Amostras e Distribuições Amostrais em Estatística

I AMOSTRAS E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 1 Populações Uma população estatística é descrita pelo conjunto de valores possíveis de uma determinada variável aleatória va X Costumamos notar este conjunto por X Exemplos a va X é a nota obtida por um aluno de Estatística II Então a população das notas é X 010 A va Y é o número de visitas diárias ao Museu Imperial então Y 012 Ou seja o conceito de população é intimamente ligado ao conceito de variável aleatória Assim mais comumente falase população X população Yetc Amostras Uma amostra de tamanho n extraída de uma população X é uma sequência de variáveis aleatórias X1X2Xn independentes que possuem a mesma distribuição de X Esta definição tem dois ingredientes a Independência Se fX1x1 é a função de probabilidade fp de X1 e fX2x2 é a função de probabilidade de X2temos então fX1X2x1x2 fX1x1fX2x2 O mesma vale para a função de distribuição acumulada fda F FX1X2x1x2 FX1x1FX2x2 Ou seja a independência requer a validade da regra do produto vista em Estatística 1 A probabilidade conjunta de dois eventos é o produto das probabilidades marginais PX1 x1X2 x2 FX1X2x1x2 FX1x1FX2x2 PX1 x1PX2 x2 b Mesma distribuição Isto significa que as vas X1X2Xn tem cada uma a mesma distribuição que X pois são extraídas desta população Assim se fX e FX designam a fp e a fda da população respectivamente temos fXixi fXxi e FXixi FXxi i 12n Em virtude destas características dizemos em Estatística que uma Amostra Simples de X é por definição uma seqüência de vas iid independentes e idênticamente distribuídas X1X2Xn extraída da população X Hugo Boff Estatística II 2022 2 Fica implícito que uma amostra estatística sempre pressupõe a organização de um Experimento Aleatório Exemplo O experimento consiste em 3 lances de 2 dados e a variável aleatória X é a soma dos dois númerosNeste caso X 23456789101112 é o conjunto dos valores possíveis de X Podese facilmente verificar que a função de probabilidade de X é fXx pX x 136 se x 212 fXx 236 se x 311 fXx 336 se x 410 fXx 436 se x 59 fXx 536 se x 68 fXx 636 se x 7 Uma amostra de tamanho 3 será caracterizada por X1X2X3 as quais são vas independentes com a mesma distribuição de X Ou seja X1 é o resultado aleatório do primeiro lance o qual pode ser qualquer um dos números de X Se x1 é a soma efetivamente observada no primeiro lance dos dois dados dizemos que x1 é uma realização amostral de X1 Observe que contrariamente à X1 o valor observado x1 é um número não uma variável aleatória Da Estatística I lembre que contráriamente à um número determinístico uma va é um número que assume diferentes valores com uma determinada probabilidade O número determinístico 3 pode ser visto como uma va degenerada que assume este valor 3 com probabilidade 1 Ponto amostral Sendo X1X2Xn uma amostra aleatória simples uma realização desta amostra é ntada x1x2xn com letras minúsculas chamada ponto amostral Função de Probabilidade e Função de Densidade Como vimos em Estatística I quando a va X é discreta seu suporte X é um conjunto finito limitado ou ilimitado a função fXx PX x é chamada função de probabilidade de X avaliada na ocorrência x X Notamos abreviadamente fp Quando a va X é contínua seu suporte X é um conjunto infinito a função fXx 0 lim Px 1 2 X x 1 2 é dita função de densidade de probabilidade de X avaliada na ocorrência x X Notamos abreviadamente fdp Hugo Boff Estatística II 2022 3 Observe nesta última definição que fXx é uma taxa de variação da probabilidade em uma vizinhança do ponto x Ou seja diferentemente do caso discreto fXx não é uma probabilidade A relação direta que temos entre a densidade fXx e a probabilidade da ocorrência x é a aproximação PX x 1 2 x 1 2 fXx para qualquer número positivo arbitrário pequeno Probabilidade Densidade da Amostra A probabilidade densidade da amostra X1X2Xn avaliada no ponto amostral x1x2xn é por definição o produto da probabilidade densidade da população avaliada em cada realização amostral x1x2xn fX1X2Xnx1x2xn fXx1fXx2fXxn 1 Exemplos 1 População X Bernoullip Temos fXx px1 p1x x 01 Deste modo a probabilidade da amostra é fX1X2Xnx1x2xn PX x1X x2X xn px11 p1x1px21 p1x2pxn1 p1xn px1x2xn1 pnx1x2xn Colocando x x1 x2 xnn média amostral vem fX1X2Xnx1x2xn px1 p1xn 2 Hugo Boff Estatística II 2022 4 2 População X Gemétricap Temos fXx p1 px1 