Exercícios Computacionais Capitulo 02 - Introdução a Econometria de Wooldridge

Introdução à econometria v Calcule as mesmas quantidades da equação 260 mas use os erros ui no lugar dos resíduos Agora o que você conclui vi Repita os itens i ii e iii com uma nova amostra de dados começando com a geração de xi Agora o que você obtém de β0 e β1 Por que isto é diferente do que você obteve no item iii C9 Use os dados do arquivo COUNTYMURDERS para responder a essas questões Utilize somente os dados de 1996 i Quantos condados tiveram zero assassinatos em 1996 Quantos condados tiveram pelo menos uma execução Qual é o maior número de execuções ii Estime a equação abaixo em que murders corresponde ao número de assassinatos murders β0 β1 execs u por MQO e relate os resultados da forma usual incluindo o tamanho da amostra e o Rquadrado iii Interprete o coeficiente de inclinação registrado no item ii A equação estimada sugere um efeito dissuasor da pena capital iv Qual é o menor número de assassinatos que pode ser previsto pela equação Qual é o resíduo de um condado com zero execuções e zero assassinatos v Explique por que uma análise de regressão simples não é adequada para determinar se a pena capital tem um efeito dissuasor sobre os assassinatos C10 O conjunto de dados do arquivo CATHOLIC inclui informações de pontuações de testes de mais de 7000 estudantes dos Estados Unidos que cursaram a oitava série em 1988 As variáveis mate12 e leitu12 são notas padronizadas de matemática e leitura respectivamente i Quantos estudantes existem na amostra Encontre as médias e desvios padrão de mate12 e leitu12 ii Compute a regressão simples de mate12 sobre leitu12 para obter o intercepto MQO e as estimativas de inclinação Reporte os resultados na forma mate12 β0 β1 leitu12 n R2 em que você vai preencher os valores de β0 e β1 além de substituir os pontos de interrogação iii O intercepto registrado na parte ii tem uma interpretação significativa Explique iv Você está surpreso pelo β1 encontrado E quanto ao R2 v Suponha que você apresente suas descobertas ao superintendente distrital de educação e ele diga Suas descobertas mostram que para aumentar as notas de matemática precisamos somente melhorar as notas de leitura portanto devemos contratar mais professores de leitura Como você responderia a este comentário Dica Se você calculasse a regressão de leitu12 sobre mate12 ao invés do contrário o que esperaria descobrir portanto devemos contratar mais professores de leitura Como você responderia a esse comentário Dica Se você calculasse a regressão de leitu12 sobre mate12 em vez do contrário o que esperaria descobrir C11 Utilize os dados do GPA1 para responder a estas perguntas É uma amostra de estudantes universitários da Michigan State University a partir de meados dos anos 1990 e inclui o atual GPA universitário colGPA e uma variável binária que indica se o estudante possuía um computador pessoal PC i Quantos alunos são incluídos na amostra Encontre a média e o maior GPAs das faculdades ii Quantos estudantes possuíam o seu próprio PC iii Estime a equação de regressão simples colGPA β0 β1 PC u e informe as suas estimativas para β0 e β1 Interprete essas estimativas incluindo uma discussão das magnitudes iv O que é o Rquadrado da regressão O que pensa da sua magnitude v O seu achado na parte iii implica que possuir um PC tem um efeito causal na colGPA Explique i Encontre o salário médio e a permanência média na amostra ii Quantos CEOs estão em seu primeiro ano no cargo isto é ceoten 0 Qual é a permanência mais longa como CEO iii Estime o modelo de regressão simples logsalary β0 β0 ceoten u e registre seus resultados da forma usual Qual é o aumento percentual previsto aproximado no salário quando se tem um ano a mais como CEO C3 Use os dados do arquivo SLEEP75 de Biddle e Hamermesh 1990 para estudar se há uma compensação entre o tempo gasto dormindo por semana e o tempo gasto em um trabalho remunerado Podemos usar qualquer variável como a variável dependente Para materializar estime o modelo sleep β0 β1 totwrk u em que sleep são os minutos dormidos à noite por semana e totwrk é o total de minutos trabalhados durante a semana i Registre seus resultados em uma equação junto com o número de observações e o R2 O que o intercepto desta equação significa ii Se totwrk aumentar 2 horas quanto você estima que sleep cairá Você acha que este é um efeito grande C4 Use os dados do arquivo WAGE2 para estimar uma regressão simples que explique o salário mensal wage em termos da pontuação do QI IQ i Encontre o salário médio e o IQ médio da amostra Qual é o desvio padrão amostral do IQ Pontuações de IQ são padronizadas por isso a média na população é 100 com um desvio padrão igual a 15 ii Estime um modelo de regressão simples em que um aumento de um ponto em IQ altere wage em uma quantia constante de dólares Use este modelo para encontrar o aumento previsto do salário para o caso de um acréscimo de 15 pontos de IQ O IQ explica a maior parte da variação em wage iii Agora estime um modelo em que cada acréscimo de um ponto em IQ tenha o mesmo efeito percentual em wage Se IQ aumentar 15 pontos qual será o aumento percentual previsto aproximado em wage C5 Para a população de empresas do setor químico defina rd como os gastos anuais em pesquisa e desenvolvimento e sales como as vendas anuais ambos em milhões de dólares i Escreva um modelo não uma equação estimada que implique uma elasticidade constante entre rd e sales Qual é o parâmetro da elasticidade ii Agora estime o modelo usando os dados do arquivo RDCHEM Monte a equação estimada da forma usual Qual é a elasticidade estimada de rd em relação a sales Explique o que essa elasticidade significa C6 Usamos os dados do arquivo MEAP93 no Exemplo 212 Agora queremos explorar a relação entre a taxa de aprovação em matemática math10 e os gastos por estudante