Análise do Erro Quadrático Médio e Métodos de Estimação

V ESTIMAÇÃO Neste capítulo analizaremos mais detalhadamente o critério EQM Erro Quadrático Médio comumente usado para comparar estimadores alternativos de um mesmo parâmetro populacional Em seguida enunciaremos o Teorema de Lehmann e Scheffé o qual permite identificar estimadores não viesados de menor variância MVU Minimum Variance Unbiased Na sequência focalizaremos as propriedades assintóticas desejáveis dos estimadores onde supõese que o tamanho da amostra pode crescer indefinidamente Por último focalizaremos dois métodos de estimação privilegiada o método da Máxima Verossimilhança MV e o Método dos Momentos MM Todo ao longo deste capítulo consideraremos uma amostra simples X1X2Xn de tamanho n sobre uma população X com suporte X fdp fX dependente de um parâmetro desconhecido Notaremos por n TX1X2Xn o estimador amostral de 1 ÊRRO QUADRÁTICO MÉDIO EQM Quando temos dois estimadores alternativos n e n para o parâmetro desconhecido e que ambos são não viesados ou seja E n E n é natural que se dê preferência ao estimador que tiver a menor variância a menor dispersão do estimador ao redor do parâmetro que ele pretende estimar indica que uma maior precisão é obtida com aquela estimação A escolha fica todavia menos clara quando um dos estimadores é viesado mas possui variância menor que a do outro que é não é viesado Em que medida o viés é compensado pela menor variância Um critério natural a ser usado na comparação de estimadores obtidos em amostras finitas é o critério do êrro quadrático médio EQM o melhor estimador será aquele que tem o menor EQM Seja n o êrro amostral cometido com o estimador n para a estimação de Observe que n n E n E n Hugo Boff Estatística II 2021 2 n 2 n E n2 E n 2 2E n n E n Tomando o valor esperado de ambos os lados da equação acima e levando em conta que E n E n 0 vem E n 2 E n E n2 E n 2 Definindo EQM n E n 2 obtemos finalmente EQM n V n E n 2 1 O segundo termo da soma à direita de 1 é o quadrado do viés de modo que o erro quadrático médio se define como EQM n Variância de n Quadrado do viés Ou seja no cômputo do EQM variância e viés são levados em conta com o mesmo peso Observe também que se n for não viesado o seu EQM se reduz à sua variância Exemplo 1 Estimação da variância em populações normais Vimos no Capítulo II dois estimadores alternativos para a variância 2 Sn1 2 1 n 1 i1 n Xi Xn2 o qual é não viesado e tem variância VSn1 2 24 n 1 n 2 1n i1 n Xi Xn2 o qual é viesado e tem variância menor Vn 2 n 1 n 2VSn1 2 Qual dos dois é preferível pelo critério EQM O viés de n 2 n1 n Sn1 2 é En 2 2 n1 n 2 2 1n 2 Então EQMn 2 2n 1 n2 4 1 n2 4 2n 1 n2 4 e EQMSn1 2 2 n 1 4 Hugo Boff Estatística II 2021 3 De modo que EQMn 2 EQMSn1 2 2n 14n2 24n 1 2n 1n 1 2n2 1 3n 1 2n2 1 Ou seja o viés de n 2 é compensado pela sua menor variância com relação à Sn1 2 de modo que pelo critério EQM n 2 é preferível à Sn1 2 Observe porém que a superioridade de n 2 se dissipa à medida que o tamanho da amostra aumenta Assintóticamente para n os dois estimadores são equivalentes Exemplo 2 Estimação do valor extremo em populações unformes Sendo X Unif0 consideramos dois estimadores amostrais alternativos para o extremo populacional n Xn máximo amostral n 2Xn duas vezes a média amostral Sabemos que n é não viesado E2Xn 2 2 e que sua variância é V n 4V Xn 4 212 n 2 3n Assim EQM n 2 3n A densidade de n é f nx n xn1 n x 0 de modo que E n 0 xn xn1 n dx n n 1 Assim o viés é n n 1 n 1 Entretanto n tem variância menor que V n 2 3n Com efeito E n 2 0 x2n