nossos conhecimentos no Prejuízo financei ro que ocorre quando alguém ou alguma instituição gasta mais do que arrecada Em contabilidade o prejuízo é o oposto do lucro Ambos são saldos na conta denominada resultados ou lucros e perdas que podem ocorrer ao final do exercício em geral um período de doze meses O prejuízo pode ser definido da seguinte forma é a diferença negativa entre o preço de venda e o preço de custo ou seja Prejuízo 0 0 PV PC PC PV ou IMPORTANTE Não se esqueça que as vendas realizadas com prejuízo acontecem quando o preço de venda PV é menor do que o preço de custo PC gerando assim resultado negativo Você já notou algumas situações que podem gerar prejuízos Pois é às vezes são conse quências de ações que não dependem de nós como por exemplo 1 ESTOQUE Mesmo com preços reduzidos as mercadorias ficam estoca das não há saída 2 QUEDA DAS VENDAS Com a queda das vendas o empresário reduz o preço das mercadorias e o vendedor não recebe comissões ou o pior em alguns casos os funcionário são demitidos 3 DESEMPREGO Não há consumismo se as pessoas estão desempregadas Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 49 4 PROMOÇÕES Para atrair os clientes os empresários fazem suces sivas promoções mas mesmo assim seu rendimento cai e pode até leválo ao prejuízo ou a falência E assim vira um ciclo que se não for bem avaliado pode provocar um boom no mercado Então alunoa vamos aprender a calcular e lidar com essa situação PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE CUSTO Quando o cálculo do prejuízo em bases percentuais incide sobre o preço de custo do produto adquirido temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo Desta forma se a compra de determinada mercadoria que é vendida com um prejuízo de i significa que nesta operação o prejuízo em espécie da operação foi determinado sobre o preço de custo Quando o prejuízo incide sobre o Preço de Custo tomamos esse valor como base de referência ou seja ele é o todo 100 Assim por meio de regra de três simples temos 100 100 P C P V i Aplicando a proporcionalidade e equacionando teremos 100 100 PC PV i Assim aplicando também a propriedade das proporções na qual o produto dos meios é igual ao produto dos extremos a operação ficará da seguinte forma 100 100 100 100 100 100 100 100 100 PV PC i PC i PV i PV PC i PV PC OFF 30 OFF Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 50 IMPORTANTE 1 Taxa unitária 100 c i i 2 1 c PV PC i sendo que ci representa a taxa unitária de prejuízo sobre o preço de custo 3 Quando o referencial é o preço de custo PC 100 e o resultado é prejuízo então o preço de venda PV é menor que o PC 100 ou seja 100 i Aplicação 1 Na realização da venda de um eletrodoméstico cujo preço de custo é R 12500 houve um prejuízo de 8 sobre o preço de custo Qual o preço de venda dessa mercadoria DADOS VALORES Preço de custo TODO 12500 Preço de venda PARTE Porcentagem de prejuízo sobre PC 8 008 Resoluções Acompanhe a seguir alguns tipos de resoluções a 1ª resolução será a Algébrica utilizandose a Regra de Três Simples Lembrando que o Prejuízo significa que o preço de custo é maior que o preço de venda isto pode ser representado da seguinte forma Prejuízo PC PV Acompanhe a resolução 100 100 125 100 100 8 125 100 92 PC PV i PV PV Aplicando a proporcionalidade e equacionando 125 100 92 PV Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 51 Agora aplicando a propriedade das proporções onde o produto dos meios é igual ao produto dos extremos vem 100 92125 11500 100 115 PV PV PV Vamos prosseguir com a 2ª resolução Algébrica na qual basta substituirmos os dados na fórmula Veja como é fácil 1 c PV PC i 1251 008 125092 115 PV PV PV A 3ª resolução é a Tecnológica utilizaremos na HP12C o Comando de porcentagem ATENÇÃO Na HP12C temos o comando onde o referencial é o número 125 e a porcentagem é 8 Assim temos PC P PV DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 125 ENTER 12500 8 1000 11500 Diretamente na HP12C você fará PC P PV assim 125 8 1000 11500 Assim o preço de venda é R 11500 Aplicação 2 Um ferro elétrico foi vendido por R 15000 com um prejuízo de 20 sobre o preço de custo Então aluno a você saberia me dizer qual foi o preço de custo DADOS VALORES Preço de custo TODO Preço de venda PARTE 15000 Porcentagem de prejuízo sobre PC 20020 Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 52 Vamos começar nossos cálculos com a resolução Algébrica 100 100 100 150 100 20 100 150 80 PC PV i PC PC Em seguida iremos aplicar a proporcionalidade e equacionar a propriedade das propor ções veja 100 150 80 80 150100 15000 80 18750 PC PC PC PV Nosso próximo passo será a resolução substituindo os dados diretamente na fórmula acompanhe 1 c PV PC i 150 1 020 150 080 150 080 18750 PC PC PC PC Por fim resolveremos a questão utilizando a calculadora HP12C e o comando de porcentagem do todo que é usado quando se conhece a PORCENTAGEM que é a parte calculada sobre o todo e a PARTE representa o quanto foi tomado do todo assim determinamos o TODO E atenção os procedimentos na HP12C são PORCENTAGEM PARTE TODO No nosso exemplo temos 100 150 80 PC Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 53 REFLITA Agora pare e pense comigo Se 80 representa a parte R15000 então estamos procuran do o referencial ou seja 100 que representará o TODO PC E como você poderá verificar a veracidade desta informação Simples faça o seguinte PORCENTAGEM PARTE TODO 80 150 18750 Assim o preço de custo é R 18750 que é o referencial do prejuízo obtido 100 Você pode tirar a prova para verificar se o prejuízo foi realmente de 20 sobre o preço de custo Vamos lá Observe os dados que já temos DADOS VALORES Preço de custo TODO 18750 Porcentagem de prejuízo sobre PC 20 Preço de venda PARTE Como sabemos que PV PC P assim PV P PC Entendido DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 18750 ENTER 18750 20 3750 15000 Vamos agora calcular PC P PV diretamente na HP12C 18750 20 150 Assim fica confirmado que o preço de VENDA é R 15000 como foi dado no enunciado PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE VENDA Consideramos porcentagem de prejuízo sobre a venda quando o cálculo em bases percentuais incide sobre o preço de venda do produto adquirido Desta forma se a compra de determinada mercadoria é vendida com um prejuízo de i isto quer dizer que nesta operação o prejuízo em espécie da operação foi determinado sobre o preço de venda Então quando o prejuízo incide sobre o Preço de Venda tomamos como base de referência o preço de Venda ou seja este preço de Venda é o todo 100 Assim veja que por meio de regra de três simples TEREMOS Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 54 100 100 P C i P V Aplicando a proporcionalidade e equacionando e aplicando a propriedade das proporções ficará da seguinte forma 100 100 100 100 PC i PV i PV PC Dividindo por 100 membro a membro Teorema da igualdade teremos Assim temos IMPORTANTE O referencial PV Preço de Venda é 100 e como o resultado é prejuízo então podemos afirmar que o PC Preço de Custo é maior que 100 ou seja 100 i Vamos aplicar o que você aprendeu até agora Então vamos lá Aplicação 1 Ao efetuar a venda de um relógio cujo preço de custo era R 12500 o comer ciante teve um prejuízo de 8 Sabendose que esse prejuízo ocorreu sobre o preço de venda determine o valor final da realização dessa transação DADOS VALORES Preço de custo PARTE 12500 Preço de venda TODO Porcentagem de prejuízo sobre PV 8 008 Resoluções Apresentaremos alguns tipos de resoluções Vamos começar utilizando a regra de três simples Perceba que o prejuízo acarreta em um preço de custo maior que o preço de venda esta informação pode ser escrita assim Prejuízo PC PV 100 100 100 100 100 100 100 100 100 i PV PC i PV PC 1 1 1 v v i PV PC PC PV i Onde 100 i é denominada taxa unitária sobre o PV e indicada por iv Sendo iv a taxa unitária de prejuízo sobre o preço de venda Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 55 A resolução será desta forma 100 100 100 125 100 8 100 125 108 PV PC i PV PV Aplicando a proporcionalidade equacionando como também aplicando a propriedade das proporções produto dos meios é igual ao produto dos extremos teremos 100 125 108 108 125100 12500 108 11574 PV PV PV PV Acredito que você já saiba que outra forma de resolver o problema é por meio da fórmula basta substituir os dados acompanhe 1 v PC PV i Na HP12C temos o comando que só será utilizado quando se conhece o TODO e a POCENTAGEM a calcular sobre ele o referencial 100 Nesse caso NÃO poderemos usar esse comando porque o TODO é o número desconhecido Assim utilizaremos outro comando da HP12C que corresponde à porcentagem do todo 108 125 100 PV REFLITA Por que utilizaremos o comando Porque conhecemos a porcentagem e a parte que ela representa portanto acharemos o TODO 125 1 008 125 108 11574 PV PV PV Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 56 Os comandos na HP12C serão PORCENTAGEM PARTE TODO Assim 108 125 11574 Agora podemos afirmar que quando houve um prejuízo de 25 sobre a venda o preço de venda desse produto foi de R 11574 Entendido Espero que sim Vamos seguir com mais uma aplicação Aplicação 2 Um casaco foi comprado por R 12000 e vendido por R 9000 Qual foi o percentual de prejuízo sobre o preço de venda DADOS VALORES Preço de custo PARTE 12000 Preço de venda TODO 9000 Porcentagem de prejuízo sobre PV i Resoluções Como você já sabe iniciaremos a resolução por meio da Regra de Três Simples depois aplicaremos a proporcionalidade e por fim a propriedade das proporções 100 100 90 100 120 100 90 100 120 100 90100 120100 12000 100 90 100 13333 13333 100 3333 PV PC i i i i i i i i Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 57 Outra maneira é usar os dados do problema e substituir na fórmula 1 v PC PV i Logo em seguida aplique a propriedade das proporções 1 90 1201 120 1 90 1 133333 133333 1 033333 v v v v v i i i i i DICA Você sabia que multiplicando essa taxa por 100 passaremos a ter a taxa Centesimal i Veja só 033333 1000 3333 x v v i i Representa a taxa centesimal de prejuízo Na HP12C temos o comando que é usado quando você