Apostila de Análise Combinatória e Probabilidade para TSI - IFES Serra

1 Curso Superior de Tecnologia em Sistemas para Internet TSI Disciplina de Fundamentos de Matemática para Tecnologia da Informação Professor Paulo Cezar Camargo Guedes Apostila 4 Análise Combinatória e Probabilidade Serra 2022 2 Apostila de Análise Combinatória e Probabilidade Elaborada pelo professor Paulo Cezar Camargo Guedes 1 Fatorial de um número O fatorial de um número 𝑛 ℕ é definido pelo produto dos 𝑛 fatores decrescentes de 𝑛 até 1 E o símbolo usado para esta operação é 𝑛 Exemplos 1 6 6 5 4 3 2 1 720 2 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3628800 3 𝑛 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 4 3 2 1 4 𝑛 2 𝑛 2 𝑛 1 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 4 3 2 1 5 12 8 121110987654321 87654321 12 11 10 8 11880 6 109 8 109898 8 81099 8 10 9 9 99 11 Exercícios Propostos 1 8 6 2 87 6 3 𝑛1 𝑛1 4 Resolva a equação 𝑛 1 120 5 Resolva a equação 𝑛1 𝑛1 6 Respostas 1 56 2 63 3 𝑛2 𝑛 4 𝑛 4 5 𝑛 2 2 Princípio Fundamental da Contagem PFC Se um evento pode ser realizado por meio de várias etapas sucessivas e independentes o número de formas diferentes de ocorrer este evento é dado pelo produto das possibilidades que cada etapa tem de ocorrer Ou seja se um evento possui as etapas E1 E2 E3 En e cada etapa possui respectivamente x1 x2 x3 xn formas de ocorrer então o número de possibilidades desse evento ocorrer é dado por x1 x2 x3 xn Vamos trabalhar este assunto através de alguns exemplos para facilitar a compreensão 3 Exemplos 1 A cantina do Ifes tem em seu cardápio 3 tipos de sanduíches S1 S2 S3 e 4 tipos de bebidas B1 B2 B3 B4 Um aluno que queira fazer um lanche comendo um sanduíche e tomando uma bebida tem quantas possibilidades de escolha Resolução A escolha do lanche pode ser considerada uma ação com duas etapas 1ª escolha da bebida temos 4 opções 2ª escolha do sanduíche temos 3 opções Observamos que existem 12 possibilidades e este número pode ser calculado fazendo uso do princípio fundamental da contagem PFC 4 3 12 Podemos também resolver esta situação usando a árvore de possibilidades que é uma figura onde listamos cada escolha em sequência através de uma ramificação O problema dessa forma é quando são muitas opções de escolha o que dificulta o seu uso Vamos montar a árvore de possibilidades Bebida Sanduíche Lanche S1 B1 S1 B1 S2 B1 S2 S3 B1 S3 S1 B2 S1 B2 S2 B2 S2 S3 B2 S3 S1 B3 S1 B3 S2 B3 S2 S3 B3 S3 S1 B4 S1 B4 S2 B4 S2 S3 B4 S3 2 Quatro estradas ligam a cidade A à cidade B e duas estradas ligam a cidade B à cidade C Uma pessoa que queira ir da cidade A até a cidade C passando pela cidade B tem quantas possibilidades de escolha Resolução Pelo PFC temos 4 x 2 8 caminhos diferentes possíveis Pela árvore de possibilidades temos a figura abaixo que mostra os 8 caminhos possíveis Caminhos possíveis x1 y1 x1 y2 x2 y1 x2 y2 x3 y1 x3 y2 x4 y1 e x4 y2 Observação Nem sempre é aconselhável fazer a árvore de possibilidades principalmente quando a quantidade de possibilidades é alta o que levaria a uma figura muito grande A B C x1 x2 x3 x4 y1 y2 4 3 Uma moeda é lançada 3 vezes Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa Resolução Indiquemos pela letra K o resultado cara e pela letra C o resultado coroa Queremos o número de triplas ordenadas a b c em que a K C b K C e c K C Logo o resultado procurado é 2 2 2 8 As sequências podem ser obtidas através de um diagrama de árvore 4 Uma pessoa lança uma moeda sucessivamente até que ocorram duas caras consecutivas ou quatro lançamentos sejam feitos o que primeiro ocorrer Quais as sequências de resultados possíveis Resolução Indicando pela letra K o resultado cara e pela letra C o resultado coroa podemos montar a árvore de possibilidades abaixo E podemos notar que os resultados possíveis são K K K C K K K C K C K C C K K C C C C K K C K C K C K C C C C K K C C K C C C C K C C C C e o número de sequências é 12 5 Júlio esqueceu a senha do cadeado do seu armário mas lembrava que era composta por 3 algarismos distintos Quantas são as possíveis senhas que o Júlio poderia ter escolhido Resolução 5 Neste caso temos que escolher um algarismo para a posição das centenas que pode ser de 0 a 9 10 opções outro algarismo diferente do anterior para a posição das dezenas 9 opções e por último um algarismo diferente dos anteriores para a posição das unidades 8 opções Logo pelo PFC temos 10 x 9 x 8 720 senhas possíveis 6 Se na questão anterior tivéssemos a informação adicional de que a senha escrita era um número par Quantas seriam as possibilidades para a escolha dessa senha Resolução Neste caso temos que começar escolhendo o algarismo par para a posição das unidades que pode ser de 0 2 4 6 ou 8 5 opções depois o algarismo para a posição das centenas 9 opções diferente do anterior e por último um algarismo diferente dos anteriores para a posição das dezenas 8 opções Logo pelo PFC temos 5 x 9 x 8 360 senhas possíveis Observação Como neste caso a senha é par ou ímpar e pode começar com zero 0 temos que metade delas são pares e a outra metade são ímpares 7 Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 0 a 9 Resolução Neste caso temos que começar escolhendo o algarismo par para a posição das unidades que pode ser de 0 2 4 6 ou 8 5 opções Se for escolhido o zero 0 depois temos que escolher o algarismo para a posição das unidades de milhar que tem que ser diferente do algarismo das unidades logo temos 9 opções Mas se o algarismo das unidades for diferente de zero 0 o algarismo das unidades de milhar deverá ser diferente dele e também diferente de zero 0 pois um número não pode começar com zero 0 o que nos dá um total de apenas 8 opções Em seguida escolhemos o algarismo das centenas diferente dos já escolhidos para as duas posições anteriores logo temos 8 opções e por último um algarismo diferente dos anteriores para a posição das dezenas 7 opções Logo pelo PFC temos que fazer as duas possibilidades de cálculo 1 x 9 x 8 x 7 9 x 8 x 8 x 7 504 4032 4536 senhas possíveis 8 Uma bandeira possui 7 listras verticais que devem ser pintadas cada uma com uma cor diferente das adjacentes ou seja não podemos ter 2 listras em sequência com a mesma cor Se temos 4 cores à disposição para fazer isto de quantas formas a bandeira poderá ser pintada Resolução Vamos supor que as 4 cores sejam Azul Amarelo Verde e Vermelho Abaixo são dadas duas formas de se pintar esta bandeira 1ª Listra 2ª Listra 3ª Listra 4ª Listra 5ª Listra 6ª Listra 7ª Listra 1ª Bandeira Azul Amarelo Verde Vermelho Azul Amarelo Verde 2ª Bandeira Azul Amarelo Azul Amarelo Azul Amarelo Azul 6 Observe que como são menos cores do que listras deveremos repetir alguma cor e podemos usar de 2 a 4 cores diferentes para pintar as bandeiras Desta forma se usarmos a cor azul na primeira listra a segunda só poderá ser amarela verde ou vermelha 3 opções Se escolhermos a cor amarela para a segunda listra a próxima poderá ser azul verde ou vermelha de novo 3 opções E seguindo esta lógica temos pelo PFC que o total de possibilidades é 4 3 3 3 3 3 3 4 36 4 729 2916 9 Quantos números de 4 algarismos distintos maiores do que 4325 podemos formar com os algarismos de 0 a 9 Resolução Vamos supor o número da forma abcd onde a b c e d são os algarismos do número Começando pelo algarismo a que precisa ser maior ou igual a 4 temos que separar em dois casos I a 4 a 5 6 7 8 9 neste caso qualquer número formado será maior do que 4325 logo como os algarismos precisam ser distintos o b tem 9 opções de escolha o c tem 8 opções e o d tem 7 opções O que nos dá um total de 5 x 9 x 8 x 7 2520 números II a 4 o próximo algarismo precisa ser maior ou igual a 3 De novo precisamos separar em dois casos II1 a 4 e b 3 b 5 6 7 8 9 neste caso qualquer número formado será maior do que 4325 logo como os algarismos precisam ser distintos o c tem 8 opções e o d tem 7 opções O que nos dá um total de 1 x 5 x 8 x 7 280 números II2 a 4 e b 3 o próximo algarismo precisa ser maior ou igual a 2 De novo precisamos separar em dois casos II21 a 4 b 3 e c 2 c 5 6 7 8 9 neste caso qualquer número formado será maior do que 4325 logo como os algarismos precisam ser distintos o d tem 7 opções O que nos dá um total de 1 x 1 x 5 x 7 35 números II22 a 4 b 3 e c 2 neste caso o d precisa ser maior do que 5 logo temos 4 opções O que nos dá um total de 1 x 1 x 1 x 4 4 números Portanto temos um total de 2520 280 35 4 2839 números possíveis 21 Atividades Propostas 1 Uma prova é composta de 8 questões do tipo verdadeiro V ou falso F De quantas maneiras distintas podem ser respondidas todas as questões dessa prova 2 A seleção brasileira de futebol irá disputar um torneio internacional com outras cinco seleções no sistema todos jogam contra todos uma única vez Quantas são as possíveis sequências de resultados vitória V empate E e derrota D da equipe brasileira nesse torneio 3 Considerando os algarismos 0 1 2 3 4 5 e 6 responda a Quantos números de três algarismos podemos formar b Quantos números ímpares de três algarismos distintos podemos formar 7 4 Responda a Quantos números de cinco algarismos existem b Quantos números ímpares de cinco algarismos existem c Quantos números de cinco algarismos são maiores que 71265 d Quantos números de cinco algarismos distintos começam por 7 5 Em uma festa há 32 rapazes e 40 moças 80 do número de moças e 3 8 do número de rapazes sabem dançar Quantos pares podem ser formados por um rapaz e uma moça de modo que a ninguém saiba dançar b apenas uma pessoa do par saiba dançar 6 Obmep Manuela quer pintar as quatro paredes de seu quarto usando as cores azul rosa verde e branco cada parede de uma cor diferente Ela não quer que as paredes azul e rosa fiquem de frente uma para a outra De quantas maneiras diferentes ela pode pintar seu quarto a 8 b 16 c 18 d 20 e 24 7 Num banco de automóvel o assento pode ocupar 6 posições diferentes e o encosto 5 posições independentemente da posição do assento Combinando assento e encosto quantas posições diferentes esse banco pode assumir 8 Um automóvel é oferecido pelo fabricante em 7 cores diferentes podendo o comprador optar entre os motores 2000 cc e 4000 cc Sabendose que os automóveis são fabricados nas versões standard luxo e superluxo quantas são as alternativas do comprador 9 De quantas maneiras diferentes um professor poderá escolher um ou mais estudantes de um grupo de 6 estudantes 10 Existem apenas dois modos de atingir uma cidade X partindo de uma outra cidade A Um deles é ir até uma cidade intermediária B e de lá atingir X o outro é ir até C e de lá chegar a X Veja esquema abaixo Existem 10 estradas ligando A e B 12 ligando B e X 5 ligando A e C 8 ligando C e X nenhuma ligação direta entre B e C e nenhuma ligação direta entre A e X Qual o número de percursos diferentes que podem ser feitos para partindo de A atingir X pela primeira vez 8 Respostas 1 256 2 243 3 a 294 b 75 4 a 90000 b 45000 c 28734 d 3024 5 a 160 b 736 6 16 7 30 8 42 9 63 10 160 3 Arranjos simples Dado um conjunto com n elementos distintos chamase Arranjo Simples desses n elementos tomados k a k com k n qualquer agrupamento ordenado de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos possíveis do conjunto E sua representação é Ank Partindo da ideia do PFC temos