xn1 n dx n n 2 2 de modo que V n E n 2 E2 n n n 2 2 n n 1 22 n n 2n 12 2 1 3n 2 Logo o êrro quadrático de n será EQM n n n 2n 12 2 n 1 2 n n 2 1 2 n 12 2 n 1n 2 2 Hugo Boff Estatística II 2021 4 Então EQM n EQM n 1 3n 2 2 n 1n 2 2 n 1n 2 6n 1 n 12 1 n 345 Ou seja o viés de n é compensado pela sua menor variância de modo que ele é preferível ao estimador n Diferentemente do exemplo anterior a superioridade de n não se dissipa com o aumento no tamanho da amostra Antes ela aumenta com o aumento de n 2 ESTIMADORES NÃO VIESADOS DE MENOR VARIÂNCIA MVU Nesta seção apresentamos primeiro a teoria que embasa a construção de estimadores não viesados de menor variância MVU Minimum Variance Unbiased Em seguida ilustramos como estes estimadores são obtidos através de exemplos A teoria se resume em dois teoremas o segundo dos quais requer a definição prévia de estatísticas completas Como veremos os estimadores MVU são funções de estatísticas suficientes uma noção já introduzida no Capítulo II 1 Teorema de Rao e Blackwell Seja SX1X2Xn uma estatística suficiente para e TX1X2Xn um estimador não viesado de o qual não é função apenas de S Então ET S é um estimador não viesado de melhor que T pois V VT Prova Primeiro observe que sendo S suficiente a densidade condicional de T dado S s não depende de Logo ET S é independente de de modo que ET S é bem um estimador estatística Por outro lado sabemos que E EET S ET sfSsds tfTt sdtfSsds t fTts fSs dtfSsds t fTtsdsdt tfTtdt ET Assim n é um estimador não viesado de Hugo Boff Estatística II 2021 5 Lembremos agora da fórmula da variância VT VET S EVT S 2 Ora EVT S 0 pois este é o valor esperado de uma va não negativa Logo VT VET S V Ou seja é um estimador melhor do que T Como o estimador T do teorema é arbitrário e como ET S é um estimador somente se S for uma estatística suficiente o teorema de Rao e Blackwell nos garante que na busca por estimadores não viesados de menor variância devemos olhar para as estatísticas suficientes S Ou seja o estimador MVU deverá necessáriamente ser função de uma estatística suficiente Entretanto é preciso garantir que se o estimador MVU existe ele é único pois do contrário se houver mais de um não saberemos qual deles escolher A unicidade do estimador MVU será garantida qc quase certamente se a fdp da estatística suficiente pertencer à uma família de distribuições completa Famílias e Estatísticas Completas Uma familia de densidades distribuições é notada fx Ou seja todas as densidades da familia tem a forma de f mas diferem entre si por diferentes s Por exemplo N1 é a família das distribuições normais com variância unitária e média parâmetro locacional Há uma densidade para cada Dizemos que a família fx é completa se para qualquer função u a condição EuX 0 implica ux 0 qc A condição qc significa aqui o conjunto de pontos x para os quais ux 0 tem probabilidade 0 Genéricamente dizemos em Estatística que uma determinada propriedade vale quase certamente qc se é improvável que ela seja inválida Exemplo 3 A família das distribuições uniformes no intervalo 0 é completa Com efeito suponha EuX 0 ux 1 dx 0 0 Isto equivale dizer que 0 uxdx 0 0 Temos assim uma função de que é nula para todo Assim sendo sua derivada com relação à também deverá ser nula ou seja Hugo Boff Estatística II 2021 6 0 uxdx u 0 0 Ora isso implicará que u 0 qc Exemplo 4 A família das funções de probabilidade Poisson é completa Com efeito suponha EuX e0 0 u0 e1 1 u1 e2 2 u2 e3 3 u3 0 0 Vale dizer 0 0 u0 1 1 u1 2 2 u2 3 3 u3 0 0 Temos acima o polinomio que deve se anular para todo 