Lista de Exercícios - Teste T e ANOVA - Comparação de Médias

DISCIPLINA ESTATÍSTICA II STA2171 2º SEM2023 PROFA ANA JULIA ALVES CAMARA DEPTO ESTATÍSTICA UFES Lista 4 Teste t para comparação de duas médias e ANOVA Exercício 1 Dois tipos diferentes de tecido devem ser comparados quanto ao seu peso Uma máquina de testes pode comparar duas amostras ao mesmo tempo O peso em miligramas para sete experimentos foram Tecido 1 2 3 4 5 6 7 A 36 26 31 38 28 20 37 B 39 27 35 42 31 39 22 Teste se um tecido é mais pesado que o outro a um nível de significância de 5 Admita que a variância é a mesma e igual a 49 Quais outras hipóteses são necessárias para o teste Exercício 2 Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário inicial de recémformados investigaramse dois grupos de profissionais liberais em geral e outro de formados em Administração de Empresas Com os resultados abaixo expressos em salários mínimos quais seriam suas conclusões Suponha que as variâncias são diferentes Escreva as outras suposições necessárias Liberais 66 103 108 129 92 123 70 Admin 81 98 87 100 102 82 87 Exercício 3 A fim de determinar a eficiência de um medicamento antitérmico a temperatura corporal em graus Celsius de 7 indivíduos foi medida Em seguida foi administrado o medicamento e após uma hora a temperatura foi medida novamente Os resultados podem ser encontrados na tabela abaixo Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 Antes 375 36 39 38 378 385 393 Depois 378 364 376 372 369 377 38 Verifique se o medicamento é eficiente em termos de alterar a temperatura corporal Quais suposições são necessárias Exercício 4 A temperatura F necessária para a desintegração de dois tipos de tubos de plástico está sendo investigada Duas amostras aleatórias de 14 tubos de cada tipo foram selecionadas e as respectivas temperaturas de desintegração foram as seguintes Suponha que as temperaturas seguem uma distribuição Normal para cada tipo de tubo a Qual representação gráfica você utilizaria para verificar se existe diferença entre as temperaturas de desintegração dos dois tipos de tubo Desenhe essa representação b Teste a hipótese de que as temperaturas médias de desintegração dos dois tipos de tubo são equivalentes Adote um nível de significância de 1 Interprete os resultados c Para quais níveis de significância do teste concluiríamos que as temperaturas médias de desintegração dos dois tipos de tubo são iguais Exercício 5 Quinze pessoas que participaram de um programa de treinamento são colocadas de forma aleatória sob três tipos diferentes formas de treinamento relacionados com o atendimento em PSFs As notas obtidas no teste de conclusão do treinamento são apresentados na tabela abaixo Utiliza a ANOVA para testar a hipótese de igualdade das médias populacionais Se pelo menos uma das médias forem diferentes escolha um método de comparação de médias para verificar quais são diferentes Justifique a sua escolha Exercício 6 O resultado de uma ANOVA foi enviado com parte das informações ilegível no quadro da ANOVA veja abaixo Responda as perguntas abaixo a Quantos grupos estão sendo comparados b Qual o tamanho dos grupos sabendo que são todos do mesmo tamanho c Qual o valor calculado da estatística F d Qual o valor crítico tabelado da estatística F de Snedecor ao nível de 5 e As médias dos grupos são iguais Exercício 7 Uma companhia deseja testar 4 diferentes tipos de pneus A B C e D As vidas médias dos pneus em milhares de milhas constam na tabela abaixo onde cada tipo foi testado aleatoriamente em 6 automóveis idênticos Determine a As hipóteses nula e alternativa b Vida média dos diferentes pneus c Média global para todos os pneus d Variação total e Variação entre os grupos f Variação dentro dos grupos g O valor de F crítico e de F observado h Qual a conclusão do teste ao nível de significância de 5 Explique Exercício 8 Dentre um rebanho de vacas reprodutoras foram selecionadas ao acaso 10 animais Dos animais selecionados foram anotadas as produções médias diárias kgdia durante o período de amamentação das crias 1 2 e 3 conforme tabela abaixo Pedese a Fazer a análise de variância da produção média diária de leite durante o período de amamentação das crias 1 2 e 3 e concluir b Comparar as médias pelo teste de Tukey 5 e concluir c Comparar as médias pelo método de Bonferroni 5 e concluir Questão 01 X peso dos tipos de tecidos Como não conhecemos o desvio da população devemos usar o teste t Assumimos que o peso dos diferentes grupos são independentes além disso assumimos que a variância dos grupos é a mesma Quando os desvios são desconhecidos e assumimos que são iguais temos que T X1 X2 Sp²n1 Sp²n2 Sp² n11S1² n21S2² n1 n2 2 Grupo A Grupo B 3025 3357 Média 49 49 Sp² Variância amostral combinada 7 7 n Hipóteses H0 μA μB Não existe dif significativa entre os pesos dos grupos H1 μA μB Há uma diferença significativa entre os pesos dos grupos Logo temos um teste bicaudal Estatística Teste T X1 X2 Sp²n1 Sp²n2 3025 