conhece o TODO e a PARTE nesse caso determinaremos a porcentagem Para isso faremos o seguinte TODO PARTE Porcentagem tomada do todo 100 i 100 i No nosso exemplo temos 90 100 120 100 i O preço de custo PC representa a porcentagem tomada do todo ou seja 100 iv sendo assim iv é a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda PV DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 90 9000 120 13333 100 3333 120 90 1 90 120 1 1 1 120 1 90 v v v i i i Representa a taxa unitária de prejuízo sobre a venda Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 58 Na HP12C faça o seguinte 90 120 100 3333 Assim o percentual de prejuízo sobre o preço de venda é de 3333 Com base nos dados do problema podemos tirar a prova e verificar se o prejuízo de 3333 sobre o preço de venda gera o custo no valor de R 12000 Basta aplicar 3333 sobre o preço de venda e adicionálo porque é prejuízo para obtermos o preço de custo Veja as tabelas a seguir e acompanhe mais uma resolução DADOS VALORES Preço de venda TODO 9000 Porcentagem de prejuízo sobre PV 3333 Preço de custo PARTE DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 90 9000 3333 3000 12000 DICA Você está trabalhando com duas casas decimais na HP12C 2 Na HP12C resolva a fórmula PV P PC 90 3333 120 Assim fica confirmado que o preço de custo é R 12000 como foi dado no enunciado Por fim vamos utilizar o comando de Variação Percentual da HP12C este comando é utiliza do quando são dados o TODO e a PARTE e nesse caso verificaremos a variação percentual entre eles ou seja a PORCENTAGEM sobre a venda i Então alunoa faça o seguinte proce dimento na calculadora TODO PARTE PORCENTAGEM i Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 59 DADOS VALORES Preço de venda TODO 9000 Preço de custo PARTE 120 Porcentagem de prejuízo sobre PV i Já com o comando de Variação Percentual ficará assim 90 120 3333 Assim você poderá concluir que a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda é de 3333 Então alunoa alguma dúvida a respeito do cálculo de prejuízo Caso haja alguma sugiro que você releia o módulo E não se esqueça de realizar as atividades de fixação através delas você poderá verificar em quais pontos você tem mais facilidade ou dificuldade Bons estudos e até a próxima ATIVIDADE Acesse as Atividades de Fixação no material didático online da disciplina Operações comerciais Transações envolvendo Prejuízo 60 61 Síntese Neste módulo você pôde compreender que prejuízo é qualquer dano ou perda que reduz o valor das mercadorias que são oferecidas nas transações comerciais Assim a importân cia do resultado obtido nas transações comerciais e suas consequências nos negócios nos levam a criar melhores formas de administrar e calcular com muita clareza e preci são para que não gerem mais prejuízos Portanto um dos conceitos fundamentais em transações financeiras é o prejuízo que diz respeito à perda e isso com certeza não é o desejável Em linhas gerais devemos saber calcular avaliar e tomar decisões para não correr esse risco Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática Financeira e suas Aplicações 7 ed São Paulo Atlas 2002 BRUNI Adriano Leal et Rubens Fama Matemática Financeira com HP12C e ExcelSão Paulo Atlas 2002 FARIA Rogério Gomes de Matemática Comercial e Financeira 5ª ed São Paulo Makron Books 2000 FARIA Rogério Gomes de Matemática Comercial e Financeira com exercícios e cálculos em Excel e HP12C São Paulo Ática 2007 HAZZAN Samuel José Nicolau Pompeo Matemática Financeira6ª ed São Paulo Saraiva 2007 MERCHEDE Alberto Matemática Financeira para concursos mais de 1500 aplicações São Paulo Atlas 2003 NASCIMENTO Sebastião Vieira do Matemática Comercial e Financeira 1ªed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2010 TOSI Armando José Matemática Financeira com utilização da HP12C2ª ed Edição Compacta São Paulo Atlas 2009 Sites CENTRO DE ENSINO E SERVIÇOS JURÍDICOS Disponível em wwwcejurgscombr Acesso em 20 de março de 2013 JULIO BATTISTI OPERAÇÕES COMERCIAIS LUCROS E PREJUÍZOS Disponível em httpwwwjuliobattisti combrtutoriaisjorgeasantosmatematicaconcursos026asp Acesso em 20 de março de 2013 Matemática Financeira SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES JUROS E MONTANTE APRESENTAÇÃO C aroa alunoa seja bemvindoa Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos e realizações praticadas no mercado financeiro e no comércio com o intuito de deixálo informado sobre a aplicação da matemática em seu cotidiano Os ensinamentos de Financeira são amplos e de grande utilidade para todas as pessoas físicas ou jurídicas pois suas aplicações são utilizadas em operações de financiamentos de quaisquer espécies em operações de investimento em operações de desconto entre outras O uso das técnicas de Financeira é imprescindível para a tomada de decisão pois você poderá tomar decisões mais racionais como decidir a melhor oferta de financiamentos de casas e carros realizações de empréstimos compras a crediário ou no cartão de crédito aplicações financeiras investimentos em bolsas de valores etc Nesse módulo será abordado o regime de juros simples que já foi muito utilizado nas situações de curto prazo hoje quase impraticável mas entender como funcionava esse sistema vai lhe ajudar a entender todo o estudo da financeira Conto com você com muita disposição compromisso dedicação e disciplina para que juntos possamos realizar um excelente trabalho Estudar a distância é uma experiência fascinante Estude bastante Tenha uma ótima aprendizagem e muito sucesso OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final desse módulo você deverá ser capaz de Conhecer a modelagem matemática do regime de capitalização simples Definir os principais componentes de uma operação financeira Identificar taxas de juros proporcionais Identificar e distinguir a incidência dos cálculos na fixação de juros Determinar os juros nas transações usuais fundamentando os cálculos com resoluções algébricas e tecnológicas Manusear a HP12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas operações com regime simples Aplicar no cotidiano nas transações de juros simples almejando rentabilidade FICHA TÉCNICA FUMEC VIRTUAL SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes Paixão Transposição Pedagógica Pollyana Barbieri Pazzini Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M Valadares Design Multimídia Matheus Guerra de Araújo InfraEstrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Profa Isabel Cristina Dias Alves Lisboa Profa Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto BELO HORIZONTE 2013 SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES JUROS E MONTANTE Introdução Provavelmente você já ouviu uma dessas indagações Por que estudar a Matemática Financeira Como posso aplicála no meu cotidiano Que diferença os ensinamentos da disciplina fará em minha vida E para respondêlas vamos inicialmente falar de algumas gran dezas que são trabalhadas em financeira como Capital é a importância monetária ou seja o valor do dinheiro aplicado ou tomado numa instituição finan ceira Representaremos o capital por um dos símbolos C ou PV ou A Tempo qualquer unidade periódica ou seja unidade de referência temporal como ano semestre quadrimestre trimestre bimestre mês dia ou outro período qual quer Representaremos o tempo pela letra n Taxa é o coeficiente de proporcionalidade que se aplica sobre o valor monetário em função do tempo e será sempre referendada a um período de tempoA representa ção da taxa será pela letra i e poderá ser expressa por Taxa Centesimal quando é acompanhada pelo símbolo i Taxa Unitária quando é dividida por 100 100 i Montante é o saldo final do investimento ou do financiamento isto é é o capital acrescido de juros Indicaremos o Montante por M ou FV Juro é o valor monetário que representa a remuneração do capital ou seja é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros É o contrato de aluguel em dinheiro em função da contratação de uma operação financeira por um período de tempo determinado Em geral os juros simples são empregados em contratos como aluguéis de imóveis ou parcelas financiamento de compra de bens cujo pagamento é feito com atraso de alguns dias Temos dois referenciais de juros a considerar Aquele que paga juros poderemos entender como custo despesa financeira prejuízo etc Aquele que recebe juros poderemos entender como rendimento receita finan ceira ganho como também é o acréscimo que se dá ao negócio realizado pelo uso do capital de alguém etc Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 65 CURIOSIDADE É bastante antigo o conceito de juros que surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo Na antiguidade os juros eram pagos pelo uso de sementes ou de outros bens Muitas das práticas existentes originaramse dos antigos costumes de empréstimo e devolução de sementes e de outros produtos agrícolas E assim com a distribuição de produtos agrícolas e de cálculos aritméticos baseados nessas transações já usavam alguns tipos de contratos legais como recibos Os juros e os impostos existem desde a época dos primei ros registros de civilizações existentes na Terra Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda leva riam normalmente a ideia de juros pois se realizavam basicamente devi do ao valor temporal do dinheiro Os juros não é apenas uma das nossas mais antigas aplicações da Matemática Financeira e da Economia mas também quase não sofreu mudanças através dos tempos Também é necessário falar sobre o Fluxo de Caixa Você saberia responder o que é um Fluxo de Caixa É a movimentação financeira da empresa ou seja as Entradas e as Saídas de dinheiro Veja os exemplos abaixo 1º Uma aplicação Capital investido Saldo ou Montante 2º Um empréstimo Pagamento final do empréstimo Dívida contrária na forma de empréstimo Quando utilizamos os comandos financeiros da HP12C é necessário que uma das gran dezas monetárias seja negativa e para isso utilizaremos o comando de troca de sinais que é E agora com base nessas grandezas podemos entender porque a Matemática Financeira tem como principal objetivo