expend i Você acha que cada dólar adicional gasto tem o mesmo efeito sobre a taxa de aprovação ou um efeito decrescente seria mais razoável Explique ii No modelo populacional math10 β0 β1 logexpend u arguemente que β110 é a porcentagem de alteração em math10 dado um aumento de 10 em gasto iii Use os dados do arquivo MEAP93 para estimar o modelo ii Descreva a equação estimada da forma usual incluindo o tamanho da amostra e o Rquadrado iv Quão grande é o efeito de gastos estimado Em outras palavras se os gastos aumentarem 10 qual será o aumento percentual estimado em math10 v Alguns podem se preocupar com o fato de que a análise de regressão pode produzir valores ajustados para math10 maiores do que 100 Por que isso não é tão preocupante neste conjunto de dados C7 Use os dados do arquivo CHARITY retirado de Franses e Paap 2001 para responder às seguintes questões i Qual é a doação gift média da amostra de 4268 pessoas em florins holandeses Qual é a porcentagem de pessoas com nenhuma doação ii Qual é a média de envios por ano Quais são os valores mínimos e máximos iii Estime o modelo gift β0 β1mails year u por MQO e registre os resultados da forma usual incluindo o tamanho da amostra e o Rquadrado iv Interprete o coeficiente de inclinação Se cada envio custa um florim a instituição de caridade espera obter um lucro líquido em cada um dos envios Isso quer dizer que a instituição obtém um lucro líquido em todos os envios Explique v Qual é a menor contribuição à instituição prevista na amostra Usando essa análise de regressão simples você pode prever zero de gift C8 Para completar este exercício você precisará de um programa que lhe permita gerar dados das distribuições uniforme e normal i Comece gerando 500 observações em xi a variável explicativa a partir da distribuição uniforme com variação 010 A maioria dos programas estatísticos tem um comando para distribuição Uniforme01 só multiplique essas observações por 10 Qual é a média da amostra e o desvio padrão da amostra de xi ii Gere de forma aleatória 500 erros ui a partir da distribuição Normal036 Se você gerar uma Normal01 como geralmente está disponível simplesmente multiplique os resultados por seis A média amostral de ui é exatamente zero Por que sim ou por que não Qual é o desvio padrão amostral de ui iii Agora gere yi como yi 1 2xi ui β0 β1xi ui isto é o intercepto da população é um e a inclinação populacional é dois Use os dados para executar a regressão de yi em xi Quais são suas estimativas de intercepto e inclinação Elas são iguais aos valores populacionais da equação acima Explique iv Obtenha os resíduos MQO ûi e verifique se a equação 260 se mantém sujeita a erros de arredondamento Exercícios em computador C1 Os dados do arquivo 401K são um subconjunto de dados analisados por Papke 1995 para estudar a relação entre a participação em um plano de pensão 401k e a generosidade do plano A variável prate é a porcentagem de trabalhadores aptos e com uma conta ativa esta é a variável que gostaríamos de explicar A medida da generosidade é a taxa de contribuição do plano mrate Esta variável mostra a quantia média com que a empresa contribui para o fundo trabalhista a cada US 1 de contribuição do trabalhador Por exemplo se a mrate 050 então uma contribuição de US 1 do trabalhador corresponde a uma contribuição de US 050 da empresa i Encontre a taxa de participação e a taxa de contribuição médias na amostra de planos ii Agora estime a equação de regressão simples prate β0 β1 mrate e relate os resultados ao lado do tamanho da amostra e do Rquadrado iii Interprete o intercepto de sua equação Interprete o coeficiente de mrate iv Encontre a prate prevista quando mrate 35 Esta é uma previsão razoável Explique o que está ocorrendo aqui v Quanto da variação da prate é explicada pela mrate Na sua opinião isso é bastante C2 O conjunto de dados do arquivo CEOSAL2 contém informações sobre CEOs de corporações norteamericanas A variável salary é a compensação anual em milhares de dólares e ceoten é o número prévio de anos como CEO da empresa Exercícios Computacionais Gustavo 20240916 C1 librarywooldridge Warning package wooldridge was built under R version 432 datak401k attachk401k Encontrar as médias de prate e mrate meanprate 1 8736291 meanmrate 1 07315124 Modelo de Regressão Linear Simples MRLS m1 lmprate mrate summarym1 Call lmformula prate mrate Residuals Min 1Q Median 3Q Max 82303 8184 5178 12712 16807 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 830755 05633 14748 2e16 mrate 58611 05270 1112 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 1609 on 1532 degrees of freedom Multiple Rsquared 00747 Adjusted Rsquared 00741 Fstatistic 1237 on 1 and 1532 DF pvalue 22e16 O modelo encontrado foi 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑒 𝑖 830755 58611 𝑚𝑟𝑎𝑡𝑒𝑖 𝜖𝑖 E o coeficiente de determinação do modelo 𝑅2 foi de 00747 isso significa que 747 das variações da varíavel 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑒 que representa a porcentagem aptos e com uma conta ativa é explicada pelas variações da variável 𝑚𝑟𝑎𝑡𝑒 que representa a contribuição da empresa na amostra de planos Interpretação dos coeficientes estimados Temos que 𝛽0 830755 isso significa que se a empresa não fizer contribuição para o fundo trabalhista a porcentagem de trabalhadores aprtos e com conta ativa é de aproximadamente 8308 Já o 𝛽1 58611 significa que para cada aumento de US 1 da contribuição da empresa para o fundo trabalhista do plano estima um aumento de 586 dos trabalhadores aptos e com conta ativa Previsão quando mrate 35 predictm1 newdata dataframemrate 35 1 1035892 Para quando 𝑚𝑟𝑎𝑡𝑒 35 estamasse pelo modelo que 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑒 será de aproximadamente 10359 Quanto da variação é explicada pela mrate A variação de 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑒 que