que O 1º elemento pode ser escolhido de n formas diferentes O 2º elemento pode ser escolhido de n 1 formas diferentes pois não podemos repetir o elemento escolhido para a 1ª posição O 3º elemento pode ser escolhido de n 2 formas diferentes pois não podemos repetir os elementos escolhidos para a 1ª e a 2ª posição Para escolher o último elemento ou seja o késimo elemento a partir das k 1 escolhas anteriores temos n k 1 n k 1 formas diferentes de fazer esta escolha Portanto usando o PFC obtemos que 𝐴𝑛𝑘 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 𝑘 1 Multiplicando e dividindo esta equação por 𝑛 𝑘 𝑛 𝑘 1 3 2 1 𝑛 𝑘 encontramos 𝐴𝑛𝑘 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 𝑛 𝑘 1 𝑛 𝑘 𝑛 𝑘 1 3 2 1 𝑛 𝑘 𝑛 𝑘 1 3 2 1 𝐴𝑛𝑘 𝑛 𝑛 𝑘 Exemplos 1 De um baralho de 52 cartas 3 cartas são retiradas sucessivamente e sem reposição Quantas sequências de cartas é possível obter Resolução Notemos que cada resultado é uma tripla ordenada de cartas x y z em que x é a 1ª carta extraída y a 2ª e z a 3ª Observemos que x y z são todas distintas visto que a extração é feita sem reposição Logo o número que queremos é 9 𝐴523 52 52 3 52 49 52 51 50 132600 2 Em um torneio de futebol de dois turnos do qual participam seis times quantos jogos são disputados Resolução 𝐴62 6 6 2 6 4 6 5 30 3 De quantas maneiras um técnico de futebol pode formar um quadro de 11 jogadores escolhidos entre 22 dos quais 3 são goleiros e só o goleiro tem posição fixa Resolução Pelo texto temos que o goleiro deverá ser escolhido entre 3 opções 𝐴31 3 e as outras 10 posições devem ser escolhidas entre os 19 jogadores restantes ou seja 𝐴1910 Portanto a escolha pode ser feita de 3 𝐴1910 formas diferentes 4 Em um campeonato de futebol participam 20 times Quantos resultados são possíveis para os três primeiros lugares Resolução 𝐴203 20 20 3 20 17 20 19 18 6840 5 Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras cada listra com uma cor De quantas formas isso pode ser feito Resolução 𝐴85 8 8 5 8 3 8 7 6 5 4 6720 6 Uma Iinha ferroviária tem 16 estações Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos se cada tipo deve assinalar a estação de partida e de chegada respectivamente Resolução 𝐴162 16 16 2 16 14 16 15 240 7 Existem 10 cadeiras numeradas de 1 a 10 De quantas formas duas pessoas podem se sentar devendo haver ao menos uma cadeira entre elas Resolução Inicialmente notemos que cada maneira de elas se sentarem corresponde a um par ordenado de números distintos escolhidos entre 1 2 10 𝐴102 10 10 2 10 8 10 9 90 Agora temos que excluir os pares ordenados cujos elementos sejam números consecutivos São eles 1 2 2 3 3 4 9 10 9 pares 10 2 1 3 2 4 3 10 9 9 pares Ao todo devemos excluir 9 9 18 pares Logo o número de maneiras de as pessoas se sentarem havendo ao menos uma cadeira entre elas é 90 18 72 31 Atividades Propostas 1 Usando os algarismos 2 3 5 7 e 9 quantos números naturais de 3 algarismos distintos podemos formar 2 Um clube tem 30 membros A diretoria é formada por um presidente um vicepresidente um secretário e um tesoureiro Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos de quantas maneiras é possível formar uma diretoria 3 Considere os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 a Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever b Quantos números de 4 algarismos distintos que terminem com 7 podemos escrever c Quantos números de 7 algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever d Quantos números de 7 algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 sempre juntos e nessa ordem 4 De quantas maneiras podemos escolher uma pivô e uma ala em um grupo de 12 jogadoras de basquete 5 Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região Sudeste do Brasil São Paulo Rio de Janeiro Minas Gerais e Espírito Santo cada um de uma cor 6 Com os algarismos 1 2 3 4 5 e 6 quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar 7 Quantos números ímpares de 4 algarismos não repetidos podemos escrever com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 8 Quantas frações diferentes e não iguais a 1 podemos escrever usando os números 2 3 5 7 11 e 13 11 9 Uma urna I contém 5 bolas numeradas de 1 a 5 Outra urna II contém 3 bolas numeradas de 1 a 3 Qual o número de sequências numéricas que podemos obter se extrairmos sem reposição 3 bolas da urna I e em seguida 2 bolas da urna II 10 Quantos números pares de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1 3 6 7 8 9 Respostas 1 60 2 657720 3 a 504 b 336 c 2520 d 15120 4 132 5 360 6 80 7 1680 8 30 9 360 10 40 4 Arranjo com repetição Seja o conjunto A a1 a2 am e indiquemos por ARm r o número de arranjos com repetição de m elementos tomados r a r Cada arranjo com repetição é uma sequência de r elementos em que cada elemento pertence ao conjunto A 𝐴𝑅𝑚𝑟 𝑚 𝑚 𝑚 𝑚 𝑟 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑚𝑟 Exemplos 1 Quantos números de 4 algarismos podemos escrever com os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 Resolução Como podemos repetir os algarismos cada posição do número poderá ser ocupada por um dos 8 algarismos disponíveis logo 𝐴𝑅84 84 4096 12 2 Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 01 2 3 4 5 6 Resolução Como podemos repetir os algarismos cada posição do número poderá ser ocupada por um dos 7 algarismos disponíveis exceto a primeira posição que precisa ser diferente de zero 0 ou seja a 1ª posição tem apenas 6 opções Portanto 6 𝐴𝑅72 6 72 294 3 Quantas senhas de 5 algarismos podemos escrever com os algarismos 01 2 3 4 5 6 Resolução Como podemos repetir os algarismos cada posição da senha poderá ser ocupada por um dos 7 algarismos disponíveis Portanto 𝐴𝑅75 75 16807 5 Permutação simples Dado um conjunto com n elementos distintos chamase Permutação Simples desses n elementos qualquer agrupamento ordenado desses n elementos distintos E sua representação é Pn Partindo da ideia do PFC temos que O 1º elemento pode ser escolhido de n formas diferentes O 2º elemento pode ser escolhido de n 1 formas diferentes pois não podemos repetir o elemento escolhido para a 1ª posição O 3º elemento pode ser escolhido de n 2 formas diferentes pois não podemos repetir os elementos escolhidos para a 1ª e a 2ª posição Para escolher o último elemento ou seja o nésimo elemento temos apenas uma opção visto que já usamos os n 1 elementos nas posições anteriores Dessa forma usando o PFC obtemos que 𝑃𝑛 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 3 2 1 𝑃𝑛 𝑛 Exemplos 1 Quantos são os anagramas da palavra ANEL Resolução Anagramas são palavras formadas com diferentes disposições das letras dadas Exemplo ROMA e AMOR Ou seja basta permutar as letras da palavra para se obter um anagrama Assim no caso de ANEL temos 𝑃4 4 24 anagramas possíveis 13 2 Calcule quantos são os anagramas a da palavra PERDÃO b da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam em O c da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem ÃO d da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos e da palavra PERDÃO em que as letras PER aparecem juntas em qualquer ordem Resolução a 𝑃6 6 720 b Como já fixamos duas letras só podemos alterar a posição das outras 4 Logo 𝑃4 4 24 c Neste caso as letras ÃO formam um único elemento e são contados como uma única letra O que nos dá um total de 𝑃5 5 120 d Agora podemos permutar a posição dos extremos P O ou O P e a posição das letras restantes logo temos 𝑃2 𝑃4 2 4 2 24 48 e Neste caso temos a permutação das letras PER e também a permutação das outras letras mais este grupo PER que será contado como mais uma letra pois ele pode aparecer junto em qualquer posição do anagrama ou seja temos 𝑃3 𝑃4 3 4 6 24 144 3 Colocando todos os anagramas da palavra ÂNGULO listados em ordem alfabética como em um dicionário em que posição da lista estará a palavra ÂNGULO Resolução Podemos observar que a palavra ÂNGULO possui 𝑃6 6 720 anagramas e que ao se colocar em ordem alfabética estes 720 anagramas teremos a palavra ÂGLNOU na 1ª posição e a palavra UONLG na última posição 720ª Vamos contar quantos anagramas podem ser inscritos antes de ÂNGULO para determinar a sua posição  G 𝑃4 4 24  L 𝑃4 4 24  N G L 𝑃2 2 2  N G O 𝑃2 2 2  N G U L O 𝑃1 1 1 Portanto temos 24 24 2 2 1 53 anagramas e a posição ocupada é 53ª 4 Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 1 2 4 6 8 que lugar ocupa o número 68412 Resolução Esse número é precedido pelos números da forma 14 I 1 que são em número de P4 4 24 II 2 que são em número de P4 4 24 III 4 que são em número de P4 4 24 IV 6 1 que são em número de P3 3 6 V 6 2 que são em número de P3 3 6 VI 6 4 que são em número de P3 3 6 VII 6 8 1 que são em número de P2 2 2 VIII 6 8 2 que são em número de P2 2 2 De I II VIII concluímos que 68412 é precedido por um total de 24 24 24 6 6 6 2 2 94 números Portanto a posição de 68412 é a 95ª 5 De quantas formas podemos dispor em fila indiana 5 pessoas Resolução 𝑃5 5 120 6 Oito pessoas entre elas Antônio e Pedro vão posar para uma fotografia De quantas maneiras elas podem ser dispostas se Antônio e Pedro recusamse a ficar lado a lado Resolução Neste caso vamos calcular o total de possibilidades de tirarmos a foto sem se preocupar com a restrição apresentada e depois calcular o número de possibilidades com os dois Antônio e Pedro juntos lado a lado O que nós queremos é exatamente a diferença entre esses dois valores Total de possibilidades 𝑃8 8 40320 Com os dois juntos 𝑃2 𝑃7 2 7 2 5040 10080 Com os dois separados 40320 10080 30240 51 Atividades Propostas 1 Com relação à palavra TEORIA a Quantos anagramas existem b Quantos anagramas começam por T c Quantos anagramas começam por T e terminam com A d Quantos anagramas começam por vogal e Quantos anagramas têm as vogais juntas 15 2 Quantas palavras distintas podemos formar com a palavra PERNAMBUCO Quantas começam com a sílaba PER 3 Dez pessoas entre elas Antônio e Beatriz devem ficar em fila De quantas formas isso pode ser feito se Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos 4 Formados e dispostos em ordem crescente os números que se obtêm permutando os algarismos 2 3 4 8 e 9 que lugar ocupa o número 43892 5 Calcule o número de anagramas da palavra REPÚBLICA nos quais as vogais se mantêm nas respectivas posições 6 De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se a os homens devem ficar juntos b os homens devem ficar juntos e as mulheres também 7 Temos 5 meninos e 5 meninas De quantas formas eles podem ficar em fila se meninos e meninas ficam em posições alternadas 8 De quantas maneiras três casais podem ocupar 6 cadeiras dispostas em fila de tal forma que as duas das extremidades sejam ocupadas por homens 9 De quantas formas 6 pessoas podem se sentar numa fileira de 6 cadeiras se duas delas Geraldo e Francisco se recusam a sentar um ao lado do outro 10 Colocando todos os anagramas da palavra AMIGO listados em ordem alfabética como em um dicionário qual será a a 1ª palavra b 2ª palavra c 25ª palavra d penúltima palavra e 55ª palavra 16 Respostas 1 a 720 b 120 c 24 d 480 e 144 2 10 e 7 3 2 9 4 58ª 5 120 6 a 17280 b 5760 7 28880 8 144 9 480 10 a AGIMO b AGIOM c GAIMO d OMIAG e IGAMO 6 Combinação simples Dado n elementos distintos chamase Combinação Simples desses n elementos tomados k a k com k n qualquer agrupamento