0 Isto só ocorrerá se todos os coeficientes do polinômio uii forem nulos ou seja se u0 u1 u2 u3 0 Assim vem que u 0 e a família Poisson é completa A família das distribuições exponenciais é completa Boa parte das distribuições mais usuais pertencem à famílias completas Dizemos que uma estatística TX1X2Xn é completa se sua função de probabilidade ou densidade pertence à uma família completa 2 Teorema de Lehmann e Scheffé Seja SX1X2Xn uma estatística amostral suficiente para Suponha que a família fSs seja completa Ou seja suponha que S seja uma estatística suficiente e completa Se existe uma função S que é um estimador não viesado de ou seja tal que ES então S é o único estimador MVU de Obs A prova está baseada em Rao e Blackwell A completude de S assegura a unicidade qc de S Com efeito seja S um outro estimador não viesado de Então ES ES ES ES 0 ES S 0 Sendo fSs membro de uma família completa a igualdade s sfSsds 0 implicará s s 0 qc ou seja os dois estimadores serão iguais exceto sobre um conjunto de probabilidade nula Hugo Boff Estatística II 2021 7 Exemplo 5 Consideremos a população X Unif0 do Exemplo 2 acima Na busca de um estimador MVU devemos olhar para as estatísticas amostrais suficientes Rao e Blackwel Já sabemos que Xn o máximo amostral é suficiente Logo por Lehmann e Scheffé a função de Xn que produzir um estimador não viesado de este será o estimador MVU Além disso este estimador será único qc se Xn for uma estatística completa Vimos acima que a familia uniforme é completa Em geral estimadores obtidos à partir de famílias de distribuições completas são completos Vamos checar isto neste caso mostrando diretamente que a densidade fXnx n xn1 n 0 x pertence à uma família completa Com efeito a condição EuXn 0 uxn xn1 n dx 0 0 é equivalente à 0 uxxn1dx 0 0 Então teremos também usando a fórmula de Leibnitz 0 uxxn1dx un1 0 0 Ora isto implicará u 0 qc para qualquer função u e Xn é bem uma estatística completa No Exemplo 2 mostramos que E Xn 0 xn xn1 n dx n n 1 Sendo Xn uma estatística suficiente e completa por Lehmann e Scheffé a função de Xn que produzir um estimador não viesado será o estimador MVU de único qc É imediato concluir neste caso que Xn n 1 n Xn de modo que o estimador buscado é n Xn Exemplo 6 Consideremos a população exponencial X Exp Os dois primeiros momentos desta população são EX 1 e que VX 1 2 Pelo Teorema da Fatorização de Neyman sabemos que S X1 X2 Xn é uma estatística amostral suficiente para O estimador MVU de deverá ser uma função de S Rao e Blackwell Da Estatística I sabemos que S n ou seja S tem distribuição gama com parâmetros n e Hugo Boff Estatística II 2021 8 A densidade de S é fSs n n sn1es s 0 Esta densidade pertence à família exponencial a qual é uma família completa isto é provado usandose a Transformada de Laplace Qual será então o estimador MVU de Ora sabemos que ES n de modo que o inverso da média amostral é um candidato n S 1 Xn Calculemos E n S 0 ns1fSsds nn n 0 sn11esds Fazendo a transformação u s teremos E n S nn nn1 0 un11eudu n n n 1 n n 1 Assim o único qc estimador MVU de será S n 1 n n S ou seja n n 1 n 1 Xn Obs Os estimadores MVU obtidos nos dois exemplos acima convergem rápidamente para os estimadores naturais de momentos Xn e 1Xn respectivamente à medida que o tamanho da amostra aumenta veja estimação MM abaixo item 4 Isto mostra que quando os estimadores de momentos estão baseados em estatísticas suficientes o MVU apenas corrige para amostras finitas o viés destes estimadores Em muitos casos isto é assim 3 PROPRIEDADES ASSINTÓTICAS DOS