é explicada por 𝑚𝑟𝑎𝑡𝑒 é de 747 𝑅2 na minha opinião não é uma variação altamas de acordo com o pvalor do teste F o modelo é significativo logo as variaçãoe de 𝑚𝑟𝑎𝑡𝑒 tem influencia significativa nas variaçãos de 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑒 C2 dataceosal2 attachceosal2 The following object is masked from k401k age Médias das variáveis salary e ceoten meansalary 1 8658644 meanceoten 1 7954802 Quantos CEOs estão no seu primeiro ano no cargo sumceoten 1 1 19 A amostra possuí 19 CEOs que estão no seu primeiro ano no cargo Qual é a permanência mais longa como CEO maxceoten 1 37 A permanência mais longa é de 37 anos MRLS m2 lmlogsalary ceoten summarym2 Call lmformula logsalary ceoten Residuals Min 1Q Median 3Q Max 215314 038319 002251 044439 194337 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 6505498 0067991 95682 2e16 ceoten 0009724 0006364 1528 0128 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 06038 on 175 degrees of freedom Multiple Rsquared 001316 Adjusted Rsquared 0007523 Fstatistic 2334 on 1 and 175 DF pvalue 01284 Qual é o aumento percentual previsto no salários quando se tem um ano a mais como CEO Para cada aumento de um ano como CEO estimasse um aumento de aproximandamente 097 no salário do CEO C3 datasleep75 attachsleep75 The following object is masked from ceosal2 age The following object is masked from k401k age The following object is masked from packagedatasets sleep m3 lmsleep totwrk summarym3 Call lmformula sleep totwrk Residuals Min 1Q Median 3Q Max 242994 24025 491 25053 133972 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 358637695 3891243 92165 2e16 totwrk 015075 001674 9005 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 4211 on 704 degrees of freedom Multiple Rsquared 01033 Adjusted Rsquared 0102 Fstatistic 8109 on 1 and 704 DF pvalue 22e16 i A equação estimada do modelo 𝑠𝑙𝑒𝑒𝑝 𝑖 35863769 01507 𝑡𝑜𝑡𝑤𝑟𝑘 𝑢𝑖 Número de observações 𝑛 706 Coeficiente de determinação 𝑅2 01033 isso significa que cerca de 1033 da variação de sleep é explicado pela a variação de totwrk aumento de 2 horas em totwrk Para um aumento de 2 horas de trabalhos estima uma diminuição de aproximadamente 18 minutos dormido a noite Na minha opinição não é um efeito grande C4 datawage2 attachwage2 The following objects are masked from sleep75 age black educ exper south The following object is masked from ceosal2 age The following object is masked from k401k age Entrando o salário médio e o QI médio da amostra e o desvio padrão de QI meanwage Média dos salários 1 9579455 meanIQ Média do QI 1 1012824 sdIQ Desvio padrão do QI 1 1505264 MRLS m4 lmwage IQ summarym4 Call lmformula wage IQ Residuals Min 1Q Median 3Q Max 8987 2565 473 2011 20726 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 1169916 856415 1366 0172 IQ 83031 08364 9927 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 3848 on 933 degrees of freedom Multiple Rsquared 009554 Adjusted Rsquared 009457 Fstatistic 9855 on 1 and 933 DF pvalue 22e16 Aumento de 15 ponto no QI Um aumento de 15 pontos no QI estima um aumnto de aproximadamente US 12455 no salário mensal do individui i Coeficiente de determinação Como o 𝑅2 do modelo foi de 00955 isso significa que cerca de 955 da variação do salário mensal é explicado pela a variação do QI ou seja o QI não explica a maior parte de variação de 𝑤𝑎𝑔𝑒 Modelo loglin m41 lmlogwage IQ summarym41 Call lmformula logwage IQ Residuals Min 1Q Median 3Q Max 209324 025547 002261 027544 121486 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 58869943 00890206 6613 2e16 IQ 00088072 00008694 1013 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 03999 on 933 degrees of freedom Multiple Rsquared 009909 Adjusted Rsquared 009813 Fstatistic 1026 on 1 and 933 DF pvalue 22e16 De acordo com o modelo previsto para cada aumento em uma unidade de QI estimasse um aumento de 088 no salário mensal 𝑤𝑎𝑔𝑒 logo um aumento de 15 pontos em QI irá aumentar 𝑤𝑎𝑔𝑒 em 1321 C5 Escrever um modelo que implique uma elasticidade constante entre rd e sales Um modelo com elasticidade constante pode ser expresso como 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑖 𝛽0 𝛽1 𝑙𝑜𝑔𝑟𝑑𝑖 𝜖𝑖 O modelo está na forma loglog porque quando ambas as variáveis são transformadas pelo logaritmo o coeficiente 𝛽1 passa a representar a elasticidade de 𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 em relação a 𝑟𝑑 Ou seja 𝛽1 é a elasticidade constante que indica a variação percentual nas vendas 𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 associada a uma variação percentual nos gastos em pesquisa e desenvolvimento 𝑟𝑑 Modelo loglog datardchem attachrdchem The following objects are masked from ceosal2 lsales profits profmarg sales m5 lmlogsales logrd summarym5 Call lmformula logsales logrd Residuals Min 1Q Median 3Q Max 082886 039299 004353 038238 066387 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 411773 019380 2125 2e16 logrd 084578 004861 1740 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 04694 on 30 degrees of freedom Multiple Rsquared 09098 Adjusted Rsquared 09068 Fstatistic 3027 on 1 and 30 DF pvalue 22e16 Equação estimada 𝑙𝑜𝑔𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑖 41177 08459 𝑙𝑜𝑔𝑟𝑑𝑖 𝜖𝑖 O parâmetro 𝛽1 estimado é a elasticidade de 𝑠𝑎𝑙𝑒𝑠 em relação a 𝑟𝑑 𝛽1 085 isso significa que um aumento de 1 nos gastos com pesquisa e desenvolvimento está associado a um aumento de 085 nas vendas C6 datameap93 attachmeap93 The following objects are masked from ceosal2 lsalary salary The following object is masked from packagewooldridge benefits Efeito dos gastos por estudante e a taxa de aprovação plotmath10expend cormath10expend 1 01815503 Com base no gráfico de dispersão apresentado observase uma tendência de relação linear entre os gastos por estudante e a taxa de aprovação em matemática Não foi identificado um efeito decrescente