de k elementos distintos escolhidos entre os n elementos possíveis do conjunto E sua representação é Cnk Observe que neste tipo de agrupamento a ordem dos elementos não importa Vamos demonstrar este tipo de agrupamento com os seguintes exemplos 1º Vamos supor que temos quatro elementos distintos A B C e D e queremos formar senhas de três letras distintas Desta forma podemos escrever as seguintes senhas ABC ABD ACD BCD ACB ADB ADC BDC BAC BAD CAD CBD BCA BDA CDA CDB CAB DAB DAC DBC CBA DBA DCA DCB Logo por arranjos simples temos 𝐴43 4 43 4321 1 24 Agora vamos supor que com estes mesmos elementos queremos montar conjuntos de 3 elementos distintos Observe que as únicas possibilidades são ABC ABD ACD e BCD Desta forma observamos que das 24 possibilidades obtidas no arranjo simples apenas 4 formam grupos distintos Veja a tabela abaixo onde está pintado cada subconjunto de uma mesma cor pois a ordem dos elementos não importa 17 ABC ABD ACD BCD ACB ADB ADC BDC BAC BAD CAD CBD BCA BDA CDA CDB CAB DAB DAC DBC CBA DBA DCA DCB Assim podemos calcular o número de combinações simples de n elementos tomados k a k da seguinte forma 𝐶𝑛𝑘 𝐴𝑛𝑘 𝑃𝑘 𝐶𝑛𝑘 𝑛 𝑛 𝑘 𝑘 Exemplos 1 Desejase formar uma comissão de três membros e dispõese de dez funcionários Quantas comissões podem ser formadas Resolução Observem que a ordem em que os funcionários são escolhidos não muda a comissão logo é um caso de combinação simples de 10 elementos tomados 3 a 3 𝐶103 10 10 3 3 10 9 8 7 7 3 2 1 120 2 Temos 7 cadeiras numeradas de 1 a 7 e desejamos escolher 4 lugares entre os existentes De quantas formas isso pode ser feito Resolução Observem que a ordem em que os lugares são escolhidos não muda a disposição logo é um caso de combinação simples de 7 elementos tomados 4 a 4 𝐶74 7 7 4 4 7 6 5 4 3 3 4 3 2 1 35 3 Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10 De quantas formas ele poderá escolher as 10 questões Resolução Observem que a ordem em que as questões são escolhidas não muda a composição da prova logo é um caso de combinação simples de 15 elementos tomados 10 a 10 18 𝐶1510 15 15 10 10 15 14 13 12 11 10 5 4 3 2 1 10 3003 4 Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidos entre 2 3 5 7 e 11 Resolução Observem que a ordem em que os fatores são escolhidos não muda o produto logo é um caso de combinação simples de 5 elementos tomados 3 a 3 𝐶53 5 5 3 3 5 4 3 2 1 3 10 5 Um grupo consta de 20 pessoas das quais 5 matemáticos De quantas formas podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que a nenhum membro seja matemático b todos os matemáticos participem da comissão c haja exatamente um matemático na comissão d pelo menos um membro da comissão seja matemático Resolução De acordo com o texto temos 5 Matemáticos e 15 nãoMatemáticos logo a 𝐶1510 15 151010 151413121110 5432110 3003 b Neste caso já temos 5 pessoas escolhidas e faltam ser escolhidas mais 10 pessoas logo 𝐶155 15 1555 151413121110 1054321 3003 c 𝐶51 𝐶159 5 511 15 1599 5 1514131211109 6543219 25025 d Neste caso devemos calcular o total de comissões e tirar a quantidade de comissões sem nenhum Matemático logo 𝐶2010 𝐶155 20 20 10 10 15 15 5 5 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3003 369512 3003 366509 6 De um grupo de 10 pessoas desejase formar uma comissão com 5 membros De quantas formas isso pode ser feito se duas pessoas A e B ou fazem parte da comissão ou não Resolução Com a participação de A e B já foram escolhidas 2 pessoas e ainda sobram 8 possíveis para 3 vagas logo 19 𝐶83 8 8 3 3 8 7 6 5 5 3 2 1 56 Sem a participação de A e B temos 8 pessoas possíveis para escolhermos 5 pessoas logo 𝐶85 8 8 5 5 8 7 6 5 3 2 1 5 56 Portanto temos 56 56 112 possibilidades de escolha 7 Uma organização dispõe de 10 economistas e 6 administradores Quantas comissões de 6 pessoas podem ser formadas de modo que cada comissão tenha no mínimo 3 administradores Resolução Neste caso podemos formar comissões com 3 4 5 ou 6 administradores e 3 2 1 ou 0 economistas respectivamente o que nos dá 𝐶63 𝐶103 6 6 3 3 10 10 3 3 6 5 4 3 3 3 2 1 10 9 8 7 7 3 2 1 20 120 2400 𝐶64 𝐶102 6 6 4 4 10 10 2 2 6 5 4 2 1 4 10 9 8 8 2 1 15 45 675 𝐶65 𝐶101 6 6 5 5 10 10 1 1 6 5 1 5 10 9 9 1 6 10 60 𝐶66 𝐶100 6 6 6 6 10 10 0 0 1 1 1 Portanto o total de comissões com no mínimo 3 administradores é igual a 2400 675 60 1 3136 61 Atividades Propostas 1 Em um plano marcamos 6 pontos distintos dos quais 3 nunca estão em linha reta a Quantos segmentos de reta podemos traçar ligandoos 2 a 2 b Quantos triângulos podemos formar tendo sempre 3 deles como vértices 2 No primeiro dia de aula de Matemática do 2o ano 30 alunos estavam presentes na sala de aula Para se conhecerem melhor o professor sugeriu que cada aluno cumprimentasse o outro com um aperto de mão e uma breve apresentação Qual foi o total de apertos de mão 3 De quantas maneiras diferentes um técnico pode escalar seu time de basquete tendo à sua disposição 12 atletas que jogam em qualquer posição 20 4 O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos Candidataramse 5 professores e 30 alunos De quantas maneiras diferentes esse conselho pode ser eleito 5 Temos 10 homens e 10 mulheres Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres 6 Um químico possui 10 dez tipos de substâncias De quantos modos possíveis poderá associar 6 seis dessas substâncias se entre as dez duas somente não podem ser juntadas porque produzem mistura explosiva 7 Numa classe de 10 estudantes um grupo de 4 será selecionado para uma excursão De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se dois dos dez são marido e mulher e só irão juntos 8 De quantas maneiras podemos colocar 10 bolas em 3 urnas de modo que fiquem 2 bolas na primeira urna 3 bolas na segunda urna e 5 bolas na terceira 9 Uma classe tem 24 alunos sendo 10 meninas e 14 meninos De quantos modos podemos escolher a 3 meninos e 2 meninas b 5 alunos quaisquer c 1 menino e 1 menina 10 Em um grupo de 10 pessoas estão Anderson e Eduardo Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar a em que ambos estejam presentes b em que nenhum deles esteja presente c em que apenas um deles esteja presente Respostas 1 a 15 b 20 2 435 3 792 4 40600 5 5040 6 140 21 7 98 8 2520 9 a 16380 b 42504 c 140 10 a 56 b 56 c 140 7 Permutação com elementos repetidos Sejam dados n elementos dos quais n1 deles são iguais a a1 n2 deles são iguais a a2 n3 deles são iguais a a3 até nr deles são iguais a ar com n1 n2 n3 nr n O número de permutações desses n elementos será dado por 𝑃𝑛 𝑛1𝑛2𝑛3𝑛𝑟 𝑛 𝑛1 𝑛2 𝑛3 𝑛𝑟 Exemplos 1 Em relação à palavra PAPA a quantos são os anagramas b quais são os anagramas Resolução a Como a palavra PAPA tem 4 letras duas a duas iguais temos 𝑃4 22 4 2 2 4 3 2 2 1 2 6 b AAPP APAP APPA PAAP PAPA PPAA 2 Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra ESTATÍSTICA quanto tempo levará para escrever todos se não deve parar nenhum instante para descansar Resolução Como a palavra ESTATÍSTICA possui 11 letras com 3 letras T 2 letras S 2 letras I e 2 letras A temos que o total de anagramas são 𝑃11 322 11 3 2 2 11 10 9 8 7 6 5 4 3 3 2 1 2 1 1663200 Logo gastará 1663200 minutos ou 27720 horas ou 1155 dias ou 38 meses e 15 dias ou 3 anos 2 meses e 15 dias 3 Uma moeda é lançada 20 vezes Quantas sequências de caras e coroas existem com 10 caras e 10 coroas Resolução 22 𝑃20 1010 20 10 10 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 184756 4 Quantos números de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma só vez os algarismos 3 4 5 e quatro vezes o algarismo 9 Resolução 𝑃7 4 7 4 7 6 5 4 4 210 5 Um projeto piloto desenvolvido em um curso de Engenharia Mecânica prevê a construção do robô Eddie cujos movimentos estão limitados apenas a andar para frente F e para a direita D Suponha que Eddie está na posição A e desejase que ele se desloque até chegar à posição B valendose dos movimentos que lhe são permitidos Admita que cada movimento feito por Eddie o leve a uma posição consecutiva conforme ilustra um esquema a seguir em que foram realizados 10 movimentos as posições possíveis estão marcadas por pontos e o percurso executado de A até B é representado pela sequência ordenada de movimentos D F D D F F D F F D Com base nas informações acima calcule o número de maneiras possíveis de Eddie se deslocar de A até B a passando pelo ponto C b sem passar pelo ponto C Resolução a Neste caso precisamos dividir o trajeto em duas etapas de A até C e de C até B e calcular o produto dos dois trajetos Assim para ir de A até C temos que percorrer 4 D e 2 F que nos dá 𝑃6 24 6 2 4 6 5 4 2 1 4 15 Para ir de C até B temos que percorrer 1 D e 3 F que nos dá 𝑃4 3 4 3 4 3 3 4 Portanto temos 15 4 60 caminhos diferentes para irmos de A até B passando por C b Neste caso vamos calcular o total de caminhos e tirar os caminhos que passam por C 23 Total de caminhos de A até B 𝑃10 55 10 5 5 10 9 8 7 6 5 5 4 3 2 1 5 252 Logo o número de caminhos de A até B sem passar por C é dado por 𝑃10 55 𝑃6 24 𝑃4 3 252 60 192 71 Exercícios Propostos 1 Determine quantos são os anagramas das palavras a MISSISSIPPI b ARARAQUARA c ABÓBORA d BISCOITO e ARARAQUARA que começam e terminam com A 2 Um homem encontrase na origem de um sistema cartesiano ortogonal Ele só pode dar um passo de cada vez para norte N ou para leste L Quantas trajetórias caminhos existem da origem ao ponto P7 5 3 Uma prova tem 10 questões do tipo teste cada uma valendo 1 ponto se estiver certa ou 0 ponto se estiver errada não há meio certo nas questões De quantos modos é possível tirar nota 7 nessa prova 4 Um casal pretende ter 4 filhos sendo 2 meninas e 2 meninos em qualquer ordem de nascimento Quantas são as ordens possíveis em que podem ocorrer esses 4 nascimentos 5 Uma moeda é lançada 5 vezes De quantos modos distintos podem ser obtidas 2 caras e 3 coroas 6 Um dado é lançado 4 vezes De quantos modos distintos pode ser obtida uma sequência com três faces iguais a 1 e uma face igual a 6 Respostas 1 a 34650 b 5040 c 630 d 10080 e 1120 2 792 3 120 24 4 6 5 10 6 4 8 Permutação circular A permutação circular PC é uma permutação com os elementos dispostos em uma forma cíclica normalmente circular Neste caso devemos atentar para os casos em que uma rotação da distribuição não mudará a disposição apenas moveu o grupo todo sem alterar a ordem dos elementos Assim para se calcular a permutação circular de n elementos devemos fixar um dos elementos e modificar a posição dos demais n 1 elementos a partir da escolha inicial 𝑃𝐶𝑛 𝑃𝑛1 𝑛 1 Exemplos 1 De quantas formas 4 pessoas podem se sentar ao redor de uma mesa circular Resolução 𝑃𝐶4 𝑃3 3 6 2 De quantas formas 12 crianças podem formar uma roda Resolução 𝑃𝐶12 𝑃9 9 362880 3 Temos 6 meninos e 6 meninas De quantas formas eles podem formar uma roda de modo que os meninos e as meninas se alternem Resolução Neste caso vamos primeiro colocar os meninos em roda o que pode ser feito de PC6 formas diferentes E depois nos espaços entre os meninos vamos alocar as meninas mas agora temos P6 formas diferentes para fazer isto visto que ao fazer uma rotação na distribuição das meninas vai mudar a formação da roda pois as meninas mudarão de posição em relação aos meninos Logo temos 𝑃𝐶6 𝑃6 𝑃5 𝑃6 5 6 120 720 86400 81 Atividades Propostas 1 De quantas formas diferentes podemos assentar uma