ESTIMADORES Muitos estimadores possuem propriedades desejáveis como o não viés e a menor variância não no caso natural das amostras finitas mas apenas em grandes amostras Examinar duas propriedades desejáveis importantes para os estimadores em grandes amostras quando n o não viés assintótico e a consistência Seja n um estimador de baseado em uma amostra de tamanho n 1 Não viés assintótico Dizemos que o estimador n é assintóticamente não viesado se ele converge em média para quando n Hugo Boff Estatística II 2021 9 n lim E n 3 Exemplo 7 a Vimos que o estimador amostral da variância de uma população normal n 2 1n i1 n Xi Xn2 subestima 2 pois seu valor esperado é En 2 n 1 n 2 Todavia ele é assintóticamente não viesado pois n lim En 2 n lim n 1 n 2 2 b Vimos que n Xn MaxX1X2Xn o estimador amostral do valor maximal de uma população uniforme no intervalo 0 subestima pois E n n n 1 Todavia ele é assintóticamente não viesado n lim E n n lim n n 1 2 Consistência Dizemos que o estimador n é consistente se a sequência dos estimadores 1 2 n um para cada n converge em probabilidade para Formalmente 0 n lim P n 0 4 Notamos neste caso plim n Assim o estimador n é consistente se a probabilidade que ele desvie do parâmetro por uma quantidade arbitráriamente pequena tende para 0 quando o tamanho da amostra tende para o infinito Ou seja se o estimador for consistente é improvável que ele desvie do parâmetro que pretende estimar quando o tamanho da amostra aumenta indefinidamente O equivalente da expressão 4 é 0 n lim P n 1 4 A probabilidade que a sequência dos estimadores n não desvie de tende no limite de n para 1 Exemplo 8 Na sequência dos Exemplos 2 5 e 7b vamos usar a definição 4 para mostrar que Xn é um estimador consistente de que é o valor máximo assumido por aquela população uniforme de valores Hugo Boff Estatística II 2021 10 Temos para x 0 FXnx 0 x n vn1 n dv x nFXnx 0 para x 0 e FXnx 1 para x Assim para 0 PXn P Xn FXn FXn 1 n 0 1 0 1 Ou seja para todo 0 n lim PXn n lim 1 n 1 n lim n 1 0 1 Assim plimXn e o máximo amostral apesar de viesado em amostras finitas é um estimador consistente do máximo populacional Exemplo 9 Suponha uma população exponencial truncada X ExpA 1 2 Um estimador natural para o mínimo populacional A é o mínimo amostral X1 minX1X2Xn Sabemos que X1 tem distribuição Exponencial truncada com parâmetros A n 2 Com efeito PX1 x PX1 xX2 xX3 xXn x PX xn 1 FXxn 1 1 e 1 2 xAn e n 2 xA Logo X1 ExpA n 2 com EX1 A 2n e VX1 2n 2 4 n2 Vemos que o mínimo amostral X1 superestima A em amostras finitas mas que ele é assintóticamente não viesado Usaremos agora 4 para mostrar que X1 é um estimador consistente de A 0 PX1 A PX1 A PX1 A e n 2 0 e n 2 Logo 0 n lim PX1 A n lim e n 2 0 ou seja plimX1 A Os dois exemplos anteriores usaram a distribuição de probabilidade do estimador Hugo Boff Estatística II 2021 11 para provar a consistência Em muitas situações todavia não conhecemos a distribuição exata do estimador mas apenas os seus dois primeiros momentos sua média e sua variância Adiante enunciaremos uma proposição estabelecendo condições suficientes sobre estes dois primeiros momentos para que a consistência do estimador esteja assegurada Estas condições baseiamse na desigualdade de Chebyshev Desigualdade de Chebyshev Se a va X possui média e variância e se X então vale a desigualdade 0 PX 1 2 EX 2 5 Prova Dado 0 defina a variável aleatória indicadora do evento A x X x 1AX 1 se X A 0 se X A Então E1AX 1PA 0PAc PA Logo PX E1AX PA X 1AxdFXx A 1dFXx x22 1dFXx x2 2 1 1dFXx A x2 2 dFXx 1 2 Xx 2dFXx 1 2 EX 2 Uma