3357 497 497 072 Região crítica d 5 nível de significância do teste t52142 t2512 2179 logo RA 2179 2179 onde aceitamos Ho todo o restante rejeitamos Ho RA 2179 2179 Conclusão Como a nossa est de teste está dentro da região de aceitação a um nível de 5 de significância temos evidências a favor da hipótese nula de que a média do peso entre os dois grupos de tecido é igual Questão 02 Assumindo que não conhecemos os desvios das populações que as amostras são diferentes e que não são independentes entre si e além disso que as variâncias são diferentes Temos t X1 X2 μ1 μ2 S1²n1 S2²n2 Hipóteses H0 μlib μadm A média salarial entre liberais e administradores são iguais H1 μlib μadm A média salarial entre liberais e adm são diferentes Logo temos um teste bicaudal Liberais Adm Est de teste X 987 91 t 987 91 243²7 087²7 078 RC 5 de significância α 5 t00512 2179 RA RC 2179 2179 Conclusão Como nossa est de teste está dentro da região de aceitação temos evidências a um nível de 5 de significância a favor da hipótese nula de que as médias entre os grupos são iguais Logo não temos evidências para afirmar que a influência da opção profissional sob o salário de recém formados é significativa Questão 03 Estamos trabalhando com uma amostra dependente uma vez que os valores estão empareados ou seja temos a temp em Celsius para os 7 indivíduos em dois momentos antes e depois da aplicação do medicamento t d 0d Sd n Hipótese H0 μd 0 H1 μd 0 A média de Temp é igual antes e depois do remédio O remédio diminui a Temp Corporal Antes 375 36 39 38 378 385 393 Depois 378 364 376 372 369 377 38 d 03 04 14 08 09 08 13 Hip H0 μd μpμo00 Teste unicaudal a direita H1 μd 0 Est de Teste Temos que d064 Sd071 t 0640 282 071 7 Região Crítica Rc α 5 nível de significância t5g 2262 logo RC 2262 Conclusão Há um nível de 5 de significância temos evidências para rejeitar a hipótese nula de que a média de temp corporal antes e após a importação do remédio é igual ou seja o teste t pertence a RC Logo temos evidências que o remédio é eficiente Questão 04 a Para verificamos se existe diferença média entre as temperaturas de desintegração dos dois tipos de tubo podemos utilizar o histograma e avaliar onde se localiza a média dos grupos Tp1 Tp2 Tp3 Freq mínimo 189 180 1891934 2 máximo 211 200 19341978 3 Amplitude 22 20 19782022 3 Grupo 5 5 20222056 4 Amp Grupo 44 4 2066 211 2 Tp2 Freq 180184 2 4 184188 2 3 188192 3 9 192196 3 3 196200 4 Tempo pl desintegração Tipo 1 189 1934 1978 2022 2066 211 Temp F Tempo de desintegração Tp 2 4 120 194 188 192 196 200 Temp F b α 5 nível de significância Hipóteses H0 μTp1 μTp2 As temps de desintegração são equivalentes H1 μTp1 μTp2 As temps de desintegração são dif Estamos trabalhando com amostras independentes e vamos assumir que os desvios são diferentes já que os desvios são desconhecidos da população Est Teste t x1 x2 μ1 μ2 s1² n1 s2² n2 x Tp1 20014 Tp2 19121 t 20014 19121 0 362 s 693 609 14 14 RC Teste Bilateral t0513 3012 3012 3012 RC 3012 3012 Conclusão Há um nível de 99 de confiança temos evidências para rejeitar a hipótese nula de que a temp média de desintegração é igual para os dos grupos já que a Est de Teste está contida na região rejeição Região Crítica c Precisamos achar o nível de significância que o pvalor é maior ou igual para que então concluamos a favor de H0 de que as médias são iguais pvalor Pt 362 5 logo precisamos de um nível de significância menor que 5 para que possamos aceitar H0 de que a média dos grupos são iguais Questão 05 método observação 1 2 3 1 86 90 62 2 79 86 68 3 81 86 73 4 70 82 61 5 84 99 74 Tot 40 445 338 média 785 827 69 média787 var 0385 04 0363 Hip H1 H2 H3 As médias das notas são iguais H1 H2 H3 Pelo menos uma média é diferente F Var entre amostras Var dentro das amostras Var entre nSx2 5 785 7872 887 7872 69 7872 3 1 500003 05 047 487 Var dentro S2 0385 04 0363 3 03826 F 487038 1274 Estat de teste RC F31 351 5 F2 12 5 389 Logo a um nível de 5 de significância temos evidências para rejeitar H0 de que as médias das notas dos grupos são iguais Agora vamos realizar testes individuais utilizando a correção de Bonferroni L 0053 0017 nível de significância de cada teste individualmente H0 Hi Hj H1 Hi Hj tij Xi XjS2d 1ni 1nj tnk Grupo 3 e 2 t 887 785 03815 15 261 Grupo 1 e 3 t 69 785 03815 15 242 Grupo 2 e 3 t 69 887 03815 15 504 t0017 153 t00085 12 2769 61 212 261 2769 Aceitamos H0 61 113 242 2769 Aceitamos H0 62 13 5041 2769 Rejeitamos H0 Logo não podemos afirmar que são estatisticamente iguais a um nível de 5 de significância utilizando o teste de Bonferroni os grupos 2 e 3 Questão 06 a N1 35 N 36 logo estão sendo comparados NK 32 4 grupos K N32 K 36 32 4 b Tam grupo 364 9 Cada grupo possui 9 elementos de análise c SQ gl MQ F Entre 84456 3 28152 22573646 325 Dentro 276689 32 8646 Total 361145 35 d F005 3 32 292 e Como Fcal 325 é maior que o Ftab 292 A um nível de 5 de significância temos evidências para rejeitar H0 de que a média dos grupos são iguais