6 Questões Cálculo 1

Questão 1 Use o gráfico de y fx x 3 a seguir para determinar os limites a lim x0 fx b lim x2 fx c lim x2 fx d lim x3 fx Questão 2 Calcule os limites caso existam Apresentar o desenvolvimento no verso da folha a lim x25 3 b lim x2 5x³4 x3 c lim x2 x²4 x2 d lim x3 x²6x9 x3 e lim x4 2x8 x²x12 f lim x 3x5 6x8 g lim x 4x²x 2x³5 h lim x x²2 3x6 Questão 3 Use a definição para calcular a derivada da função fx x² 1 para x 2 Questão 4 Considere a função fx 2x1 se x 3 7 se x 3 Analise a continuidade da função fx em x 3 e responda às questões abaixo a Calcule o limite lim x3 fx b Determine o valor de f3 c A função fx é contínua em x 3 Justifique sua resposta com base no conceito de continuidade Questão 5 Considere a função racional fx 2x 3 x 1 Sobre as assíntotas da função fxfxfx assinale a alternativa correta A A função possui assíntota vertical em x 1 e assíntota horizontal em y 2 B A função possui assíntota vertical em x 1 e assíntota horizontal em y 3 C A função não possui assíntotas verticais apenas uma assíntota horizontal em y 2 D A função possui assíntota vertical em x 1 e assíntota horizontal em y 0 E A função possui assíntota vertical em x 0 e assíntota horizontal em y 2 Obs Apresente os cálculos Questão 6 Calcule a derivada da função fx 2x x1 usando da definição de limite Apresentar o desenvolvimento no verso da folha 1 A Resposta lim x0 fx 1 explicação Para determinar o limite lim x0 fx foi necessário observar o comportamento da função fx no gráfico quando x se aproxima de 0 1 No gráfico quando x tende a 0 direita e esquerda os valores de fx se aproximam continuamente de 1 2 Isso indica que o limite existe e é 1 B Resposta Não existe DNE 1 ANALISANDO O GRÁFICO PARA X 2 Quando se aproxima de x2 pela esquerda o valor de fx tende a 1 Isso pode ser observado pois o gráfico se aproxima continuamente de y 1 2 ANALISANDO O GRÁFICO PARA X 2 Quando se aproxima de x2 pela direita o valor de fx tende a 2 O gráfico claramente se aproxima de y 2 por esse lado 3 CONCLUINDO O LIMITE Para que o limite lim x2 fx exista é necessário que os limites laterais sejam iguais lim x2 fx lim x2 fx como lim x2 fx 1 e lim x2 fx 2 os limites laterais são diferentes Portanto o limite total não existe C ResPosta lim x 2 fx explicação para calcular o limi x 2 fx foi necessário analisar o comportamento da função f x quando x se aproxima de 2 pela direita No gráfico ao se aproximar de x 2 pela direita o valor de fx tende para Isso ocorre porque a curva cresce indefinidamente na direção positiva D ResPosta lim x 3 fx explicação Observando o gráfico à medida que x se aproxima de 3 pela esquerda a Função fx diminui rapidamente e tende a Isso ocorre porque há uma assíntona vertical em x3 e o comportamento do gráfico indica que os valores de fx divergêm negativamente 2 A PASSO 1 IDENTIFICAR O TIPO DE FUNÇÃO O valor da função é constante ou seja fx3 Para qualquer valor de x o resultado da função será sempre 3 Isso significa que o limite de uma função constante é o próprio valor constante PASSO 2 APLICAR A PROPRIEDADE DO LIMITE DE FUNÇÕES CONSTANTES a propriedade do limite afirma que lim x c k k Onde k é uma constante e C é um valor qualquer No caso k3 e C 25 Assim temos lim x 25 3 3 ResPosta 3 B PASSO 1 SUBSTITUIR x2 DIRETAMENTE NA FUNÇÃO Substituindo x2 no numerador e no denominador Numerador 5x3 4 com x2 523 4 58 4 40 4 44 Denominador x3 com x2 2 3 1 PASSO 2 lim x 2 5x3 4 x 3 44 1 44 ResPosta 44 C PASSO 1 SUBSTITUIR x2 DIRETAMENTE Substituindo x2 na expressão Para verificar se há uma indeterminação x2 4 x2 22 4 2 2 44 0 0 0 como o resultado é uma indeterminação 00 é necessário simplificar a expressão PASSO 2 FATORAR O NUMERADOR O numerador x2 4 é uma diferença de quadrados e é possível fatorálo como x2 4 x 2x 2 Substituindo essa fatoração na fração original x2 4 x 2 x 2x 2 x 2 PASSO 3 CANCELAR FATORES COMUNS Para x 2 é possível