aplicação notável desta desigualdade se dá quando X é um estimador n que possui média E n e variância V n Neste caso E n 2 é o Erro Quadrático Médio EQM n de n Ora vimos em 1 que E n 2 V n E n 2 Deste modo a desigualdade de Chebyshev fica Hugo Boff Estatística II 2021 12 0 P n 1 2 V n E n 2 5 Proposição Seja n um estimador de Se as duas condições seguintes são atendidas i n lim E n e ii n lim V n 0 Então plim n Prova Basta tomar o limite para n de ambos os lados da desigualdade 5 0 n lim P n 1 2 n lim V n E n 2 n lim V n n lim E n 2 0 02 0 Ou seja para que um estimador seja consistente basta que ele seja assintóticamente não viesado e que sua variância tenda à 0 quando n tende para infinito Observe que as condições i e ii da Proposição são suficientes para garantir a consistência do estimador mas não necessárias Exemplo 10 a Vimos no Exemplo 7a que n 2 1 n i1 n Xi Xn2 o estimador amostral da variância da população normal é um estimador assintóticamente não viesado de 2 Por outro lado mostramos no Capítulo II que sua variância é Vn 2 2n 1 n2 4 a qual converge para 0 quando n Assim pelo proposição anterior temos plimn 2 2 ou seja n 2 é um estimador consistente de 2 b Considere o estimador MVU de na distribuição Exponencial do Exemplo 6 n n 1 S onde S X1 X2 Xn n Como ele é um estimador não viesado em virtude da Proposição acima a consistente deste estimador é assegurada se sua variância for à 0 quando n Temos Hugo Boff Estatística II 2021 13 E n 2 n 12E 1 S2 n 12 n n 0 sn21esds n 122 n 0 n21ed onde para a última igualdade efetuamos a transformação s Ora por definição 0 n21ed n 2 de modo que usando a propriedade recursiva da gama n n 1n 1 n 1n 2n 2 obtemos E n 2 n 1 n 2 2 Finalmente V n E n 2 2 n 1 n 2 12 1 n 2 2 expressão esta que vai à 0 quando n vai à infinito Temos então que n n 1 S é um estimador consistente de O exemplo construído abaixo mostra que de fato a convergência em média não viés assintótico sózinha não tem relação direta com a convergência em probabilidade consistência Uma não implica na outra Exemplo 11 Para 0 1 considere o estimador n assim definido n n com probabilidade n 0 com probabilidade 1 n Vemos que E n n n 01 n ou seja temos um estimador não viesado de Entretanto a sequência dos n não converge para mas para 0 0 P n P n n n n 0 Ou seja plim n 0 Para terminar esta seção enunciamos sem demonstração um teorema de grande utilidade prática Teorema Suponha que n seja um estimador consistente de e que g é uma função contínua no ponto Então g n é um estimador consistente de g Hugo Boff Estatística II 2021 14 Exemplo 12 a Vimos no Exemplo 10a que n 2 1 n i1 n Xi Xn2 é um estimador consistente de 2 em populações normaisEntão em virtude do teorema acima podemos concluir que 1 n i1 n Xi Xn2 é um estimador consistente do desviopadrão Sabemos que Sn2 1 n1 i1 n Xi Xn2 também é um estimador consistente de 2 Então 2Sn22 n 1 é um estimador consistente da sua variância b Vimos no Exemplo 10a que n 1 S é um estimador consistente de em populações Exponenciais Assim como temos EX 1 vem que 1 n 1S S n 1 é um estimador consistente da média populacional Também como VX 1 2 S n 1 2 será um estimador consistente da variância populacional Enunciaremos agora um teorema que garante a convergência em probabilidade dos momentos amostrais de uma variável aleatória Sua aplicação se dará adiante na seção 5 quando trataremos do método dos momentos Teorema Lei fraca dos grandes números Seja Xn uma sequência iid de variáveis aleatórias com Média e variância 2 finita Então a sequência Xn 1 n i1 n Xi converge em