estudar o valor do dinheiro em função do tempo ou seja a evolução do valor do dinheiro no tempo O conceito é aparentemente simples e nesse módulo você terá todas as condições de verificar e entender como atualizar ou corrigir o seu capital Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 66 A seguir vamos tratar de alguns conceitos fundamentais e preliminares Regimes de Capitalização A expressão capitalização de juros encontrase diretamente ligada aos sistemas ou méto dos de cálculos assim definidos são sistemas de capitalização de juros os métodos pelos quais os capitais são remunerados É a forma em que se verifica o crescimento do capital que pode ser simples ou composta No regime de capitalização simples os juros são calculados utilizando como base o capital inicial C PV ou seja os juros incidem sempre sobre o capital inicial gerando juros proporcionais ao tempo de aplicação juros iguais 0 J1 C J2 J3 n Jn 1 2 3 J1 J2 J3 Jn No regime de capitalização composta a taxa de juros é aplicada sobre o capital acumulado do período anterior ou seja já crescido de juros É o famoso juros sobre juros 0 J1 C J2 J3 n1 n Mn Mn1 M1 M2 M3 Jn 1 2 3 No momento o nosso estudo é focar apenas o regime Simples Regime de Capitalização Simples Nessa modalidade a base de cálculo é sempre o valor inicial não ocorrendo qualquer alteração da base de cálculo durante o período de cálculo dos juros ou seja os juros são calculados sempre sobre o valor inicial da dívida ou da aplicação Dessa forma o capital cresce de forma linear constante isto é proporcional ao tempo CURIOSIDADE Hoje raramente se tem a prática desse regime acontece só em países com baixo índice de inflação e com o custo real do dinheiro baixoou em países com alto índice de inflação ou custo financeiro real elevado nas aplicações em curto prazo Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 67 IMPORTANTE Capitalização simples é aquela em que a taxa de juros incide somente sobre o capital inicial a taxa varia linearmente em função do tempo Se quisermos converter as taxas desses regimes basta utilizar a regra de três simples Juros Simples Juro é o aluguel do dinheiro Em outras palavras é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros na verdade estamos de fato assinando um contrato de aluguel de dinheiro em função da contratação de uma operação financeira por um período tempo determinado Exemplo 01 Quando estamos tomando dinheiro emprestado em uma instituição financeira Exemplo 02 Quando financiamos um imóvel No regime de capitalização simples a fórmula que representa o cálculo dos juros é uma equação aritmética que será deduzida a seguir Seja C PV o capital investido por n períodos financeiros segundo a taxa de juros i Vamos calcular o juro J a cada período Ao final do primeiro período n1 teremos o primeiro rendimento J1 a saber J1 Cin1 0 J1 C n11 1 J1 Ci1 Assim J1 Ci Ao final do segundo período n2 teremos o segundo rendimento J2 também incidente sobre o capital inicial C a saber J2 Cin2 0 J2 C n21 1 2 J2 Ci1 Assim J2 Ci E assim sucessivamente e no nésimo período teremos Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 68 Agora poderemos iniciar nossos cálculos de juros simples e para isso veja o exemplo a seguir Carlos aplicou a importância de R 230000 a juros simples segundo a taxa de 18 aa Qual o juro obtido ao final de 5 meses DADOS VALORES CAPITAL C 2300 TEMPO n 5 meses TAXA i 18 aa 15 am 0015 am JUROS J ATENÇÃO Observe que a taxa e o tempo estão numa mesma unidade de referência temporal e a taxa tem que ser unitária Vejamos inicialmente o cálculo na forma algébrica fórmula J J 2300 0 015 5 172 50 Outra resolução é o da HP12C seguindo os passos abaixo DADOS VALORES CAPITAL C PV 2300 TEMPO n 5 meses 150 dias TAXA i 18 aa JUROS J IMPORTANTE Observe que a taxa é referida ao ano e o tempo em dias Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 70 Acionando os comandos da HP12C temos DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 2 000 2300 230000 150 15000 18 1800 17250 O juro obtido nessa transação foi de R 17250 Também podemos falar um pouco sobre as variações dos Juros simples a saber JUROS SIMPLES COMERCIAIS ORDINÁRIOS OU BANCÁRIOS JB Nos juros simples comerciais ou ordinários para estabelecer a conformidade entre a taxa e o período utilizamse o ano comercial Logo em juros comerciais todos os meses têm 30 dias e o ano têm 360 dias não importando o calendário civil Nesse caso os bancos geralmente utilizam uma combinação entre os conceitos de juros comerciais e exatos Para calcular o número de dias entre duas datas utilizamos o calen dário civil e para calcular o número total de dias de um ano ou mês utilizamos o conceito de juros comerciais mês têm 30 dias e o ano têm 360 dias Este conceito é geralmente empregado em transações financeiras de curto prazo Veja a fórmula a seguir J C i d B A E 360 Onde C capital inicial iA Taxa Unitária Anual dE dias exatos ano civil Vamos aplicála no exemplo a seguir Carlos aplicou R 120000 num banco que paga a taxa de juros simples de 24 aa durante um período de 75 dias Determine o rendimento bancário obtido ao final do período DADOS VALORES CAPITAL C PV 120000 TEMPO DIAS DO ANO CIVIL n 75 dias TAXA i 24 aa 024 aa JUROS BANCÁRIO J Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 71 A Resolução AlgébricaFórmula é J C i d B A E 360 Substituindo os dados teremos J J J B B B 1200 0 24 75 360 21600 360 60 Outra resolução será utilizando os comandos financeiros da HP12C que utiliza a base do Ano Comercial 360 dias DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 2 000 1200 120000 75 7500 24 2400 6000 JUROS SIMPLES EXATOS JE No caso de juros simples exatos vamos utilizar o ano civil que possui 365 ou 366 dias para calcular o número de dias entre duas datas ou Onde C capital inicial iA Taxa Unitária Anual dE dias exatos ano civil Veja o exemplo Carlos aplicou R 120000 num banco que paga a taxa de juros simples de 24 aa durante o período de 17 de janeiro de 2013 a 4 de abril de 2013 75 dias Determine os juros exatos obtidos obtido ao final do período J C i d J C i d E A E E A E 365 366 Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 72 DADOS VALORES CAPITAL C PV 120000 TEMPO ANO CIVIL 2013 Não Bissexto n 75 dias TAXA ANUAL i 24 aa 024 aa JUROS EXATOS J A Resolução Algébrica Fórmula é J C i d E A E 365 Substituindo os dados teremos J J J E E E 1200 0 24 75 365 21600 365 59 18 Outra resolução será utilizando os comandos financeiros da HP12C que utiliza a base do Ano Civil 365 dias DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 2 000 1200 120000 24 2400 75 7500 6000 120000 5918 Portanto os juros exatos obtidos ao final do período foram de R5918 Montante Simples O que você entende por Montante Se você pensou no resultado obtido ao final do período está correto Na verdade é a soma obtida do capital aplicado ou dívida contraída com os juros Representaremos o montante por M ou por FV Assim teremos M C J Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 73 Substituindo a fórmula de juros teremos M C Cin Colocando o Capital C em evidência teremos a fórmula do montante M C 1 in IMPORTANTE Você não pode se esquecer de que a taxa e o tempo deverão estar na mesma unidade tempo ral e além disso a taxa tem que ser unitária em formulas e centesimal na HP12C Veja o exemplo a seguir Maria aplicou a importância de R 230000 a juros simples segundo a taxa de 18 aa Qual o montante obtido ao final de 5 meses DADOS VALORES CAPITAL C 2300 TEMPO n 5 meses TAXA i 18 aa 15 am 0015 am MONTANTE M FV ATENÇÃO Observe que a taxa unitária e o tempo estão numa mesma unidade temporal Vemos resolver inicialmente utilizando a forma algébrica fórmula M C 1 in M M M M 2300 1 0 015 5 2300 1 0 075 2300 1 075 2 472 50 Também poderemos calcular os juros e adicionar ao capital aplicado J C i n J J 2300 0 015 5 172 50 E a soma de Capital com os Juros é o Montante M C J M M 2 400 00 172 50 2 472 50 Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 74 Outra resolução é utilizando os comandos financeiros da HP12C FIQUE LIGADO Observe que a taxa tem que ser centesimal referida ao ano e o tempo em dias Acionando os comandos da HP12C temos DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 2300 230000 18 1800 150 15000 17250 247250 Assim o saldo final montante obtido nessa transação foi de R 247250 Taxas Proporcionais Duas ou mais taxas de juros simples são ditas proporcionais quando seus valores e seus respectivos períodos de tempo reduzidos a uma mesma unidade formam uma proporção Veja o exemplo A taxa de juros simples é de 2 ao mês então a taxa proporcional anual é 2 am 1 mês i aa 1 ano 2 am 1 mês i aa 12 meses Equacionado as razões teremos 2 1 12 i A propriedade da proporcionalidade 1 i 2 12 i 24 Assim 24aa é a taxa simples proporcionala taxa dada de 2 am Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 75 Critérios Adotados Arredondar logo no início ou no final do cálculo A sugestão é em cálculos financeiros você deve fazer os arredondamentos somente no final Em qualquer cálculo financeiro é importante levar em consi deração todas as casas decimais possíveis nos cálculos intermediários e apenas no final arredondar Quando os juros estarão disponíveis para o credor Só ao final da operação financeira Como foram deduzidas as fórmulas financeiras para o regime simples A dedução foi com base na taxa de juros expressa em forma unitária ou seja é dada na forma centesimal i mas será dividida por cem i 100 Como são usadas as grandezas taxa de juros i e o tempo n nas fórmulas e na HP12C Nas fórmulas deverão estar expressos na mesma temporalidade em forma compatível Assim se a taxa de juros i for expressa em anos aa o tempo n deverá ser expresso em anos se a taxa de juros i for expressa em meses am o tempo n deverá ser expresso em meses e assim por diante No entanto na HP12C deverá ser a taxa centesimal ANUAL i aa e o tempo em DIAS ano comercial ATIVIDADE Acesse as Atividades de Fixação no material didático online da disciplina Sistema de Capitalização Simples Juros e Montante 76 77 Síntese Neste módulo você