família de 6 pessoas em uma mesa circular para um jantar 25 2 De quantas formas oito casais fixos podem se sentar em uma roda gigante com oito bancos de dois lugares cada um sentando cada casal em um banco 3 De quantos modos podemos pintar as faces de uma pirâmide pentagonal regular usando seis cores diferentes sendo cada face pintada de uma cor 4 a De quantas maneiras distintas 7 crianças podem dar as mãos para brincar de ciranda b De quantas maneiras distintas 7 crianças podem dar as mãos para brincar de ciranda sendo que as crianças A e B fiquem lado a lado 5 De quantas maneiras 7 pessoas podem sentarse em torno de uma mesa circular sendo que 2 determinadas pessoas não devem ficar juntas 6 De quantas maneiras 8 meninas e 8 meninos podem sentarse em uma mesa circular de forma que as meninas sempre fiquem juntas Respostas 1 120 2 7 28 os casais podem mudar de posição em cada banco 3 6 4 144 6 cores para a base e PC5 cores para as faces laterais 4 a 720 b 2 5 240 A e B juntas como um elemento e pode ficar AB ou BA 5 480 PC7 2PC5 6 88 o grupo de meninas formam um elemento e podemos mudar a ordem delas PC9 P8 9 Probabilidade 91 Definição de probabilidade A partir do estudo da teoria da probabilidade é possível que se façam previsões sobre as chances de um acontecimento evento ocorrer em certo experimento aleatório a partir da análise dos resultados anteriores obtidos quando esse experimento é repetido nas mesmas condições um grande número de vezes 26 No estudo das probabilidades temos dois conceitos a serem prédefinidos para se poder calcular a probabilidade O espaço amostral letra grega chamada Ômega que é conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório Evento E que é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório O evento é definido como o que queremos analisar a probabilidade de ocorrer Obs Seja E um evento de um espaço amostral Chamamos evento complementar de E em relação a o evento que ocorre quando E não ocorre O símbolo do evento complementar é 𝐸 ou 𝐸𝑐 Seja a1 a2 ak o espaço amostral finito de um experimento aleatório Para cada i 1 2 k consideremos o evento elementar ou unitário ai Vamos associar a cada um desses eventos um número real indicado por pai ou simplesmente pi chamado probabilidade de ocorrência do evento ai tal que 0 𝑝𝑖 1 𝑖 1 2 3 𝑘 𝑝1 𝑝2 𝑝𝑘 1 ou 𝑝𝑖 1 1 𝑘 𝑝𝐸 𝑝𝐸 1 Para o cálculo da probabilidade de um evento ocorrer iremos calcular a razão entre o número de casos favoráveis do evento E ocorrer pelo número total de casos possíveis do espaço amostral ou seja 𝒑𝑬 𝒏𝑬 𝒏 Exemplos 1 Uma urna contém 15 bolas de mesmo tamanho e mesma massa numeradas de 1 a 15 Uma bola é extraída ao acaso da urna Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11 Resolução De acordo com o texto temos 1 2 3 15 n 15 E 11 12 13 14 15 nE 5 𝑝𝐸 𝑛 𝑛𝐸 5 15 1 3 ou 333 2 Um dado não viciado é lançado duas vezes sucessivamente Qual é a probabilidade de a ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo b o produto dos pontos obtidos ser maior que 12 Resolução De acordo com o texto temos 27 1 1 1 2 1 3 6 5 6 6 n 66 36 a A 5 2 5 4 5 6 nA 3 𝑝𝐸 𝑛 𝑛𝐴 3 36 1 12 b B 3 5 3 6 4 4 4 5 4 6 5 3 5 4 5 5 5 6 6 3 6 4 6 5 6 6 nA 13 𝑝𝐸 𝑛 𝑛𝐵 13 36 3 De um baralho comum com 52 cartas extraímos ao acaso uma carta Qual é a probabilidade de não sair um ás Resolução Como no baralho temos 52 cartas e dessas apenas 4 são ases logo existem 48 cartas que não são ases Daí temos n 52 e nE 48 o que nos dá 𝑝𝐸 48 52 12 13 4 Em um grupo de 80 pessoas todas de Minas Gerais 53 conhecem o Rio de Janeiro 38 conhecem São Paulo e 21 já estiveram nas duas cidades Uma pessoa do grupo é escolhida ao acaso Qual é a probabilidade de que ela tenha visitado apenas uma dessas cidades Resolução Montando os diagramas de VemEuler com os dados do texto obtemos 𝑝𝐸 32 17 80 49 80 6125 911 Atividades Propostas 1 Uma urna contém 100 bolas de mesma massa e mesmo tamanho numeradas de 1 a 100 Uma delas é extraída ao acaso Qual é a probabilidade de o número sorteado ser a 18 b 57 RJ SP Total 80 21 53 21 32 38 21 17 80 32 21 17 10 28 c maior que 63 d formado por dois algarismos e um quadrado perfeito 2 Uma urna contém 100 bolinhas numeradas de 1 a 100 Uma bolinha é escolhida e observado seu número Admitindo probabilidades iguais a 1100 para todos os eventos elementares qual a probabilidade de a observarmos um múltiplo de 6 e de 8 simultaneamente b observarmos um múltiplo de 6 ou de 8 c observarmos um número não múltiplo de 5 3 Uma caixa contém 10 tiras de cartolina todas do mesmo tamanho e textura Em cada tira está escrita uma única letra do conjunto cujos elementos são as vogais e as cinco primeiras consoantes do alfabeto Não existem tiras com a mesma letra Uma tira é sorteada ao acaso Qual é a probabilidade de que a letra escrita na tira sorteada seja a E b C c J d consoante 4 Uma moeda é viciada de tal modo que sair cara é duas vezes mais provável do que sair coroa Calcule a probabilidade de a ocorrer cara no lançamento dessa moeda b ocorrer coroa no lançamento dessa moeda 5 Na tabela seguinte aparece o resultado parcial do levantamento sobre hábitos alimentares realizado em uma comunidade de 200 pessoas Nunca comem carne Às vezes comem carne Frequentemente comem carne Total Homens 17 a 55 94 Mulheres b 49 26 c Total d e 81 200 a Determine os valores de a b c d e e b Escolhendo ao acaso um indivíduo da comunidade qual é a probabilidade de que seja mulher e não consuma carne 29 c Escolhendo ao acaso um indivíduo da comunidade qual é a probabilidade de que ele consuma carne frequentemente 6 Ao lançarmos um dado duas vezes sucessivamente qual é a probabilidade de que a o número 1 ocorra em ao menos um lançamento b a soma dos pontos obtidos seja 7 c os números obtidos sejam diferentes entre si d o módulo da diferença entre os pontos obtidos seja maior que 2 7 Uma pesquisa realizada com um grupo de fregueses de um supermercado revelou que 63 consomem a marca A de óleo 55 consomem a marca B e 32 consomem ambas as marcas Uma pessoa do grupo é escolhida ao acaso Qual é a probabilidade de que ela não consuma qualquer uma dessas marcas 8 Vinte esfirras fechadas todas com a mesma forma e tamanho são colocadas em uma travessa são sete de queijo nove de carne e quatro de escarola Alguém retira uma esfirra da travessa ao acaso Qual é a probabilidade de que seja retirada uma esfirra de carne 9 Um dado é viciado de modo que a probabilidade de observarmos um número na face de cima é proporcional a esse número Calcule a probabilidade de a ocorrer número par b ocorrer número maior ou igual a 5 10 Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros de 1 a 20 Qual a probabilidade de o número escolhido a ser par b ser ímpar c ser primo d ser quadrado perfeito 11 Uma caixa contém x bolas brancas 3x bolas pretas e 3 bolas vermelhas todas com o mesmo tamanho e mesma massa Uma bola é extraída ao acaso dessa caixa Determine o menor valor possível de x a fim de que a probabilidade de a bola sorteada ser preta seja maior que 70 12 Em um estado brasileiro todas as placas de automóveis são formadas por três letras entre as 26 do alfabeto e quatro algarismos e começam pela letra M Uma placa será confeccionada completamente ao acaso Qual é a probabilidade de que ela seja formada por letras distintas e algarismos também distintos 30 13 Um ônibus de excursão com vinte brasileiros e seis estrangeiros é parado pela Polícia Rodoviária para vistoria de documentos O funcionário escolhe ao acaso três passageiros para terem os documentos conferidos Qual é a probabilidade de que todos sejam brasileiros 14 Oito pessoas entre elas um casal e seu filho são colocadas aleatoriamente em fila Qual é a probabilidade de que a família fique junta 15 O gráfico abaixo compara a participação da indústria de transformação no PIB de alguns países Sorteandose ao acaso dois países dessa relação qual é a probabilidade de que a ambos tenham percentual de participação no PIB menor que 15 b ao menos um dos países selecionados tenha participação percentual maior que 20 Respostas 1 a 1100 b 1100 c 37100 d 910 e 110 2 a 125 b 625 c 45 3 a 110 b 110 c 0 d ½ 4 a 23 b 13 5 a a 22 b 31 c 106 d 48 e 71 b 31200 c 81200 6 a 1136 b 16 c 56 d 13 7 14 8 920 9 a 47 b 1121 10 a ½ b ½ c 25 d 15 11 11 12 447 31 13 438 14 107 15 a 29 b 815 92 Probabilidade condicional Seja um espaço amostral e consideremos dois eventos A e B Com o símbolo 𝑝𝐴𝐵 indicamos a probabilidade de ocorrer o evento A dado que o evento B já ocorreu isto é 𝑝𝐴𝐵 é a probabilidade condicional do evento A uma vez que B tenha ocorrido Quando calculamos 𝑝𝐴𝐵 tudo se passa como se B fosse o novo espaço amostral reduzido dentro do qual queremos calcular a probabilidade de ocorrer o evento A 𝑝𝐴𝐵 𝑛𝐴 𝐵 𝑛𝐵 𝑛𝐴 𝐵 𝑛 𝑛𝐵 𝑛 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 Exemplos 1 Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas qual é a probabilidade de sair um ás vermelho sabendo que ela é de copas Resolução No baralho temos 52 cartas divididas em 4 naipes diferentes cada um com 13 cartas sendo o de Ouros e o de Copas na cor vermelha e os de Paus e Espadas na cor preta E temos um ás de cada naipe Portanto a probabilidade de sair um ás vermelho evento A sabendo que a carta é de copas evento B é dado por 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 1 13 2 Uma família planejou ter 3 crianças Qual é a probabilidade de que a família tenha 3 homens já que a primeira criança que nasceu é homem Resolução Vamos chamar de H o filho homem e M a filha mulher Neste problema o espaço amostral é HHH HHM HMH HMM MHH MHM MMH MMM Como o primeiro filho é Homem o nosso espaço amostral se reduz ao evento B B HHH HHM HMH HMM Chamando de evento A sair 3 filhos homens temos que 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 1 4 32 3 Dois dados perfeitos são lançados Qual é a probabilidade de sair soma 8 se ocorreu o 3 no primeiro dado Resolução Chamando de evento B sair um 3 no primeiro dado temos B 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 Chamando de evento A sair soma 8 temos que 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 1 6 4 Em uma população de 500 pessoas 280 são mulheres e 60 exercem a profissão de advogado sendo 20 do sexo feminino Tomando ao acaso uma dessas pessoas qual é a probabilidade de que sendo mulher seja advogada Resolução Montando os diagramas de VemEuler com os dados do texto e usando a simbologia F sexo feminino e A advogada obtemos Evento B ser mulher Evento A ser advogada 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 20 280 1 14 5 Numa cidade 400 pessoas foram classificadas segundo sexo e estado civil de acordo com a tabela abaixo Estado civil Sexo Solteiro Casado Desquitado Viúvo Total Masculino 50 60 40 30 180 Feminino 150 40 10 20 220 Total 200 100 50 50 400 Uma pessoa é escolhida ao acaso Determine a probabilidade de a pessoa sorteada ser a solteira sabendo que é do sexo masculino b do sexo feminino sabendo que é desquitada Resolução a Temos 180 pessoas do sexo masculino sendo 50 solteiras logo F A Total 500 20 280 20 260 60 20 40 500 260 20 40 180 33 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 50 180 5 18 b Temos 50 pessoas desquitadas sendo 10 do sexo feminino logo 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 