Teste de Hipóteses: Conceitos e Exemplos

Teste de Hipóteses Conceitos básicos hipóteses nula e alternativa nível de significância valorp Conversão de uma N2 para uma N01 A distribuição Normal Padrão pode ser utilizada para calcular probabilidades de qualquer distribuição Normal com quaisquer valores de média e variância Se XN2 e fizermos então ZN01 2 Z 𝑋𝜇 𝜎 Exemplo Para os tomadores de empréstimos com boas pontuações de crédito a dívida média é de R1501500 Considere que o desvio padrão é R354000 e que as quantias são normalmente distribuídas a Qual a probabilidade de que o débito de um mutuário seja maior do que R18000 3 𝑋𝑁1501535402 b Qual a probabilidade de que o débito de um mutuário seja menor do que R10000 c Qual a probabilidade de que o débito de um mutuário esteja entre R12000 e R18000 4 Inferência Estatística Inferência Estatística 9 Inferência sobre um parâmetro Teste de Hipóteses Estimação Pontual e Intervalar Distribuição da média amostral Se retiramos amostras de tamanho 𝑛 de uma população com 𝑋𝑁 𝜇 𝜎2 então ത𝑋𝑁 𝜇 𝜎2 𝑛 Além disso 𝑍 ത𝑋𝜇 𝜎 𝑛 𝑁01 10 11 População n10 Amostra 1 Amostra 2 Amostra 1000 ҧ𝑥 170 ҧ𝑥 169 ҧ𝑥 188 𝜇 175 Exemplo 2 Em um processo industrial o diâmetro de um rolamento é uma característica de qualidade de interesse Sabese que no processo o diâmetro de rolamento tem distribuição normal com média 30 e desvio padrão 0005 Retiramos uma aa de tamanho 9 Qual a probabilidade de que o diâmetro médio dessa amostra seja menor que 2999 12 Teste de Hipóteses Decidir na presença de incerteza Hipótese é uma afirmação sobre um parâmetro da população Teste de Hipóteses é o processo de decisão entre duas hipóteses sobre um parâmetro da população 13 Hipóteses de um teste Hipótese nula é a afirmação sobre o valor de um parâmetro populacional média ou proporção denotados por μ e p H0 expressa a condição de igualdade H0 μ μ0 H0 μ μ0 ou H0 μ μ0 14 Hipóteses de um teste Hipótese alternativa é a afirmação verdadeira para o caso de a hipótese nula ser falsa Comportase basicamente de três formas HA μ μ0 HA μ μ0 ou HA μ μ0 15 16 Identifique a afirmativa ou hipótese específica a ser testada e expressea de forma simbólica afirmativa original Expresse de forma simbólica da afirmativa que tem que ser verdadeira quando a afirmativa original é falsa Das duas expressões simbólicas obtidas aquela que contém a igualdade é a hipótese nula H0 a outra expressão é a hipótese alternativa H1 Identificando H0 e H1 Identificar as hipóteses nula e alternativa 18 Situação 1 Um fabricante afirma que a vida média das baterias de sua fabricação é igual a 405 horas Um cliente suspeita que as baterias compradas desse fabricante têm durabilidade média menor e decide verificar através de uma amostra de 15 baterias Situação 2 Estudos sobre mortalidade de homens com idade superior a 65 anos de uma cidade mostram que 4 deles morrem dentro de um ano Num grupo de 1000 indivíduos selecionados dessa população 60 morreram no período de um ano Suspeita se de que houve um aumento da mortalidade anual nessa população 20 Situação 3 Um restaurante compra frangos abatidos inteiros com peso médio de 3 quilos há vários anos de um fornecedor Outro fornecedor propôs ao gerente do restaurante vender frangos com peso médio maior que 3 quilos ao mesmo preço do fornecedor antigo Antes de mudar de fornecedor o gerente do restaurante decidiu comprar 25 frangos do novo fornecedor e pesálos Encontrou um peso médio de 32 quilos com um desvio padrão de 04 quilos 21 Situação 4 Uma indústria farmacêutica especifica que em certo analgésico a quantidade média de ácido acetil salicílico deve ser 55 mg por comprimido A indústria suspeita que houve problemas na produção de um determinado lote e que nesse lote a quantidade média dessa substância está diferente da especificada Para verificar essa suspeita a indústria selecionou uma amostra aleatória de 40 comprimidos desse lote observando uma quantidade média de ácido acetil salicílico igual a 52 mg e um desvio padrão de 07 mg 23 Situação 5 Um vendedor de sementes de milho garantiu a um agricultor que a proporção de sementes de sua marca que realmente chegam a germinar é 95 O agricultor desconfia que na verdade esta proporção é menor do que a anunciada pelo vendedor Antes de efetuar uma grande compra o agricultor comprou um pacote com 1000 sementes e plantou observando mais tarde que 940 sementes germinaram 24 Erros associados a um Teste de Hipóteses 26 Decisão baseada no teste Situação real desconhecida H0 é verdadeira H0 é falsa Rejeitar H0 Não rejeitar H0 Decisão incorreta Erro Tipo I Decisão incorreta Erro Tipo II Decisão correta Decisão correta Exemplo de motivação Suponha que o nível médio de colesterol em crianças sadias seja de 175 