Análise de Pórticos Planos com Barras Extensíveis - Rotações Deslocamentos e Forças

PÓRTICOS PLANOS COM BARRAS EXTENSÍVEIS PÓRTICOS PLANOS COM BARRAS EXTENSÍVEIS 1 ROTAÇÕES DESLOCAMENTOS FORÇAS E MOMENTOS NAS EXTREMIDADES DAS BARRAS a Em coordenadas globais xy B Em coordenadas locais xy ORIGINaL ORIGiNaL E1 E1 A1 L E1 E1 A1 L ROTAÇÕES E DESLOCAMENTOS FORÇAS E MOMENTOS ROTAÇÕES E DESLOCAMENTOS FORÇAS E MOMENTOS AL INCLINAÇÃO DA BARRA NA CONFIGURAÇÃO ORIGINAL INDEFORMADA OBS θ θ e m m 2 COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE UMA BARRA EM COORDENADAS LOCAIS x y EXPRESSÃO MATRICIAL E1 E1 A1 L MIS MSI VSI MJI HJI VJI MJI MSI VJI MJI VJI HJI MSI FCS KCS DCS F0CS FCS KCS DCS F0CS Reações de engastamento perfeito barra IJ MIJ01 HIJ01 VIJ01 MJI01 HJI01 VJI01 9L212 0 9L2 Pab2L2 0 pabbaL3 bL 0 9L2 0 0 FbL 0 9L212 0 9L2 P a2 bL2 0 0 pababL3 9L 0 8aL 0 Exemplo 24 kNm k4EI EIA A EIA C 36 kN 15m 15m 4m A10E Incógnitas θA μA ϑA μB Barra AB 24 kNm Correspondência entre sistemas de coordenada xx yy μμ ϑϑ HH VV Local Global MaB EIθA 38 ϑA 32 HaB EI52 μB 52 μA VaB EI38 θA 316 ϑA 48 IaB EI52 μB 52 μA Barra AC xy yx uv vu HV VH Local Global MaC EI43 θA 278 ϑA 185 t2 VaC EI103 θA HaCEI23 θA 49 μA 18 Equações de equilíbrio Nó A ΣMA0 MaBMaC0 EI73 θA 23 μA 38 ϑA 322 I ΣFx0 HaB HaC 0 EI23 θA 5316 μA 52 μB 18 II ΣFy0 VaB VaC 0 EI38 θA 16946 ϑA 48 III Nó B ΣFx0 HBa4EI μB EI52 μA 132 μB 0 IV Sistema EI 73 23 38 0 23 5316 0 52 38 0 16946 0 0 52 0 132 θA μA ϑA μB 342 18 48 0 Solução θA μA ϑA μB 934 1224 1263 471 1EI 48 kN 18 kN 185 kNm 471EI Forças nodais equivalentes Deformada BARRA AB θA θA μA μA θB θB μB μB LOCAL MAB EE44θA 6EE4θA 32 1789 kNm MBA EE42θA 6EE4θA 32 4143 kNm HAB 100EE4μB μA 1883 kN HBA 100EE4μB μA 1883 kN VAB 6EE4θA 12EE4θA 48 4211 kN VBA 6EE4θA 12EE4θA 48 5389 kN ESFORÇOS 1789 kNm 24 kNm 4143 kNm 1883 kN A 4211 kN 5389 kN B 1883 kN N kN 4211 θ 5389 V kN 1789 1905 4143 M kNm BARRA AC θK θA μA θA θA μA LOCAL MAC EE34θA 6EE32μA 272 1789 kNm MCA EE32θA 6EE32θA 272 1539 kNm HAC 10EE3θA 4211 kN HTCA 10EE3θA 4211 kN VAC 6EE32θA 12EE32θA 18 1883 kN VCA 6EE32θA 12EE32θA 18 1717 kN ESFORÇOS 4211 kN 1789 kNm A 1883 kN 36 kN 1539 kNm C 4211 kN 1717 kN V kN M kNm 4211 θ 1539 M kN 3 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS x x cos α y sen α y x sen α y cos α α INCLINAÇÃO DA BARRA NA POSIÇÃO INDEFORMADA θI μI vI 1 0 0 0 cos α sen α 0 sen α cos αθI μI vI DI tDI DL DI洛 ttDL俊 t MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO ORTOGONAL tT t1 DI TS TT DI TS F TS TT F TS T t 0 0 t cos α sen α 0 0 0 0 sen α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α sen α 0 0 0 0 sen α cos α 0 0 0 0 0 0 1 T tT 0 0 tT cos α sen α 0 0 0 0 sen α cos α 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos α sen α 0 0 0 0 sen α cos α 0 0 0 0 0 0 1 4 COMPORTAMENTO ELÁSTICO DE UMA BARRA EM COORDENADAS GLOBAIS XY F IJ K D FO IJ LOCAL T F IJ T K T D T F0 IJ F IJ K D F0 IJ GLOBAL K T K T F0 IJ T F0 IJ TRABALHO T12 PARA A BARRA AB DETERMINAR