probabilidade para Prova Imediata Basta usar a desigualdade de Chebyshev 4 MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO MV e MM Nesta seção apresentaremos dois métodos de estimação usuais em Estatística Paramétrica O método da Máxima Verossimilhança MV e o Método dos Momentos MM Hugo Boff Estatística II 2021 15 O método MV é o método mais importante de uso disseminado em Estatística e Econometria É o que fornece do ponto de vista informacional a melhor justificativa teórica para a estimação além de garantir propriedades assintóticas ótimas para os estimadores obtidos Entretanto sua implementação é às vezes complexa em algumas situações o estimador obtido não é único Em outras ele pode até mesmo não existir em razão de descontinuidades na função de verossimilhança Já o método MM é um método intuitivo de implementação mais simples que produz estimadores consistentes para os parâmetros embora não garanta outras propriedades assintóticas notáveis como a eficiência e a normalidade A Máxima Verossimilhança Este método consiste na escolha dos parâmetros que maximizam a função de verossimilhança da amostra O que é a função de verossimilhança É a densidade da amostra vista como função dos parâmetros a qual será notada L ou seja L Lx1x2xn i1 n fXxi 6 Dizemos que a estatística n TX1X2Xn é o estimador de Máxima Verossimilhança MV de se L n LX1X2Xn Isto significa dada a amostra X1X2Xn L assume o maior valor quando n Por que maximizar L e não outra função Qual a intuição estatística por trás desta escolha Para responder à estas perguntas vamos interpretar o significado de L Considere a probabilidade que a va X esteja em um intervalo de comprimento 0 ao redor do ponto x observado o seja que X x 1 2 x 1 2 Esta probabilidde é Px 1 2 X x 1 2 Ora fXx FXx x 0 lim FXx 1 2 FXx 1 2 de modo que para pequeno fXx FXx 1 2 FXx 1 2 Px 1 2 X x 1 2 Hugo Boff Estatística II 2021 16 Assim temos L i1 n fXxi 1 n Px1 1 2 X x1 1 2 x2 1 2 X x2 1 2 xn 1 2 X xn 1 2 Desta última expressão vemos que a verossimilhança L é um múltiplo da probabilidade que uma amostra aleatória X1X2Xn extraída da população X esteja muito próxima do ponto amostral observado x1x2xn Por isso Lx1x2xn é chamada verossimilhança da amostra Ao maximizar L estamos escolhendo o valor de que torna a amostra mais verossímil possível pois este valor será aquele que maximizará a probabilidade da população gerar efetivamente os dados observados Se for um conjunto compacto fechado e limitado e L for contínua então o estimador MV sempre existe Teorema de Weierstrass Quando a solução n for interior n int a solução é obtida igualandose as derivadas primeiras à 0 e assegurandose que a derivada segunda é negativa no ponto crítico Como a verossimilhança em 6 é um produtório o que torna complexa a derivação costumase maximizar o logaritmo da verossimilhança a qual será notada luma vez que a transformação crescente não altera o argumento do máximo lx1x2xn lnLx1x2xn i1 n lnfXxi 6 Exemplo 13 Estimadores MV da média e variância em populações Normais l2x1x2xn n 2 ln2 n 2 ln2 1 22 n 1S1 2 nXn 2 Neste expressão é imediato que l é maximizada tomandose Xn De todo modo as condições de primeira ordem dão l n 2 Xn 0 Xn l 2 n 22 1 24 n 1S1 2 n 22 1 1 2 n1 n Sn1 2 0 2 n1 n Sn1 2 Hugo Boff Estatística II 2021 17 Estas soluções correspondem à um máximo como mostramos abaixo Ou seja 2 Xn 1n i1 n Xi Xn2 são os estimadores MV de 2 Observe que o estimador da variância é viesado o que mostra que o método da MV não produz necessáriamente estimadores não viesados em amostras finitas Todavia