mgdL Identificase um grupo de homens que morreram de doenças cardíacas no ano passado e os níveis de colesterol de seus descendentes são medidos Suspeitase que o nível médio de colesterol dessas crianças é 175 mgdL Como não é possível avaliar todas as crianças cujos pais morreram de doenças cardíacas no ano passado população retirase uma amostra de 10 crianças de calculase a média amostral ҧ𝑥 para verificar sua suspeita 𝐻0 𝜇 175 𝑜𝑢 𝜇 175 𝐻𝐴 𝜇 175 27 Exemplo de motivação 𝐻0 𝜇 175 𝐻𝐴 𝜇 175 Toda a informação que temos sobre a média populacional está na amostra através da média amostral ҧ𝑥 Se ҧ𝑥 for muito próximo ou menor de 175 acreditamos mais em H0 Se ҧ𝑥 for maior que 175 acreditamos mais em H1 29 Pergunta Quão maior que 175 deve ser ҧ𝑥 para rejeitarmos H0 ou seja para acreditarmos na hipótese do pesquisador E se o pesquisador estiver errado ou seja se 175 qual a probabilidade de errarmos ao rejeitar H0 30 Se a hipótese H0 175 é verdadeira 31 População n10 Amostra 1 Amostra 2 Amostra 1000 ҧ𝑥 170 ҧ𝑥 169 ҧ𝑥 188 𝜇 175 Para fins didáticos suponha que o colesterol X tenha distribuição normal com desvio padrão igual a 50 Então o histograma abaixo representa a distribuição das médias obtidas pelas 1000 amostras de tamanho 10 retiradas da população com 𝑋𝑁175 502 32 224 216 208 200 192 184 176 168 160 152 144 136 128 10 8 6 4 2 0 Colesterol médio mgdL na amostra de amostras Situação 1 Suponha que decidese rejeitar H0 175 se ҧ𝑥 192 o que equivale a uma diferença de 17 mgdl em relação ao colesterol médio das crianças sadias 33 224 216 208 200 192 184 176 168 160 152 144 136 128 10 8 6 4 2 0 Colesterol médio mgdL na amostra de amostras 15 Nesse caso 15 das amostras levariam à rejeição incorreta de H0 175 Situação 2 Suponha que decidese rejeitar H0 175 se ҧ𝑥 204 diferença de 29 mgdL em relação ao colesterol médio das crianças sadias 34 36 das amostras levariam à rejeição incorreta de H0 175 224 216 208 200 192 184 176 168 160 152 144 136 128 10 8 6 4 2 0 Colesterol médio mgdL na amostra de amostras 36 Situação 3 Suponha que decidese rejeitar H0 175 se ҧ𝑥 tal que 5 das amostras levariam à rejeição incorreta da hipótese nula Como vimos anteriormente se 𝑋𝑁175 502 então ത𝑋𝑁 175 502 10 Assim rejeitaríamos H0 175 se ҧ𝑥 2010 35 0025 0020 0015 0010 0005 0000 Colesterol médio mgdL na amostra Densidade 2010 005 175 Resumindo Quanto menor o risco tolerado para rejeitar 𝐻0 incorretamente mais distante de 175 à direita a média amostral deve estar mais forte a evidência amostral contra 𝐻0 Na prática fixamos a proporção máxima de amostras que nos levaria à rejeição incorreta de H0 175 ou equivalentemente a probabilidade máxima tolerada de rejeitarmos H0 incorretamente Chamamos essa probabilidade de nível de significância e denotamos por 36 Rejeitar H0 175 se de amostras que levariam à rejeição incorreta de H0 ҧ𝑥 1920 0150 ҧ𝑥 2010 0050 ҧ𝑥 2040 0036 A escolha do nível de significância está diretamente ligada a quão maior que 175 mgdL a média amostral ҧ𝑥 deve ser para rejeitarmos H0 175 Quanto menor escolhido maior a diferença necessária entre ҧ𝑥 e 175 para que H0 seja rejeitada 37 ҧ𝑥 Suponha que fixamos 001 Coletamos uma amostra de tamanho 10 e observamos ҧ𝑥 200 mgdL Questão 200 mgdL é suficientemente maior que 175 mgdL para rejeitarmos H0 175 ao nível de 1 de significância Ou equivalentemente 𝑃 ത𝑋 200 𝛼 38 ҧ𝑥 Critério estabelecido Resultado amostral 𝑃 ത𝑋 200 𝑃 ത𝑋175 50 10 200175 50 10 𝑃 𝑍 158 0057 39 𝑍0 ത𝑋 175 50 10 𝑍0 mede a diferença entre ҧ𝑥 e É chamado de estatística de teste Para calcularmos 𝑃 ത𝑋 200 precisamos conhecer a distribuição da estatística de teste distribuição de referência Nesse caso 𝑍0𝑁01 A probabilidade calculada acima é chamada de valorp N175 50Τ 10 Valorp Indica a probabilidade observarmos um resultado igual ou mais extremo que aquele apresentado na amostra se a hipótese nula for verdadeira 40 Se valorp é pequeno podemos rejeitar H0 pois ela não deve ser verdadeira Nesse caso o colesterol médio de crianças cujos pais tinham problemas cardíacos deve ser maior que 175 mgdL Se valorp é grande não rejeitamos H0 175 pois ela deve ser verdadeira Questão valorp é grande ou pequeno em relação a quê Precisamos comparar com o nível de significância fixado Assim Se valorp não rejeitamos H0 a amostra não fornece evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula Se valorp rejeitamos H0 a amostra fornece evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula Exemplo H0 175 H1 175 Valorp 0057 e portanto não rejeitamos a hipótese nula ou seja não há evidências suficientes para afirmarmos que o nível médio de colesterol de crianças cujos pais eram cardíacos é maior de 175 mgdL 41 Notas de aula produzidas pela Profa Magda Carvalho Pires UFMG 42