pôde entender a importância de estudar a Matemática Financeira utilizando uma série de conceitos matemáticos aplicados à análise de dados financeiros Notou como a visão que se tem das relações matemáticas com o mundo que nos cerca pode também exercer influência sobre o mercado comércio economia doméstica e orça mentária Pois é o conceito fundamental sobre o qual se alicerça toda a Matemática Financeira é o valor do dinheiro em função do tempo Estudamos com ênfase o regime de capitalização simples assim você pode observar como o valor do dinheiro é corrigido em função do tempo juro e inflação segundo uma taxa de juros de mercado Conscientizamos que a forma de remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro do credor é uma espécie de aluguel pelo uso do dinheiro e a taxa uma compensação paga pelo devedor do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento Para agregar a esse conhecimento para facilitar e agilizar essas relaçõesvocê pode contar com muitas tecnologias que estão à disposição como os computadores e as calcula doras e a ideal nas situações financeiras é dominar e utilizar a HP12C Sendo assimé necessário que você familiarize com situações do cotidiano e do meio financeiro para aplicar essa teoria Esse estudo do regime simples é a base de toda a teoria do regime composto que estuda remos posteriormente Assim espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria para aplicarmos depois Aguardo por você no módulo seguinte Até lá Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira e suas aplicações 10ª edição São PauloAtlas 2008 BRUNI Adriano Leal et FAMA Rubens Matemática Financeira com HP12C e Excel São Paulo Atlas 2002 CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática financeira aplicada método algébrico HP12C Microsoft Excel 2ª edição rev São Paulo Cengage Learnig 2008 CRESPO AnttônioArnot Matemática Financeira Fácil 14ª ed São Paulo Saraiva 2009 FARIA ROGÉRIO GOMES DE Matemática Comercial e Financeira com exercícios ecálculos em Excel e HP12C São Paulo Ática 2007 FARO Clóviset LACHTERMACHER Gerson Introdução à Matemática Financeira GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel Uma abordagem Descomplicada São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 HAZZAN Samuel José Nicolau Pompeo Matemática Financeira 6ª ed São Paulo Saraiva 2007 MERCHEDE Alberto Matemática Financeira São Paulo Atlas 2001 MULLER Aderbal Nicolas et ANTONIK Luís Roberto Matemática Financeira São Paulo Saraiva 2012 NASCIMENTO Marco Aurélio Introdução à Matemática Financeira São Paulo Saraiva 2011 NASCIMENTO Sebastião Vieira do Matemática Comercial e Financeira 1ªed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2010 PUCCINI Aberlardo de Lima Matemática Financeira Objetiva e Aplicada 9ª ed São Paulo Elsevier 2011 TOSI Armando José Matemática Financeira com utilização da HP12C 2ª ed Edição Compacta São Paulo Atlas 2009 Matemática Financeira DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES APRESENTAÇÃO C aroa alunoa seja bemvindoa Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos e realizações vivenciadas pelas pessoas que necessitam do crediário Assim o mercado financeiro e o comércio com o intuito de deixálas satisfeitas com o consumo de bens e serviços praticam a operação de crédito comprovada por títulos tendo em vista o surgimento das necessidades da circulação do crédito e a mobilização da riqueza Com muita disposição compromisso dedicação e disciplina juntos realizaremos um excelente trabalho Estudar a distância é uma experiência fascinante Conte sempre conosco e tenha uma ótima aprendizagem Sucesso OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final desse módulo você deverá ser capaz de Definir títulos de crédito Classificar os principais tipos de títulos de crédito Calcular descontos bancários de títulos quitados antes do vencimento Calcular o Valor de Resgate de um título antes do vencimento Determinar novas formas de quitar uma dívida Manusear a HP12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas operações de descontos no regime simples Aplicar no cotidiano nas transações de crediário novas propostas de pagamentos da dívida pela equivalência de propostas FICHA TÉCNICA FUMEC VIRTUAL SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes Paixão Transposição Pedagógica Pollyana Barbieri Pazzini Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M Valadares Design Multimídia Matheus Guerra de Araújo InfraEstrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Profa Isabel Cristina Dias Alves Lisboa Profa Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto BELO HORIZONTE 2013 DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES Introdução CURIOSIDADES Você sabia que as atividades comerciais exercidas entre as empresas e os consumidores têm como principal suporte o crédito Pois é esse crédito decorre normalmente de operações de compra e venda a prazo de bens e serviços ou empréstimos Para a representação formal dos referidos créditos são utilizados documentos denominados títulos de crédito E Título de Crédito você sabe o que é Título de crédito é um documento que tem como objetivo representar um crédito relativo a uma transação específica de mercado facilitando desta forma a sua circulação entre diversos titulares distintos substituindo num dado momento a moeda corrente ou dinhei ro em espécie além de garantir a segurança da transação Os títulos de crédito são de extrema importância você sabe como utilizálos Os títulos de crédito são de vital importância para os negócios haja vista que promovem e facilitam a circulação de créditos e dos respectivos valores a estes inerentes além de propiciar segurança da circulação de valores Os títulos de crédito constituem antes de tudo um documento de legitimação a ser cumprido pelo devedor em favor do possuidor do título É no título que se registra a obrigação de pagamento futuro por isso o direito se evidencia no documento e não na pessoa possuidora do papel Assim o título de crédito exige obrigatoriamente a existência anterior de um direito de crédito a ser representado formalmente pelo respectivo documento Agora para entender um pouco mais sobre Crédito seria interessante estudarmos em primeiro lugar a origem dessa palavra Você saberia definila também A origem vem do latim creditum ou credere que significa confiança Em economia o crédito é a venda ou empréstimo de determinado bem que é entregue ao devedor num primeiro momento para pagamento em espécie ou devolução posterior do bem A opera ção de crédito gera entre as partes uma relação de confiança que será paga a dívida e de tempo prazo entre o empréstimo e a devolução Portanto o instrumento mais perfeito e eficaz da mobilização da riqueza e da circulação do crédito é o título de crédito que formaliza a dívida distingue o credor do devedor Veremos como esses documentos podem ser utilizados nas transações comerciais e nas atividades financeiras Desconto Bancário Simples 81 Título de crédito Nas operações comerciais com pagamentos a prazo poderá ser emitido um contrato no qual as especificações da transação e da forma de pagamento serão devidamente contempladas A formalidade dessas transações será feita por meio de documentos deno minados Títulos que geralmente são assinados pelo comprador em que há promessa de pagamento da quantia correspondente ao credor Assim o Título de crédito é o papel representativo de uma obrigação e emitido de confor midade com a legislação específica de cada tipo ou espécie Segundo Cesar Vivante Título de Crédito é o documento necessário para o exercício do direito literal e autôno mo nele mencionado Esse é o conceito mais usual e para que se configure o crédito é necessário que decorra entre as partes a noção de confiança e de tempo Entenderemos que Título é um documento para oficializar a dívida contraída ou seja é como se fosse um contrato de empréstimo no qual o tomador do recurso faz uma promes sa de pagamento à ordem da importância emprestada acrescida de juros A classificação mais importante dos títulos de crédito é feita quanto a sua circulação que pode ser ao portador ou nominativo e os mesmos também podem ser classificados quanto ao modelo Vinculados devem atender a um padrão específico definido por lei para a criação do título como exemplo o cheque a duplicata Livres não exigem um padrão obrigatório de emissão basta que conste os requisi tos mínimos exigidos por lei como por exemplos letra de câmbio e nota promissória Como você percebeu dentre os títulos ou documentos utilizados nas transações comer ciais os citados foram Nota promissória N O T A P R O M I S S Ó R I A Nº Vencimento de de CPF CGC ENDEREÇO A CPF CGC pagar por esta única via de Nota Promissória Pagavel em ou a sua ordem a quantia de em moeda corrente deste país emitente é um título cambiário emitido por pessoa física ou jurídica em que o emissor assume a obrigação direta e principal de pagar o valor correspondente no título ou seja nada mais é do que uma promessa de pagamento a ser quitada numa data futura Desconto Bancário Simples 82 Duplicata Endereço Cidade Estado Bairro Telefone Fax CEP CNPJ Insc Estadual Insc Municipal Data Emissão Para uso da Instituição Financeira Assinatura do Emitente FATURA Nº Nome do Sacado Endereço Bairro Estado Município Praça de Pagamento Reconheçoemos a exatidão desta Duplicata de na sua importância acima que pagareiemos à ou à sua ordem na praça e vencimentos indicados Não sendo pago no vencimento serão cobrados juros de mora CPFCNPJ MF Nº VALOR POR EXTENSO Desconto de Até Condições Especiais FATURA VALOR R NRDP VALOR R DUPLICATA DUPLICATA VENCIMENTO Contato Insc Estadual CEP NÃO Dispensar juros de Mora e Taxa de perma nencia nem mesmo condicionalmente Em Assinatura do Sacado Formulario Duplicatadoc 062003 é uma espécie de título de crédito emitida por pessoa jurídica que constitui o instrumento de prova do contrato de compra e venda A emissão da duplicata é feita com base na Fatura da Nota Fiscal que é o documento utilizado nas transações comerciais de venda de produtos mercadorias