no entanto a correlação positiva entre as duas variáveis sugere que em geral um aumento nos gastos tende a se associar a um aumento na taxa de aprovação Contudo a correlação observada foi de 01816 indicando uma relação relativamente fraca entre as variáveis Portanto não há evidências suficientes para afirmar que há uma relação clara e robusta entre os gastos por estudante e a taxa de aprovação em matemática Modelo linlog No modelo linlog modelo ii o coeficiente estimado 𝛽1 indica que um aumento de 10 nos gastos por estudante variável independente está associado a uma alteração de aproximadamente 𝛽1 10 na taxa de aprovação da disciplina de matemática variável dependente Isso porque a variação percentual na variável independente é proporcional ao coeficiente ajustado por 10 Modelo m6 lmmath10 logexpend summarym6 Call lmformula math10 logexpend Residuals Min 1Q Median 3Q Max 22343 7100 0914 6148 39093 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 69341 26530 2614 0009290 logexpend 11164 3169 3523 0000475 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 1035 on 406 degrees of freedom Multiple Rsquared 002966 Adjusted Rsquared 002727 Fstatistic 1241 on 1 and 406 DF pvalue 00004752 Equação matemática 𝑚𝑎𝑡ℎ10 𝑖 69341 11134 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑥𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖 𝜖𝑖 Tamanho da amostra 𝑛 408 Coeficiente de determinação 𝑅2 00297 Gastos aumentasse 10 Com um aumento de 10 nos gastos por estudante a taxa de aprovação em matemática teria um aumento aproximado de 112 Preocupação com math10 ser maior que 100 A transformação logarítmica aplicada aos gastos não afeta a escala da variável dependente e a interpretação dos valores deve considerar o contexto e a distribuição dos dados C7 datacharity attachcharity Média de doação e perceltual de pessoas que não fizeram nenhuma doação meangift Média de doação 1 744447 sumgift 0nrowcharity100 Percentual de pessoas que não fizeram nenhuma doação 1 6000469 Média minimo e máximo de envios por ano meanmailsyear Média de envios por ano 1 2049555 minmailsyear Mínimo de envios por ano 1 025 maxmailsyear Máximo de envios por ano 1 35 MRLS m7 lmgift mailsyear summarym7 Call lmformula gift mailsyear Residuals Min 1Q Median 3Q Max 11287 7976 5976 2687 245999 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 20141 07395 2724 000648 mailsyear 26495 03431 7723 14e14 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 1496 on 4266 degrees of freedom Multiple Rsquared 001379 Adjusted Rsquared 001356 Fstatistic 5965 on 1 and 4266 DF pvalue 1404e14 Equaçã estimada 𝑔𝑖𝑓𝑡 𝑖 20141 26595 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑠𝑦𝑒𝑎𝑟𝑖 𝜖𝑖 Número de observações da amostra 4268 𝑅2 00138 Interpretação do coeficiente de inclinação Para cada aumento em uma unidade dos envios feito por ano estimasse um aumento médio de 266 nos valores de doação Obtendo um lucro líquido em todos os envios Menor gift mingift 1 0 O menor número de doação é 0 o que não pode ser previsto pelo modelo visto que quando 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑠𝑦𝑒𝑎𝑟 0 ainda estima uma doação média de 201 e 𝑚𝑎𝑖𝑙𝑠𝑦𝑒𝑎𝑟 nunca será negativo logo pelo MRLS encontrado não é possivel obter um 𝑔𝑖𝑓𝑡 0 C8 Simulação das variáveis independentes xs runif500 min 0 max 10 meanxs Média da variável independente 1 5128952 sdxs Desvio Padrão da variável independente 1 289984 Simulação dos resíduos erros rnorm500 mean 0 sd 6 meanerros Média dos resíduos 1 03214944 sderros Desvio padrão dos resíduos 1 5932941 Vamos testar a hipotese de que a média dos resíduos é 0 ttesterros mu 0 One Sample ttest data erros t 12117 df 499 pvalue 02262 alternative hypothesis true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval 08427945 01998056 sample estimates mean of x 03214944 Como o pvalor do teste foi proximo de 1 não há evidencias suficiente para rejeitar a hipotese nula de que a média é igual a zero logo podemos concluir que a média dos erros é 0 Gerando a variável dependente e o MRLS yi 1 2xs erros m8 lmyi xs summarym8 Call lmformula yi xs Residuals Min 1Q Median 3Q Max 175679 39922 01038 38744 190752 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 158242 053805 2941 000342 xs 182376 009134 19967 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 5917 on 498 degrees of freedom Multiple Rsquared 04446 Adjusted Rsquared 04435 Fstatistic 3987 on 1 and 498 DF pvalue 22e16 Valores estimados 𝛽0 07608 𝛽1 20487 Valores populacionais 𝛽0 1 𝛽1 2 os valores estimados foram distintos dos populacionais isso ocorre pois o método de MQO esta estimado os valores populacionais e existe uma pequena variação na estimatima por MQO Resíduos do modelo plotm8residuals Média e desvio padrão dos resíduos meanm8residuals 1 1855686e16 sdm8residuals 1 5910889 que os valores dos reísduos do modelo MQO esta maios proximo dos populacionais do que os valores dos erros estimados C9 datacountymurders attachcountymurders Quantos condados tiveram zero assassinatos em 1996 Quantos tiveram pelo menos uma execuções Qual o maior número de execução dados1996 subsetcountymurders year 1996 Filtrando os dados de 1996 sumdados1996murders 0 Condados com 0 assasinatos 1 1051 sumdados1996execs 1 Condados com pelo menos uma execução 1 31 maxdados1996execs Maior número de execução 1 3 MRLS y dados1996murders X dados1996execs m9 lmy X summarym9 Call lmformula y X Residuals Min 1Q Median 3Q Max 14912 546 446 246 133899 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 54572 08348 6537 779e11 X 585555 58333 10038 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 3889 on 2195 degrees of freedom Multiple Rsquared 004389 Adjusted Rsquared 004346 Fstatistic 1008 on 1 and 2195 DF pvalue 22e16 Equação estimada 𝑚𝑢𝑟𝑑𝑒𝑟𝑠 𝑖 545722 585555 𝑒𝑥𝑒𝑐𝑠𝑖 𝑢𝑖 Tamanho da amostra 2197 𝑅2 00439 Interpretação do coeficiente de Inclinação Para o ano de 