10 50 1 5 921 Atividades Propostas 1 Jogamse dois dados Qual é a probabilidade de se obter o 4 no primeiro dado se a soma dos resultados é 9 2 Um grupo de pessoas está classificado da seguinte maneira Profissão Sexo Professor Advogado Dentista Homens 60 80 50 Mulheres 90 40 30 Definese que H homem M mulher P professor A advogado D dentista Calcule cada probabilidade abaixo supondo que cada pessoa tenha uma única profissão a pAH b pPM c pDH d pAM e pAM f pDH g pPH 3 Uma moeda é lançada três vezes Determine a probabilidade de se obter a 3 caras b 3 caras dado que a primeira foi cara c exatamente 2 caras d 2 caras dado que a primeira foi coroa e cara no 2º lançamento dado que 2 coroas e 1 cara foram obtidas f cara no 2º lançamento dado que 3 caras foram obtidas g cara no 2º lançamento dado que pelo menos 1 cara foi obtida 4 Um dado é lançado duas vezes sucessivamente Sabendose que a soma dos pontos obtidos é menor que 6 qual é a probabilidade de que em ao menos um lançamento ocorra a face 2 34 5 Se um dado honesto é lançado duas vezes sucessivamente e os números obtidos são a iguais qual é a probabilidade de que a soma dos pontos seja um número par b distintos qual é a probabilidade de que a soma dos pontos seja 8 6 Um casal e quatro pessoas são colocados em fila indiana Sabendo que o casal não ficou junto qual é a probabilidade de que as extremidades da fila tenham sido ocupadas pelas pessoas que formam o casal 7 No cadastro de um cursinho prévestibular estão registrados 600 alunos assim distribuídos 380 rapazes 105 moças que já concluíram o Ensino Médio 200 rapazes que estão cursando o Ensino Médio Um nome do cadastro é selecionado ao acaso Qual é a probabilidade de o nome escolhido ser de a um rapaz sabendose que já concluiu o Ensino Médio b alguém que esteja cursando o Ensino Médio sabendose que é uma moça 8 Em um buffet infantil os clientes escolhem 4 entre as 6 opções de petiscos para servir na festa coxinha empadinha rissole cachorroquente pastel e tortinha a Para uma festa qual é a probabilidade de um cliente incluir coxinha entre os petiscos selecionados b Sabendo que um cliente incluiu coxinha e empadinha qual é a probabilidade de ele ter incluído também pastel c Sabendo que um cliente não incluiu coxinha entre os petiscos qual é a probabilidade de ele também não ter incluído empadinha em seu pedido 9 Uma das letras do alfabeto é escolhida ao acaso Sabendo que ela é uma das dez primeiras letras qual é a probabilidade de que seja uma vogal 10 De um baralho comum uma carta é retirada ao acaso Se a carta escolhida a não é valete nem dama qual é a probabilidade de ser o rei de ouros b não é de ouros qual é a probabilidade de não ser de copas c é de copas qual é a probabilidade de ser o rei d não é de copas qual é a probabilidade de ser o valete de espadas ou o valete de ouros e não é de copas qual é a probabilidade de ser de ouros ou ser um rei 35 Respostas 1 ¼ 2 a 819 b 916 c 519 d ¼ e 1119 f 1419 g 916 3 a 18 b ¼ c 38 d ¼ e 13 f 1 g 47 4 ½ 5 a 100 b 133 6 10 7 a 1219 b 2344 8 a 23 b ½ c 15 9 30 10 a 144 b 23 c 113 d 239 e 513 93 Teorema de Bayes O Teorema de Bayes também conhecido como o Teorema das Causas é uma releitura da probabilidade condicional e a sua aplicação se dá nas mais diversas áreas do conhecimento Da probabilidade condicional temos que 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵 𝐼 𝑝𝐵𝐴 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐴 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵𝐴 𝑝𝐴 𝐼𝐼 Igualando as equações 𝐼 𝐼𝐼 obtemos o teorema de Bayes 𝒑𝑩𝑨 𝒑𝑨𝑩 𝒑𝑩 𝒑𝑨 𝐨𝐮 𝒑𝑨𝑩 𝒑𝑩𝑨 𝒑𝑨 𝒑𝑩 Obs A probabilidade total é a soma das probabilidades de cada evento possível dentro do espaço amostral possa ocorrer multiplicado pela sua frequência dentro do espaço amostral Por exemplo Seja uma empresa que possui 3 máquinas M1 M2 e M3 que produzem o mesmo equipamento mas cada uma delas participa da produção total com um percentual diferente que vamos supor iguais a 50 30 e 20 respectivamente Sabendo ainda que existe a possibilidade do equipamento ser fabricado com algum defeito e que esses percentuais são respectivamente 2 3 e 4 calcule a probabilidade de um equipamento ser fabricado por essa empresa e apresentar algum defeito A probabilidade pedida vai ser igual à soma dos produtos dos percentuais de produção pelos percentuais de defeito para cada máquina ou seja 36 𝑝 50 2 𝑀1 30 3 𝑀2 20 4 𝑀3 𝑝 05 002 03 003 02 004 𝑝 0027 27 Portanto a probabilidade total dessa empresa fabricar um equipamento com defeito é de 27 Exemplos 1 Uma companhia multinacional tem três fábricas que produzem o mesmo tipo de produto A fábrica 1 é responsável por 30 do total produzido a fábrica 2 produz 45 do total e o restante vem da fábrica 3 Cada uma das fábricas no entanto produz uma proporção de produtos que não atendem aos padrões estabelecidos pelas normas internacionais Tais produtos são considerados defeituosos e correspondem a 1 2 e 15 respectivamente dos totais produzidos por fábrica No centro de distribuição é feito o controle de qualidade da produção combinada das fábricas a Qual é a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeção de qualidade b Se durante a inspeção encontramos um produto defeituoso qual é a probabilidade que ele tenha sido produzido na fábrica 2 Resolução a Seja A o evento produto defeituoso e Fi o produto da fábrica i Sabemos pelo enunciado que Probabilidade do produto ter sido produzido na fábrica 1 𝑝𝐹1 03 Probabilidade do produto ter sido produzido na fábrica 2 𝑝𝐹2 045 Probabilidade do produto ter sido produzido na fábrica 3 𝑝𝐹3 025 Probabilidade do produto ser defeituoso tendo sido produzido na fábrica 1 𝑝𝐴𝐹1 001 Probabilidade do produto ser defeituoso tendo sido produzido na fábrica 2 𝑝𝐴𝐹2 002 Probabilidade do produto ser defeituoso tendo sido produzido na fábrica 3 𝑝𝐴𝐹3 0015 Então pela lei da probabilidade total temos 𝑝𝐴 𝑝𝐴𝐹1 𝑝𝐹1 𝑝𝐴𝐹2 𝑝𝐹2 𝑝𝐴𝐹3 𝑝𝐹3 𝑝𝐴 03 001 045 002 025 0015 𝑝𝐴 001575 1575 b Probabilidade do produto ter sido produzido na fábrica 2 sabendo que é defeituoso 𝑝𝐹2𝐴 Aplicando o Teorema de Bayes e usando a resposta do item anterior 𝑝𝐹2𝐴 𝑝𝐴𝐹2 𝑝𝐹2 𝑝𝐴 002 045 001575 05714 5714 37 2 As fábricas A B e C são responsáveis por 50 30 e 20 do total de celulares produzidos por uma empresa Os percentuais de celulares defeituosos na produção destas fábricas valem respectivamente 1 2 e 5 Um celular produzido por essa empresa é adquirido em uma loja por um cliente Qual é a probabilidade desse o celular apresentar defeito de fábrica E qual a probabilidade de um celular com defeito ter sido fabricado na fábrica C Resolução Adotando a simbologia abaixo e de acordo com os dados temos que Probabilidade do celular ser produzido na fábrica A 𝑝𝐴 05 Probabilidade do celular ser produzido na fábrica B 𝑝𝐵 03 Probabilidade do celular ser produzido na fábrica C 𝑝𝐶 02 Probabilidade da fábrica A produzir um celular defeituoso D 𝑝𝐷𝐴 001 Probabilidade da fábrica B produzir um celular defeituoso D 𝑝𝐷𝐵 002 Probabilidade da fábrica C produzir um celular defeituoso D 𝑝𝐷𝐶 005 Probabilidade total da empresa produzir um celular defeituoso D 𝑝𝐷 Primeiramente precisamos calcular a probabilidade total da fabricação de um celular defeituoso 𝑝𝐷 05 001 03 002 02 005 0021 21 Com isso a chance de um celular fabricado por essa empresa possuir defeito de fábrica é de 21 Agora através do Teorema de Bayes é possível calcular a probabilidade de um celular com defeito ser produzido pela fábrica C 𝑝𝐶𝐷 𝑝𝐷𝐶 𝑝𝐶 𝑝𝐷 005 02 0021 0476 476 Portanto a chance da fábrica C ter produzido um celular defeituoso é de 476 3 Qual é a probabilidade de uma mulher qualquer obter o resultado positivo em uma mamografia e realmente estar com câncer supondo os seguintes dados sobre câncer de mama 1 das mulheres possuem câncer de mama 80 das mamografias detectam câncer de mama quando ele está presente e consequentemente 20 das vezes não detectam 96 das mamografias detectam câncer de mama quando ele não está presente e com isso 904 do teste dão um resultado negativo correto Resolução Adotando a simbologia abaixo e de acordo com os dados temos que Chance de ter câncer A obtendo um resultado positivo B 𝑝𝐴𝐵 Chance de obter um resultado positivo B tendo câncer A 𝑝𝐵𝐴 08 Chance de ter câncer 𝑝𝐴 001 38 Chance de não ter câncer 𝑝𝐴 099 Chance de obter um resultado positivo B não tendo câncer Ā 𝑝𝐵𝐴 0096 𝑝𝐴𝐵 𝑝𝐵𝐴 𝑝𝐴 𝑝𝐵 08 001 08 001 099 0096 00776 776 Portanto através dos dados e aplicando o Teorema de Bayes temos que a chance de uma mulher que fez o exame de mamografia e obteve o resultado positivo realmente ter câncer é de 776 931 Atividades Propostas 1 Uma caixa contém duas bolas vermelhas e três bolas azuis Duas bolas são retiradas ao acaso uma em seguida da outra e sem que a primeira tenha sido recolocada a Qual é a probabilidade de a segunda bola retirada ser vermelha sob a condição de a primeira bola retirada ser azul b Qual é a probabilidade de a primeira bola retirada ser a azul sob a condição de a segunda ser vermelha 2 Uma urna contém cinco dados quatro são balanceados mas em um deles a probabilidade de ocorrer face seis é o triplo da probabilidade de ocorrer face um As demais faces têm igual probabilidade de ocorrer Um dado retirado da urna ao acaso é lançado Qual é a probabilidade de esse dado ser balanceado se sair seis 3 Uma urna contém cinco bolas duas são vermelhas três são azuis Uma segunda urna contém sete bolas três são vermelhas quatro são azuis Retirase uma bola ao acaso de uma das urnas Qual é a probabilidade de que essa bola se for da cor azul ter sido retirada da primeira urna 4 Em uma cidade em que os carros são testados para emissão de poluentes 25 deles emitem quantidade considerada excessiva O teste falha para 99 dos carros que emitem excesso de poluentes mas resulta positivo para 17 dos carros que não emitem quantidade excessiva Qual é a probabilidade de um carro que falha no teste realmente emitir quantidade excessiva de poluentes 5 A probabilidade de diagnosticar corretamente determinada doença rara é 070 Quando diagnosticada corretamente a probabilidade de cura é 090 Se não for diagnosticada corretamente a probabilidade de cura é 040 Se o paciente com a doença é curado qual é a probabilidade de que tenha sido diagnosticado corretamente 6 Uma empresa de telefonia celular possui duas máquinas A e B 54 dos celulares produzidos são fabricados pela máquina A e os demais pela máquina B Nem todos os celulares produzidos estão em boas condições 39 A proporção de telefones celulares defeituosos fabricados por A é de 02 e por B é de 05 Qual é a probabilidade de um telefone celular daquela fábrica estar com defeito Qual é a probabilidade de que sabendo que um telefone celular esteja com defeito ele venha da máquina A 7 Três caixas contêm bolas Verdes V e Azuis A sendo que na caixa 1 temos 3A e 1V na caixa 2 temos 2A e 2V e na caixa 3 temos 1A e 3V Uma das caixas é escolhida aleatoriamente e uma bola aleatória é extraída dela que sabemos ser azul Qual caixa é mais provável de ter sido escolhida 8 Em uma prova de múltipla escolha cada questão tem 5 alternativas sendo apenas uma delas correta Ao não saber a resposta o aluno chuta aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas Levandose em conta um aluno mediano que saiba 60 