e na prestação de serviços Ao aceitála o comprador assume o compromisso de resgatála pelo valor determinado e em data previamente combinada Letra de câmbio Aceitoamos L ET RA DE CÂMBI O L E T RA DE CÂMBI O N Vencimento No vencimento pagaráão VSas por esta única via de Letra de Câmbio à de de Na praça de Aceitantes Endereço Cidade Documentos Outros Doc Estado Ass Local e data do saque a apresentação deste cambial poderá ser feita até meses da data do saque VALOR R ou à sua ordem a importância de Desconto Bancário Simples 83 é uma espécie de título de crédito emitida por instituição financeira ou banco que repre senta uma obrigação pecuniária sendo esta autônoma Apesar de atribuir ao sacado à obrigação de pagar ao tomador o sacador permanece subsidiariamente responsável pelo pagamento da letra CURIOSIDADE Cheque é um documento correspondente a uma ordem de pagamento à vista o favorecido ou sacado poderá a qualquer tempo receber o valor correspondente Devido à falta de crédito e à participação das instituições financeiras no segmento de créditos informalmente essas instituições passaram a descontar os cheques para as empresas comerciais que aceitavam os prédatados como forma de pagamento Os cheques representam uma forma de pagamento parcelado em que as partes comerciante e cliente na confiança mútua executam uma tran sação comercial Legalmente não existem cheques prédatados Comp Pague por este cheque a quantia de e centavos acima ou à sua ordem a de de Banco Agência C1 C2 C3 Cheque No R Conta Desconto de Títulos Quando o possuidor do documento precisa ou resolve resgatar o Título antes do venci mento ele tem direito a um desconto Desconto é a operação bancária realizada na entrega do valor de um título ao seu detentor antes da data do vencimento e mediante o pagamento de determinada quantia por parte deste Nessa transação o cliente ao apre sentar um título de vencimento futuro para desconto na data presente não recebe seu valor total porque sobre esse valor o banco deduz a chamada taxa de desconto além de impostos como o IOF e encargos administrativos Normalmente as empresas negociam suas duplicatas a receber com instituições financeiras visando obter capital de giro isto é recursos financeiros a serem utilizados em suas atividades operacionais Se a duplicata não for quitada a empresa cedente mantém uma obrigação para com o banco devendo reembolsálo se o título vencido não for pago ATENÇÃO Então podemos dizer que o desconto de títulos é o adiantamento de recursos sobre os valores dos respectivos títulos duplicatas ou notas promissórias geralmente realizados por bancos ou outros Desconto Bancário Simples 84 Nomenclaturas Há um conjunto de termos utilizados na linguagem financeira para representar essa teoria de desconto de títulos Vamos aprendêlos N Título Valor Final do título Valor Nominal Valor de Face valor expresso no título a ser pago no futuro D Valor do desconto ou do abatimento que o título sofre pela antecipação do pagamento A Valor do resgate do título antes do vencimento Valor Atual Valor Residual Valor líqui do é a diferença entre o título e o desconto etc i Taxa de desconto n Tempo de antecipação quantidade de períodos que antecipam o vencimento do título Mediante essas nomenclaturas e sabendose que a Matemática nos auxilia nos cálculos de determinados problemas vamos conhecer adiante algumas fórmulas que serão impres cindíveis no cálculo financeiro Podemos deduzilas Vamos lá FÓRMULA DO DESCONTO BANCÁRIO DB No regime de capitalização Simples o Desconto mais usado é o Bancário que é o abati mento juros a ser deduzido do valor do título O cálculo do desconto incide sobre o valor nominal ou de face do título proporcional ao tempo de antecipação e segundo a taxa correspondente O desconto Bancário também é denominado Desconto Comercial ou Por Fora Seja N o valor do título que sofre o desconto bancário DB por n períodos de antecipação segundo a taxa de desconto i O Desconto nada mais é do que o juro a ser subtraído do valor do título Temse que DB J Você se lembra do estudo de Juros Sabemos que J Cin Como o desconto incide sobre o valor do título N que é o referencial 100 temos que CN DB Cin DB Nin Desconto Bancário Simples 85 IMPORTANTE Não se esqueça das regras estabelecidas para a utilização de fórmulas algébricas O tempo n e a taxa i deverão estar numa mesma unidade de referência temporal Optaremos no tempo por Ano Comercial ou seja ano formado com 360 dias Todas as fórmulas que serão deduzidas em financeira a taxa utilizada é a unitária 100 i Vamos aplicar esse conhecimento nos exemplos a seguir Veja esse exemplo Carlos possui uma promissória no valor de R 1200000 e desejando resgatála antecipa o vencimento por 3 meses Se o banco lhe concede um desconto de 24 aa qual o valor do desconto concedido DADOS VALORES Valor do título N 12000 Tempo de antecipação n 3 meses Taxa de desconto i 24aa 2am 002am Desconto D ATENÇÃO Observe que a taxa e o tempo não estavam numa mesma unidade de referência temporal assim foi necessário a conversão além disso transformamos a taxa em unitária Vejamos inicialmente o cálculo na forma algébrica fórmula D N i n D 12000 002 3 D 72000 Outra resolução é o da HP12C seguindo os procedimentos abaixo Para os Comandos da HP12C podemos calcular o Desconto Bancário igual ao cálculo de juros simples para isso deveremos ter como base o período em dias e a taxa em período anual Vamos estabelecer as regras para a utilização dos comandos financeiros Digite a quantia do Título Capital e pressione Digite o tempo em dias ano comercial e pressione Digite a taxa de juros anual centesimal e pressione Para o cálculo do Desconto juros basta pressionar e o resultado será exibido Desconto Bancário Simples 86 ATENÇÃO Observe que a taxa é referida ao ano e o tempo em dias DADOS VALORES Título N 12000 Tempo n 3 meses 90 dias Taxa i 24aa Desconto D J Acionando os comandos da HP12C temos DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 2 000 1200 1200000 1200000 24 2400 90 9000 72000 O Desconto obtido nessa transação foi de R 72000 FÓRMULA DO VALOR ATUAL BANCÁRIO AB O Valor Atual do Título é o valor do resgate do título antecipado ou seja é a diferença entre o Título e o desconto bancário sofrido concedido assim temos AB N DB Substituindo o Desconto pela sua fórmula temos AB N Nin Desconto Bancário Simples 87 Colocando N em evidência temos AB N 1 in Veja o exemplo a seguir e observe atentamente os cuidados a serem tomados no momen to das substituições dos valores referidos Carlos desconta uma Nota Promissória no valor de R 1200000 num banco que paga a taxa de juros simples de 24 aa Sabendose que o vencimento deste título darseia daqui a 90 dias determine o valor do resgate do título pela antecipação sofrida DADOS VALORES Título N 12000 Tempo de antecipação n 90 dias 3 meses Taxa anual i 24aa 2am 002am Valor atual do título A A Resolução Algébrica Fórmula é AB N 1 in Substituindo os dados teremos AB 12000 1 002 3 AB 12000 1 006 AB 12000 094 AB 1128000 Outra resolução é o da HP12C seguindo os mesmos passos do desconto e logo a seguir acionando o comando que o resultado do Valor Atual do Título aparecerá Lembrese que na HP12C a taxa é anual centesimal e o tempo é em dias DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 2 000 1200 1200000 24 2400 90 9000 72000 1128000 Portanto o Valor Atual do título é R 1128000 Desconto Bancário Simples 88 O nosso principal objetivo não é calcular desconto ou valor atual de um título e sim fazer equivalência de títulos diferidos como veremos a seguir E você sabe o que são títulos diferidos Veja a seguir o conceito e como utilizálos Equivalências de Títulos Diferidos Quando contraímos uma dívida formalizamos esse compromisso com pagamentos futu ros ou seja os títulos Inicialmente há uma forma proposta de quitar a dívida e se por algum motivo ela tiver que ser alterada basta que as partes entrem em acordo e a nova proposta adquirida será feita com base em equivalência de capitais títulos diferidos Podemos dizer que quando os títulos vencem em datas distintas independentemente dos seus referidos valores eles são considerados diferidos Assim diferimento para títulos significa tempos distintos de vencimentos Dois ou mais títulos diferidos N1 e N2 cujos vencimentos são respectivamente em n1 e n2 são equivalentes quando numa mesma época seus valores atuais são iguais No regime simples a data base de comparação equivalência é a data zero ou seja a data da realização da dívida ou a data zero em questão data da mudança 0 A1 n1 n2 A2 N2 N1 Assim na data Zero temos N1 N2 A1 A2 Portanto substituindo pela fórmula do valor Atual Bancário temos A1 A2 N11 i n1 N21 in2 A troca de propostas de quitação da dívida não modifica o seu valor apenas altera a forma de pagála Sendo assim podemos generalizar essa equivalência como sendo a igualdade do somatório de todos os valores atuais bancários dos títulos da primeira proposta com o somatório de todos os valores atuais bancários dos títulos da segunda proposta na data base Zero Chamando a primeira proposta de P1 e a segunda de P2 temos 1 2 1 1 Q K K Q P P A A 1 2 3 1 2 3 K Q A A A A A A A A Desconto Bancário Simples 89 Veja como aplicar a equivalência de títulos no exemplo a seguir Marina deve dois títulos um de R 200000 para 3 meses e outro de R 500000 para 7 meses No entanto propõe ao credor substituílos por um único título para 5 meses Sabendose que o credor aceitou e propôs uma taxa de desconto de 25 am para essa transação qual o valor nominal desse novo título DADOS 1 1 1 2 2 200000 3 500000 7 meses meses N n P N n 2 3 3 5meses P N N n Taxa de desconto i 25am 0025am Inicialmente vamos resolvêla algebricamente ou seja por intermédio de fórmulas 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 20001 00253 50001 00257 1 00255 20001 0075 50001 0175 1 0125 20000925 50000825 0875 1850 4125 0875 5975 0875 682857 A A A N i n N i n N i n N N N N N N Assim o valor do novo título é R 682857 Outra resolução é o da HP12C seguindo os mesmos passos do desconto e logo a seguir aciona o comando que o resultado do