x 123 A amostra é aqui n sequências de lances realizados até a obtenção de 1 sucesso o qual ocorre com probabilidade p Deste modo a probabilidade da amostra é fX1X2Xnx1x2xn p1 px11p1 px21p1 pxn1 pn1 px1x2xnn Sendo nx x1 x2 xn obtemos fX1X2Xnx1x2xn p1 px1n 3 3 População X Poisson Temos fXx 1 x ex x 012 Deste modo fX1X2Xnx1x2xn 1 x1 ex1 1 x2 ex2 1 xn exn 1 x1 1 x2 1 xn exn 4 4 População Uniforme X Unifab A função de densidade de probabilidade fdp é fXx 1 b a x ab 0 x ab Deste modo a densidade da amostra é fX1X2Xnx1x2xn 1 b a n se i xi ab 0 se i xi ab Podemos escrever esta expressão de maneira mais resumida como Hugo Boff Estatística II 2022 5 fX1X2Xnx1x2xn 1 b a n se a x1 xn b 0 caso contrátio cc 5 onde x1 minx1x2xn mínimo do ponto amostral xn maxx1x2xn máximo do ponto amostral 5 População Exponencial X Expa 0 A função de densidade de probabilidade fdp é fXx exa x a 0 cc Deste modo a densidade da amostra é fX1X2Xnx1x2xn exan se i xi a 0 se i xi a Podemos também escrever a densidade da amostra de maneira mais compacta como fX1X2Xnx1x2xn exan se x1 a 0 cc 6 onde x1 minx1x2xn é o mínimo do ponto amostral 6 População Normal X N2 A função de densidade de probabilidade fdp é fXx 212212e 1 22 x2 x A densidade da amostra é fX1X2Xnx1x2xn 2n22n2e 1 22 i1 n xi 2 7 Hugo Boff Estatística II 2022 6 A noção de densidade ou probabilidade da amostra será extensivamente usada adiante nos capítulos II IV e V do curso Ordenamento Amostral Considere a amostra simples X1X2X3Xn e o seu ordenamento amostral crescente X1 X2 X3 Xn onde X1 minX1X2X3Xn X2 minX1X2X3Xn X1 X3 minX1X2X3Xn X1X2 Xn maxX1X2X3Xn Dado que a população X tem distribuição FX e probabilidade densidade fX qual é a distribuição e a densidade dos valores extremos máximo e mínimo Máximo Amostral Considere FXnx PXn x PX1 xX2 xXn x PX1 xPX2 xPXn x independência PX xn mesma distribuição Ou seja a fda do máximo amostral é FXnx FXxn 8 Como vimos em Estatística I se a va X é discreta obtemos a sua função de probabilidade à partir da fda por diferença da seguinte maneira fXx FXx FXxa onde xa é o ponto anterior ao ponto x Por exemplo se X conjunto dos inteiros xa x 1 Quando X é uma variável contínua obtemos a função de densidade fdp do máximo à partir da fda por derivação fXnx FXnx x nFXxn1fXx 9 Hugo Boff Estatística II 2022 7 Mínimo Amostral Considere FX1x 1 PX1 x 1 PX1 xX2 xXn x 1 PX1 xPX2 xPXn x independência 1 PX xn mesma distribuição Ou seja a fda do mínimo amostral é FX1x 1 1 FXxn 10 No caso contínuo obtemos por derivação a densidade fdp do mínimo fX1x n1 FXxn1fXx 11 Observe que sendo a amostra X1X2Xn por definição uma sequencia de vas iid o mesmo não pode ser dito do ordenamento amostral X1X2Xn As variáveis desta seqüência não são nem independentes nem identicamente distribuídas Em particular é possível mostrar que a densidade conjunta do par XiXj com i j é fXiXjxixj n i1ji1nj FXxii1FXxj FXxiji11 FXxjnjfXxifXxj xi xj 12 Integrando a expressão acima em xi no entervalo xj obtemos a densidade da estatística de ordem j 12n fXjxj n i1nj FXxjj11 FXxjnjfXxj xj 13 Substituindo j 1 ou j n nesta expressão obtemos a fdp do mínimo ou do máximo obtidas acima respectivamente Exemplos 1 População X Gemétricap Temos FXx j1 x p1 pj1 p 11px 11p 1 1 px x 123 Hugo Boff Estatística II 2022 8 Assim a fda do mínimo amostral será FX1x 1 1 FXxn 1 1 pnx x 123 14 A probabilidade que o mínimo amostral seja x ou seja que o menor número de lances para os quais 1 sucesso é obtido seja x quando n experimentos são realizados será PX1 x fX1x FX1x FX1x 1 1 pnx1 1 pnx 1 pnx1 pn 1 fX1x 1 1 pn1 pnx1 15 Comparando esta expressão com a função de probabilidade da Geométrica vemos que o mínimo X1 de uma amostra de tamanho n tem distribuição geométrica com probabilidade de sucesso 1 1 pn X1 Geométrica1 1 pn 2 População X Unifab A fda de X é FXx 0 se x a xa ba se a x b 1 se x b A fda do mínimo amostral é FX1x 1 1 FXxn 0 se x a 1 bx ba n se a x b 1 se x b 16 A fda do máximo amostral é Hugo Boff Estatística II 2022 9 FXnx FXxn 0 se x a xa ba n se a x b 1 se x b 17 3 População X Exp0 A fda de X é FXx 0 se x 0 1 ex se x 0 A fda do mínimo amostral é FX1x 1 1 FXxn 0 se x 0 1 enx se x 0 18 Comparando com a fda da população vemos que o mínimo amostral tem distribuição exponencial com parâmetro n X1 Exp0n A fda do máximo amostral é FXnx FXxn 0 se x 0 1 exn se x 0 19 Hugo Boff Estatística II 2022