do conteúdo qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões 9 Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos Se ele tiver problemas mecânicos não para mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente A chance de esse veículo ter problemas mecânicos é de 02 Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 015 se não houve problema mecânico precedente e de 025 se houve problema mecânico precedente a Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia b Se o veículo parou em certo dia qual a chance de que tenha havido defeito mecânico c Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o veículo não parou nesse dia 10 Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas A comunidade em que ele vive interessadíssima nesses poderes se mobilizou para verificar o fato Foi averiguado que ele acerta 80 das vezes em que diz que os tomates não vão germinar e 90 das vezes em que diz que os tomates vão germinar Os tomates não germinam em 10 das colheitas Se Alberto anunciar a perda da colheita qual é a probabilidade real de que eles não germinem Respostas 1 a ½ b ¾ 2 4 7 3 21 41 4 66 40 5 84 6 0338 e 0319 7 A caixa 1 8 68 e 322 9 a 017 b 0294 c 0181 10 04706 1 Curso Superior de Tecnologia em Sistemas para Internet TSI Disciplina de Fundamentos de Matemática para Tecnologia da Informação Professor Paulo Cezar Camargo Guedes Apostila 3 Função Exponencial e Logarítmica Serra 2022 2 Apostila de Funções Exponencial e Logarítmica Elaborada pelo professor Paulo Cezar Camargo Guedes 1 Revisão de Potenciação A potência de um número é dado por 𝑎𝑛 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 em que podemos destacar as principais propriedades abaixo onde 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 ℝ e 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 0 I 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑥𝑦 II 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑎𝑥𝑦 III 𝑎𝑥𝑦 𝑎𝑥𝑦 IV 𝑎0 1 V 𝑎1 𝑎 VI 𝑎𝑥 1 𝑎𝑥 VII 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 VIII 𝑎 𝑏 𝑥 𝑏 𝑎 𝑥 IX 𝑎 𝑥 𝑦 𝑎𝑥 𝑦 X 𝑎𝑥 𝑎𝑦 𝑥 𝑦 Exemplos 1 34 35 345 39 2 58 56 586 52 3 745 745 720 4 3 5 2 5 3 2 25 9 5 16 1 2 16 4 6 27 1 3 27 3 3 7 8 2 3 82 3 64 3 4 𝑜𝑢 8 2 3 8 3 2 22 4 8 212 29 9 3 29231 9 3 29 9 9 3 29 3 2 9 3 23 8 Exercícios 1 Simplifique as expressões abaixo aplicando as propriedades da potenciação a 5755 5853 b 683223 8793 c 16 28 21 125 45 8 12 25 35 3 2 Calcule o valor de cada expressão abaixo a 1 2 1 2 3 2 1 3 2 b 2 3 24 1 2 8 5 6 3 Sabendo que 2𝑥 2𝑥 5 calcule o valor de a 4𝑥 4𝑥 b 8𝑥 8𝑥 Respostas 1 a 59 b 226316 c 23²57 2 a 14 3 b 1 3 a 23 b 110 2 Função Exponencial 21 Equação exponencial Neste tipo de equação a variável está no expoente e para resolver precisamos utilizar as propriedades da potenciação Vejamos alguns exemplos 1 𝟑𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝟒𝟑 32𝑥 1 35 Aplicando a propriedade X obtemos 2𝑥 1 5 2𝑥 4 𝑥 2 𝑆 2 4 2 𝟐𝒙𝟏 𝟐𝒙𝟏 𝟐𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟒 𝟓𝟎 Colocando em evidência o termo de menor expoente obtemos 2𝑥4 25 23 21 1 50 2𝑥4 32 8 2 1 50 2𝑥4 25 50 2𝑥4 21 Aplicando a propriedade X obtemos 𝑥 4 1 𝑥 5 𝑆 5 3 𝟐𝟓𝒙 𝟔 𝟓𝒙 𝟓 𝟎 52𝑥 6 5𝑥 5 0 5𝑥2 6 5𝑥 5 0 Fazendo a mudança de variável 5𝑥 𝑘 obtemos 𝑘2 6𝑘 5 0 62 4 1 5 36 20 16 𝑘 6 16 2 1 6 4 2 𝑘 1 𝑜𝑢 𝑘 5 Substituindo na expressão 5𝑥 𝑘 obtemos 5𝑥 1 5𝑥 50 𝑥 0 5𝑥 5 5𝑥 51 𝑥 1 𝑆 0 1 21 Atividades Propostas 1 Resolva as seguintes equações exponenciais a 4𝑥 32 b 23𝑥2 32 c 52𝑥2 3𝑥 2 1 d 23𝑥 1 42𝑥 3 83𝑥 e 3𝑥1 3𝑥 3𝑥1 3𝑥2 306 f 23𝑥 23𝑥 1 23𝑥2 23𝑥3 240 g 4𝑥 2𝑥 2 0 h 9𝑥 3𝑥 1 4 Respostas 1 a 5 2 b 1 c 2 e 1 2 d 2 5 e 3 f 4 3 g 1 h 0 5 22 Função exponencial A função f ℝ ℝ em que 𝑓𝑥 𝑎𝑥 com 𝑎 0 e 𝑎 1 é chamada de função exponencial e tem como gráfico as figuras abaixo dependendo do valor de 𝑎 1º Caso 0 𝑎 1 2º Caso 𝑎 1 Propriedades da função exponencial 1 A função não toca no eixo x 2 A função passa pelo ponto 0 1 3 O domínio da função é Df ℝ 4 O conjunto imagem da função é Imf ℝ 5 Existe uma reta y 0 que limita os valores da função e esta reta é chamada de assíntota Exemplos 1 Trace o gráfico da função exponencial 𝑓𝑥 3𝑥 x 𝑓𝑥 𝑎𝑥 2 32 1 9 1 31 1 3 0 30 1 1 31 3 2 32 9 Função decrescente Função crescente 1 y 1 y x x 6 2 Trace o gráfico da função exponencial 𝑓𝑥 1 2 𝑥 x 𝑓𝑥 𝑎𝑥 2 1 2 2 4 1 1 2 1 2 0 1 2 0 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 4 Observação Podemos fazer mudanças na função exponencial promovendo a sua translação no sentido vertical acrescentando a variável k ou no sentido horizontal acrescentando a variável t conforme figuras abaixo Este valor de k altera a equação da reta assíntota para y k e o conjunto imagem da função para Imf k Desta forma a expressão da nova função exponencial fica 𝑓𝑥 𝑎𝑥𝑡 𝑘 Na figura abaixo temos a função 𝑓𝑥 2𝑥 que foi transladada na direção horizontal de uma unidade para a direita representada pela função ℎ𝑥 2𝑥1 e de uma unidade para a esquerda representada pela função 𝑔𝑥 2𝑥1 Neste caso o conjunto imagem da função não foi alterado pois k 0 𝑔𝑥 𝑓𝑥 ℎ𝑥 x y 7 Na figura abaixo temos também a função 𝑓𝑥 2𝑥 só que agora foi transladada na direção vertical de uma unidade para cima representada pela função 𝑖𝑥 2𝑥 1 e de uma unidade para baixo representada pela função 𝑗𝑥 2𝑥 1 Nesta figura podemos observar também a colocação das retas assíntotas y 1 e y 1 para mostrar a limitação das curvas Estas retas podem ser interpretadas como um deslocamento do eixo x de acordo com o valor acrescido a cada função Devido a este deslocamento vertical o conjunto imagem da função foi alterado passando a ser Imi 1 e Imj 1 23 Função exponencial natural A função f ℝ ℝ em que 𝑓𝑥 𝑒𝑥 onde 𝑒 é o número de Euller e tem valor aproximado de 𝑒 2718281828459 é chamada de função exponencial natural pois a maioria das funções exponenciais que representam os fenômenos naturais tanto em Física como em Biologia e Química tem a sua base como o número de Euller 𝑒 E como o valor de 𝑒 0 o gráfico dessa função é crescente como mostra a figura abaixo Algumas aplicações da função exponencial natural são Física Aquecimento ou resfriamento de um corpo Química Meia vida de um elemento radioatividade e idade de um fóssil pelo Carbono 14 Biologia Cultura de bactérias ou vírus crescimento de pessoas e população de um habitat 𝑖𝑥 𝑓𝑥 𝑗𝑥 x y y 1 y 1 8 3 Exercícios Resolvidos 1 Dados os gráficos abaixo das funções 𝑓𝑥 𝑟𝑥 e 𝑔𝑥 𝑠𝑥 determine o valor de r e de s Resolução 𝑓𝑥 𝑟𝑥 𝑔𝑥 𝑠𝑥 𝑓2 225 𝑔2 625 𝑟2 225 225 100 15 10 2 3 2 2 𝑠2 625 625 100 25 10 2 5 2 2 𝑟2 2 3 2 𝑠2 5 2 2 Portanto 𝑟 2 3 e 𝑠 5 2 2 Nos gráficos abaixo desenhados temos uma função do tipo 𝑓𝑥 𝑘 𝑎𝑥 desta forma determine em cada a função correspondente a b Resolução a 𝑓𝑥 𝑘 𝑎𝑥 a 𝑓𝑥 𝑘 𝑎𝑥 𝑓0 𝑘 𝑎0 2 𝑘 2 𝑓0 𝑘 𝑎0 6 𝑘 6 𝑓1 2 𝑎1 6 𝑎 3 𝑓1 6 𝑎1 3 𝑎 1 2 𝒇𝒙 𝟐 𝟑𝒙 𝒇𝒙 𝟔 𝟏 𝟐 𝒙 2 UCSRS A quantidade de certa substância decresce com o passar do tempo a uma taxa proporcional à quantidade restante Se inicialmente havia 300 mg da substância e a cada hora há um decréscimo de 25 da quantidade restante a função que representará a quantidade restante após t horas será a Qt 300 025t b Qt 300 075t c Qt 300 025t d Qt 300 075t e Qt 300 25t 9 Resolução Dizer que a quantidade de certa substância decresce 25 a cada hora é o mesmo que multiplicar essa quantidade por 075t sendo t o tempo decorrido em horas Como essa quantidade segundo o enunciado é 300 mg a função que representa a quantidade restante da substância é Qt 300 075t 3 UPE Os biólogos observaram que em condições ideais o número de bactérias Qt em uma cultura cresce exponencialmente com o tempo t de acordo com a lei Qt Q0 ekt sendo k 0 uma constante que depende da natureza das bactérias o número irracional e vale aproximadamente 2718 e Q0 é a quantidade inicial de bactérias Se uma cultura tem inicialmente 6000 bactérias e 20 minutos depois aumentou para 12000 quantas bactérias estarão presentes depois de 1 hora a 18 104 b 24 104 c 30 104 d 36 104 e 48 104 Resolução 𝑄𝑡 𝑄0 𝑒𝑘𝑡 𝑄20 6000 𝑒𝑘20 12000 𝑒20𝑘 2 Como 1h 60 min temos que 𝑄60 6000 𝑒60𝑘 𝑄60 6000 𝑒20𝑘 𝑒20𝑘 𝑒20𝑘 𝑄60 6000 2 2 2 𝑄60 48000 𝑄60 48 104 4 Atividades Propostas 1 Nos gráficos abaixo desenhados temos uma função do tipo 𝑓𝑥 𝑘 𝑎𝑥 desta forma determine em cada a função correspondente a b fx 32x fx 312x 2 Os biólogos afirmam que sob condições ideais o número de bactérias em uma certa cultura cresce de tal forma que a taxa de crescimento é proporcional ao número de bactérias presentes no 10 início do intervalo de tempo considerado Suponhamos que 2000 bactérias estejam inicialmente presentes em uma certa cultura e que 4000 estejam presentes 30 minutos depois Quantas bactérias estarão presentes no fim de 2 horas 3 Os átomos de um elemento químico radioativo têm uma tendência natural a se desintegrar emitindo partículas e se transformando em outros elementos Dessa forma com o passar do tempo a quantidade original desse elemento diminui Chamamos de meiavida o tempo que o elemento radioativo leva para desintegrar metade de sua massa radioativa O antibiótico acetilcefuroxima apresenta meiavida de 3 horas Se uma pessoa tomou 50 mg desse medicamento qual é a quantidade de antibiótico ainda presente no organismo a após 12 horas de sua ingestão b após t horas de sua ingestão 4 O carbono14 é um isótopo raro do carbono presente em todos os seres vivos Com a morte o nível de C14 no corpo começa a decair Como é um isótopo radioativo de meiavida de 5730 anos e como é relativamente fácil saber o nível original de C14 no corpo dos seres vivos a medição da atividade de C14 em um fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas A atividade radioativa do C14 decai com o tempo pósmorte segundo a função exponencial 𝐴𝑡 𝐴0 1 2 𝑡 5730 Em que A0 é a atividade natural do C14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a morte Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado ao laboratório para ter sua idade estimada Verificouse que emitia 7 radiações de C14 por gramahora Sabendo que o animal vivo emite 896 radiações por grama por hora então a idade aproximada desse fóssil em anos seria a 400 mil anos b 200 mil anos c 80 mil anos d 40 mil anos e 20 mil anos Respostas 1 a 𝑓𝑥 3 2𝑥 b 𝑓𝑥 3 1 2 𝑥 2 32000 3 a 3125 mg b 𝑓𝑡 50 2𝑡 3 4 D 11 5 Função logarítmica Seja 𝑎 ℝ com 0 𝑎 1 Definimos a função logarítmica de base 𝑎 a função f ℝ ℝ pela expressão 𝒇𝒙 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 Exemplos 1 𝑓𝑥 log2 𝑥 2 𝑔𝑥 log1 3 𝑥 3 ℎ𝑥 log10 𝑥 log 𝑥 4 𝑖𝑥 log𝑒 𝑥 ln 𝑥 Para se calcular o valor do logaritmo devemos usar a propriedade abaixo 𝒚 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 𝒂𝒚 𝒙 Exemplos 1 𝑦 log2 8 2𝑦 8 2𝑦 23 𝑦 3 2 𝑦 log7 5 49 25 7 5 𝑦 49 25 7 5 𝑦 7 5 2 𝑦 2 3 𝑦 log𝑎 1 𝑎𝑦 1 𝑎𝑦 𝑎0 𝑦 0 4 𝑦 log𝑎 𝑎 𝑎𝑦 𝑎 𝑎𝑦 𝑎1 𝑦 1 5 𝑦 log𝑎 𝑎𝑛 𝑎𝑦 𝑎𝑛 𝑎𝑦 𝑎𝑛 𝑦 𝑛 51 Propriedades operatórias dos logaritmos Propriedade 1 O logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos log𝑎𝑥 𝑦 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑦 Demonstração log𝑎 𝑥 𝑡 𝑎𝑡 𝑥 log𝑎 𝑦 𝑝 𝑎𝑝 𝑦 log𝑎𝑥 𝑦 𝑘 𝑎𝑘 𝑥 𝑦 𝑎𝑘 𝑎𝑡 𝑎𝑝 𝑎𝑘 𝑎𝑡𝑝 𝑘 𝑡 𝑝 log𝑎𝑥 𝑦 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑦 Propriedade 2 O logaritmo de um quociente é igual à diferença dos logaritmos log𝑎𝑥 𝑦 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑦 Demonstração log𝑎 𝑥 𝑡 𝑎𝑡 𝑥 log𝑎 𝑦 𝑝 𝑎𝑝 𝑦 log𝑎𝑥 𝑦 𝑘 𝑎𝑘 𝑥 𝑦 𝑎𝑘 𝑎𝑡 𝑎𝑝 𝑎𝑘 𝑎𝑡𝑝 𝑘 𝑡 𝑝 log𝑎𝑥 