Valor Atual de cada Título aparecerá veja como fazer isso passo a passo Lembrese que A taxa é anual centesimal e o tempo é em dias DADOS 1 1 1 2 2 200000 3 500000 7 meses90dias meses210dias N n P N n 2 3 3 5 meses150dias P N N n Taxa de desconto i 25am x 12 30aa Desconto Bancário Simples 90 Na HP12C acionamos os comandos financeiros da seguinte forma DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 2000 200000 30 3000 90 9000 15000 185000 1 185000 5000 500000 210 21000 87500 1 1 0025 412500 412500 597500 5 1 0125 0875 682857 IMPORTANTE Os comandos nº e nº são chamados para a utilização de memória Veja como isto foi feito 1º 185000 foi guardado na memória numérica 1 2º Depois 412500 também foi guardada na memória 1 adicionado ao valor que já estava lá 3º Depois para resgatar essa soma foi acionado os comandos RCL 1 e o resultado da soma apareceu Outro comando utilizado foi que troca a posição de entrada dos dados na máquina tínhamos o resultado de 0875 e depois buscamos o resultado de 597500 Como o valor 597500 tem que ficar na frente usamos o e esta inversão foi feita aparecendo no visor por último o número 0875 Desconto Bancário Simples 91 Assim os dois títulos um de R 200000 e o outro de R 500000 serão substituídos por um único de R 682857 Vamos ver outro exemplo Uma empresa deseja substituir dois títulos de mesmo valor de face R 500000 um para 4 meses e outro para 7 meses por dois novos títulos de valores nominais iguais para respectivamente 5 e 9 meses Sabendose que toda essa transação foi realizada a 12 ao mês determine o valor de face desses novos títulos Dados Para o valor do Título desconhecido usaremos uma unidade de refrência N 1 unidade de título 1 DADOS 1 1 1 2 2 500000 4 500000 7 meses 120 dias meses 210 dias N n P N n 3 3 2 4 4 1 5 1 9 unidade meses 150 dias unidade meses 270 dias N N n P N N n Taxa de desconto i 12am x 12 1440 aa Vamos resolver utilizando a tecnologia ou seja os comandos financeiros da HP12C Desconto Bancário Simples 92 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 3 0000 5000 5000000 1440 14400 120 120000 240000 4760000 1 4760000 210 210000 420000 4580000 1 4580000 1 1000 150 150000 0060 0940 2 0940 270 270000 0108 0892 2 0892 1 9340000 2 1832 5098253 2 509825 Assim os dois novos títulos serão de R 509825 cada Viu não é difícil Agora exercite um pouco ATIVIDADE Acesse as Atividades de Fixação no mate rial didático online da disciplina Desconto Bancário Simples 93 Síntese Neste módulo você pôde entender que a teoria dos títulos de crédito tem muita aplica bilidade em nossa vida Devido à sua praticidade e uso constante dentro do universo econômico comercial e jurídico sempre nos deparamos com situações aplicáveis em nosso cotidiano Você entendeu que comprar a prazo é uma forma fácil de atender as nossas necessidades de consumo quando não temos o dinheiro para comprar a vista no entanto isso deve ser feito de maneira que a dívida contraída seja formalizada entre as partes devedor e credor por documentos de credibilidade no mercado que nesse caso são os títulos de crédito Você viu também quais são os títulos de crédito mais usados Percebeu que a dívida pode ser renegociada Pois é viu como é fácil trocar a forma combinada inicialmente por uma nova proposta mas existem regras para esses documentos representativos das obriga ções que é a negociabilidade a equivalência de propostas evidenciada na facilidade de se encontrar pessoas interessadas em antecipar ou prorrogar o valor da obrigação em troca da titularidade do crédito Daí indiscutivelmente a importância do título de crédito que é uma compensação paga pelo devedor do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro de outro até o dia do pagamento E para agregar a esse conhecimento você pode entender que crediário é uma relação de confiança entre as partes mas mesmo assim deve ser comprovada por documentos pois na falta de pagamentos os mesmos podem ser protestados Agora encerramos o regime de capitalização simples e espero que você tenha absorvido toda essência dessa teoria Aguardo por você em uma próxima oportunidade Até lá Referências ASSAF NETO AlexandreMatemática financeira e suas aplicações 10ª edição São PauloAtlas 2008 BRUNI Adriano Leal etFAMA RubensMatemática Financeira com HP12C e Excel São Paulo Atlas 2002 CASTELO BRANCO Anísio CostaMatemática Financeira Aplicada Método Algébrico HP12C Microsoft Excel 2ª edição rev São Paulo CengageLearnig 2008 CRESPO AnttônioArnot Matemática Financeira Fácil 14ª ed São Paulo Saraiva 2009 FARIA ROGÉRIO GOMES DE Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP12C São Paulo Ática 2007 FARO Clóvis et LACHTERMACHER Gerson Introdução à Matemática Financeira GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel Uma abordagem Descomplicada São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 HAZZAN Samuel José Nicolau Pompeo Matemática Financeira6ª ed São Paulo Saraiva 2007 MERCHEDE AlbertoMatemática Financeira São Paulo Atlas 2001 MULLER Aderbal Nicolas et ANTONIK Luís RobertoMatemática FinanceiraSão Paulo Saraiva 2012 NASCIMENTO Marco Aurélio Introdução à Matemática Financeira São Paulo Saraiva 2011 PUCCINI Aberlardo de Lima Matemática Financeira Objetiva e Aplicada 9ª ed São Paulo Elsevier 2011 TOSI Armando José Matemática Financeira com utilização da HP12C 2ª ed Edição Compacta São Paulo Atlas 2009 94 Matemática Financeira REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA JUROS E MONTANTE APRESENTAÇÃO C aroa alunoa seja bemvindoa Nesse módulo aplicaremos muitos conceitos e realizações praticadas no mercado financeiro o que chamamos de Juros sobre Juros No mundo em que vivemos imerso em transações financeiras e comerciais com cálculos de taxas porcentagens compras vendas negociações em geral necessitamos da Matemática Financeira para resolvêlas não é mesmo Para sua compreensão vamos extrair da matemática aplicada nesta área um conjunto de técnicas e formulações para resolver problemas relacionados a esse assunto Hoje em dia no sistema financeiro para resolvermos problemas o mais comum é aplicarmos o regime composto Você sabe o que implica ou qual a consequência de usarmos esse sistema de regime composto Pois é nesse caso os juros gerados a cada período são incorporados ao valor principal para o cálculo dos juros do período seguinte para que assim possa render novos juros Por isso ouvimos sempre a expressão tão comum em transações financeiras juros sobre juros Sua disposição dedicação disciplina e seu compromisso serão imprescindíveis para que juntos possamos realizar um excelente trabalho É fascinante estudar a distância pois nos traz uma experiência única Estude bastante Tenha uma ótima aprendizagem e muito sucesso OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final desse módulo você deverá ser capaz de Definir regime de capitalização composta Distinguir a capitalização simples da capitalização composta Calcular montante e juros compostos Manusear a HP12C de forma clara e simples nos principais comandos algébricos e nas operações de capitalização composta Aplicar no cotidiano nas transações de crediário os conhecimentos de juros compostos FICHA TÉCNICA FUMEC VIRTUAL SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes Paixão Transposição Pedagógica Pollyana Barbieri Pazzini Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M Valadares Design Multimídia Matheus Guerra de Araújo InfraEstrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Profa Isabel Cristina Dias Alves Lisboa Profa Stella Maris Dias Nassif Costa Pinto BELO HORIZONTE 2013 REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA JUROS E MONTANTE Introdução Desde os primórdios da nossa civilização a questão do dinheiro nos acompanha em gran des transações financeiras Naquela época era comum a troca de mercadorias emprésti mos de dinheiro venda de escravos dentre outras situações E assim aquele que tinha posses oferecia empréstimos para os mais desfavorecidos e para ele não ter prejuízos as dívidas contraídas por outras pessoas ao pagálas os valores eram acrescidos de uma remuneração que hoje denominamos juros Como você conceituaria juros Você sabe a origem dessa palavra Pois é juro tem dentre outros o seguinte significado Quantia que remunera um credor pelo uso de seu dinheiro por parte de um devedor durante um período determinado Antônio Houaiss 2001 Ela veio do Latim JUS direito justiça equidade a mesma que originou juiz júri juízo e outras Passou a fazer parte do nosso idioma por volta do século XII Ainda segundo Houaiss em seu dicionário escreve que a palavra deriva de jus júris direito justiça isto é os juros seriam o que é direito receber pelo aluguel de uma determinada quantia No princípio se confundia juro com usura mas a partir do século XVII quando se iniciou o estudo das Leis econômicas é que se fez a distinção onde juro para designar a taxa de remuneração pelo uso do dinheiro usura para o empréstimo de dinheiro a taxas superiores às legais Juro vem de Juramento Um juramento é uma afirmação de um fato ou de uma promessa geralmente feito perante ou sobre algo um valor moral ou alguém que quem o faz considera sagrado geralmente Deus como testemunha da natureza vinculativa desta promessa ou da veracidade desta declaração ou fato Jurar é fazer um juramento uma promessa solene Juro pode ter origem no juramento assim podemos entender que juro é o juramento de quitar a dívida corrigida num futuro próximo No sistema financeiro as operações de investimentos ou de empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermediação de uma instituição financeira que capta recursos de um lado e os empresta de outro E você já teve a oportunidade de investir o seu capital Pois é investidores têm várias opções de aplicação à sua disposição e cada opção tem a taxa respectiva em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos Com isso os tomadores de empréstimo têm várias opções de financiamento cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas Hoje o mais comum e apli cado é o regime composto ou seja os juros sobre juros Para se calcular