ele é assintóticamente não viesado e consistente como detalharemos adiante A matriz Hessiana H das condições de 2a ordem avaliadas na solução 2 são 2l 2 22 n 2 2l 2 0 2l 2 e 2l 4 22 1 24 Ou seja H n 2 0 0 1 24 a qual é bem definida negativa h11 0 e H 0 garantindo a condição de máximo para a solução O exemplo seguinte ilustra uma situação em que o estimador MV é obtido em uma solução de canto Exemplo 14 Estimador MV do máximo em populações Uniformes No Exemplo 5 vimos que o estimador MVU do máximo em uma população X Unif0 é n 1 n Xn A verossimilhança da amostra é neste caso Lx1x2xn 1 n se xn 0 se xn 7 Esta função é representada abaixo Hugo Boff Estatística II 2021 18 Como se percebe o estimador MV é Xn Isto mostra que o estimador MV não é necessáriamente não viesado de variância mínima Exemplo 15 Estimador MV da média e variância em populações Laplace A va X tem distribuição Laplace com parâmetros e suporte em se sua fdp é fXx 1 2 e 1 x x 8 O gráfico abaixo representa esta densidade para 0 e 1 2 Variância 1 em vermelho linha contínua Em negrito linha tracejada aparece a densidade da normalpadrão N01 para efeitos de comparação 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 02 04 06 X density of X Você poderá verificar que o valor esperado de X é o desvio absoluto médio é EX e a variância EX 2 22 Hugo Boff Estatística II 2021 19 Dada uma amostra de tamanho n extraída da população Laplace também chamada exponencial dupla o logaritmo da verossimilhança é lx1x2xn nln2 nln 1 i1 n xi 9 Condição de Primeira Ordem l 1 i1 n signxi 0 MEDX1X2Xn mediana amostral Isto ocorre porque signx x x 1 se x 0 1 sex 0 e 0 se x 0 Deste modo i1 n signxi 0 quando for igual à mediana do ponto amostral pois neste caso haverá o mesmo número de sinais 1 que de sinais 1 e a assim a derivada se anula Por outro lado l n 1 2 i1 n xi MED 0 1n i1 n xi MED Ou seja o estimador MV de é o desvio absoluto médio com relação à Mediana Assim o estimador MV de é MED 1n i1 n xi MED Duas propriedades importantes dos estimadores MV são dignas de nota Propriedade 1 Se a amostra X1X2Xn admite uma estatística suficiente S e o estimador MV de for único então ele será função de S Prova Pela fatorização de Neyman a densidade da amostra se escreve i1 n fXxi gshx1x2xn Ora vista como função de esta não é outra que a função de verossimilhança definida em 6 Lx1x2xn gshx1x2xn 10 A expressão 10 mostra que se o estimador MV existe e for único ele será função de S Com efeito supondo solução for interior ao tomar o logaritmo de ambos os lados obtemos lx1x2xn i1 n lnfXxi lngs lnhx1x2xn 10 De modo que Hugo Boff Estatística II 2021 20 l lngs 1 gs gs 0 gs 0 n S Propriedade 2 Esta é uma propriedade que exibe a robustez dos estimadores MV Se n é um estimador amostral MV de e se é uma reparametrização do modelo então o estimador MV de é n Obs A propriedade é verdadeira mesmo que a função não seja bijetiva Se a parametrização é bijetiva então 1 Deste modo maxL max L max L1 Como a maximização ocorre quando 1 n basta tomar então n Se a parametrização não for bijetiva para cada defina o conjunto das suas préimagens 1 Como o máximo ocorre em n o qual pertence ao domínio de n só poderá pertencer à uma das préimagens 1 Logo para maximizar L escolhese de modo a que 1 seja justamente a préimagem que contém n Ou seja aquela em que n Exemplo 16 a No Exemplo 15 anterior em virtude da Proposição 2 o estimador MV da variância populacional 22 é 2 2 2 1n i1 n xi MED2 b Na população Exponencial com média 1 do Exemplo 6 se fizermos a reparametrização 1 será fácil constatar