𝑦 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑦 12 Propriedade 3 O logaritmo de uma potência é igual à produto do logaritmo pelo expoente da potência log𝑎 𝑥𝑛 𝑛 log𝑎 𝑥 Demonstração log𝑎 𝑥𝑛 log𝑎 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑥 log𝑎 𝑥 𝑛 𝑣𝑒𝑧𝑒𝑠 𝑛 log𝑎 𝑥 Propriedade 4 O logaritmo de 𝑥 na base 𝑎 é igual ao quociente entre o logaritmo de 𝑥 numa base qualquer 𝑏 e o logaritmo de 𝑎 nesta mesma base 𝑏 log𝑎 𝑥 log𝑏 𝑥 log𝑏 𝑎 Demonstração log𝑎 𝑥 𝑡 𝑎𝑡 𝑥 𝐼 log𝑏 𝑥 𝑝 𝑏𝑝 𝑥 𝐼𝐼 log𝑏 𝑎 𝑘 𝑏𝑘 𝑎 𝐼𝐼𝐼 Substituindo as equações II e III na equação I temos 𝑎𝑡 𝑏𝑝 𝑏𝑘 𝑡 𝑏𝑝 𝑏𝑘𝑡 𝑏𝑝 𝑘𝑡 𝑝 𝑡 𝑝 𝑘 log𝑎 𝑥 log𝑏 𝑥 log𝑏 𝑎 Exemplos 1 Sendo dado que log 2 0301 log 3 0477 e log 7 0845 determine os seguintes logaritmos a log 72 log23 32 log 23 log 32 3 log 2 2 log 3 3 0301 2 0477 1857 b log 225 log 225 100 log 9 4 log 3 2 2 2 log 3 log 2 2 0477 0301 0352 c log 5 log 10 2 log 10 log 2 1 0301 0699 d log2 7 log 7 log 2 0845 0301 845 301 2807 2 Sabemos que o número de bactérias em uma cultura depois de um tempo t é dado por N N0 ert em que N0 é o número inicial quando t 0 e r é a taxa de crescimento relativo Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa de crescimento contínuo é de 5 por minuto sendo dado que ln 2 06931 Resolução 𝑁𝑡 𝑁0 𝑒𝑟𝑡 e 𝑁𝑡 2 𝑁0 2𝑁0 𝑁0 𝑒005𝑡 2 𝑒005𝑡 𝑙𝑛 2 ln𝑒005𝑡 06931 005𝑡 𝑡 138 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 13 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 48 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠 13 52 Gráfico da função logarítmica Na função logarítmica 𝑓𝑥 log𝑎 𝑥 podemos separar os gráficos em dois casos Um para 0 𝑎 1 e outro para 𝑎 1 Desta forma teremos os dois casos abaixo 1º Caso 0 𝑎 1 2º Caso 𝑎 1 Propriedades da função logarítmica 1 A função não toca no eixo y 2 A função passa pelo ponto 1 0 pois 𝑦 𝑓1 log𝑎 1 0 3 O domínio da função é Df ℝ 4 O conjunto imagem da função é Imf ℝ 5 Existe uma reta vertical x 0 que limita o gráfico da função e esta reta é chamada de assíntota Exemplos 1 Trace o gráfico da função exponencial 𝑓𝑥 log2 𝑥 x 𝑓𝑥 log2 𝑥 1 4 𝑦 log2 1 4 2 1 2 𝑦 log2 1 2 1 1 𝑦 log2 1 0 2 𝑦 log2 2 1 4 𝑦 log2 4 2 Função decrescente Função crescente 1 y 1 y x x 14 2 Trace o gráfico da função exponencial 𝑓𝑥 log1 2 𝑥 x 𝑦 𝑓𝑥 log1 2 𝑥 1 4 𝑦 log1 2 1 4 2 1 2 𝑦 log1 2 1 2 1 1 𝑦 log1 2 1 0 2 𝑦 log1 2 2 1 4 𝑦 log1 2 4 2 53 Função logarítmica natural A função f ℝ ℝ com 𝑓𝑥 log𝑒 𝑥 ln 𝑥 é chamada função logarítmica natural e tem muita aplicação no estudo dos fenômenos naturais nas áreas de Física Química e Biologia Como a base do logaritmo e 2718 0 o seu gráfico tem a forma abaixo 54 Função logarítmica x função exponencial As funções 𝑓𝑥 𝑎𝑥 e 𝑔𝑥 log𝑎 𝑥 são funções inversas e possuem os seus gráficos simétricos em relação à reta que é a bissetriz dos quadrantes ímpares Observe as figuras abaixo que mostram esta e outras propriedades 15 6 Atividades Propostas 1 Sendo dado que log 2 0301 log 3 0477 e log 7 0845 determine os seguintes logaritmos a log 144 b log 625 c log 035 d log3 42 2 Dados os gráficos abaixo determine a função 𝑓𝑥 log𝑎 𝑥 correspondente a cada um a b 4 A expressão M C1 in nos permite calcular o montante M resultante da aplicação do capital C a juros compostos à taxa anual i ao completar um período de n anos Nessas condições se o capital de R 80000000 for aplicado a juros compostos e à taxa anual de 12 após quanto tempo da aplicação serão obtidos juros no valor de R 70000000 16 3 O gráfico abaixo é de uma função logarítmica da forma 𝑓𝑥 log𝑎 𝑥 𝑏 que passa pelos pontos 1 8 0 1 2 2 e 1 3 Determine os valores de 𝑎 e 𝑏 Texto para as questões 5 e 6 A lei de resfriamento de Newton afirma que a diferença de temperatura entre um corpo e o meio que o contém decresce a uma taxa de variação proporcional à diferença de temperatura Considerando 𝑇0 a diferença de temperatura no instante t 0 e 𝑇𝑡 a diferença em um instante t qualquer essa lei se traduz pela expressão 𝑇𝑡 𝑇0 𝑒𝛼𝑡 em que a constante depende do corpo 5 Suponham que em determinado local cuja temperatura ambiente é de 30 C exista uma panela de água fervente no fogo Em t 0 o fogo é desligado e 5 minutos depois a temperatura da água é de 65 ºC Depois de quanto tempo a partir do desligamento do fogo a água atingirá a temperatura de 37 C Considere log 2 03 a 20 minutos e 40 segundos b 16 minutos e 40 segundos c 12 minutos e 40 segundos d 8 minutos e 40 segundos e 4 minutos e 40 segundos 6 Em um trecho de mata próximo à cidade a polícia encontrou por volta das 17 horas um cadáver O médico legista chegou às 17h 20min e imediatamente mediu a temperatura do corpo que era de 325 C Uma hora mais tarde ele mediu novamente a temperatura e verificou que era de 315 C A temperatura ambiente na mata se manteve constante a 165 ºC O legista considera que a temperatura normal de uma pessoa viva é 365 ºC De acordo com as temperaturas coletadas e usando a lei do resfriamento de Newton o horário da morte pode ser estimado por volta de Dados log 2 03 e log 3 047 a 13h40min b 14h c 14h40min d 15h e 14h50min 17 Texto para as questões 7 a 9 A fórmula 𝑄𝑡 𝑄0 𝑒𝑟𝑡 em que Qt representa a massa da substância ou o número de bactérias r a taxa e t o tempo 7 Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa de 8 ao ano Em quantos anos 50 g dessa substância se reduzirão a 5 g 8 Em um laboratório uma pessoa verifica que a taxa de crescimento relativo contínuo de bactérias em uma cultura é de 25 por minuto Nessas condições em quantos minutos o número de bactérias passará de 4000 para 6000 9 Calcule a meiavida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4 ao ano Lembrese meiavida é o tempo que deve decorrer para que em certo momento metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre Respostas 1 a 2158 b 0796 c 0456 d 3402 2 a 𝑓𝑥 log3 𝑥 b 𝑓𝑥 log1 4 𝑥 3 55 anos 4 𝑎 2 e 𝑏 3 5 B 6 B 7 28 anos 9 meses e 18 dias 8 16 minutos e 12 segundos 9 17 anos 3 meses e 18 dias Apostila Função Exponencial e Logarítmica pág 9 e 10 1 fx k ax a pelo gráfico quando x 0 y 3 x 1 y 6 então fx kax f0 ka03 k3 f1 ka16 3a6 a2 a2 logo fx 32x b Analisando o gráfico quando x 0 y 3 x 1 y 6 então fx kax f0 ka03 k3 k3 f1 ka1 6 3a1 6 3 a1 6 a 36 12 logo fx 3 12x 2 Q0 2000 bactérias k constante que depende da natureza das bactérias para t30 min Q 4000 bactérias para t 2 horas Q Qt Q0 ekt achando a constante k com as informações de t 30 min Q30 Q0 ek30 4000 2000 ek30 2 ek30 1 para 2 horas 120 min Tem que ser em minutos Q120 Q0ek120 Q120 2000 ek120 Q120 2000 e30k e30k e30k e30k regra de potenciação ax ay axy Q120 2000 2 2 2 2 Q120 32000 bactérias R Q 32000 bactérias 3 Tempo de meia vida 3 horas então a C0 50 mg t12 3 horas perda metabólica da sua massa Qt 50 05t3 tempo decorrido 3 horas para o tempo de meia vida concentração inicial concentração final então para t 12 horas Q12 50 05123 Q 3125 mg b Após t horas de sua ingestão será a fórmula descrita anteriormente Qt 50 05t3 ou ft 50 12t3 ft 50 2t3 4 At A0 12t5730 A0 896 radiaçõesgh At 7 radiaçõesgh t 7 896 12t5730 00078125 05t5730 aplicando log dos dois lados log 00078125 log 05t5730 log 00078125 t5730 log 05 t5730 log 05 t 40110 anos t 40 mil anos R letra D pág 15 16 e 17 1 log 2 0301 log 3 0477 e log 7 0845 log 5 0699 log 10 1 a log 144 então log 144 log 2432 log 24 log 32 4 log 2 2 log 3 4 0301 2 0477 2158 b log 625 log 625 5 100 5 125 5 20 5 25 4 log 254 log 522 2 log 5 log 2 2 0699 0301 0796 c log 035 log 35 5 100 5 7 20 log 7 2x10 log 7 log 2 log 10 0845 0301 1 0845 1301 0456 d log 42 log 3 log 2 3 7 log 3 log 2 log 3 log 7 log 3 0301 0477 0845 0477 3402 2 fx loga x a Função crescente então a 1 quando x 3 y 1 f3 loga 3 1 a1 3 propriedade operatória do logaritmos a 3 fx log3 x b Função decrescente então 0 a 1 pelo gráfico quando x 4 y 1 então f4 loga 4 1 a1 4 1 a 4 a 1 4 fx log14 x 3 M C 1 i n M montante C capital i taxa mensal n período meses C 800 00000 reais i 12 aa 12100 012 taxa 70000000 reais o montante capital juros M 800000 700000 M 1500000 reais M C 1 in 1500000 800000 1 012n não pode ser em pq juros divido por 100 1875 112n aplicando log dos dois lados log 1875 log 112n log 1875 n log 112 0273 n 00492 n 55 meses 4 f x log a x b passa pelos pontos 18 0 12 2 1 3 x y x y x y então I f 18 log a 18 b 0 log a 18 b ab 18 ab 8 substituindo o valor de b encontrado a3 8 a 38 a 2 valor de a encontrado II f 12 log a 12 b 2 log a 12 2 b Testando para ver o valor depois de testar a 6 log a 12 1 a1 12 1a 12 a 211 III f 1 log a 1 b 3 log a 1 3 b a3 b 1 aplicando log dos dois lados 3 b log a log 1 3 log a b log a 0 3 log a b log a 3b log a1log a 3 b primeiro valor encontrado b 3 R a 2 b 3 5 ΔTt ΔT0 eat a depende do material T 30C t 5 minutos t 65C em t 0 T 100C água fervendo então ΔTt ΔT0 eat 65 30 100 30 ea 5 35 70 ea 5 05 ea 5 aplicando ln dos dois lados ln 05 ln ea 5 ln 12 a 5 ln 2 a 5 a ln 25 log 2 03 log 12 03 Quanto tempo para T 37C ΔTt ΔT0 eat 37 30 70 ea t 7 70 eat 01 eat aplicando ln dos dois lados ln 110 ln eat 5 log 10 t log 110 a t ln 110 a t ln 10 a t t 5 ln 10 ln 2 503 1667 min 1 min 60 s 067 min X X 40 s t 16 minutos 40 segundos R Letra B 6 T 365C t 0 min T 325C t 1 hora T 315C T vimo 365C ΔTt ΔT0 eat 315 365 325 365 ea 1 15 16 ea 1516 ea aplicando ln I ln 1516 ln ea log e 1516 a Fazendo agora novamente que em T0 ele estaria vivo e Tt foi quando o médico ligsta confirmou a morte ΔTt ΔT0 eat 325 365 365 165 ea t 16 20 eat II 1620 ea t Jorge X ln X então I log e 1516 a II 1620 ea t substituindo a 1620 e t log e 1516 sabendo que a log a b b 1620 1516x aplicando log log 1620 t log 1516 t log 1620 log 1516 log 2422 5 log 3x524 5 é a mesma coisa que 102 log 10 1 log 2 03 log 3 047 log 24 x 2 22 x 10 log 3 x 10 24 x 2 4 log 2 log 2 2 log 2 log 1 log 3 log 10 4 log 2 log 2 4 03 03 2 03 1 047 1 4 03 03 01003 333 t 333 h rs 1 hora 60 min 033 h rs x x 20 min t 3 horas e 20 min Isso significa que o ligista mediu a temperatura do corpo 3 horas e 20 min depois da pessoa morrer Como o ligista mediu a temperatura pela primeira vez às 17 h 20 min 3 horas e 20 min antes seria 14 horas R Letra B 14 h 7 Qt Qoert Qo 50g Qt 5g r 8 aa 008 Qt Qoert 5 50e008t 01 e008t aplicando ln ln 01 ln e008t loge x lnx ln 01 008 t t 2878 anos 1 ano 12 meses 078 ano x x 936 meses R 28 anos e 9 meses 8 Qo4000 Qtx 6000 r 25 a minutos 0025 Qt Qoert 6000 4000e0025t 15 e0025t aplicando ln ln 15 ln e0025t 04054 0025 t t1621min 1min 60 s 021 min X X 12 s sinal pois aumenta com o tempo R 16 min e 12 segundos 9 r 4 aa 004 Qo Ci Qt Ci2 Qt Qoert Ci2 Cie004t 12 e004t aplicando ln ln 05 ln e004t 0693 004 t t 1733 anos 1 ano 12 meses 033 ano x x 396 meses R 17 anos e 3 meses Apostila Análise Combinatória e Probabilidade pág 07 1 8 questões Verdadeiro V Falso F duas opções em cada questão então 2222222 ou 28 28 256 2 5 jogos Vitória V Empate E Derrota D três opções de resultado em cada jogo então 33333 ou 35 35 243 3 012345 e 6 7 opções 3 algarismos entre 1 Um número não pode começar com zero a o primeiro algarismo deve ser entre 1 e 6 6 opções o segundo e terceiro algarismo podem ser entre 0 e 6 7 opções Então 677 294 b Unidade 3 opções para ser ímpar 135 Dezena não pode repetir com o outro número 5 opções Centena não pode ser zero e não pode repetir unidade 5 opções 5x5x375 75 4 a 5 algarismos números podem ser entre 0 a 9 10 opções A dezena de milhar não