1996 para cada aumento em uma unidade de medida o número de execução estimasse um aumento médio de 5855 assassinatos Qual é menor número mínimo de assassinato que pode ser previsto pela equação O número mínimo de assassinatos que podem ser previsto pela equação é o valor estimado de 𝛽0 que é 546 ou seja o modelo porposto prever no mínimo 5 assassinatos para o ano de 1996 quando X 0 estimado predictm9 newdata dataframeX 0 dadosX0 subsetdados1996 execs 0 Ymed mindadosX0murders resíduo Ymed estimado resíduo 1 5457241 O valor do resíduo para a previsão do menor número de assassinato que o modelo consegue prever com o menor número de assassinado da amostra é de 548 explique por que um MRLS não é adequado para determinar se a pena capital tem um efeito dissuassor sobre os assassinatos O modelo não é adequado para determinar se a pena capital tem um efeito dissuasor sobre os assassinatos porque ele apenas identifica correlação e não causalidade Além disso pode haver endogeneidade já que a pena capital tende a ser aplicada em regiões com mais assassinatos e variáveis importantes como condições socioeconômicas ou policiamento podem ser omitidas distorcendo os resultados A relação também pode não ser linear e o efeito dissuasor é difícil de medir diretamente tornando o MRLS insuficiente para capturar essas complexidades C10 datacatholic attachcatholic The following object is masked from wage2 black The following object is masked from sleep75 black Quantidade de estudadantes da amostra média das notas de matemática e leitura nrowcatholic Quantidade de alunos na amostra 1 7430 meanmath12 Média das notal de matemática 1 5213362 meanread12 Média das notas de leitura 1 517724 MRLS m10 lmmath12 read12 summarym10 Call lmformula math12 read12 Residuals Min 1Q Median 3Q Max 245477 45934 01838 46984 270182 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 1515304 043204 3507 2e16 read12 071429 000821 8700 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 6658 on 7428 degrees of freedom Multiple Rsquared 05047 Adjusted Rsquared 05046 Fstatistic 7569 on 1 and 7428 DF pvalue 22e16 𝛽0 1515304 𝛽1 071429 𝑛 7430 𝑅2 05047 Analice do intercepto Sim pois o intercepto na equação gerada no em ii mostra que a média da nota de matemática quando a note de leitura é igual a zero é de aproximadamente 1515 pontos Analise O 𝛽1 encontrado foi de 07143 isso significa que para cada aumento em um ponto da nota de leitura estimasse um aumento de aproximadamente 071 pontos na nota de matemática e surpreendentemente a variação da note de leitura explica cerca de 5047 da variação da nota de matemática Respondendo o comentário Para aumentar a nota de matemática não basta apenas melhorar a nota de leitura já que aproximadamente 4953 da variação na nota de matemática não foi explicada pelo modelo No entanto como o modelo indica que 5047 da variação na nota de matemática pode ser atribuída à nota de leitura isso sugere que um aumento na nota de leitura pode contribuir significativamente para uma melhoria na nota de matemática embora outros fatores também precisem ser considerados C11 datagpa1 attachgpa1 The following object is masked from wage2 age The following objects are masked from sleep75 age male The following object is masked from ceosal2 age The following object is masked from k401k age The following objects are masked from packagewooldridge alcohol campus Quantos alunos tem a amostra qual a média e o maior valor do GPA das universidades nrowgpa1 Quantidade de alunos na amostra 1 141 meancolGPA Média do GPA 1 3056738 maxcolGPA Valor máximo de GPA 1 4 Quantidade de alunos que possuí PC sumPC 1 1 56 MRLS m11 lmcolGPA PC summarym11 Call lmformula colGPA PC Residuals Min 1Q Median 3Q Max 095893 025893 001059 031059 084107 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 298941 003950 75678 2e16 PC 016952 006268 2704 00077 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 03642 on 139 degrees of freedom Multiple Rsquared 004999 Adjusted Rsquared 004315 Fstatistic 7314 on 1 and 139 DF pvalue 0007697 A estimativa de 𝛽0 foi de 29894 isso significa que a média do valor do GPA para alunos que não possuí computadores prorios em casa é de 299 ja o 𝛽1 foi de 01695 isso indica que alunos com computador em casa tendem a ter um GPA cerca de 017 pontos mais alto com esse efeito sendo estatisticamente significativo Coeficiente de determinação O 𝑅2 representa o quanto a variação da variável independente influencia nas variações da varíavel dependente o 𝑅2 do modelo foi de 005 ou seja o fato do aluno tem computador próprio em casa influencia cerca de 5 na nota do GPA Essa magnitude é bastante baixa sugerindo que embora o efeito de ter um computador seja estatisticamente significativo ele não explica uma grande parte das variações no desempenho acadêmico Portanto outros fatores não incluídos no modelo provavelmente têm maior influência sobre o GPA Teste T Como o pvalor do teste t foi menor que 005 rejeitamos a hipótese nula com um nível de significância de 5 Isso indica que há evidências suficientes para concluir que a posse de um computador em casa tem um efeito significativo no GPA Portanto podemos afirmar que a presença de um computador em casa influencia positivamente a nota média dos alunos Exercícios Computacionais Gustavo 20240916 C1 librarywooldridge Warning package wooldridge was built under R version 432 datak401k attachk401k Encontrar as médias de prate e mrate meanprate 1 8736291 meanmrate 1 07315124 Modelo de Regressão Linear Simples MRLS m1 lmprate mrate summarym1 Call lmformula prate mrate Residuals Min 1Q Median 3Q Max 82303 8184 5178 12712 16807 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 830755 05633 14748 2e16 mrate 58611 05270 1112 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 1609 on 1532 degrees of freedom Multiple Rsquared 00747 Adjusted Rsquared 00741 Fstatistic 