que o estimador MV de é a média amostral Xn Então o estimador MV de será 1 Xn confronte este estimador MV com o estimador MVUE obtido no Exemplo 6 c Em uma população Bernoullipa variância é p1 p Na estimação amostral da proporção p será fácil verificar que o estimador MV é a proporção de sucessos na amostra Xn Logo o estimador MV da variância é Xn1 Xn Propriedades assintóticas dos estimadores MV Como mencionamos antes a excelência do método MV se mostra mais claramente em grandes amostras assintóticamente quando as principais propriedades requeridas para um bom estimador são atendidas Com efeito se são atendidas algumas condições de regularidade relacionadas com a existência da função escore e de suas derivadas a teoria estatística mostra que a Hugo Boff Estatística II 2021 21 sequência de estimadores MV n tem as seguintes propriedades assintóticas sendo o o verdadeiro valor de i n n o qc Ou seja o conjunto de pontos nos quais a sequência dos estimadores não converge simplesmente para o tem probabilidade nula de ocorrer ii Assintóticamente não viesados n lim E n iii Consistentes plim n o iv n n o converge em distribuição para uma va Normal com média 0 e variância igual à 1I1o o inverso da quantidade de informação Fisher contida em X1 Isto significa que assintóticamente podemos usar a distribuição normal para fazer inferências sobre pois n NI1n 1 onde I1n 1 é o inverso da quantidade de informação contida na amostra sobre conceito este que vimos no Capítulo IV Ou seja os estimadores MV são assintoticamente eficientes sua variância assintótica alcança o limite inferior de Rao e Cramér n lim ef n 1 B Método dos Momentos Este método consiste em estimar o valor dos parâmetros igualando os momentos populacionais com os momentos amostrais populacionais Se temos 1 único parâmetro no modelo usaremos o primeiro momento a média igualando EX X Se temos 2 parâmetros no modelo usamos os dois primeiros momentos média e variância EX X e VX Sn1 2 e assim sucessivamente Observe que a Lei Fraca dos Grandes Números apresentada ao final da Seção 3 garante também com adaptações a convergência em probabilidade do momento amostral de ordem k 1n i1 n Xi k k 23 para o respectivo momento populacional EXk Em virtude da LFGN fica garantida uma propriedade assintótica importante para os estimadores de momentos MM a consistência Hugo Boff Estatística II 2021 22 Em muitas situações os estimadores MM coincidem com os estimadores MV de modo que as propriedades assintóticas destes últimos serão compartilhadas pelos estimadores MM Exemplo 17 Estimação MM em populações Exponenciais Seja X ExpA Esta é uma população que possui dois parâmetros A e 0 Temos os dois primeiros momentos populacionais EX A 1 VX 1 2 E os dois primeiros momentos amostrais Xn e Sn1 2 não viesado Temos então a resolver o sistema com duas equações e duas incógnitas A 1 Xn e 1 2 Sn1 2 Esta última equação dá 1 Sn1 e a primeira A Xn Sn1 Assim os estimadores MM de A e são A Xn Sn1 e 1 Sn1 Exemplo 18 Estimação MM em populações Uniformes Seja X Unifab Esta população também possui dois parâmetros a b Temos os dois primeiros momentos populacionais EX a b 2 VX b a2 12 Igualando estes momentos aos momentos amostrais respectivos Xn e Sn1 2 teremos a resolver a b 2 Xn e b a2 12 Sn1 2 A primeira equação dá a b 2Xn e a segunda b a 2 3 Sn1Somando à esquerda e direita estas duas equações vem 2b 2Xn 2 3 Sn1 Deste modo os estimadores de momentos são a Xn 3 Sn1 e b Xn 3 Sn1 Estes estimadores são viesados em amostras finitas mas serão consistentes Hugo Boff Estatística II 2021