cancelar o termo x 2 no numerador e no denominador x 2x 2 x 2 x 2 PASSO 4 CALCULAR O LIMITE Agora que simplificamos a expressão para x 2 calculamos o limite substituindo x2 lim x 2 x 2 2 2 4 ResPosta 4 D PASSO 1 SIMPLIFICAR O NUMERADOR O numerador x² 6x 9 é um trinômio quadrado perfeito pois pode ser reescrito como x² 6x 9 x 3² Logo a expressão original se torna lim x3 x 3² x 3 PASSO 2 CANCELAR O TERMO COMUM x 3 pois estamos calculando o limite é possível cancelar um fator x 3 do numerador e do denominador x 3² x 3 x 3 A expressão simplificada é lim x3 x 3 PASSO 3 SUBSTITUIR O VALOR DE x 3 Substituindo diretamente x 3 na expressão simplificada x 3 3 3 0 Resposta 0 E PASSO 1 SUBSTITUIR x 4 DIRETAMENTE NA EXPRESSÃO Substituindo x 4 no numerador e denominador Numerador 2x 8 24 8 8 8 16 Denominador x² x 12 4² 4 12 Logo obtemos 2x 8 x² x 12 16 8 2 Resposta 2 E PASSO 1 DIVIDIR OS TERMOS PELO MAIOR GRAU DE x O maior grau de x no denominador é x¹ 3x 5 6x 8 3x x 5 x 6x x 8 x Simplificando 3 5x 6 8x PASSO 2 ANALISAR O COMPORTAMENTO QUANDO x Quando x os termos 5x e 8x tendem a zero pois dividimos números finitos por um valor que cresce indefinidamente 3 5x 6 8x 3 0 6 0 3 6 12 Resposta lim x 3x 5 6x 8 12 G PASSO 1 IDENTIFICAR O GRAU DOS POLINÔMIOS NO NUMERADOR E DENOMINADOR O grau do numerador 4x² x é 2 pois o termo de maior grau é 4x² O grau do denominador 2x² 5 também é 2 pois o termo de maior grau é 2x² Como os graus são iguais 2 2 o limite será dado pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau PASSO 2 DETERMINAR OS COEFICIENTES PRINCIPAIS No numerador o coeficiente do termo de maior grau x² é 4 No denominador o coeficiente do termo de maior grau x² é 2 PASSO 3 CALCULAR O LIMITE A razão dos coeficientes principais é 4 2 2 Portanto lim x 4x² x 2x² 5 2 Resposta 2 H PASSO 1 IDENTIFICAR O GRAU DOMINANTE 3 PASSO 1 CALCULAR f2 h e f2 4 A PASSO 1 LIMITE LATERAL À ESQUERDA x 3 B PASSO 1 ANALISAR A DEFINIÇÃO DA FUNÇÃO QUANDO X3 fx 2x1 se x 3 7 se x 3 Quando x3 a segunda parte da definição se aplica Assim f3 7 Resposta f3 7 C 3 CRITÉRIOS DE CONTINUIDADE 1 f3 deve estar definida Pelo enunciado f3 7 Logo f3 está definida 2 O limite lim x 3 fx deve existir O limite lateral à esquerda x 3 e o limite lateral à direita x 3 devem ser iguais Para x 3 fx 2x 1 Assim lim x 3 fx lim x 3 fx lim x 3 2x 1 23 1 7 Portanto lim x 3 fx 7 3 Os valores de f3 e lim x 3 fx devem ser iguais No cálculo anterior f3 7 e lim x 3 fx 7 Como esses valores são iguais o terceiro critério também é satisfeito Resposta A função fx é contínua em x 3 5 Resposta letra A 1 Assíntota vertical ocorrem nos valores de x que fazem o denominador da função ser igual a zero desde que não sejam cancelados por fatores do numerador Assim x 1 0 x 1 Logo há uma assíntota vertical em x 1 2 Assíntota horizontal É necessário analisar o comportamento da função quando x Comparando os graus do numerador 2x 3 e do denominador x 1 observamos que ambos têm grau 1 Quando o grau do numerador é igual ao grau do denominador a assíntota horizontal é dada pela razão entre os coeficientes líderes os de maior grau y coeficiente de x no numerador coeficiente de x no denominador 2 1 2 Logo há uma assíntota horizontal em y 2 Resposta A função possui Uma assíntota vertical em x 1 Uma assíntota horizontal em y 2 6 PASSO 1 SUBSTITUIR fx e fxh NA DEFINIÇÃO Temos que fx 2x x1 e fxh 2xh xh1 Substituindo na fórmula da derivada fx lim h 0 2xh xh1 2x x1 h PASSO 2 SIMPLIFICAR A EXPRESSÃO Numerador 2xh xh1 2x x1 O denominador comum entre as frações é xh1x1 2xhxh1 2xx1 2xhx1 2xxh1 xh1x1 Expandindo os termos no numerador 2xhx1 2x² xh x h 2xxh1 2x² xh x Subtraindo 2x² xh x h 2x² xh x 2h Logo 2xhxh1 2xx1 2h xh1x1 PASSO 3 SUBSTITUIR NO LIMITE Substituindo no limite fx lim h0 2hh xh1x1 Simplificando fx lim h0 2h hxh1x1 Cancelando h desde que h 0 fx lim h0 2 xh1x1 Quando h 0 temos fx 2 x1x1 2 x12 Resposta fx 2 x12