1237 on 1 and 1532 DF pvalue 22e16 O modelo encontrado foi pr at ei83075558611m r at eiϵ i E o coeficiente de determinação do modelo R 2 foi de 00747 isso significa que 747 das variações da varíavel pr at e que representa a porcentagem aptos e com uma conta ativa é explicada pelas variações da variável m r at e que representa a contribuição da empresa na amostra de planos Interpretação dos coeficientes estimados Temos que β0830755 isso significa que se a empresa não fizer contribuição para o fundo trabalhista a porcentagem de trabalhadores aprtos e com conta ativa é de aproximadamente 8308 Já o β158611 significa que para cada aumento de US 1 da contribuição da empresa para o fundo trabalhista do plano estima um aumento de 586 dos trabalhadores aptos e com conta ativa Previsão quando mrate 35 predictm1 newdata dataframemrate 35 1 1035892 Para quando m r at e35 estamasse pelo modelo que pr at e será de aproximadamente 10359 Quanto da variação é explicada pela mrate A variação de pr at e que é explicada por m r at e é de 747 R 2 na minha opinião não é uma variação altamas de acordo com o pvalor do teste F o modelo é significativo logo as variaçãoe de m r at e tem influencia significativa nas variaçãos de pr at e C2 dataceosal2 attachceosal2 The following object is masked from k401k age Médias das variáveis salary e ceoten meansalary 1 8658644 meanceoten 1 7954802 Quantos CEOs estão no seu primeiro ano no cargo sumceoten 1 1 19 A amostra possuí 19 CEOs que estão no seu primeiro ano no cargo Qual é a permanência mais longa como CEO maxceoten 1 37 A permanência mais longa é de 37 anos MRLS m2 lmlogsalary ceoten summarym2 Call lmformula logsalary ceoten Residuals Min 1Q Median 3Q Max 215314 038319 002251 044439 194337 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 6505498 0067991 95682 2e16 ceoten 0009724 0006364 1528 0128 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 06038 on 175 degrees of freedom Multiple Rsquared 001316 Adjusted Rsquared 0007523 Fstatistic 2334 on 1 and 175 DF pvalue 01284 Qual é o aumento percentual previsto no salários quando se tem um ano a mais como CEO Para cada aumento de um ano como CEO estimasse um aumento de aproximandamente 097 no salário do CEO C3 datasleep75 attachsleep75 The following object is masked from ceosal2 age The following object is masked from k401k age The following object is masked from packagedatasets sleep m3 lmsleep totwrk summarym3 Call lmformula sleep totwrk Residuals Min 1Q Median 3Q Max 242994 24025 491 25053 133972 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 358637695 3891243 92165 2e16 totwrk 015075 001674 9005 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 4211 on 704 degrees of freedom Multiple Rsquared 01033 Adjusted Rsquared 0102 Fstatistic 8109 on 1 and 704 DF pvalue 22e16 i A equação estimada do modelo sl ee pi3586376901507t ot wr kui Número de observações n706 Coeficiente de determinação R 201033 isso significa que cerca de 1033 da variação de sleep é explicado pela a variação de totwrk aumento de 2 horas em totwrk Para um aumento de 2 horas de trabalhos estima uma diminuição de aproximadamente 18 minutos dormido a noite Na minha opinição não é um efeito grande C4 datawage2 attachwage2 The following objects are masked from sleep75 age black educ exper south The following object is masked from ceosal2 age The following object is masked from k401k age Entrando o salário médio e o QI médio da amostra e o desvio padrão de QI meanwage Média dos salários 1 9579455 meanIQ Média do QI 1 1012824 sdIQ Desvio padrão do QI 1 1505264 MRLS m4 lmwage IQ summarym4 Call lmformula wage IQ Residuals Min 1Q Median 3Q Max 8987 2565 473 2011 20726 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 1169916 856415 1366 0172 IQ 83031 08364 9927 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 3848 on 933 degrees of freedom Multiple Rsquared 009554 Adjusted Rsquared 009457 Fstatistic 9855 on 1 and 933 DF pvalue 22e16 Aumento de 15 ponto no QI Um aumento de 15 pontos no QI estima um aumnto de aproximadamente US 12455 no salário mensal do individui i Coeficiente de determinação Como o R 2 do modelo foi de 00955 isso significa que cerca de 955 da variação do salário mensal é explicado pela a variação do QI ou seja o QI não explica a maior parte de variação de w ag e Modelo loglin m41 lmlogwage IQ summarym41 Call lmformula logwage IQ Residuals Min 1Q Median 3Q Max 209324 025547 002261 027544 121486 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 58869943 00890206 6613 2e16 IQ 00088072 00008694 1013 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 03999 on 933 degrees of freedom Multiple Rsquared 009909 Adjusted Rsquared 009813 Fstatistic 1026 on 1 and 933 DF pvalue 22e16 De acordo com o modelo previsto para cada aumento em uma unidade de QI estimasse um aumento de 088 no salário mensal w ag e logo um aumento de 15 pontos em QI irá aumentar w ag e em 1321 C5 Escrever um modelo que implique uma elasticidade constante entre rd e sales Um modelo com elasticidade constante pode ser expresso como l o g s al es iβ0β1l o g r d iϵ i O modelo está na forma loglog porque quando ambas as variáveis são transformadas pelo logaritmo o coeficiente β1 passa a representar a elasticidade de sal es em relação a r d Ou seja β1 é a elasticidade constante que indica a variação percentual nas vendas sal es associada a uma variação percentual nos gastos em pesquisa e desenvolvimento r d Modelo loglog datardchem attachrdchem The following objects are masked from ceosal2 lsales profits profmarg sales m5 lmlogsales logrd summarym5 Call lmformula logsales logrd Residuals Min 1Q Median 3Q Max 082886 039299 004353 038238 066387 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 411773 019380 2125 2e16 logrd 084578 004861 1740 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 04694 on 30 degrees