A A MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO T AB SUA TRANSPOSTA T AB B O VETOR DE REAÇÕES DE ENCASTRAMENTO PERPENDICULAR EM COORDENADAS LOCAIS F0 AB C A MATRIZ DE RIGIDEZ EM COORDENADAS LOCAIS K AB D O VETOR DE REAÇÕES DE ENCASTRAMENTO PERPENDICULAR EM COORDENADAS GLOBAIS F0 AB E A MATRIZ DE RIGIDEZ EM COORDENADAS GLOBAIS K AB 5 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO PARA CADA NÓ DEVESE TER Σ MI 0 M IJ M IK M IL M I Σ F xI 0 H IJ H IK HTIL H I Σ F yI 0 V IJ V IK V IL V I M I H I V I CARGAS OU REAÇÕES NO NO I SISTEMA DE EQUAÇÕES KD F SOLUÇÃO D ESFORÇOS NAS BARRAS D D IJ D IJ T IJ D IJ F IJ K IJ D IJ F0 IJ EXEMPLO SIMETRIAS EIA EIA EIA EIA E IT TIRANTE KR12 02²0² 30kN 30kN 10kN 10kN 10kN 10kN 02 02 02 02 03m 03m 02m 02 K12EATLT1240EI0450 KNm Ar 40 I A 400 I 15kN 8kN 6kN 03m 02m 02 BARRA AB α21667 L 05m cosα 06 senα 06 TAB 1 0 0 0 0 0 0 096 0 0 0 0 0 096 096 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 096 06 0 0 0 0 06 096 COORDENADAS LOCAIS kAB EI 8 0 244 0 24 0 800 00 800 0 24 0 9624 0 96 4 0 248 0 24 0 800 00 800 0 24 0 96 24 0 96 AB AB AB AB A B A B AB PAB 80253052 0 0 62 82 0 80253052 0 0 62 05 30 40 05 30 40 COORDENADAS GLOBAIS K TABkABTABT EI 8 144 1924 144 192 546 338144 546 338 349 192 338 349 8 144 192 546 338 349 A B A B MATRIZ DE RIGIDEZ A B K EI 8 144 1924 144 192 A 144 546 338 144 546 338 B 192 338 349 192 338 349 4 144 192 8 144 192 144 546 338 144 546 338 50 338 192 338 349 192 338 349 y f4 mA mA 15 mB 0 vB 05 0 50 05 0 50 mA 05 mA 20 mB 05 0 0 50 SISTEMA SOLUÇÃO 349 338 vA 20 vA 0127EI 338 596 uB 0 uB 00717EI A B 0127EI 00717EI DEFORMADA EJE MPLO 30kN 24kNm 10kNm EIA EIA 18 KNm A B C 06m A10I 06m 20m BARRA AB L2m α 3664 24KNm HBA HBA 18 KNm α cosα 06 senα06 VBA TAB 1 0 0 1 0 0 0 0 06 06 0 0 0 06 06 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 06 06 0 0 0 0 06 06 BARRA BC L2m α 0 KBCKBCEI B C 4 0 6 2 0 6 0 10 0 0 10 0 6 0 12 6 0 12 2 0 6 4 0 6 0 10 0 0 10 0 6 0 12 6 0 12 F0F0 0 0 0 0 0 0 4 36 48 2 36 48 1072 96 36 1072 096 1126 48 996 1126 4 36 48 1072 96 1126 F0T F0AB A1 A B B 3 A1 AB w 2 0 15 0 2 0 15 0 ESFUERZOS DAB 0 0 0127 0 00717 0 A B 1EI DAB TAB D0 0 00760 0101 0 00574 00430 AB A B 1EI FAB K 3D F0 296 119 985 396 179 178 AB A AB AB AB B B B 985kN 119 12kN 296 KNI M 396 kN 179 KN 6KN 178 KN 179 B 119 985 1785 396 050 396 M kN KN M TIRANTE MT E AT ΔLTLT 40EI ΔLTLT MT 717 KN 30KN 375 KNm 30KN 375 KNm 10kNm EIA EIA EIA EIA 10kNm 06m 20m 10m 08m 06m 20m SIMETRIA MATRIZ DE RIGIDEZ DO PÓRTICO K EI A B C 4 36 48 2 36 48 1072 096 36 1072 096 1128 48 96 1128 4 36 48 1072 96 1128 AB K EI SIMÉTRICA A B B C 4 4 36 0 46 6 2 0 6 1072 10 096 0 0 10 0 468 12 0 6 0 12 4 0 6 0 10 0 10 0 12 A B C CA CB CC CA CB CC VETOR DE FORÇAS L NODAIS DO PÓRTICO F 10 HA VA 0 0 30 HC HC VC 2 0 15 2 0 0 0 15 0 0 0 0 12 HA VA 15 2 0 45 HC HC VC CA CB CC SISTEMA EI 4 2 36 48 2 8 36 12 36 36 2072 096 48 12 096 2328 θA θB μB ϑB 12 2 0 45 SOLUÇÃO θA 1059EI θB 303EI μB 112EI ϑB 423EI ESFORÇOS θA μA