Sinais e Sistemas - Trabalho Avaliativo sobre Teoria e Aplicações

Trabalho Sinais e Sistemas 1 Leia atentamente as afirmativas a seguir relacionadas com a teoria de sinais e sistemas e marque a única alternativa ERRADA Escolha uma opção a Toda onda eletromagnética do espectro visível é um sinal que carrega muitas informações que podem ser recebidas e processadas pelo olho humano para formar imagens b A Teoria de Sinais e Sistemas se interessa pelas diversas formas de representação de sinais e pela compreensão de como estes sinais são processados pelos sistemas c Saber avaliar como os sistemas processam sinais e entender a sua dinâmica não permite estabelecer um modelo aproximado para este sistema e nem projetar parâmetros desse sistema d Um arquivo de imagem ou de vídeo pode ser o resultado da recepção de milhões de sinais e As informações contidas em um sinal podem ser colocadas sob a forma de funções matemáticas gráficos e tabelas 2 Em julho de 2022 a sonda espacial Voyager 1 tornouse o objeto construído pelo homem que viajou mais longe estando nesta data além do sistema solar a cerca de 233 bilhões de quilômetros da Terra ainda funcionando apesar de seus 45 anos de idade Um comando dado pelo sistema de controle da Nasa para a sonda viaja à velocidade da luz Considerando que a velocidade da luz é de aproximadamente 300000 Kms qual é o tempo total aproximado que um comando dado aqui da Terra leva para alcançar a sonda Escolha uma opção a Nenhum Assim que o sinal de controle é dado aqui da Terra a sonda responde imediatamente b Pouco menos de 22 horas c Quase 3 dias d Pouco mais de um minuto e Aproximadamente uma semana 3 Leia atentamente as afirmativas a seguir relacionadas com a teoria de sinais e sistemas e marque a única alternativa ERRADA Escolha uma opção a Qualquer conjunto de dados que contenha informações sobre algum fenômeno ou objeto de estudo pode ser considerado um sinal b Uma vez que todo sistema é uma entidade que processa sinais de entrada e produz sinais de saída podemos considerar que a audição é um sistema que processa ondas de pressão do ar produzindo sinais elétricos que viajam através dos nervos e que são interpretados como sons em nosso cérebro c Um sinal pode ser descrito por uma função matemática com uma ou mais variáveis independentes d A maioria dos fenômenos físicos tais como temperatura deslocamento tensão e corrente elétricas entre outros são sinais em que a variável independente é uma função do tempo e Dados estatísticos tais como informações do censo demográfico não podem ser considerados sinais 4 Considere dois sinais distintos Sinal 1 e Sinal 2 representados pelos gráficos a seguir em que y corresponde à amplitude do sinal em função do tempo t A partir da interpretação destes dois sinais analise as afirmativas a seguir e marque a única alternativa CORRETA Escolha uma opção a O Sinal 2 pode ser definido pela função matemática y 1 para o intervalo 0 t 1 b O sinal 2 pode ser utilizado para anular completamente o sinal 1 se e somente se os dois sinais forem emitidos ao mesmo tempo e captados pelo mesmo sistema c Os dois sinais são discretos e limitados no tempo para o intervalo 0 t 1 d O Sinal 1 pode ser definido pela função matemática y 1 para o intervalo 0 t 1 e Os dois sinais não são determinísticos 5 Considerando a Teoria Básica de Sinais e Sistemas leia com atenção as afirmativas a seguir e identifique se elas são verdadeiras V ou falsas F Depois marque a única alternativa CORRETA I A Teoria Básica de Sinais e Sistemas é o ponto de partida inicial para outras teorias mais específicas principalmente para a análise de sistemas de controle sistemas de comunicação e processamento digital de sinais II Em sinais de tempo discreto a variável independente é discreta e portanto esses sinais são definidos apenas para um conjunto de valores específicos e individuais da variável independente III Os sinais de tempo contínuo são definidos somente em instantes específicos e individuais ou seja a variável independente assume apenas um conjunto discreto de valores IV A representação gráfica de um ECG eletrocardiograma é um exemplo