pode começar com 0 então são 9 opções A unidade de milhar centena dezena e unidade pode ser entre 0 a 9 ou seja 10 opções Então 910101010 90000 b Nesse caso a unidade só pode ser 1357 ou 9 5 opções então 91010105 45000 45000 unidade dezena centena unidade de milhar dezena de milhar centena de milhar c Supondo que o número é formado por abcde em que abcd e e são os algarismos do número I Se a 7 qualquer número será maior que 71265 então são 2 opções para a a 89 já para bcd e e são 10 opção 2 10101010 20000 números II Se a 7 111 a 7 e b 1 2345678 ou 9 1 opção para a 8 opção para b 10 opção para c d e e 1x8x10x10x10 8000 números 112 a 7 e b 1 1121 a7 b1 e c2 c345678 ou 9 1 opção para ab 7 opção para c 10 opção para d e e 1x1x7x10x10 700 números 1122 a7 b1 e c2 nesse caso tem duas opções 1 opção para ab c 3 opção para d e 10 opção para e 11221 a7 b1 c2 d6 d 789 1x1x1x3x10 30 números 11222 a7 b1 c2 d6 nesse caso e tem que ser maior que 5 e 678 ou 9 1x1x1x1x4 4 números Total 20000 8000 700 30 4 somatório de todos os opções 28734 e O primeiro algarismo dezena de milhar deve ser 7 1 opção como devem ser algarismos distintos unidade de milhar 9 opções centena 8 opções dezena 7 opções unidade 6 opções como não valores distintos diminui 1 opção para o algarismo seguinte 1x9x8x7x6 3024 3024 5 32 rapazes 12 mulheres dançam 40 moças 32 mulheres dançam a 32 12 20 mães mulheres dançam 40 32 8 mães mulheres dançam 20 x 8 160 160 b Se a mulher dança tem ao oposiço de homens que não dançam x 32 mulheres que dançam 32 x 20 640 Se o homem dança tem 8 opções de mulheres que não dançam x 12 homens que dançam 12 x 8 96 Total 640 96 736 6 4 pares uma azul uma rosa uma verde uma branca paród rosa e azul devem estar lado a lado então 2 x 2 x 2 x 2 16 paród 1 paród 2 paród 3 paród 4 AZ ou RO AZ ou RO VE ou BR BR ou VE 2 opções 2 opções 2 opções 2 opções 16 R letra b 7 Assento 6 posições Encosta 5 posições 6 x 5 30 30 8 7 carros 2 opções de motores 2000 a 4000 cc 3 versões 7 x 2 x 3 42 42 9 6 estudantes professor pode ou não escolher essa resulta em 2 opções para cada aluno então 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 64 descontando a situação em que ele não escolhe nenhum 64 1 63 63 10 A 10 estudantes B 12 estudantes x 10 x 12 120 opções 5 estudantes C 8 estudantes x 5 x 8 40 opções Total 120 40 espaço cabet no orçamento 160 Pós 10 01 algarismos 2 3 5 7 e 9 5 algarismos 5 opções para fazer números naturais de número naturais de 3 algarismos distintos 3 algarismos 53 A53 5 5 3 5 2 5 x 4 x 3 x 2 x 1 2 x 1 60 60 Ank n n k 2 30 membros n 30 Presidente vicepresidente secretário tesoureiro 4 opções e uma pessoa ocupa somente um cargo 30 30 4 30 26 30 x 29 x 28 x 27 x 26 26 30 opções para 4 cargos n 30 k 4 657720 3 algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 9 opções n 9 a número de 3 algarismos distintos K 3 A93 9 9 3 9 6 9 x 8 x 7 x 6 6 504 504 b como o número precisa terminar em 7 mudam então 8 opções 1 2 3 4 5 6 8 9 para 3 algarismos esse algarismo vai ser o 7 A83 8 8 3 336 336 c 1 algarismo será 3 e outro algarismo será 8 então 7 opções 1 2 4 5 6 7 9 para 5 algarismos A75 7 7 5 2520 2520 d Como dois algarismos serão ocupados por 5 e 6 sobra 7 opções 1 2 3 4 7 8 e 9 para 5 algarismos A75 7 7 5 2 7 2 2520 Agora calculando quantos opções tem para 5 e 6 ficarem juntos e nessa ordem 5 6 6 opções 5 6 5 6 5 6 5 6 Então 6 x A75 6 x 2520 15120 4 12 jogadores 12 jogadores para 2 posições põe 2 sala 2 opções A122 12 12 2 132 132 5 6 lápis de cores diferentes 6 cores para pintar 4 estados 4 estados A64 6 6 4 360 360 6 algarismos 1 2 3 4 5 e 6 número com 3 algarismos 300 Para a centena só pode ser 3 4 5 ou 6 4 opções para 1 algarismo A41 4 4 1 4 Para a dezena a unidade tem 5 opções de números pois um número será usado anteriormente então 5 opções para 2 algarismos pois um algarismo foi punizado ante A52 5 5 2 20 então 4 x 20 80 80 7 algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 4 algarismos ímpares comuns Para ser ímpar o último algarismo dobrinho deve ser 1 3 5 7 ou 9 ou seja 5 opções para o último algarismo A51 551 5 Assim restaram 3 algarismos para ser prenchido por 8 opções pois uma opção vai ser para o último algarismo A83 883 336 então 5 x 336 1680 1680 8 números 2 3 5 7 11 e 13 Fração 1 Todos os números apresentados são números primos então essas divisões serão defuntos de 1 Então são 6 números e para uma divisão precisa ser de 2 números ex 23 assim A62 662 30 30 9 Uma I 5 bolas numeradas 1234 e 5 Uma II 3 bolas numeradas 1 2 e 3 Para uma I são 5 opções de números para 3 bolas retiradas A53 553 60 Para uma II são 3 opções de números para a bolas retiradas A32 332 6 Assim 60 x 6 360 360 10 algarismos 1 3 6 7 8 9 3 algarismos para ser par 1 unidade deve ser 6 ou 8 então A21 221 2 Os outros dois algarismos tem 5 opções pois 1 opção foi usada anteriormente então A52 552 20 assim 20 x 2 40 40 pág 15 1 TEORIA Pn n a 6 letras n 6 P6 6 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 720 720 anagramas possíveis b Com o T fixado T não pode alterar a posição dos outros 5 letras 5 5 x 4 x 3 x 2 x 1 P5 5 120 120 c Com T e A fixados T A restaram 4 letras para alterar posições P4 4 24 24 d Tem 4 vogais E O I A 4 4 opções que começam sem vogal sobrando 5 opções que variam entre as outras letras 4 x 5 480 480 e EOIA as vogais juntas podem se combinar variando 4 posições ex EOIA AIOE EOA P4 4 24 Assim tem a permutação das outras letras T e R mais o grupo EOIA que será contado como mais uma letra pois pode aparecer junto em qualquer posição do anagrama P3 3 6 então 24 x 6 144 144 2 PERNAMBUCO São o total os pág P10 10 3628800 Pode se formar 3628800 palavras distintos Agora começando com a sílaba PER P E R restam 7 posições para variar nas outras letras P7 7 5040 5040 R 10 7 3 10 pessoas Antônio e Beatriz sempre juntos Antônio e Beatriz devem ficar sempre juntos então tem duas possibilidades em relação a ordem que eles podem ficar Antônio Beatriz ou Beatriz Antônio 2 1 2 1 9 362880 Juntam 8 pessoas para serem distribuídas menos AntônioBeatriz que serão considerado um grupo então P8 9 362880 então 2 x 9 725760 7 Algarismos 2 3 4 8 e 9 43892 Esse número é precedido pelos números da forma 1 2 3 4 I V 4 41 24 3 3 6 2 21 2 2 1 1 somando 24 24 6 2 1 57 43892 é precedido por 57 números portanto a sua posição é a 58ª 58ª 5 REPÚBLICA E U I A Idem 9 posições que podem variar P5 5 120 120 6 4 homens 5 mulheres 9 pessoas a Homens devem ficar juntos Os homens devem ficar juntos mas podem se organizar de maneiras diferentes então P4 4 24 Os homens vão um grupo e tem mais 5 mulheres para serem distribuídas na fila então P6 6 720 então 720 x 24 17280 17280 b Homens juntos e as mulheres também então mesmo raciocínio anterior Homens mulheres P4 4 24 P5 5 120 Formas de se organizarem Agora são dois grupos homens e mulheres para serem distribuídos P2 2 2 então 24 x 120 x 2 5760 5760 7 5 meninos 5 meninos 10 pessoas Existem P5 5 maneiras para distribuir os homens e P5 5 para distribuir as mulheres então P5 x P5 14400 Pensando que a fila tem que ser menino menina existem 2 formas H M H M H M H M ou M H M H M H M H então 14400 x 2 28800 8 6 cadeiras três casais 3 Homens 3 Mulheres H H Existam P3 3 formas de organizar os homens P3 3 6 Como dois estarão nas extremidades sobraram 4 cadeiras que variam P4 4 24 então 24 x 6 144 9 6 cadeiras 6 pessoas Geraldo e Francisco não sentam juntos Calculando o número de possibilidades que existem sem restrição P6 6 720 GERAL FRAN FRANC GERAL Considerando que Geraldo e Francisco fiquem juntos tem P2 2 2 maneiras de organizálos Além disso considerando que eles são um grupo tem eles mais 4 possibilidades Então P5 5 120 120 x 2 240 São 240 possibilidades em que eles fiquem juntos Assim Diminuindo o número de possibilidades em que eles ficam juntos do número total de possibilidades que existem encontrase o número de formas que eles NÃO ficam juntos 720 240 480 480 10 AMIGO listadas em ordem alfabética A G I M O a 1ª palavra AGIMO b 2ª palavra AGIOM A G I O M Troca M e O c 25ª palavra A P4 4 24 as primeiras 24ª palavras começam com A a 25ª deve ser G e seguir ordem alfabética dos demais então GAIMO d Penúltima palavra A última palavra deve ser a ordem alfabética ao contrário O M I G A Então a penúltima vai ser a troca de A por G O M I A G 0M1AG e 55ª palavra A P4424 G P4424 I P4424 55 está dentro das possibilidades com I então 48 24 72 55 48 7 7 não será I A 48 6 54 A primeira estrutura começa com I G é a 55ª logo os demais letras seguem ordem alfabética IGAMO pág 20 1 Cnk n nk x k n elementos k elementos distintos escolhidos entre os n elementos possíveis do conjunto sendo k n 6 pontos distintos a Para formar segmentos de reta precisase de dois pontos dos seis Além disso aqui utilizase combinação ao invés de permutação pois a ordem dos elementos não importa Ex segmento AB é igual ao seguimento BA Então n 6 k 2 C62 6 62 2 15 C62 6 4 2 654 4 2 30 2 15 15 b Para formar um triângulo é necessário 3 pontos dos 6 C63 6 633 20 20 2 30 alunos Cada aperto de mão envolve duas pessoas n 30 k 2 C302 30 3022 435 435 3 12 atletas para 5 posições C125 12 1255 792 792 4 O conselho é feito com 2 prof e 3 alunos Tem 5 prof e 30 alunos que se candidataram Para o conselho de professores C52 5 522 10 Para o conselho de alunos C303 30 3033 4060 Total de membros diferentes que o conselho pode ser eleito será 10 x 4060 40600 40600 5 10 homens 10 mulheres comissão 5 pessoas 3 homens 2 mulheres Calculando as combinações para mulheres n 10 k 2 C102 10 1022 45 Calculando as combinações para homens n 10 k 3 C103 10 1033 120 Total de combinações será 120 x 45 5400 5400 6 10 substâncias Associar 6 dessas substâncias sendo que duas não podem se acumular Pensando que duas não podem se associar podese dividir em dois grupos com 9 substâncias e um grupo com 8 substâncias pois um não tem nenhuma das duas I sem substância II n9 k6 C96 9 966 84 II sem I n9 k6 C96 9 966 84 III sem substância I e II n8 k6 C86 8 866 28 Portanto existem combinações dentro do grupo II que repetem as do grupo I que são as que não incluem nenhuma das substâncias Então 84 84 28 140 140 7 10 estudantes 2 não vão juntos A e B grupo de 4 Se A e B não forem tem 8 alunos para 4 vagas C84 8 844 70 Se A e B forem só 8 alunos para 2 vagas C82 8 822 28 Então o total de combinações será 70 28 98 98 8 10 bolas em 3 urnas 1ª urna 2 bolas 2ª urna 3 bolas 3ª urna 5 bolas C102 10 1022 45 Como foram colocadas 2 bolas na 1ª urna sobraram 8 bolas para a 2ª urna C83 8 833 56 Agora sobraram apenas 5 bolas para a 3ª urna C55 5 555 1 Total 45 x 56 x 1 2520 2520 9 24 alunos 10 meninas 14 meninos a 3 meninas e 2 meninos C143 14 1433 364 C102 10 1022 45 Total 364 x 45 16380 16380 b 5 alunos quaisquer C245 24 2455 42504 42504 c 1 menino e 1 menina C141 14 1411 14 C101 10 1011 10 Total 14 x 10 140 140 10 Eduardo e Androwson sala ute reservas de 5 Comissão de 5 pessoas a Como eduardo e androwson tem que estar presente sobra 3 lugares para 8 pessoas C83 81 83x31 56 56 b Nenhum presente vão ser 8 pessoas para 5 pasos C85 81 85x51 56 56 c Apenas um deles serão 8 pessoas para 4 vagas C84 81 84x41 70 Como pode ser o Androwson ou o Eduado tem 2 opções para essa vaga C21 2 21x11 2 Então o total será 70 x 2 140 140