ϑA ΘB μB ϑB 1059 0 0 303 112 423 1EI DAB T D 1059 0 0 303 164 405 1EI FAB K DAB F0AB 10 2541 1525 1324 742 8175 A B 1324 kNm 742 kN 875 kN 24 kNm 18 kNm 2541 kN 1525 kN 875 063 m 1324 1485 10 M kNm M kN V kN BARRA BC θB μB υB θC μC υC 303 112 423 0 0 0 1EI F bc K D bc Fbc 1325 1119 3255 1931 1119 3255 B C 1325 kNm 1931 kNm 1119 kN 3255 kN 1119 1119 N kN 3255 3255 V kN 1931 1325 M kNm EXEMPLO A10I 06m 10m BARRA AC L190m α1843 Tac 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 K EI A C 211 00 267 105 00 167 527 0 0 527 0 176 167 0 176 211 0 167 527 00 176 K Tt K ac T A C 211 0527 158 105 0527 158 492 205 0527 492 105 211 158 105 211 211 0527 158 442 405 211 K EI A B C 4211 36 054 48 158 2 136 48 105 0527 158 1072 492 096 405 36 1072 096 0527 492 105 A 1128 211 48 096 1128 158 105 211 B 4 4 36 0 46 6 2 0 6 C 1072 10 096 0 0 10 0 0 12 1628 12 6 1 0 12 C A B A x x x C x B A x x F 12 0 VA15 2 0 15 MA HA VA SISTEMA EI 611 413 20 36 48 1564 36 1072 096 20 36 80 30 12 36 1072 36 2072 096 48 096 12 096 2328 θA μA θB μB 12 0 2 0 45 SOLUÇÃO θA 561 EI μA 0821 EI θB 171 EI μB 0108 EI υB 314 EI θA μA 0 θB μB θBAB TAB DAB 1EI 561 0656 0492 1704 180 257 θB μB θB 0 0 0BC TBC DBC 1EI 1705 0108 314 0 0 0 θA μA 0 0 0 0AC TAC DAC 1EI 561 0778 0259 0 0 0 FAB K DAB F0AB 139 2040 2540 1201 240 140 FBC K DBC F0BC 1201 108 2743 1542 108 2743 FAC K DAC F0AC 1139 410 889 548 410 889 3 M KMM A 139 2040 2540 B 1201 1542 548 C A B C M KM A 410 2040 240 B 108 C 410 108 A B C A B C 2540 A 140 B 2743 2743 889 C 139 2040 A 2540 4 1201 240 B 140 B 2743 1542 C 108 C 1139 410 A 548 410 C 889 V KN EXEMPLO 60kN 20kN 251 A 20kN SIMETRIA 08m Ei A EI A EI A E A 08m A40I 06m 10m 10m 06m 30kN 20kN EI A EI A A40I K 1EA208 25EE 10m 06m A B C 30kN 20kN 08m 25EE A40I 10m 06m BARRA AB a0 L1m 4 0 6 2 0 6 0 40 0 0 40 0 K K EI K EI AB AB A A 6 0 12 6 0 12 2 0 6 4 0 6 0 40 0 0 40 0 6 0 12 6 0 12 F0 F0 0 B BARRA BC a5313 cos a 06 sen d 08 K EI 4 0 6 2 0 6 0 40 0 0 40 0 6 0 12 6 0 12 2 0 6 4 0 6 0 40 0 0 40 0 6 0 12 6 0 12 K T K T EI BC BCT BC BC BC BC B C 40 48 36 20 48 36 221 134 48 221 134 299 36 134 299 40 46 36 221 134 299 Fo Fo 0 A 40I BARLA AC α 2656 L 179 m load 0894 send 0447 KAC EI 224 00 168 112 09 168 2236 00 00 2236 00 21 168 00 21 1FO4 104 224 00 168 2236 00 21 K TᵀKACTAC EI 224 084 168 112 084 168 1831 611 084 1831 611 615 168 611 615 1FO4 104 224 084 168 1831 611 615 MATRIZ DE RIGIDEZ K EI A B C A 4224 0083 16 168 2 0 6 112 083 168 40 183 0 611 0 40 0 083 183 611 12 615 6 1 0 12 84 615 B 44 0 48 636 2 46 136 0 40 221 0 1344 48 22 134 12 299 36 1344 299 C 40 224 48 083 36 168 221 1831 1 134 611 299 615 C SISTEMA EI 4315 60 00 12 60 80 48 29 00 48 621 1344 12 24 1344 419 θA θB uB ϑB 30 0 0 20 SOLUÇÃO θA 101 EI θB 065 EI uB 0224 EI ϑB 980 EI DEFORMADA Esforços fF 005 894 140 135 894 140 A B fF 135 2024 410 265 202 40 BC B C fF 169 101 189 169 101 189 AC A1 C 005 A 136 B 135 169 C 169 M KNm A 84 B 894 102 101 202 M KN COLUNA ΔLcol yA 101Fc Ncol EA ΔLcol Lcol Mcol 504 kN