de sinal contínuo V O valor da pressão atmosférica em função da altitude é um exemplo de sinal discreto São verdadeiras apenas as afirmativas Escolha uma opção a II III e V b I II e IV c I III e V d II IV e V e I e II 6 Em relação aos tipos de sinais podemos afirmar EXCETO Marque a única alternativa ERRADA Escolha uma opção a Os sinais analógicos são sempre contínuos o que significa que todo sinal contínuo é analógico b Para fins práticos a obtenção de um sinal se dá normalmente por meio de um transdutor ou sensor no qual o sinal obtido deve ser tratado de forma que possa ser analisado e aplicado com ferramentas como computadores ou microcontroladores c Um sinal contínuo no tempo é um sinal definido para todo instante de tempo em um intervalo seja este intervalo finito ou infinito um sinal contínuo sempre terá um valor definido d O tempo é a variável dependente na maioria das aplicações de geração e análise de sinais e A frequência de amostragem de um sinal é um parâmetro muito importante para a sua análise 7 Considerando a Teoria Básica de Sinais e Sistemas leia com atenção as afirmativas a seguir e identifique se elas são verdadeiras V ou falsas F Depois marque a única alternativa CORRETA I Quando um motorista de um carro pressiona o pedal do acelerador o veículo responde aumentando a velocidade Nesse caso o sistema é o automóvel a pressão sobre o pedal do acelerador é a entrada do sistema e a velocidade do veículo é a resposta do sistema II Quando um piloto está se comunicando com uma torre de controle de tráfego aéreo a comunicação pode ser degradada pelo alto nível de ruído de fundo na cabine Neste e em muitos casos semelhantes é possível projetar sistemas de tempo real que retenham o sinal desejado nesse caso a voz do piloto e rejeitem totalmente o sinal indesejado ou seja o ruído resultando em um sinal de voz límpido completamente livre de interferências III A estimativa da frequência cardíaca a partir de um eletrocardiograma é um exemplo de sistema projetado para extração de informações específicas a partir de um ou mais sinais IV O piloto automático de uma aeronave é um exemplo de um sistema de controle que funciona em conjunto com diversos outros sistemas interligados de modo a garantir que ajustes de variáveis tais como velocidade posição do leme de direção e dos ailerons permitam que o avião siga uma trajetória ou curso específico V A utilização de modelos para a previsão do comportamento do mercado financeiro não possui nenhuma relação com a teoria de sinais e sistemas São verdadeiras apenas as afirmativas Escolha uma opção a I II e IV b I e II c I III e IV d II IV e V e II III e V 8 Analise atentamente os gráficos das funções a seguir definidos para o intervalo 4 n 4 Em seguida responda as perguntas que seguem a Coloque os sinais y1 e y2 sob a forma de funções matemáticas da variável n y1n e y2n e responda se estes sinais são contínuos ou discretos Explique a sua resposta a partir da elaboração de um pequeno texto de justificativa 05 meioponto b Considere um sinal produzido por um sistema tal que yn y1n y2n Faça um esboço do gráfico do sinal yn produzido por este sistema 05 meioponto 9 Dado o sistema yn xn xn1 prove algebricamente que yn é um SLIT 10 Verifique se os sistemas representados nos itens a e b a seguir são causais Justifique suas respostas a yn 2xn2 b yn xn xn2 11 Verifique se os sistemas representados nos itens a e b a seguir são estáveis a yt t² xt para 1 t b yt 2eᵗ para t0 12 Faça o esboço do gráfico dos seguintes sinais a yn δn k b yn 3un 3 13 A teoria de sinais e sistemas demonstra que o impulso unitário de tempo discreto δn pode ser usado para formar qualquer tipo de sinal de tempo discreto uma vez que todo sinal de tempo discreto é uma sequência de impulsos individuais multiplicados em cada instante por uma determinada amplitude de sinal dada por xn Considere um sinal de tempo discreto representado pela soma de uma sequência infinita de valores individuais amostras que variam de a mostrado a seguir no trecho deste sinal em que 2 n 2 sendo que n ℤ xn x2 x1 x0 x1 x2 Usando a propriedade declarada no texto da questão então