esse juro a matemática utiliza o recurso de funções que nesse caso será uma função exponencial Vejamos o que foi estudado sobre o crescimento do principal segundo juros simples Você se lembra Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 97 A forma juros simples é Linear Retilínea mas o crescimento segundo juros compostos é Exponencial hiperbólica Assim é fácil observar que esse juro tem um crescimento muito mais acelerado do que o simples Veja o exemplo a seguir para que você possa observar esta situação e perceber essa infor mação por meio de uma interpretação geométrica Suponha que Maria aplicará a importância de R 10000 a uma taxa de juros de 10 ao mês durante quatro meses Como será a evolução dos juros pelos dois regimes simples e composto Veja as tabelas a seguir Juros Simples X Juros Compostos Meses Valor Base p Juros Juros MCJ Meses Valor Base p Juros Juros MCJ 1 10000 1000 11000 1 10000 1000 11000 2 10000 1000 12000 2 11000 1100 12100 3 10000 1000 13000 3 12100 1210 13310 4 10000 1000 14000 4 13310 1331 14641 Graficamente teremos as duas curvas representativas dessas Capitalizações retilínea e hiperbólica JUROS SIMPLES X JUROS COMPOSTOS 10000 M CJ 1 2 3 4 n 0 Juros Compostos Juros Simples Número de Períodos Você percebeu que só no primeiro período é que os montantes são iguais Sabe por quê A justificativa disso é porque ambas incidem neste período sobre o capital inicial E posteriormente elas crescem de acordo com a especificidade de cada regime A seguir vamos estudar um pouco mais sobre a capitalização composta Você já vivenciou a utilização desse procedimento Normalmente o regime de capitalização composta é adotado por todo o mercado finan ceiro e de capitais Dentro das aplicações do regime de capitalização composta estão as seguintes operações Fluxo de caixa Investimentos Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 98 Empréstimos e financiamentos Cálculos inflacionários Estratégias comerciais de compra e venda Análise de investimentos Outros Ao realizar os cálculos correspondentes a esse assunto utilizaremos um recurso tecnoló gico Sabe qual é Para facilitar esses cálculos teremos a tecnologia a nosso favor ou seja a calculadora HP12C que realizará todos os cálculos compostos de forma mais dinâmica Inicialmente definiremos a seguir as grandezas e nomenclaturas utilizadas neste capítulo para executarmos esses procedimentos Grandezas e Nomenclaturas Utilizadas no Regime Composto O objetivo da Financeira é envolver o dinheiro a taxa e o fator tempo que são considera dos grandezas utilizadas nos cálculos realizados nessa área E você sabe conceituar cada uma dessas grandezas Então vamos lá Dinheiro valor monetário espécie ou principal Grandeza representada por Capital Montante Juros e Prestações ou depósitos Tempo unidade referencial do período que pode ser anual mensal etc Taxa coeficiente de proporcionalidade A taxa deverá ser mencionada na forma Centesimal i ou Unitária 1 100 correlacionada à unidade temporal Na HP12C as grandezas financeiras ou os comandos necessários aos cálculos são Tempo período quantidade de pagamentos Taxa centesimal Presente valor valor inicial capital principal empréstimo aplicação dívida financiamento investimento valor atual Pagamentos iguais em série pagamentos constantes em sequência prestações parcelas depósitos aplicações iguais termos títulos Futuro valor valor final montante capital mais juros saldo final valor acumu lado valor agregado aos juros título resgate total Troca de sinais representativo de Entradas e Saídas de capitais utilizaremos o comando para as entradas e para as saídas Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 99 ATENÇÃO Verificamos que são três as funções monetárias PV PMT e FV mas para qualquer fórmula financeira ou seja em qualquer cálculo financeiro só aparecem duas variáveis monetárias portanto a terceira terá que ser sempre anulada a cada exercício dado para que não interfira nos cálculos em andamento Não há o comando específico para o cálculo de Juros Para calcularmos uma das incógnitas financeiras basta lançarmos três delas que a quar ta será fornecida Não há hierarquia da entrada de dados na HP12C Mas a incógnita a ser calculada deverá ser acionada por último O procedimento de cálculo financeiro da HP12C é na formatação de Fluxo de Caixa ou seja Entradas e Saídas A seguir iremos indicar as relações existentes entre essas grandezas conhecendo as fórmulas a serem utilizadas e aplicadas em nosso dia a dia FÓRMULA PARA O CÁLCULO DE MONTANTE COMPOSTO O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para cálculos de problemas do nosso cotidiano Assim os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte Chamamos de período de capitalização o intervalo após o qual os juros são acrescidos ao capital Assim se a capitalização for mensal significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte É fundamental portanto que em regime de capitalização composta se utilize a chamada taxa efetiva equivalente devendo sempre estar expressa no período de capitalização representado pelo número de períodos simbolizado por n Assim as fórmulas ou comandos financeiros trabalham com a compatibilidade dos dados Tempo n e Taxa i Se a taxa de juros for mensal trimestral ou anual os períodos deverão ser respectivamen te mensais trimestrais ou anuais de modo que os conceitos de taxas de juros e períodos sejam compatíveis Portanto quando isso não ocorrer deveremos fazer as devidas conver sões de unidades Veja a seguir a construção da fórmula do Montante Composto Considere o capital inicial C principal aplicado a uma taxa de juros compostos i por n períodos financeiros Vamos calcular os juros a cada período e incorporar ao capital para gerar novos juros Ao final do primeiro período n1 obteremos o primeiro rendimento J1 0 J1 CC1 M1C2 1 Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 100 Como o cálculo de juros é o resultante do produto do capital pela taxa e pelo tempo temos J1 C1 i n1 Mas C1 C e n1 1 portanto no primeiro período temos J1 C i 1 J1 C i E ao final desse período teremos o primeiro capital acumulado que denominamos montan te M1 M1 C1 J1 Substituindo os juros encontrados M1 C Ci Colocando C em evidência temos M1 C 1 i Ao final do segundo período n2 teremos novos juros J2 agora incidentes sobre o novo capital C2 M1 a saber 0 M1 J2 C M2C3 1 2 J2 C2 i n2 Mas C2 M1 e n2 1 então J2M1 i 1 J2 M1 i Portanto o saldo acumulado será M2 onde M2C2 J2 Substituindo pelos respectivos valores encontrados temos M2 M1 M1 i Colocando M1 em evidência M2 M1 1 i Substituindo M1 já encontrado vem M2 C 1 i 1 i Assim Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 101 M2 C 1 i 2 Ao final do terceiro período teremos 0 M2 J3 C M3C4 1 2 3 J3 C3 i n3 E com raciocínio análogo onde C3 M2 e n3 1 vem J3 M2 i 1 J3 M2 i Assim M3 será calculado por M3 C3 J3 Fazendo as substituições equivalentes vem M3 M2 M2 i M3 M2 1 i M3C 1 i 2 1 i M3 C 1 i 3 Note que existe uma potência indicada nesta fórmula em que o respectivo expoente é concomitante com o índice referente ao período do Montante a ser calculado Por isso em cálculos sucessivos a fórmula desse Montante para o nésimo período será represen tada a seguir MC 1 i n IMPORTANTE Na fórmula acima as unidades de tempo referentes à taxa unitária de juros i e ao período n tem necessariamente que serem iguais FÓRMULA PARA O CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS Lembrese que anteriormente estudamos na capitalização simples o cálculo de Montante dado por M C J Então podemos escrever também que Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 102 J M C Envolvendo o regime composto o Montante acima estudado será destacado nesta fórmu la e assim resultará que J C 1 i n C Colocando C em evidência temos J C 1 i n 1 SAIBA MAIS No regime composto o que prevalece é o tipo mencionado de capitalização Caso não seja citado devese respeitar a unidade periódica da taxa apresentada no problema proposto Outra forma de calcularmos esse Montante será utilizando os recursos da HP12C Mas como proceder para executar esses cálculos Visto que essa máquina trabalha com aplicativos específicos vamos agregar aos nossos conhecimentos as seguintes informações A formatação é de fluxo de caixa Esta forma exige entradas e saídas de capitais e isto será trabalhado no comando CHS A HP12C não é alfanumérica apenas numérica Portanto ela trabalha com valores numéricos e não literais Taxa i é centesimal na mesma referência do Tempo n seguindo o regime de capitalização São quatro comandos dois monetários um positivo e o outro negativo uma taxa e um tempo Um quinto comando monetário deverá ficar de fora e para isso teremos que anulálo Informe três variáveis numéricas e acione a última a quarta como resposta Não há hierarquia de entrada de dados desde que o procurado incógnita seja a última acionada Para os Comandos da HP12C podemos calcular qualquer uma das variáveis desejadas mas para isso não se esqueça das regras estabelecidas Agora você acha que está preparado para começar Vamos aplicar esses conhecimentos em alguns exemplos a seguir Mara aplicou a importância de R 500000 a juros compostos segundo à taxa de 2 am durante 1 ano Qual o montante esperado ao final da aplicação se a capitaliza ção é mensal Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 103 DADOS VALORES Capital CPV 500000 Tempo de aplicação n 1 ANO 12 MESES Taxa i 2am 002 am Regime de Capitalização mensal Valor do Montante MFV Inicialmente vamos resolver na forma algébrica ou seja pela fórmula M C 1 i n Substituindo os valores temos M 50001 00212 M 500010212 ATENÇÃO Primeiramente resolvemos a potência e depois o produto veja 102 12 é feito assim 102 12 Y X e o resultado será 1268241795 trabalhados com todas as casas decimais ou seja acionando 9 M 5000 1268241795 Multiplicando teremos M 63341208975 E considerando para a resposta final só dois dígitos decimais teremos M 634121 Portanto o montante é R634121 E na HP12C Vamos lá lembrando as informações anteriores ou seja as regras para a utilização dos comandos financeiros com os