of freedom Multiple Rsquared 09098 Adjusted Rsquared 09068 Fstatistic 3027 on 1 and 30 DF pvalue 22e16 Equação estimada l o g s al es i4117708459l o g r d iϵ i O parâmetro β1 estimado é a elasticidade de sal es em relação a r d β1085 isso significa que um aumento de 1 nos gastos com pesquisa e desenvolvimento está associado a um aumento de 085 nas vendas C6 datameap93 attachmeap93 The following objects are masked from ceosal2 lsalary salary The following object is masked from packagewooldridge benefits Efeito dos gastos por estudante e a taxa de aprovação plotmath10expend cormath10expend 1 01815503 Com base no gráfico de dispersão apresentado observase uma tendência de relação linear entre os gastos por estudante e a taxa de aprovação em matemática Não foi identificado um efeito decrescente no entanto a correlação positiva entre as duas variáveis sugere que em geral um aumento nos gastos tende a se associar a um aumento na taxa de aprovação Contudo a correlação observada foi de 01816 indicando uma relação relativamente fraca entre as variáveis Portanto não há evidências suficientes para afirmar que há uma relação clara e robusta entre os gastos por estudante e a taxa de aprovação em matemática Modelo linlog No modelo linlog modelo ii o coeficiente estimado β1 indica que um aumento de 10 nos gastos por estudante variável independente está associado a uma alteração de aproximadamente β1 10 na taxa de aprovação da disciplina de matemática variável dependente Isso porque a variação percentual na variável independente é proporcional ao coeficiente ajustado por 10 Modelo m6 lmmath10 logexpend summarym6 Call lmformula math10 logexpend Residuals Min 1Q Median 3Q Max 22343 7100 0914 6148 39093 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 69341 26530 2614 0009290 logexpend 11164 3169 3523 0000475 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 1035 on 406 degrees of freedom Multiple Rsquared 002966 Adjusted Rsquared 002727 Fstatistic 1241 on 1 and 406 DF pvalue 00004752 Equação matemática mat h10i6934111134l og e x pe nd iϵ i Tamanho da amostra n408 Coeficiente de determinação R 200297 Gastos aumentasse 10 Com um aumento de 10 nos gastos por estudante a taxa de aprovação em matemática teria um aumento aproximado de 112 Preocupação com math10 ser maior que 100 A transformação logarítmica aplicada aos gastos não afeta a escala da variável dependente e a interpretação dos valores deve considerar o contexto e a distribuição dos dados C7 datacharity attachcharity Média de doação e perceltual de pessoas que não fizeram nenhuma doação meangift Média de doação 1 744447 sumgift 0nrowcharity100 Percentual de pessoas que não fizeram nenhuma doação 1 6000469 Média minimo e máximo de envios por ano meanmailsyear Média de envios por ano 1 2049555 minmailsyear Mínimo de envios por ano 1 025 maxmailsyear Máximo de envios por ano 1 35 MRLS m7 lmgift mailsyear summarym7 Call lmformula gift mailsyear Residuals Min 1Q Median 3Q Max 11287 7976 5976 2687 245999 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 20141 07395 2724 000648 mailsyear 26495 03431 7723 14e14 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 1496 on 4266 degrees of freedom Multiple Rsquared 001379 Adjusted Rsquared 001356 Fstatistic 5965 on 1 and 4266 DF pvalue 1404e14 Equaçã estimada gi f t i2014126595 mai l s y eariϵi Número de observações da amostra 4268 R 200138 Interpretação do coeficiente de inclinação Para cada aumento em uma unidade dos envios feito por ano estimasse um aumento médio de 266 nos valores de doação Obtendo um lucro líquido em todos os envios Menor gift mingift 1 0 O menor número de doação é 0 o que não pode ser previsto pelo modelo visto que quando m ail s ye ar0 ainda estima uma doação média de 201 e m ail s ye ar nunca será negativo logo pelo MRLS encontrado não é possivel obter um gi f t0 C8 Simulação das variáveis independentes xs runif500 min 0 max 10 meanxs Média da variável independente 1 5128952 sdxs Desvio Padrão da variável independente 1 289984 Simulação dos resíduos erros rnorm500 mean 0 sd 6 meanerros Média dos resíduos 1 03214944 sderros Desvio padrão dos resíduos 1 5932941 Vamos testar a hipotese de que a média dos resíduos é 0 ttesterros mu 0 One Sample ttest data erros t 12117 df 499 pvalue 02262 alternative hypothesis true mean is not equal to 0 95 percent confidence interval 08427945 01998056 sample estimates mean of x 03214944 Como o pvalor do teste foi proximo de 1 não há evidencias suficiente para rejeitar a hipotese nula de que a média é igual a zero logo podemos concluir que a média dos erros é 0 Gerando a variável dependente e o MRLS yi 1 2xs erros m8 lmyi xs summarym8 Call lmformula yi xs Residuals Min 1Q Median 3Q Max 175679 39922 01038 38744 190752 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 158242 053805 2941 000342 xs 182376 009134 19967 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 5917 on 498 degrees of freedom Multiple Rsquared 04446 Adjusted Rsquared 04435 Fstatistic 3987 on 1 and 498 DF pvalue 22e16 Valores estimados β007608 β120487 Valores populacionais β01 β12 os valores estimados foram distintos dos populacionais isso ocorre pois o método de MQO esta estimado os valores populacionais e existe uma pequena variação na estimatima por MQO Resíduos do modelo plotm8residuals Média e desvio padrão dos resíduos meanm8residuals 1 1855686e16 sdm8residuals 1 5910889 que os valores dos reísduos do modelo MQO esta maios proximo dos populacionais do que os valores dos erros estimados C9 datacountymurders attachcountymurders Quantos condados tiveram zero assassinatos em 1996 Quantos tiveram pelo menos uma execuções Qual o maior número de execução dados1996 subsetcountymurders year 1996 Filtrando os dados de 1996 sumdados1996murders 0 Condados com 0 assasinatos 1 1051 sumdados1996execs 1 Condados com pelo menos uma execução 1 