este trecho de sinal pode ser reescrito assim xn x2δn2 x1δn1 x0δn x1δn1 x2δn2 A partir destas premissas pedese Deduza a fórmula para qualquer sinal xn usando esta propriedade como um único termo que represente o somatório de todas as amostras desta sequência infinita para qualquer valor individual de amplitude xk sendo que n e k ℤ 14 Um sistema LIT tem uma resposta yn 3xn2 para uma entrada xn Esboce o gráfico da resposta hn para este sistema 15 Um determinado sistema LIT tem uma resposta ao impulso dada pela equação hn 2δn2 3δn1 e uma entrada xn 2δn2 Descubra qual é a saída deste sistema para qualquer xn em sua entrada aplicando a soma de convolução 16 Quando utilizamos a análise de Fourier para estudar sinais podemos utilizar as séries de Fourier e as transformadas de Fourier Neste caso qual é a diferença entre as séries e as transformadas Responda esta pergunta elaborando um pequeno texto explicativo máximo de 4 linhas 17 Dada uma certa função ft esboce o seu gráfico e represente esta função sob a forma de uma série de Fourier sabendo que ft ft 2T sendo que ft é definida como ft 0 se π t 1 1 se 1 t 1 0 se 1 t π Questão 1 Alternativa C Questão 2 ① Vm ΔsΔτ Δτ 233109300103 KmKms Δτ 7766667 s ② Transformado segundos para horas temos Δτhoras Δτsegs3600 Δτhoras 77666673600 Δτhoras 2157 horas Alternativa B Questão 3 Alternativa E Questão 4 Alternativa B Questão 5 Alternativa B Questão 6 Alternativa D Questão 7 Alternativa C Questão 8 a y₁n xn² 4 n 4 n Z y₂n 2 4 n 4 n Z Os sinais de y₁n e y₂n são sinais discretos isto decorre do fato de que em sinais discretos a variável independente no caso n assume somente valores inteiros b Assim o resultado de y₁n y₂n para 4 n 4 é y4 y4 14 y3 y3 7 y2 y2 2 y1 y1 1 y0 y2 Questão 9 ① y₁n x₁n x₁n1 ② Fazendo x₂n x₁nn₀ temos y₂n x₁nn₀ x₁nn₀1 A alteração na entrada se reflete na saída o que faz o sistema ser invariante no tempo Questão 10 a yn 2 xn2 Para n 0 temse y0 2 x2 Como o sistema depende apenas do tempo passado a saída para n0 depende de n2 este sistema é dito causal b yn xn xn2 Para n0 temse y0 x0 x2 Como a saída deste sistema depende de valores presente e futuros para n0 a saída depende de xn em n2 assim este sistema é dito não causal Questão 11 a yτ τ² xτ para J τ I Gráfico Seja xτ uma entrada em degrau assim Yτ τ² xτ xτ μτ Como a entrada e a saída não são limitadas A medida que aumentamos τ a saída também cresce em função quadrática logo o sistema não é estável b yτ 2 eτ para τ 0 I Gráfico Como a saída é limitada entre 2 e 0 podemos afirmar que o sistema é estável Questão 12 a Yn δnk b Yn 3 un3 Questão 13 A propriedade declarada no texto é a propriedade da amostragem ou teorema da amostragem assim xn Σ k xk δnk 1 Avaliando a equação temos para 2 k 0 que xn x2 δn2 x1 δn1 x0 δn A fórmula é de fato xn Σ k xk δnk n Z Resposta Questão 14 δn2 Questão 16 A série de Fourier decompõe uma função periódica em uma soma de senos e cossenos com diferentes frequências e amplitudes Por sua vez a transformada de Fourier converte o sinal do domínio do tempo para o domínio da frequência Questão 17 fc 0 se π τ 1 1 se 1 τ 1 0 se 1 τ π Período π π 2π T₀ 2π Frequência 1 T₀ 1 2π ω₀ 2π f₀ 2π 1 2π ω₀ 1 rads A série trigonométrica de Fourier é dada por xτ a₀ Σ n1 aₙ cosn ω₀ τ bₙ sinn ω₀ τ Coeficiente a₀ valor médionivel CCDC a₀ 1T₀ T₁ a₂π xτ dτ 12π π π xτ dτ 12π 1 1 1 dτ 12π 1 1 12π 2 a₀ 1π Coefuentes an an 2T0 from τ1 to τ0 xτ cos nW0τ 22π from π to π xτ cos nW0τ dτ an 1π from 1 to 1 1 cos n1τ dτ 1πn sen n1 sen n1 an 1πn sen n sen n como sen x é uma função ímpar logo sen x sen x assim an 1πn sen n sen n an 2πn sen n Analizando sen n PARA n π2 sen π2 1 PARA n π sen π 0 PARA n 3π2 sen 3π2 1 PARA n 2 π sen 2 π 0 an 2πn PARA n π2 3π2 9π2 2πn PARA n 3π2 7π2 11π2 0 PARA n paramúltiplo de π e 2π Coefuentes bn bn 2T0 from τ1 to τ0 xτ sen nW0τ 22π from 1 to 1 1 sen n1τ dτ bn 1πn cos n 1 cos n 1 como cos x é uma função par logo cos x cos x assim bn 1πn cos n cos n bn 0 n Assim temos xτ a0 from n1 to an cos nw0τ bn sen nw0τ xτ a0 from n1 to an cos nw0τ Substituindo os valores determinados de a0 e an temos xτ 1π from n1 to 2πn sen n cos nw0τ L Resposta