passos abaixo Anule o comando das Digite a quantia do Capital como saída e pressione Digite o número de períodos na mesma unidade de referência da taxa e pressione Digite a taxa centesimal com a referência periódica idêntica ao do tempo e pressione Para o cálculo do Montante basta pressionar o tecla e o resultado será exibido Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 104 FIQUE LIGADO Neste módulo não teremos que acionar o comando PMT que representa pagamentos em séries portanto vamos acionar o Zero anulando essa grandeza DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 9 0000000000 0 0000000000 5000 5000000000 12 1200000000 2 2000000000 6341208973 2 634121 Veja outro exemplo Um mutuário comprou um apartamento por R 20000000 financiado por um banco em 5 anos a taxa de juros de 15 ao mês Logo no primeiro mês ele perde o emprego e não consegue pagar nenhuma prestação Mais tarde precisa mente ao final de 5 anos ele ganha na Mega Sena e resolve quitar a sua dívida Qual será o valor do montante ao final de 5 anos sabendose que nenhuma prestação foi paga DADOS VALORES Valor da dívida capital CPV 20000000 Tempo de pagamento n 5 anos 60 meses Taxa de juros i 15am 0015am Capitalizações mensais Dívida futura montante MFV Vejamos inicialmente o cálculo na forma algébrica fórmula M C1in M 200000 101560 M 200000 2443219776 M 4886439552 M 48864396 Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 105 Algebricamente mas com os recursos da tecnologia da HP12C DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 15 1500000000 100 0015000000 1 1015000000 60 2443219776 200000 4886439552 2 48864396 Acionando os comandos financeiros da HP12C temos DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 9 0000000000 0 0000000000 200000 2000000000 60 6000000000 15 1500000000 4886439551 2 48864396 Ao final de 5 anos ele deverá pagar a importância de R 48864396 relativos a sua dívida da aquisição do apartamento Veja outro exemplo Ana resgatou do investimento realizado a 5 meses atrás a juros compostos de 06 am a importância de R 637794Qual foi essa aplicação DADOS VALORES Valor do resgate montante MFV 637794 Tempo de aplicação n 5 meses Taxa de juros i 06am 0006 am Capitalizações segue a taxa mensais Valor da aplicação capital CPV Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 106 A Resolução Algébrica Fórmula n 5 1 i 637794 1006 637794 1030362166 637794 1030362166 6189998246 619000 M C C C C C C E se utilizar a HP12C para esses recursos algébricos será assim DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 06 0600000000 100 0006000000 1 1006000000 5 1030362166 637794 1030362166 6189998246 2 619000 Na HP12C acionamos os comandos financeiros DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 0 0000000000 637794 637794000 06 060000000 5 500000000 6189998246 2 619000 Veja outro exemplo Qual a taxa para que certo capital renda o dobro do aplicado a juros compostos por um período de 1 ano com capitalizações mensais Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 107 ATENÇÃO Lembrese que a HP12C é numérica e não alfanumérica portanto estabelecemos um valor para o Capital em unidades monetárias por exemplo 1 unidade de capital 1 uc Render é juros portanto o Montante é igual ao triplo M C J DADOS VALORES Valor do capital CPV 1 Valor do Montante MCJFV 123 Capitalizações mensais Tempo n 1 ano 12 meses Taxa i mensal Algebricamente temos n 12 12 1 i 3 1 1 i 3 1 i 1 M C C C C C Simplificando por C membro a membro da equação vem 12 12 3 1 i 1 3 1 i Vamos explicitar a variável i extraindo a raiz 12ª membro a membro da equação 12 12 12 12 12 3 1 3 1 3 1 i i i Os demais cálculos serão realizados na HP12C DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 3 3000000000 12 0083333333 1095872691 1 0095872691 100 9587269100 2 959 Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 108 Assim a taxa mensal dessa aplicação foi de 959 am Utilizando os comandos financeiros é mais imediato veja DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 0 0000000000 1 1000000000 3 3000000000 12 1200000000 9587269100 2 959 Com os recursos financeiros da HP12C é muito simplificado No entanto essa calcula dora trabalha na forma de capitalizações inteiras n é um número inteiro sendo assim o cálculo do tempo quando não for completo será automaticamente arredondado pela calculadora Nesse caso o tempo exato terá que ser realizado pelo processo algébrico utilizando para tal o cálculo logarítmico Vamos citar um exemplo Qual o tempo exato para que certo capital quintuplique a juros compostos segundo a taxa de 12 ao mês com capitalizações mensais DADOS VALORES Valor do capital CPV 1 Valor do Montante MFV 5 Capitalizações mensais Tempo n Taxa i mensal 12am 0012 am Algebricamente temos n n 1 i 5 1 1 0012 M C C C Dividindo membro a membro por 1C temos 5 1 1012 1 1 5 1012 n n C C C C Vamos explicitar a variável n Nesse caso utilizaremos a teoria de logaritmo que possui a seguinte propriedade da potência logabn nlogab ou lnbn nlnb Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 109 Assim usando a propriedade logarítmica vem 5 1012 5 1012 5 1012 5 1012 n n ln ln ln n ln ln n ln Para calcular o logaritmo de um número precisaremos da calculadora e na HP12C temos o logaritmo Neperiano LN que se encontra subescrita abaixo na cor azul no comando Veja como é realizado o cálculo na HP12C f 9 DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 5 1609437912 1012 0011928571 1349229450 Assim o tempo n será n 1349229450 meses Isto quer dizer que temos 134 meses completos e alguns dias que é a parte fracionada do mês n 134 meses e 0922945 parte do mês dias Para essa parte fracionada basta multiplicar por 30 são 30 dias no mês que teremos os dias ano comercial n 134 meses e 0922945 x 30 dias n 134 meses e 2768835 dias Como a menor periodicidade de capitalização é o dia vamos desprezar a parte fracionada que representa as horas os minutos e segundos Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 110 Finalmente temos n 134 meses e 27 dias completos Utilizando os comandos financeiros é mais imediato no entanto o aplicativo de tempo n foi programado para capitalizações inteiras e qualquer que seja a unidade fracionada da capitalização por menor que seja será automaticamente arredondada para o inteiro imediato Vamos verificar esse exemplo DADOS NUMÉRICOS COMANDOS ACIONADOS VISOR DA HP12C 0 0000000000 1 1000000000 5 5000000000 12 1200000000 1350000000 Percebeu A HP12C já aplicou o arredondamento para o inteiro imediato de 134 para 135 meses IMPORTANTE A HP12C está programada para que o comando n de tempo seja sempre representado por um número inteiro Agora você está apto a trabalhar algébrica ou tecnologicamente com os recursos explica dos acima Vamos treinar Bom trabalho ATIVIDADE Acesse as Atividades de Fixação no material didático online da disciplina Regime de Capitalização Composta Juros e Montante 111 Síntese Nesse estudo você pôde entender a importância dos regimes de capitalizações em nosso cotidiano Você percebeu como eles afetam a nossa vida independente da nossa classe social O estudo da Financeira tem como base a operação de crédito que é tão praticada porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato e está disposta a pagar um preço por isso Assim preferem entrar num crediário do que aplicar o que têm que dariam como prestações e esperar para adquirir o respectivo bem Então no momento da realização da compra a melhor decisão é juntar parte do dinheiro necessário para dar uma boa entrada financiando o restante ou esperar um tempo e ter todo o montante para realizar esse desejo a vista Lembrese Sempre que você tomar decisões comerciais ou financeiras é aconselhável computar o quanto está pagando de juros ao fazer uma compra a prazo ou o quanto está ganhando num investimento Contabilize todas as suas contas e verifique se vale à pena ou não pagar os juros Tudo vai depender de quanto você tem disponível naquele momento e qual a real necessidade de sua compra E cuidado com o excesso do consumismo desnecessário Espero que você tenha absorvido toda a essência dessa teoria para que seja corretamente aplicada em seu dia a dia Aguardo por você em um próximo momento Até lá Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática Financeira e suas Aplicações 12ª edição São Paulo Atlas 2012 CASTANHEIRA Nelson Pereira MACEDO Luiz Roberto Dias de Matemática Financeira Aplicada Curitiba IBPEX 2010 Endereço Eletrônico httpfumecbvirtualcombreditions2267matematicafinanceiraaplica da3eddp searchid5145229searchresultstypeEdition CASTELO BRANCO Anísio Costa Matemática Financeira Aplicada Método Algébrico HP12C Microsoft Excel 2ª edição rev São Paulo Cengage Learnig 2008 CRESPO Antônio Arnot Matemática Financeira Fácil 14ª ed São Paulo Saraiva 2009 FARIA ROGÉRIO GOMES DE Matemática Comercial e Financeira com Exercícios e Cálculos em Excel e HP12C São Paulo Ática 2007 FARO Clóvis de LACHTERMACHER Gerson Introdução à Matemática Financeira 1ª ed Rio de Janeiro Editora FGV Coedição da editora Saraiva 2012 GIMENES Cristiano Marchi Matemática Financeira com HP12C e Excel Uma abordagem Descomplicada São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 HAZZAN Samuel José Nicolau Pompeo Matemática Financeira 6ª ed São Paulo Saraiva 2007 MULLER Aderbal Nicolas et ANTONIK Luís Roberto Matemática Financeira São Paulo Saraiva 2012 NASCIMENTO Marco Aurélio Pereira Introdução à Matemática Financeira São Paulo Saraiva 2011 PUCCINI Abelardo de Lima Matemática Financeira Objetiva e Aplicada 9ª ed São Paulo Elsevier 2011 SAMANEZ Carlos Patrício Matemática Financeira Aplicações à Analise de Investimentos 5ª ed São Paulo PrenticeHall 2010 SAMANÉZ Carlos Patrício Matemática Financeira São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 Endereço Eletrônico httpfumecbvirtualcombreditions2541matematicafinanceiradpsearchid4970723search resultstypeEdition TOSI Armando José Matemática Financeira com utilização da HP12C 2ª ed Edição Compacta São Paulo Atlas 2009 VERAS Lilia Ladeira Matemática Financeira 6ª edição São Paulo Atlas 2007 112