31 maxdados1996execs Maior número de execução 1 3 MRLS y dados1996murders X dados1996execs m9 lmy X summarym9 Call lmformula y X Residuals Min 1Q Median 3Q Max 14912 546 446 246 133899 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 54572 08348 6537 779e11 X 585555 58333 10038 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 3889 on 2195 degrees of freedom Multiple Rsquared 004389 Adjusted Rsquared 004346 Fstatistic 1008 on 1 and 2195 DF pvalue 22e16 Equação estimada mur d er si545722585555e xe c siui Tamanho da amostra 2197 R 200439 Interpretação do coeficiente de Inclinação Para o ano de 1996 para cada aumento em uma unidade de medida o número de execução estimasse um aumento médio de 5855 assassinatos Qual é menor número mínimo de assassinato que pode ser previsto pela equação O número mínimo de assassinatos que podem ser previsto pela equação é o valor estimado de β0 que é 546 ou seja o modelo porposto prever no mínimo 5 assassinatos para o ano de 1996 quando X 0 estimado predictm9 newdata dataframeX 0 dadosX0 subsetdados1996 execs 0 Ymed mindadosX0murders resíduo Ymed estimado resíduo 1 5457241 O valor do resíduo para a previsão do menor número de assassinato que o modelo consegue prever com o menor número de assassinado da amostra é de 548 explique por que um MRLS não é adequado para determinar se a pena capital tem um efeito dissuassor sobre os assassinatos O modelo não é adequado para determinar se a pena capital tem um efeito dissuasor sobre os assassinatos porque ele apenas identifica correlação e não causalidade Além disso pode haver endogeneidade já que a pena capital tende a ser aplicada em regiões com mais assassinatos e variáveis importantes como condições socioeconômicas ou policiamento podem ser omitidas distorcendo os resultados A relação também pode não ser linear e o efeito dissuasor é difícil de medir diretamente tornando o MRLS insuficiente para capturar essas complexidades C10 datacatholic attachcatholic The following object is masked from wage2 black The following object is masked from sleep75 black Quantidade de estudadantes da amostra média das notas de matemática e leitura nrowcatholic Quantidade de alunos na amostra 1 7430 meanmath12 Média das notal de matemática 1 5213362 meanread12 Média das notas de leitura 1 517724 MRLS m10 lmmath12 read12 summarym10 Call lmformula math12 read12 Residuals Min 1Q Median 3Q Max 245477 45934 01838 46984 270182 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 1515304 043204 3507 2e16 read12 071429 000821 8700 2e16 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 6658 on 7428 degrees of freedom Multiple Rsquared 05047 Adjusted Rsquared 05046 Fstatistic 7569 on 1 and 7428 DF pvalue 22e16 β01515304 β1071429 n7430 R 205047 Analice do intercepto Sim pois o intercepto na equação gerada no em ii mostra que a média da nota de matemática quando a note de leitura é igual a zero é de aproximadamente 1515 pontos Analise O β1 encontrado foi de 07143 isso significa que para cada aumento em um ponto da nota de leitura estimasse um aumento de aproximadamente 071 pontos na nota de matemática e surpreendentemente a variação da note de leitura explica cerca de 5047 da variação da nota de matemática Respondendo o comentário Para aumentar a nota de matemática não basta apenas melhorar a nota de leitura já que aproximadamente 4953 da variação na nota de matemática não foi explicada pelo modelo No entanto como o modelo indica que 5047 da variação na nota de matemática pode ser atribuída à nota de leitura isso sugere que um aumento na nota de leitura pode contribuir significativamente para uma melhoria na nota de matemática embora outros fatores também precisem ser considerados C11 datagpa1 attachgpa1 The following object is masked from wage2 age The following objects are masked from sleep75 age male The following object is masked from ceosal2 age The following object is masked from k401k age The following objects are masked from packagewooldridge alcohol campus Quantos alunos tem a amostra qual a média e o maior valor do GPA das universidades nrowgpa1 Quantidade de alunos na amostra 1 141 meancolGPA Média do GPA 1 3056738 maxcolGPA Valor máximo de GPA 1 4 Quantidade de alunos que possuí PC sumPC 1 1 56 MRLS m11 lmcolGPA PC summarym11 Call lmformula colGPA PC Residuals Min 1Q Median 3Q Max 095893 025893 001059 031059 084107 Coefficients Estimate Std Error t value Prt Intercept 298941 003950 75678 2e16 PC 016952 006268 2704 00077 Signif codes 0 0001 001 005 01 1 Residual standard error 03642 on 139 degrees of freedom Multiple Rsquared 004999 Adjusted Rsquared 004315 Fstatistic 7314 on 1 and 139 DF pvalue 0007697 A estimativa de β0 foi de 29894 isso significa que a média do valor do GPA para alunos que não possuí computadores prorios em casa é de 299 ja o β1 foi de 01695 isso indica que alunos com computador em casa tendem a ter um GPA cerca de 017 pontos mais alto com esse efeito sendo estatisticamente significativo Coeficiente de determinação O R 2 representa o quanto a variação da variável independente influencia nas variações da varíavel dependente o R 2 do modelo foi de 005 ou seja o fato do aluno tem computador próprio em casa influencia cerca de 5 na nota do GPA Essa magnitude é bastante baixa sugerindo que embora o efeito de ter um computador seja estatisticamente significativo ele não explica uma grande parte das variações no desempenho acadêmico Portanto outros fatores não incluídos no modelo provavelmente têm maior influência sobre o GPA Teste T Como o pvalor do teste t foi menor que 005 rejeitamos a hipótese nula com um nível de significância de 5 Isso indica que há evidências suficientes para concluir que a posse de um computador em casa tem um efeito significativo no GPA Portanto podemos afirmar que a presença de um computador em casa influencia positivamente a nota média dos alunos